正规矩阵
酉矩阵
正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵在数学中，正规矩阵是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵，也就是说，满足其中是的共轭转置。
如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵酉矩阵n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若一 n 行 n 列的复矩阵U满足其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为酉矩阵或译幺正矩阵。
即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。
若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。
与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，幺正矩阵U不改变两个复向量的内积：若为n阶方阵，则下列条件等价：1.是酉矩阵2.是酉矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的一组正交基4.的行向量构成内积空间C n上的一组正交基酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。
酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，幺正酉矩阵U可被分解为其中V是酉矩阵，Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。
对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。
性质∙U可逆∙U− 1 = U*∙|det(U)| = 1∙U*是酉矩阵∙正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。
内积空间、正规矩阵5-7节
在谱定理的深化方面，可以研究更一般的矩阵类的谱定理，如非正规矩阵、算子矩 阵等，以及其在量子力学、量子计算等领域的应用。
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特征值问题的求解方法
常见的求解方法包括幂法、反幂法、QR算法等。这些方法各有优缺点，适用于不同类型的问题 。
幂法与反幂法求解特征值问题
幂法
幂法与反幂法的优缺点
通过迭代计算矩阵的幂来逼近最大特 征值和对应的特征向量。适用于求解 主特征值和特征向量。
幂法收敛速度快，但可能受到初始向 量的影响；反幂法收敛速度较慢，但 精度较高。
06 课程总结与展望
课程重点内容回顾
内积空间的基本概念与性质
包括内积的定义、性质，以及由内积导出的范数和距离等 概念。
正规矩阵的定义与性质
介绍了正规矩阵的定义，以及其与自共轭矩阵、酉矩阵等的关系，探讨了 正规矩阵的性质，如可对角化、特征值的模长等于矩阵的范数等。
谱定理
详细阐述了谱定理的内容，包括复正规矩阵的谱分解、实对称矩阵的 特征值分解等，以及其在矩阵分析和量子力学等领域的应用。
PageRank算法的应用
PageRank算法广泛应用于搜索引擎中，用于对网页进行 排名和推荐。此外，它还可以应用于社交网络、推荐系统 等领域。
03
PageRank算法与特征值问题的关系
PageRank算法可以转化为求解转移矩阵的特征值和特征 向量问题。通过计算转移矩阵的主特征值和对应的特征向 量，可以得到网页的PageRank值排名。
课程学习成果展示
掌握了内积空间的基本概念和性 质，能够熟练运用内积、范数和 距离等概念进行向量和矩阵的分
3正规矩阵
位 根. 4、 A为 实 反 对 称 矩 阵 或 斜 若 Hermite矩 阵 ， 则 的 A 特征值为零或纯虚数 .
1 1 1 1 H 6、A 1 1 ，A - 1 1， 2 0 . A A AA 0 2 ， A是正规矩阵
H H
7、若A为一个斜 rmite He 矩阵， ( )为一个多项式 g 则g( A)是正规矩阵 .
第四章
正规矩阵与矩阵分解
第二节 正规矩阵
定义 正规矩阵举例 正规矩阵的特征与性质
一、定义
定义 设矩阵 M n，若AH A AA H，则称 正规 1 A A 矩阵.
引理1 A M n是正规矩阵 酉等价于 的一切矩阵 A 都是正规矩阵 .
二、正规矩阵举例
1、酉矩阵是正规矩阵 . 2、 正交矩阵是正规矩阵 . 3、He rmite 矩阵是正规矩阵 . 4、斜He rmite 矩阵是正规矩阵 . 5、 实对称矩阵、反对称矩 阵是正规矩阵 .
下述命题等价： 1、 A是正规矩阵 ; 2ห้องสมุดไป่ตู้A是可酉对角化矩阵；
3、
i , j 1
a
n
2 ij
i ；
2 i 1
n
4、A有n个特征向量组成标准正 交基； 5、 存在一个多项式 )，使AH g( A). g(
定理2 设A M n是正规矩阵，且 y是A的不同 x和 特征值的特征向量，则 y. x
定 理2 若U 1、U 2均 为n阶 酉 矩 阵 ， 则 有 (1) U 1U 2是 酉 矩 阵 ； ( 2) U 11是 酉 矩 阵 .
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
正规矩阵
最后考虑向量组 γ1, . . . , γt. 显然, (γ1, . . . , γt) = (α1, . . . , αt)D, 其中 D 是对
角矩阵,
其对角线元素依次为
1 |βi
|
,
.
.
.
,
1 |βt |
.
于是,
(γ1, . . . , γt) = (β1, . . . , βt)CD.
因为 CD 是上三角矩阵, 且对角线元素是正数, 所以 CD 可逆. 于是, (γ1, . . . , γt)
显然,α 与 β 正交当且仅当 βH α = 0 当且仅当 αH β = 0. 由定义 4.2, 非零向量的长度必大于 0; 零向量与任何向量均正交; 一个向量 总是正交组.
命题 4.1 不含零向量的正交组必为线性无关的向量组.
107
108
第五章 方阵的标准形
证明 设 α1, α2, · · · , αs 为不含零向量的正交组, 且
按命题 4.1, 规范正交组必为线性无关向量组. 反过来, 一个线性无关向量
组显然未必是正交组, 但我们可以按下述方法求出与之等价的规范正交向量组.
命题 4.3 (Schmidt 正交化) 设 α1, α2, . . . , αt 为一组线性无关向量, 令
β1 = α1,
β2
=
α2
−
(α2 ,β1 ) (β1 ,β1 )
3. 对于任意非零的 α 均有 (α, α) > 0.
定义 4.2 令 |α| = (α, α), 称为 α 的长度. 长度为 1 的向量称为 单位向 量. 如果 (α, β) = 0, 则称 α 与 β正交. 若一个向量集合中的任意两个不同的向 量均正交, 则称该向量集为正交组；由单位向量组成的正交组称为规范正交组
第三章 内积空间,正规矩阵与H-矩阵
(1)
A (A )
H T H H H H H H H
(2 ) ( A B ) A B (3) ( kA ) k A
H
(4 ) ( A B ) B A
(5) (6) (7 ) (8 )
(A ) (A )
k H H
k
(A ) A
H
H
A A (A )
nn
H 1
( A 1 ) H
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ) ( 2 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 3) (4) ( k i i , )
i 1 t
k (
i i 1 t i i 1
t
i
n n
(, ) ( x , y ) x ( , ) i i i i iy j i j
i 1 j 1 ij , 1
令
g (, ) ,i , j 1 , 2 ,, n i j i j
g 11 g 21 G g n1
例1 设 C
n
是
n 维复向量空间，任取
( a , a ,,) a , ( b , b ,, b ) ( , ) : ( ) a b a b a b ( , )
1 2 n 1 2 n
规定
T
1 12 2
n n
容易验证 是 C n 上的一个内积，从 n 而C 成为一个酉空间。 例2 设 C [ a , b ] 表示闭区间 [ a , b ] 上的所有 连续复值函数组成的线性空间，定义
, )
北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解
类似地，可证第二个结论.
证毕
二、正规矩阵 推论1 设A是一个正规矩阵, 则与 A酉相似的矩阵一定 是正规矩阵. 推论2 设 A是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则A必为 对角矩阵.
推论3 实对称矩阵正交相似对角矩阵.
推论4 设 T 是欧式空间 Vn的对称变换，则 在 Vn中存在标准正交基 y1 , y2 ,, yn ，使 T 在该 基下的矩阵为对角矩阵.
二、正规矩阵 现在将 X 1 单位化, 得到一个单位向量
i 2 2 1 , , 3 3 3
对于特征值
T
(9iI A) X 0
求得其一个基础解系
2 9i 解线性方程组
T
X 2 i, 1/ 2,1
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
对于特征值 3
(U R) A(UR) B
因此
1
U AU RBR
H
1
一、Schur引理
n n 推论： A R 且A的特征值均为实数，则存在正交矩阵Q，使得
1 2 T Q AQ 0
n
即任一实方阵正交相似于一个上三角阵，其主对角元为A的特征值.
Q AQ Q AQ diag{1 ,
T 1
, n }
二、正规矩阵
证明： A为正规矩阵，存在酉矩阵U，使得
U AU diag{1 ,
H
, n }
, n }
共轭转置有
U H AU diag{1 ,
所以 i i (i 1, , n) 由的Schur引理可得，存在正交矩阵Q，使得
i 3 2 Q 1 ,2 ,3 3 2 3 2i 3 1 3 2 3 2i 3 2 3 1 3
矩阵论学习-(矩阵的分解)-1
0 ｗ
.
0
故有 A = 0 .
(2 ) A2 = A, 则 A 的特征值为 1 或 0 , 假定 r ( A) = r ; A 可酉对角化为 :
UH AU =
Ir
0 , ( UH AU) H =
Ir
0H , UH AH U =
Ir 0
00
00
00
可得 AH = A .
λ1
λ21
( 3 ) A3 = A2 , 且 UH AU =
t11 t12 … t1 n
UH AU =
t2 2 ｗ
, tij = 0 , 且 tii = λi . i > j,
tnn
UH AH AU =
n
∑ | ti1 | 2
i =1
＊
n
∑ | ti2 | 2 i= 1
ｗ
＊ ,
n
∑ | tin |2
i =1
所以 , 有
n
n
n
n
n
∑∑ ∑ ∑ ∑ | aij | 2 = t r( AH A) = t r( UH AH AU) =
等价地 : Hermite 矩阵 A , 必存在酉矩阵 U , 使得
λ1
UH AU =
ｗ
.
λn
定理 1 .5 Hermite 二次型正定 ( A 正定 ) 的等价命题如下 . (1 ) Hermite 二次型 f = XH AX 正定 ( 即 ＂ X≠0, 恒有 XH AX > 0 ) . ( 2 ) f = XH AX 的正惯性指数为 n . (3 ) 存在可逆矩阵 P , 使得 PH AP = I .
nn
例 3 .1－6 A = ( ai j ) n × n , λ1 , λ2 , … , λn 为 A 的 特 征 值 , 若 ∑ ∑ | aij | 2 = i=1 j =1
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第二学期第八次课
设A 是n 维酉空间V 内的线性变换,如果V 内的线性变换A *
满足∀
α,β∈V,有
(A α,β)=(α,A *
β)
则称A *
是A 的共轭变换. A *
为A 的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置.
共轭变换的五条性质: 1)E *=E 2)(A *
)*= A 3)(k A )*
=k A *
4)(A +B )*
=A *
+B *
5)(AB )*
=B *
A *
如果A *= A,则称A 是一个厄米特变换.
设A 是n 阶复矩阵,如果A '=A,则称A 是一个厄米特矩阵.
n 个复变量n 21x x x ，，
，⋯的二次齐次函数 ∑∑===n
i n
j j i ij x x a f 11 (ji ij a a =)
称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。
（酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.）
如果A *A = A A *
,则称A 为一个正规变换. （将酉变换的性质推广，有一般的结果：）
命题 酉空间V 上的线性变换A 的不变子空间M 的正交补⊥
M 是共轭变换A *
的不变子空间.
证明 ∀
α∈M, β∈⊥M ,有
(α,A *
β)=(A α,β)=0 这表明A *
β∈⊥
M .
命题酉空间上的正规变换A的属于特征值λ的特征向量ξ的是共轭变换A*的属于特征值λ的特征向量.
证明按假设,有Aξ=λξ则
(A*ξ-λξ,A*ξ-λξ)=((A-λE)*ξ, A*ξ-λξ)
=(ξ,(A-λE)(A-λE)*ξ)
=(ξ,(A-λE)*(A-λE)ξ)
=(ξ,0)=0
从而A*ξ=λξ.
命题酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交.
证明设Aξ=λξ,Aη=μη则
λ(ξ,η)=(Aξ,η)=(ξ,A*η)=(ξ,μη)=μ(ξ,η)
必有(ξ,η)=0.
定理n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
证明对维数n做数学归纳法.
推论n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
命题厄米特变换的特征值都是实数.
证明若Aξ=λξ,则λξ=A*ξ=Aξ=λξ⇒λ=λ⇒λ是实数.
推论 n 维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵.
定理 厄米特二次型f 在适当的酉变数替换下可以化为标准形
,111n n n y y d y y d f ++=
其中n d d ,,1 都是实数.
证明 f 的矩阵A 是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=='n d d d
2
1D AU U 为实对角矩阵.令X=UY,即可.
（推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换）
数域K 上的n 维线性空间V 的任一满秩双线性函数f 都可以定义V 上的度量（以及一组基的度量矩阵n n j i ⨯=)),(f (G εε）；在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正交变换:
设A 是V 上线性变换,如果存在线性变换A *
,使 f(A α,β)=f(α,A *
β) ∀α,β∈V
则称A *
是A 的(关于f 的)共轭变换. 如果线性变换A 满足
f(A α,A β)=f(α,β) ∀
α,β∈V
则称A 为(关于f 的)正交变换.
在给定的基（度量矩阵为G ）下一个线性变换A （矩阵为A ）的共轭变换的矩阵
G A G A '=-*1，（这是因为f(A α,β)=f(α,A *β)⇒Y GA X GY )AX (*
'=',从而
*='GA G A ）
如果A 是正交变换，A 的共轭变换等于A
1
-。
(因为f(α,β)=f(A α,A β)=f(α,A *
A β)
故f(α,(A *
A -E )β)=0,由f 非退化知A *
A = E.).。