高中数学第一册不等式单元测试题(含答案)
《不等式》单元测试卷(含详解答案)
试卷第1页，总4页 不等式测试卷（各位同学，请自己安排2个小时考试，自己批阅统计好分数，在班级小程序拍照发给老师检查。
）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >2．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ）A ．[7,26]-B ．[1,20]-C ．[4,15]D ．[1,15]3．关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为()12,x x ,且2115x x -=,则a = A ．154 B ．72 C ．52 D ．1524．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =I A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤ C ．{}04x x <≤ D ．{}14x x -≤≤ 5．若关于x 的不等式ax b 0->的解集是(),2∞--，则关于x 的不等式2ax bx 0+>的解集为( )A ．()2,0-B ．()(),02,∞∞-⋃+C ．()0,2D ．()(),20,∞∞--⋃+ 6．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是11,2骣琪-琪桫，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 7．不等式20ax x c -+>的解集为}{|21x x -<<，函数2y ax x c =-+的图象大致为（ ） A ． B ．。
最新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．现有以下结论： ①函数1y x x=+的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；③y =2；④函数()4230y x x x=-->的最小值为2-. 其中，正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．32．若正数x ，y 满足2440x xy +-=，则x y +的最小值是（ ）A B C ．2D 3．已知正数x ，y 满足2021x y xy +=，则2120x y+的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．54．已知12x >，则2321x x +-的最小值是（ ）A ．32 B 32C 2D ．325．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定6．已知不等式222ax y xy +≥，若对于任意[1,2],[2,3]x y ∈∈，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．3a ≥-B ．1a ≥-C ．18a ≥D ．118a -≤≤7．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（ ）A ．112B ．5C ．2+D ．3+8．已知2m >，0n >，3m n +=，则112m n+-的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ） A ．22B ．22+C ．422+D ．422-10．下列命题正确的是（ ） A ．若a bc c>，则a b > B ．若22a b >，则a b > C ．若2211a b >，则a b < D a b <a b <11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，30ACD ∠=︒，且2CD =，则3a b 的最小值为（ ） A ．4B ．423+C ．8D ．823+12．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞二、填空题13．已知正实数,x y 满足48x y +=，则xy 的最大值为_______________. 14．当0x >时，不等式2210x ax ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是______. 15．已知正实数a ，b 满足21ab a b ++=，则188a b a b+++的取值范围为_________． 16．若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则21a b ab+的最小值是________． 17．已知0a >，b R ∈，当0x >时，()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立，则+a b 的最小值是_____________．18．某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x 千件，需投入成本c （x ）万元，c （x ）＝x 2+10x ．若该产品每千件定价a 万元，为保证生产该产品不亏损，则a 的最小值为_____．19．若不等式256x xt <--对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数t 的取值范围是______.20．如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树_________米时，看A 、B 的视角最大．三、解答题21．解关于x 的不等式2(2)210()a x x a R -+-≥∈.22．已知函数()21f x x bx =+-有两个零点1x ，2x ，且1x ，2x 的倒数和为1-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若在区间[]2,1-上，不等式()2->-f x x m 恒成立，求实数m 的取值范围．23．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠.（1）若(1)4f =，且,a b 均为正实数，求14a b+的最小值，并确定此时实数,a b 的值； （2）若b R ∀∈满足()222(1)32b f x a x a ab >--+-+在x ∈R 上恒成立，求实数a 的取值范围.24．已知函数()22f x x ax =-，x ∈R ，a R ∈.()1当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围； ()2解关于x 的不等式()23f x a <；()3若对于任意的()2,x ∈+∞，()1f x >均成立，求a 的取值范围．25．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设km AB y =，并在公路同侧建造边长为km x 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知1AB AC =+，且60ABC ∠=︒．（1）求y 关于x 的函数；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低为多少？26．当a 为何值时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集是全体实数？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】对于①，当0x <时，10y x x=+<，①错误； 对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明0b a >，0a b >，则22b a b aa b a b+≥⨯=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确； 对于③，22221323233y x x x x =+≥+⨯=++，2233x x +=+231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为0x >，所以4343x x+≥ 函数()4230y x x x=-->的最大值为243-，所以结论不正确，④错误.故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．A解析：A 【分析】首先条件变形为2404x y x-=>，代入x y +后利用基本不等式求最小值.【详解】0,0x y >>，22444004x x xy y x-+-=⇒=>，解得：02x <<243144x x x y x x x -∴+=+=+≥=，当314x x =，即x =即x y + 故选：A 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．C解析：C 【分析】由已知得20211y x +=，再202121202120x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式可得选项． 【详解】由2021x y xy +=得20211y x+=，2021202122224212021202120x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当20212120x y y x=且20211y x +=，即42,40x y ==.时，等号成立. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D 【分析】由2111333311212222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++⎪-⎝⎭--，利用均值不等式可得答案. 【详解】21113333331121222222x x x x x x ⎛⎫+=+=-++≥= ⎪-⎝⎭-- 当且仅当113122x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-,即132x =+ 时，取得等号. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.5．B解析：B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为121222p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y yp p +， 平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商6．B解析：B 【分析】 将a 分离出来得22()y ya x x ≥-，然后根据[1x ∈，2]，[2y ∈，3]求出y x的范围，令yt x=，则22a t t ≥-在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出22t t -的最大值，即可求出a 的范围． 【详解】 解：由题意可知：不等式222ax y xy +≥对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立， 即：22()y ya x x≥-，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立， 即：x 2ma 2()yy a xx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≥-，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，令y t x =，结合图形可知yx的取值范围是(1,3)，则13t ≤≤， 22a t t ∴≥-在[1，3]上恒成立，221122()48y t t t =-+=--+，13t ≤≤，∴当1t =时，1max y =-，1a ∴≥-. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题，利用分离参数法、换元法和将恒成立问题转化为二次函数最值问题是解题的关键，还需要注意换元时新元的范围，属于中档题.7．C解析：C 【分析】将原式变形为()2211b a b b a b ab++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：()222111b a b b b a b ab ab+++⎛⎫+== ⎪⎝⎭ )()22222222222222b a abab b a ab ababab++++==≥=，当且仅当2a b =时取等号，即22a =21b =时等号成立，故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=，结合“1”的代换，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=， 则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭，当且仅当22n m m n-=-且3m n +=，即51,22m n ==时取等号，故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，结合“1”的代换技巧是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9．D解析：D 【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m =-=-，则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n mm n=，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.考点：基本不等式的应用.10．D解析：D 【分析】A 项中，需要看分母的正负；B 项和C 项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小. 【详解】A 项中，若0c <，则有a b <，故A 项错误；B 项中，若22a b >，则a b >，故B 项错误；C 项中，若2211a b>则22a b <即a b <，故C 项错误；D a b <定有a b <，故D 项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.11．B解析：B 【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-，化简得到13tan b α=ABC 中，有tan a b α=⋅，然后将3a b +转化为4ta n a αα=++利用基本不等式求解. 【详解】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理得：()2sin 150sin b αα=︒-，所以()2sin 1501sin tan b ααα︒-==+，在直角ABC 中，tan a b α=⋅，所以(1tan tan 4tan tan a b ααααα⎛⋅==+⎝+=44≥+=+an α=，即4πα=时取等号， 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ． 【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.二、填空题13．4【分析】由基本不等式求解【详解】因为所以所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2）二解析：4 【分析】由基本不等式求解． 【详解】因为0,0x y >>，所以48x y +=≥=， 所以4xy ≤，当且仅当4x y =，即1,4x y ==时等号成立． 故答案为：4． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14．【分析】本题首先可根据将不等式转化为然后利用基本不等式得出即可得出结果【详解】因为所以即因为不等式恒成立所以恒成立因为当且仅当时取等号所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求解析：)⎡-+∞⎣【分析】本题首先可根据0x >将不等式转化为12a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭，然后利用基本不等式得出12x x +≥. 【详解】因为0x >，所以2210x ax ++≥，即12a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭， 因为不等式2210x ax ++≥恒成立，所以12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭恒成立，因为1122x x x x ⎛⎫+≥=⇒-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当2x =时取等号，所以a ≥-，实数a 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故答案为：)⎡-+∞⎣. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】先根据正实数ab 满足找到ab 的关系及ab 的范围然后把通换元法转化为函数求值域【详解】由得∴且∵∴∴∴则令则在上递减（因为）∴令则∴=在上单增∴故答案为：(69)【点睛】利用基本不等式求最值时 解析：()6,9【分析】先根据正实数a ，b 满足21ab a b ++=找到a ，b 的关系及a ，b 的范围，然后把188a b a b+++通换元法转化为函数求值域． 【详解】由21ab a b ++=得21ab a b ++=，∴121ab a -=+，且(1)(2)3a b ++=． ∵0,0a b >>，∴120a ->，∴12a <∴102a <<．则3321311a b a a a a +=+-=++-++， 令31,1,2u a u ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭则33a b u u+=+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，（因为32<），∴112a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，． 令=+t a b ，则112t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴188a b a b +++=18t t +在112⎛⎫⎪⎝⎭，上单增， ∴()1886,9a b a b++∈+． 故答案为：(6,9)． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．16．【分析】利用基本不等式得到通过求出进而求解【详解】由得又因为所以当时此时成立可得时满足条件所以的最小值是；故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的求最值得到进而求解解析：2【分析】利用基本不等式，得到21a b ab +≥=，通过求出min2⎡=⎢⎣，进而求解 【详解】由12,12a b ≤≤≤≤得，21a b ab +≥=，又因为12b ≤≤，所以，当2b =时，min2⎡=⎢⎣，此时21a b ab =成立，可得，2a b =，a =2b =时，满足条件，所以，21a b ab +的最小值是2；【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的min⎡=⎢⎣，进而求解17．【分析】根据题中条件先讨论根据不等式恒成立求出；再讨论根据不等式恒成立求出结合题意得到再由基本不等式即可求出结果【详解】因为（1）当时；不等式恒成立可化为在上恒成立即在上恒成立因为在上显然单调递增所【分析】根据题中条件，先讨论10x a<<，根据不等式恒成立求出12a b a ≥-；再讨论1x a ≥，根据不等式恒成立，求出12a b a ≤-，结合题意，得到12ab a =-，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】 因为0a >，（1）当10x a <<时，10ax ；不等式()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立，可化为102x b x --≤在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即12b x x ≥-在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， 因为12y x x =-在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上显然单调递增，所以1122a x x a -<-， 因此只需12a b a ≥-； （2）当1x a ≥时，10ax -≥；不等式()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立，可化为102x b x --≥在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即12b x x ≤-在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 因为12y x x =-在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上显然单调递增，所以1122a x x a ->-， 因此只需12a b a ≤-； 综上，只能12a b a =-，所以12a b a a b =+≥==+ 当且仅当12a a=，即a =.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方18．130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系再运用参变分离化简最后运用基本不等式求最值即可【详解】解：有题意建立利润函数关系：（）整理得：为保证生产该产品不亏损则（）即当且仅当即取最小值130此解析：130 【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系，再运用参变分离化简，最后运用基本不等式求最值即可. 【详解】解：有题意建立利润函数关系：2()(103600)f x ax x x =-++，（0x >） 整理得：2()(10)3600f x x a x =-+--，为保证生产该产品不亏损，则2()(10)36000f x x a x =-+--≥，（0x >）即36001010130a x x ≥++≥=， 当且仅当3600x x=即60x =，a 取最小值130，此时产品不亏损 故答案为：130. 【点睛】本题考查函数与不等式关系、参变分离法，基本不等式解决实际问题中的最值问题，是基础题.19．【分析】整理已知条件得到对于恒成立利用二次函数的特点求解范围即可【详解】由得则对于恒成立令则；令则；综上：故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式属于中档题解析：57,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】整理已知条件得到2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的特点求解范围即可. 【详解】由256x xt <--，得22265565xt x x xt x -<-⇒-<-<-，则2211010x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，令()211f x x xt =+-，则()431072272202t f t t f ⎧⎧⎛⎫<⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒<⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<⎩⎪⎩；令()21g x x xt =-+，则()51052252202t g t t g ⎧⎧⎛⎫>⎪<⎪⎪⎪⇒⇒>⎝⎭⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩；综上：5722t <<. 故答案为：57,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题.20．6【分析】过点作设根据已知中树顶距地面米树上另一点距地面米人眼离地面米我们易求出即的表达式进而根据基本不等式求出的范围及取最大值时的值进而得到答案【详解】如图过点作则设由图可知：当且仅当时等号成立即解析：6 【分析】过点C 作CD AB ⊥，设CD x =，根据已知中树顶A 距地面212米，树上另一点B 距地面112米，人眼C 离地面32米．我们易求出tan ACB ∠，即tan()ACD BCD ∠-∠的表达式，进而根据基本不等式，求出tan ACB ∠的范围及tan ACB ∠取最大值时x 的值，进而得到答案． 【详解】 如图，过点C 作CD AB ⊥，则213922AD =-=，113422BD =-=， 设CD x =，由图可知：94tan tan 555tan tan()94361tan ?tan 26121?ACD BCD x x ACB ACD BCD ACD BCD x x x x-∠-∠∠=∠-∠====+∠∠⨯++，当且仅当6x =时，等号成立．即6x =时，tan ACB ∠有最大值，此时ACB ∠最大. 故答案为： 6 【点睛】本题考查的知识点是三角函数的实际应用，两角差的正切公式，及基本不等式，其中构造适当的三角形，将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键．三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无 26．无。
人教版高一上学期数学(必修一)《2.2不等式》同步测试题及答案
人教版高一上学期数学(必修一)《2.2不等式》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.若x>1>y ，则下列不等式不一定成立的是( ) A .x-y>1-y B .x-1>y-1 C .x-1>1-yD .1-x>y-x2.若A=-y 2+4x-3，B=x 2+2x+2y ，则A ，B 的大小关系为 ( ) A .A>B B .A<B C .A=BD .无法确定3.已知a+b>0，b<0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系为 ( ) A .a>b>-b>-a B .a>-b>b>-a C .a>-b>-a>b D .a>b>-a>-b★4.已知-1≤x+y ≤4，2≤x-6y ≤3，则z=3x-4y 的取值范围是 ( )A .[-2，8]B .[0，11]C .[1，7]D .[0，7]5.甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是 ( ) A .甲B .乙C .一样低D .不能确定6.[2023·北京人大附中高一期中] 如图，数轴上给出了表示实数a ，b ，c 的三个点，下列判断正确的是( )A .ab>cB .abc>12 C .c+2b<aD .a+c>2b7.[2023·石家庄高一期中] 若条件p :b<a<0，则下列条件中是条件p 的必要条件的有 ( ) 条件q :a+b<ab ;条件r :ac 2>bc 2(c ∈R);条件s :b 2<a 2;条件t :1a <1b . A .条件q 和条件r B .条件q 和条件t C .条件s 和条件t D .条件r 和条件t8.(多选题)已知1a <1b <0，则下列不等式成立的是 ( )A .a<bB .ab>a+bC .|a|<|b|D .ab>b 29.(多选题)已知6<a<60，15<b<18，则下列说法正确的是 ( )A .ab 的取值范围为(13,4) B .a+b 的取值范围为(21，78) C .a-b 的取值范围为(-9，42) D .a+b b 的取值范围为(75,399) 二、填空题10.若a=1816，b=1618，则a 与b 的大小关系为 .11.若关于x 的不等式a-2<2a-x<12只有一个整数解2，则实数a 的取值范围为 . 12.设a ，b ，c 为非零实数，且a>b>c ，则下列判断正确的有 .(填序号)①a+b>c ;②ab>c 2;③a+b 2>c ;④ac 2>bc 2;⑤1a +1b <2c. 三、解答题13.[2023·湖南邵阳一中高一月考] 已知a ，b 均为正实数.试利用作差法比较a 3+b 3与a 2b+ab 2的大小.14.(1)已知a>b>0，求证:a a bb>(ab )a+b2.(2)已知h>0，求证:(1+h )100>1+100h.参考答案1.C [解析] 利用不等式的性质可得A ，B ，D 中不等式一定成立，当x=2，y=-3时，C 中不等式不成立.故选C .2.B [解析] 因为B-A=(x 2+2x+2y )-(-y 2+4x-3)=(x-1)2+(y+1)2+1>0，所以A<B.故选B .3.B [解析] 由a+b>0，得a>-b ，由b<0得-b>0，所以a>-b>0，-a<b<0，所以a>-b>b>-a.故选B .4.B [解析] 易知z=3x-4y=2(x+y )+(x-6y )，因为-1≤x+y ≤4，2≤x-6y ≤3，所以-2≤2(x+y )≤8，所以0≤2(x+y )+(x-6y )≤11，故z=3x-4y 的取值范围是[0，11].故选B .[易错点] 此类求范围的问题，在使用不等式性质时，易扩大所求表达式的取值范围，按照本题提供的解法求解则可避免.5.B [解析] 设两次加油时的价格分别为x 元/升和y 元/升，且x ≠y ，则甲每次加油20升，两次加油中，平均价格为20(x+y )40=x+y 2(元/升)，乙每次加油200元，两次加油中，平均价格为400200x +200y=2xyx+y(元/升)，因为x+y 2-2xy x+y =(x+y )2-4xy 2(x+y )=(x -y )22(x+y )>0，所以乙的平均价格较低.故选B .6.D [解析] 由题图可得-1<a<-12，-12<b<0，12<c<1，所以12<-a<1，0<-b<12，所以0<ab<12<c ，故A 错误;0<abc<12，故B 错误;因为-12<b<0，所以-1<2b<0，又12<c<1，所以-12<c+2b<1，又-1<a<-12，所以c+2b>a ，故C 错误;因为-1<a<-12，12<c<1，且由图可知|a|<|c|，即-a<c ，所以0<a+c<12，又-1<2b<0，所以a+c>2b ，故D 正确.故选D .7.B [解析] 对于条件q ，因为b<a<0，所以a+b<0，ab>0，所以a+b<0<ab ，所以条件q 是条件p 的必要条件;对于条件r ，若c=0，则ac 2=bc 2=0，所以条件r 不是条件p 的必要条件;对于条件s ，因为b<a<0，所以0<-a<-b ，所以(-a )2<(-b )2，即a 2<b 2，所以条件s 不是条件p 的必要条件;对于条件t ，1a -1b =b -aab ，因为b<a<0，所以b-a<0，ab>0，所以b -aab <0，所以1a -1b <0，所以1a <1b ，所以条件t 是条件p 的必要条件.故选B .8.BC [解析] 由1a <1b <0，可得b<a<0，故选项A 不成立;因为b<a<0，所以ab>0，a+b<0，所以ab>a+b ，故选项B 成立;因为b<a<0，所以|b|>|a|，即|a|<|b|，故选项C 成立;因为b<a<0，所以b<0，a-b>0，所以ab-b 2=b (a-b )<0，即 ab<b 2，故选项D 不成立.故选BC .9.AB [解析] 因为6<a<60，15<b<18，所以118<1b <115，-18<-b<-15，所以618<a b <6015，6+15<a+b<60+18，6-18<a-b<60-15，即13<a b<4，21<a+b<78，-12<a-b<45，所以a+b b =a b+1∈(43,5).故选AB .10.a<b [解析] a b=18161618=(1816)16×1162=(98)16×(√2)16=(8√2)16，∵8√2∈(0，1)，∴(8√2)16<1，又1816>0，1618>0，∴1816<1618，即a<b.11.[34,1] [解析] 由a-2<2a-x<12，得2a-12<x<a+2，因为关于x 的不等式只有一个整数解2，所以{1≤2a -12<2,2<a +2≤3,解得34≤a ≤1，故实数a 的取值范围为[34,1].12.③④ [解析] 对于①，取a=-1，b=-2，c=-3满足a>b>c ，但a+b>c 不成立，故①错误;对于②，取a=1，b=-2，c=-3满足a>b>c ，但ab>c 2不成立，故②错误;对于③，∵a>c ，b>c ，∴a+b>2c ，∴a+b 2>c ，故③正确;对于④，∵a>b ，c 2>0，∴ac 2>bc 2，故④正确;对于⑤，取a=12，b=13，c=-1满足a>b>c ，但1a +1b <2c不成立，故⑤错误.故答案为③④.13.解:∵a 3+b 3-(a 2b+ab 2)=(a 3-a 2b )+(b 3-ab 2)=a 2(a-b )+b 2(b-a )=(a-b )(a 2-b 2)=(a-b )2(a+b ).当a=b 时，a-b=0，则a 3+b 3=a 2b+ab 2;当a ≠b 时，(a-b )2>0，a+b>0，则a 3+b 3>a 2b+ab 2.综上所述，a 3+b 3≥a 2b+ab 2. 14.证明:(1)∵a>b>0，∴ab >1，且a-b>0.∴a ab b(ab )a+b 2=(ab )a -b 2>1，∴a a b b>(ab )a+b 2.(2)对正数A 和B 有(1+A )(1+B )=1+A+B+AB>1+A+B ，∴(1+h )2>1+2h ，∴(1+h )3>(1+2h )(1+h )>1+3h ，∴(1+h )10>[(1+h )2(1+h )3]2>[(1+2h )(1+3h )]2>(1+5h )2>1+10h ，∴(1+h )100>(1+10h )10>1+100h.。
高中数学必修第一册,第2章 一元二次函数、方程和不等式单元测试题1
第二章一元二次函数、方程和不等式一、选择题1．（2019·全国高一课时练）集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B = （）A ．{|12}x x -<<B ．{|1x x <-或2x >}C ．{|01}x x <<D ．{|0x x <或}2．（2019·全国高一课时练）已知c b a <<，且0ac <，下列不等式中，不一定成立的是()A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<3．（2019·全国高一课时练）不等式20ax x c -+>的解集为{}21,x x -<<则函数2y ax x c =++的图像大致为（）A. B.D.4．（2019·河南高一期末）设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为A ．B ．8C ．9D ．10（2019·全国高一课时练）若01t <<，则关于x 的不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为（）A.1{|}x x t t<< B.1{}x xx t t<或 C.1{|}x xx t t或 D.1 {|}x t x t<<6.（2019·全国高一课时练）函数2228(0)y x ax a a =-->，记0y ≤的解集为A ，若()1,1A -⊆，则a 的取值范围（）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.11,42⎛⎫⎪⎝⎭D.11,42⎡⎤⎢⎣⎦7．（2019·辽河油田高级中学高一课时练）若关于x 的不等式2−4≥对任意x ∈[0,1]恒成立,则实数m 的取值范围是()A ．m≤－3B ．m≥－3C ．－3≤m≤0D ．m≤－3或m≥08．（2019江西高一联考）某市原来居民用电价为0.52元/kw h ⋅，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/kw h ⋅，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw h ⋅．对于一个平均每月用电量为200kw h ⋅的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为()A ．110kw h⋅B ．114kw h⋅C ．118kw h⋅D ．120kw h⋅9．（2019广东揭阳三中高一课时练）在R 上定义运算:a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭ =ad-bc,若不等式-1-21x a a x ⎛⎫⎪+⎝⎭ ≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为()A ．-12B ．-32C ．12D ．3210．（2019·新疆乌鲁木齐市第70中高一期末）正数,a b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．[3,)+∞B ．(,3]-∞C ．(,6]-∞D ．[6,)+∞二、填空题11．不等式2450x x --+≤的解集为________________．（用区间表示）12．（2019·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为4x 万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x 为_____________；13.（2019·全国高一课时练）已知集合A ={t |t 2–4≤0}，对于满足集合A 的所有实数t ,则使不等式x 2+tx-t ＞2x -1恒成立的x 的取值范围是14.（2019·河北高一期末）已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<>的解集为()12,x x ，则1212ax x x x ++的最小值是______．三、解答题15．（2019·黑龙江双鸭山一中高一期末）若不等式()21460a x x --+>的解集是{}31x x -<<.（1）求a 的值；（2）当b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ．16．（2019·山西省永济中学高一期末）如果用akg 糖制出bkg 糖溶液,则糖的质量分数为ab.若在上述溶液中再添加mkg 糖.(Ⅰ)此时糖的质量分数增加到多少？（请用分式表示）(Ⅱ)请将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.17．（2019·安徽高一期末）已知关于x 的函数()()221f x x ax a R =-+∈.（Ⅰ）当3a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）若()0f x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的最大值.18．（2019·黑龙江高一期末）设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求,a b 的值；（2）若()12f =，①0,0a b >>，求14a b+的最小值；②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．第二章一元二次函数、方程和不等式（答案与解析）二、选择题1．（2019·全国高一课时练）集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B = （）A ．{|12}x x -<<B ．{|1x x <-或2x >}C ．{|01}x x <<D ．{|0x x <或}【答案】C【解析】由题意可得{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以{|01}A B x x =<< .故选C.2．（2019·全国高一课时练）已知c b a <<，且0ac <，下列不等式中，不一定成立的是()A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<【答案】C【解析】因为c b a <<且0ac <，所以0a >，0c <，b R ∈．对于A ，因为0a >，c b <，所以ac ab <，即ab ac >一定成立．对于B ，因为b a <，所以0b a -<，所以()0cb a ->一定成立．对于C ，因为b R ∈，所以当0b =时，22cb ab <不成，故22cb ab <不一定成立．对于D ，因为c b a <<，0a >，0c <，所以0a c ->，()0aca c -<一定成立．故选C ．3．（2019·全国高一课时练）不等式20ax x c -+>的解集为{}21,x x -<<则函数2y ax x c =++的图像大致为（）A. B.D.【答案】C【解析】由题知-2和1是ax 2-x+c=0的两根，由根与系数的关系知-2+1=1a ，，−2×1＝c a，∴a=-1，c=2，∴2y ax x c =++=-x 2+x+2=-（x-12）2+94，故选C 4．（2019·河南高一期末）设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为A ．B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由题意知，0a >，0b >，且21a b +=，则()212122()5925b a a b a b a b b a ++=+=++≥+=当且仅当22b a a b =时，等号成立，21a b+的最小值为9，故答案选C 。
人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．若对(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t+<+成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,6-B ．(,3)(2,6)-∞--C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞2．若正数x ，y 满足2440x xy +-=，则x y +的最小值是（ ）A ．3B ．45 C ．2D ．6 3．已知,,a b c ∈R ，0a b c ++=，若2320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ，2x ，则12112121x x +--的最小值是（ ） A ．36B ．33C ．3D ．234．已知正数x ，y 满足2021x y xy +=，则2120x y+的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定6．已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（ ）A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-7．设1a b +=，0b >，则2244||ab b a a b++的最小值为（ ）A ．14B ．34C ．54D ．748．若直线10ax by --=，（a ，0b >）过点()2,1-，则11a b+的最小值为（ ） A ．322-B ．8C ．42D ．322+9．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A ．ab≤ B ．ab≥ C ．a 2+b 2≥2D ．a 2+b 2≤310．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．612．已知3x >，13y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为_________.14．设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，若关于x 的不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36⋃，则b a -=__________．15．已知函数22()(32)(2)1f x m m x m x =-++-+的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________.16．若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则21a b ab+的最小值是________． 17．某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x 千件，需投入成本c （x ）万元，c （x ）＝x 2+10x ．若该产品每千件定价a 万元，为保证生产该产品不亏损，则a 的最小值为_____． 18．已知,x y 为正实数，且114x y m x y+=+=，则m 的最小值为___________. 19．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.20．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为____（单位：2cm ）.三、解答题21．已知不等式()()2330,ax a x b a b R +--<∈的解集为{}31A x x =-<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）设()22()2ax bx f x x A x +-=∈-，当x 为何值时()f x 取得最大值，并求出其最大值．22．已知0,0x y >>，且2223x y +=． （1）求xy 的最大值；（2）求23．已知不等式()21460a x x --+>的解集为{}31x x -<<．（1）解不等式()2220x a x a +-->；（2）b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ？24．已知正实数x ，y 满足等式2520x y +=. （1）求lg lg u x y =+的最大值； （2）若不等式21014m m x y+≥+恒成立，求实数m 的取值范围.25．设a ，b 为实数，比较22a b +与1ab a b ++-的大小．26．解关于x 的不等式：()2220ax x ax a -≥-<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先利用基本不等式得到2(1)4t t +≥，再根据题意得到243x x <+，解不等式即可.【详解】令()2(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，()2)2(11t t f t t t==+++，因为()0,t ∈+∞，所以()1224f t t t=++≥=，当1t t=即1t =时取等号，又因为(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t +<+，所以243x x <+即可.由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即241203x x x --<+， ()()241230xx x --+<，所以()()()6230x x x -++<，解得3x <-或26x -<<. 故选：B. 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．A解析：A 【分析】首先条件变形为2404x y x-=>，代入x y +后利用基本不等式求最小值.【详解】0,0x y >>，22444004x x xy y x-+-=⇒=>，解得：02x <<243144x x x y x x x -∴+=+=+≥=，当314x x =，即x =即x y + 故选：A 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．D解析：D 【分析】根据12112121x x +--≥. 【详解】因为2320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ，2x ， 所以1223bx x a +=-，123c x x a=， 所以12112121x x +--≥====， 因为0a b c ++=，所以=.即12112121x x +--≥122121x x -=-时，等号成立.所以12112121x x +--的最小值是 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由已知得20211y x +=，再202121202120x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式可得选项． 【详解】由2021x y xy +=得20211y x+=，2021202122224212021202120x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当20212120x y y x=且20211y x +=，即42,40x y ==.时，等号成立. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．B解析：B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为121222p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y yp p +， 平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商6．C解析：C先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值.【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b+=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立.22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪， 即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立， 故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立， 故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.7．B解析：B利用1a b +=，0b >，10b a =->，1a ∴>且0a ≠； 对a 进行分类讨论，分为10a >>和0a >，进行讨论，然后，求解即可得到2244||ab b a a b++的最小值【详解】1a b +=，0b >，10b a =->，1a ∴>且0a ≠；当10a >>，22224414||444ab b a ab b a b a a b ab a b ++++==++1544≥+=；当且仅当4b aa b =，又1b a =-，解得1a =-或13a =，又由10a >>，得13a =时，此时，23b =，2244||ab b a a b ++的最小值54；当0a >，222244134||4444ab b a ab b a b a a b ab a b ++++⎛⎫⎛⎫==-+-+-≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b aa b -=-时，解得1a =-或13a =，又由0a >，得1a =-，此时，2b =，2244||ab b a a b ++的最小值34；综上，2244||ab b a a b ++的最小值34；故选：B 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用1a b +=，0b >，10b a =->，可得1a >且0a ≠，对a 进行分类讨论，难点在于利用基本不等式进行求最值，本题属于中档题8．D解析：D 【分析】先得到21a b +=，再整理11a b +为23b aab ++求最小值，最后判断等号成立即可. 【详解】解：∵直线10ax by --=，过点()2,1-， ∴ 21a b +=， ∵0a >，0b > ∴20a b>，0ba >∴1111222323322b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥⋅+=+()()， 当且仅当2b aa b=时，等号成立. 故选：D.【点睛】本题考查基本不等式“1”的妙用求最值，是基础题.9．C解析：C 【解析】 选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a 2+b 2≥2ab ⇒2(a 2+b 2)≥(a+b)2⇒a 2+b 2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.10．A解析：A 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．11．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【分析】由3x >，得到30x ->，化简113333y x x x x =+=-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为3x >，所以30x ->，则11333533y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当133x x -=-，即4x =时取等号， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．6【分析】利用基本不等式得出的不等式解之可得的最小值【详解】∵∴∴当且仅当即时等号成立故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值解题方法是用基本不等式得出关于的不等式然后通过解不等式 解析：6【分析】利用基本不等式得出3a b +的不等式，解之可得3a b +的最小值．【详解】∵0,0a b >>，∴211933(3)(3)(3)312ab a b a b a b a b a b =++=⋅++≤+++． (318)(36)0a b a b +++-≥，∴36a b +≥，当且仅当3a b =，即3,1a b ==时等号成立，故答案为：6．【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，解题方法是用基本不等式得出关于3a b +的不等式，然后通过解不等式得出结论．不是直接由基本不等式得最小值，解题时也要注意基本不等式成立的条件．即最小值能否取到．14．【分析】根据不等式的解集可得为对应方程的根分析两个不等式对应方程的根即可得解【详解】由于满足即可得所以所以方程的两根分别为而可化为即所以方程的两根分别为且不等式的解集为所以解得则因此故答案为：【点睛 解析：27【分析】根据不等式的解集可得2、3、6为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.【详解】由于6x =满足()060f ≤≤，即()63660f a b =++=，可得636b a =--， 所以，()()()263666f x x ax a x x a =+--=-++， 所以，方程()0f x =的两根分别为6、6a --，而()6f x x ≤-+可化为()()21670x a x a ++-+≤，即()()670x x a -++≤， 所以，方程()6f x x =-+的两根分别为6、7a --，76a a --<--，且不等式()06f x x ≤≤-+的解集为[]{}2,36⋃，所以，6372a a --=⎧⎨--=⎩，解得9a =-，则18b =，因此，27b a -=. 故答案为：27.【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解2、3、6分别为方程()()660x x a -++=、()()670x x a -++=的根，而两方程含有公共根6，进而可得出关于实数a 的等式，即可求解.15．【分析】因为函数的定义域为即不等式恒成立需按二次项系数：为零与不为零分类讨论当系数不为零时只需让系数大于零且根的判别式小于零解此不等式组即可求出的取值范围【详解】∵函数的定义域为∴对于任意恒有①若则 解析：2(,)[2,)3-∞⋃+∞ 【分析】因为函数的定义域为R ，即不等式22(32)(2)10m m x m x -++-+>恒成立，需按二次项系数：232m m -+为零与不为零，分类讨论，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零，解此不等式组，即可求出m 的取值范围.【详解】∵ 函数()f x 的定义域为R ，∴ 对于任意x ∈R ，恒有22(32)(2)10m m x m x -++-+>，① 若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为101x x -+>⇒<，不符合题意，当2m =时，不等式即为10>，符合题意，∴ 2m =符合题意；② 若2320m m -+≠，由题意得()22232024(32)0m m m m m ⎧-+>⎪⎨∆=---+<⎪⎩， 解得：2m >或23m <； 综上可得，m 的取值范围是2m ≥或23m <． 故答案为：2(,)[2,)3-∞⋃+∞.【点睛】关键点睛：本题主要考查二次不等式的恒成立问题．讨论二次项系数为零与不为零，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键. 16．【分析】利用基本不等式得到通过求出进而求解【详解】由得又因为所以当时此时成立可得时满足条件所以的最小值是；故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的求最值得到进而求解解析：2【分析】利用基本不等式，得到21a b ab +≥=，通过求出min2⎡=⎢⎣，进而求解【详解】由12,12a b ≤≤≤≤得，21a b ab +≥=，又因为12b ≤≤，所以，当2b =时，min2⎡=⎢⎣，此时21a b ab =成立，可得，2a b =，a =2b =时，满足条件，所以，21a b ab +的最小值是2；故答案为：2【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的min2⎡=⎢⎣，进而求解17．130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系再运用参变分离化简最后运用基本不等式求最值即可【详解】解：有题意建立利润函数关系：（）整理得：为保证生产该产品不亏损则（）即当且仅当即取最小值130此 解析：130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系，再运用参变分离化简，最后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：有题意建立利润函数关系：2()(103600)f x ax x x =-++，（0x >）整理得：2()(10)3600f x x a x =-+--，为保证生产该产品不亏损，则2()(10)36000f x x a x =-+--≥，（0x >）即36001010130a x x ≥++≥=， 当且仅当3600x x=即60x =，a 取最小值130，此时产品不亏损 故答案为：130.【点睛】本题考查函数与不等式关系、参变分离法，基本不等式解决实际问题中的最值问题，是基础题.18．3【分析】利用已知条件结合1代换构造进而应用基本不等式求最值即可求的最小值；【详解】知：当且仅当等号成立∴即有故答案为：3【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值根据已知条件构造基本不等式形式求最值然 解析：3【分析】利用已知条件，结合“1”代换构造41154()x y y x m x y m mx my++=++，进而应用基本不等式求最值，即可求m 的最小值；【详解】 1140x y m x y+=+=>知：4115459x y y x m m x y m mx mym m ⎛⎫+⎛⎫+=++=≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2y x =等号成立，∴29m ≥，即有3m ≥，故答案为：3【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，根据已知条件构造基本不等式形式求最值，然后求参数范围；19．【分析】由题得ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3解不等式即得解【详解】∵ab 是正数∴ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)所以所以所以或所以ab≥9故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式的解析：[)9,+∞【分析】由题得ab ＝a ＋b ＋3，解不等式30ab -≥即得解.【详解】∵a ，b 是正数，∴ab＝a ＋b ＋＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)，所以30ab -≥，所以0≥，3≥1≤-，所以ab ≥9.故答案为：[9,)+∞【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．【分析】设BC=x 连结OC 求出OB 得到矩形面积表达式然后利用基本不等式求出函数的最值即可【详解】设BC=x 连结OC 得OB=所以AB ＝2所以矩形面积S ＝2x ∈（04）S ＝2即x2＝16﹣x2即x ＝2时解析：16【分析】设BC=x,连结OC ，求出OB ，得到矩形ABCD 面积表达式，然后利用基本不等式求出函数的最值即可．【详解】设BC=x,连结OC ，得OB=216x -，所以AB ＝2216x -，所以矩形ABCD 面积S ＝22x 16x -，x ∈（0，4）,S ＝2()22222x 162161616x x x x x -=-≤+-= ．即x 2＝16﹣x 2，即x ＝22时取等号，此时y max ＝16故答案为16【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查利用基本不等式求函数最值问题，考查计算能力．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
(完整版)高中数学不等式单元测试题(含有详细答案-
高中数学不等式综合测试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1<b <0，那么( ) A ．2a ab ab >>B ．2ab ab a >>C ．2ab ab a >>D ．2ab a ab >>2．“0>>b a ”是“222b a ab +<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．RB ．φC ．),(+∞a bD ．(,)b a-∞(理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φB ．RC ．),(+∞ab D ．),(ab--∞4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤<B ．{|22}x x -<<C ．{|13}x x -<<D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x <<B ．{|11}x x -<<C ．{|01x x <<或1}x <-D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．．的是( ) A ．11a b <B ．2b ab < C ．2>+b a a bD ．||||||b a b a +>+(理)若011<<ba ，则下列结论不正确．．．的是( ) A ．22b a <B ．2b ab <C ．2>+baa bD ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化8．下列各式中最小值是2的是( )A ．y x ＋xyB ．4522++x x C ．tan x ＋cot xD ．xx -+229．下列各组不等式中，同解的一组是( )A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+xC ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{<a a B ．}8|{>a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a(理)函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在函数1mx y n n=--的图像上，其中mn >0,则nm 21+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 11．(文)已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是( ) A ．{|20,2}x x x -<<>或 B ．{|2,02}x x x <-<<或 C ．}22|{>-<x x x 或D ．{|20,02}x x x -<<<<或(理)已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式2(1)()0x f x -<的解集是( )A ．{|10}x x -<<B ．{|2,12}x x x <-<<或C ．{|2112}x x x -<<<<或D ．{|210,12}x x x x <--<<<<或或12．(文)已知不等式1()()25ax y xy++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．16625B ．16C ．254D ．18(理)已知不等式()()25x ay x y xy ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．16625B ．16C ．254D ．18二、填空题(每小题4分，共16分) 13．(文)若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是____________． (理)不等式|21|1x x --<的解集是_____________．14．函数121lg +-=x xy 的定义域是_____________． 15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_____________吨．16．已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，，则不等式3)2(≤+x f 的解集____________．三、解答题(共74分) 17． 解不等式122log 1815x x x ⎛⎫≤- ⎪-+⎝⎭18．解关于x 的不等式22x ax -+>--．20．(本小题满分12分)(文)对任意[1,1]x ∈-，函数a x a x x f 220)4()(2-+-+=的值恒大于零，求a 的取值范围．19.如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？22．(本小题满分14分)已知函数b ax x x f ++=2)(．(1)若a =0，且对任意实数x ，都有a x x f +≥2)(，求b 的取值范围； (2)当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最大值为M ，求证：1+≥b M ；(3)若)21,0(∈a ，求证：对于任意的]1,1[-∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是.142a b a -≤≤-参考答案一、 选择题 1、（文）C （理）C 2、A 3、（文）D （理）D 4、C 5、（文）C （理）C 6、（文）D （理）D 7、A 8、D 9、B10、（文）A （理）A11、（文）D （理）D 12、（文）B （理）B二、 填空题13、ba b a +>+111 14、{|02}x x <<15、)21,1(- 16、2017]3,(-∞三、 解答题18、解：原不等式等价于：21582≥+-x x x0158301720158301720215822222≤+-+-⇔≥+--+-⇔≥-+-x x x x x x x x x x x 3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x∴原不等式的解集为]6,5()3,25[Y19、解：变形得：(4)02x a x -->-当(4-a )>2，即a <2时，24x x a <>-或 当(4-a )<2，即a >2时，42x a x <->或 当(4-a )=2，即a =2时，2x ≠综上所述：当a <2时，原不等式的解集为{|24}x x x a <>-或 当a ≥2时，原不等式的解集为{|42}x x a x <->或20、325≤a21、解：设花坛的长、宽分别为xm ，ym ，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：25)2()4(22=+y x ，(0,0>>y x )问题转化为在0,0>>y x ，100422=+y x 的条件下，求xy S =的最大值． 法一：100)2(2222=+≤⋅⋅==y x y x xy S Θ，由y x=2和100422=+y x 及0,0>>y x 得：25,210==y x 100max =∴S法二：∵0,0>>y x ，100422=+y x ， 41002x x xy S -==∴=10000)200(41)4100(2222+--=-⋅x x x∴当2002=x ，即210=x ，100max =S由100422=+y x 可解得：25=y ．答：花坛的长为m 210，宽为m 25，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．21、解(1):由题得022≥++b x x 恒成立1044≥⇔≤-=∆⇔b b 对任意的R x ∈，0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a)(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔Θ∴),1[+∞∈b ．(2)证明：∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=- ∴222+≥b M ，即1+≥b M ．(3)证明：由210<<a 得，0241<-<-a∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数，在]1,2[a-上是增函数．∴当1||≤x 时，)(x f 在2ax -=时取得最小值42a b -，在1=x 时取得最大值b a ++1．故对任意的]1,1[-∈x ，.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。
高一数学不等式试题答案及解析
高一数学不等式试题答案及解析1.定义，设实数满足约束条件则的取值范围是（）A．［－5，8］B．［－5，6］C．［－3，6］D．［－8，8］【答案】A【解析】分析：由题意可得约束条件所满足的可行域如图所示的正方形ABCD，由Z=当x+2y＜0时的可行域即为图中的四边形MCDN，Z=2x-y在N（-2，1）处取得最小值-5，在B （2，-2）处取得最大值6；当x+2y≥0时的可行域为图中的四边形ABMN，Z=3x+y在C（2，2）处取得最小值8，从而可求Z的取值范围解答：解：由题意可得约束条件所满足的可行域如图所示的正方形ABCD由Z=当x+2y＜0时的可行域即为图中的四边形MCDN，Z=2x-y在N（-2，1）处取得最小值-5，在B （2，-2）处取得最大值6当x+2y≥0时的可行域为图中的四边形ABMN，Z=3x+y在C（2，2）处取得最小值8∴-5≤Z≤8故选：A点评：本题主要考查了简单的线性规划，解题的关键是要根据题目中的定义确定目标函数及可行域的条件以及，属于知识的综合应用题．2.设则xy的最大值为 ( )A．2B．4C．D．【答案】A【解析】略3.目标函数，变量满足，则有（）A．B．C．无最大值D．既无最大值，也无最小值K^S*5U.C#O【解析】略4.二次函数的部分对应值如下表：x-3-2-101234则不等式的解集是。
【答案】【解析】略5.已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为（）A．10B．8C．2D．0【答案】B【解析】根据条件，可知，因为，所以两不等式相减得到，所以最大值为8【考点】函数最大最小值6.设，且，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据不等式的性质，知成立，,当就不成立，，当就不成立，同时也不成立．【考点】不等式的性质7.如果，则下列不等式中成立的只有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，可得，故不正确，正确．再根据，可得不正确，只有选项成立，故选．【考点】不等式关系与不等式8.实数，满足不等式组，则目标函数的最小值是（）A．B．C．D．【解析】如图，先画可行域，，当目标函数过点时，函数取得最小值，所以．【考点】线性规划9.设a>0，b>0，若是与的等比中项，则的最小值为（）A．4B．8C．1D．【答案】A【解析】，所以，所以：，等号成立的条件是．【考点】1．等差数列的性质；2．基本不等式求最值．10.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为．【答案】【解析】当时，或，代入，只有使不等式恒成立，当时，，即，解得，所以最后的取值范围是【考点】二次不等式恒成立11.已知，，，则的最小值是_________．【答案】【解析】∵，，，∴由基本不等式可得≥2=2当且仅当时，取最小值2．故答案为：2【考点】基本不等式12.若实数x，y，且x+y=5，则的最小值是（）A．10B．C．D．【答案】D【解析】，，当且仅当即时取得．故D正确．【考点】基本不等式．13.不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．{或【答案】A【解析】，由数轴穿根法知，或【考点】•分式不等式的解法分式——不等式化整式不等式 数轴穿根法求不等式的解14.下列函数的最小值为2的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，在其定义域上没有最小值，因为自变量的区间右端点是开的而导致取不到最小值，利用均值不等式取不到最小值，故只能选D．【考点】对勾函数与均值不等式．15.二次函数的零点为2和3，那么不等式的解集为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为二次函数的零点为2和3，所以，进而函数，又因为，所以不等式的解集为，故选择B【考点】一元二次不等式解集16.若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，恒成立，当，解得，所以【考点】含参不等式恒成立问题17.若点的坐标满足约束条件：，则的最大值为A．B．C．D．11【答案】C【解析】如图，先画可行域，先设目标函数，当目标函数过点时，，最后除以得最小值是．【考点】线性规划18.不等式的解集为_______________．【答案】【解析】解：，所以不等式的解集是．【考点】一元二次不等式的解法19.（本题满分10分）已知关于的不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）解关于的不等式：（为常数）．【答案】（1）（2）当时解集为；当时解集为；当时解集为【解析】（1）本题考察的是一元二次不等式与一元二次方程关系，由题意知是关于的方程的两个根，再由韦达定理可得方程组，解方程组即可得到答案．（2）不等式等价于，按照对应方程的根的大小关系分三种情况进行讨论即可解出分式方程的解集．试题解析：（1）由题知为关于的方程的两根，即∴．（2）不等式等价于，所以：当时解集为；当时解集为；当时解集为．【考点】一元二次不等式的解法20.不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式可得，所以解集为：，故选择D 【考点】解一元二次不等式21.已知实数满足,则的最大值是 .【答案】13【解析】作出二元一次不等式组所表示的可行域如图所示：根据图像可知当经过直线与直线的交点时，取最大值时，最大值为【考点】二元一次不等式的线性规划问题；22.解关于x的不等式：【答案】当a＝0时，；当a﹥0时，；当a﹤0时，【解析】移项,通分,将分式不等式转化为一元二次不等式,分解因式后比较两根的大小即可求解不等式．试题解析：解：所以，当a＝0时，当a﹥0时，当a﹤0时，【考点】分式不等式．23.如果实数x，y满足约束条件，那么2x－y的最大值为A．2B．1C．－2D．－3【答案】B【解析】将不等式组中不等式看成方程．两两结合解出交点坐标分别为，代入可得值最大为．故答案选B．也可结合图形分析得出答案．【考点】线性规划24.不等式的解集是空集，则实数的范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，当时，不等式为，解集为空集，符合题意；当时，若不等式解集为空集，则应满足，解得，综上所述：【考点】一元二次不等式．25.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若，任意，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）当，，由两个数将轴分为三个区间，去绝对值，将函数表示成分段函数形式，分别解不等式即可；（Ⅱ）等价于，分，，三种情况去绝对值，研究恒成立时的实数的范围，再求并集即可．试题解析：（Ⅰ）若，由解得或；所以原不等式的解集为．（Ⅱ）由可得当时，只要恒成立即可，此时只要当时，只要恒成立即可，此时只要当时，只要恒成立即可，此时只要综上．【考点】1．绝对值的意义；2．分段函数的表示；3．函数与解不等式．【方法点睛】本题主要考查绝对值的意义、分段函数的表示的方法、函数与解不等式的知识，属中档题．在解决含有绝对值不等式有关问题时，通常是利用绝对值的意义去掉绝对值符号变为分段函数，利用分段函数的性质求解，在去绝对值符号量一定要注意自变量的取值范围．26.解关于的不等式：．【答案】见解析【解析】解分式不等式，一般移项、通分、再讨论有无根及根的大小：由得只有一根-1; 比较大小试题解析：解：【考点】解分式不等式【名师】解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．27.已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0,5），且f（x）在区间[－1,4]上的最大值是12．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值．【答案】（Ⅰ） f（x） =2x2-10x （Ⅱ）【解析】（Ⅰ）求二次函数解析式常采用待定系数法，设出解析式，由已知条件得到参数值，从而得到解析式；（Ⅱ）求二次函数最值首先判断其单调性，本题中要分情况讨论区间与对称轴的位置关系试题解析：（Ⅰ）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5）∴可设f（x）=ax（x-5）（a>0）∴f（x）的对称轴为x=且开口向上∴f（x）在区间[-1，4]上的最大值是f（-1）=6a=12．∴a=2∴f（x）=2x（x-5）=2x2-10x．（Ⅱ）由题意，,①当时，在区间上单调递增，∴的最小值为；②当时，∴的最小值为；③当时，在区间上单调递减，∴的最小值为；综上所述：【考点】1．待定系数法求解析式；2．二次函数单调性与最值28.比较的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，又幂函数在上是增函数，，∴，故选D．【考点】1、指数式；2、比较大小.29.设0.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c【答案】D【解析】由幂函数的性质比较a，b的大小，再由对数函数的性质可知c＜0，则答案可求．解：∵0＜＜0.50=1，c=log50.3＜log51=0，而由幂函数y=可知，∴b＞a＞c．故选：D．【考点】指数函数的图象与性质．30.若0＜a＜1，且logba＜1，则（）A．0＜b＜a B．0＜a＜b C．0＜a＜b＜1D．0＜b＜a或b＞1【答案】D【解析】利用对数函数的单调性和特殊点，分b＞1和0＜b＜1两种情况，分别求得a、b的关系，从而得出结论．解：当b＞1时，∵logb a＜1=logbb，∴a＜b，即b＞1成立．当0＜b＜1时，∵logb a＜1=logbb，∴0＜b＜a＜1，即0＜b＜a，故选D．【考点】对数函数的单调性与特殊点．31.下列各函数中，最小值为2的是（）A．B．，C．D．【答案】A【解析】对于A．，当且仅当即取等号正确；对于B．，，则当且仅当即取等号，等号取不到所以错误；对于C．，当且仅当即取等号，等号取不到所以错误，D．,当不满足题意，所以应选A.【考点】基本不等式的应用.【易错点睛】利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值，特别是等号成立的条件是否满足，必须进行验证，否则易错；基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.32.下列不等式中，解集为的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A．，解集为；B．解集为；C．解集为；解集为，选D【考点】不等式的解集33.已知正项等比数列满足，若存在两项使得,则的的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入中，可求得（数列为正向数列，舍去负值），则，代入有，所以，当且仅当，显然是整数，所以不能取得最小值，单可取相邻整数的值，即时的值，可求得最小值为，股本题正确选项为B.【考点】等比数列的公比与重要不等式的运用.【思路点睛】因为，所以只要求得公比，便可通过求得的和，将等比数列通项代入，化简解方程便可求得公比，从而进一步求得，对乘以，化简整理后，再利用重要不等式求最值，最后要注意，取最值时，看能否满足取等号的条件，如果不能满足，则可取的相邻两个整数值，从中取最小的代数值即可．34.若，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，因为，所以，所以，所以，【考点】不等式的性质．35.已知实数满足．（1）若，求的最小值；（2）解关于的不等式：．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据条件将二元代数式的最值问题转化为一元代数式的最值问题，再结合基本不等式，即可求出的最小值；（2）根据条件将不等式转化为关于的分式不等式，进而可得到其解集.试题解析：（1）由及得，因为，所以当且仅当，即时取等号，此时所以的最小值为（2）由（1），且原不等式可化为，即所以，即且所以原不等式的解集为【考点】1、基本不等式；2、分式不等式.36.若x＞0，y＞0，且＋＝1，则xy有（）A．最大值64B．最小值C．最小值D．最小值64【答案】D【解析】因为，所以（当且仅当，即时取等号），即；故选D．【考点】基本不等式．【方法点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题；在利用基本不等式求最值时，要注意其适用条件（一正，二定，三相等）的验证，陪凑“定和或定积”的解题的关键，也是难点，而验证“相等”是学生易忽视的问题，如“由判定的最小值为2”是错误的，因为是不成立的.37.如果不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】不等式对一切实数均成立，等价于对一切实数均成立，所以，解得，故选A.【考点】函数的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解及一元二次函数的图象与性质的综合应用，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、转化为对一切实数均成立，进行求解，其中正确运用一元二次函数的图形与性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.38.若满足约束条件则的最大值为【答案】7【解析】如图，画出可行域，令，画出初始目标函数，，当初始目标函数向上平移时，函数取值越来越大，当多点时，函数取得最大值，最大值为，故填：7.【考点】线性规划39.已知a＞0，则的最小值是【答案】【解析】，当且仅当时等号成立取得最小值【考点】不等式性质40.二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_________.【答案】【解析】由题意可知所以所以不等式为，又，所以，解得.所以答案应填：.【考点】一元二次不等式的解法.【方法点睛】根据二次不等式的解集得出，求出，采用消元的思想，将和消去，再将不等式转化为具体的一元二次不等式来求解即可.本题考查了一元二次不等式与一元二次方程之间的应用问题，解题时应利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.属于基础题.41.解关于的不等式：.【答案】当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.【解析】不等式中含有参数，对分和两种情况讨论，当时，原不等式为，解得即可，当时，原不等式化为一元二次不等式，再对分和两种情况分别求解.试题解析：原不等式整理得.当时，原不等式为，∴；当时，原不等式为，∴当时，原不等式可化为，当时，原不等式可化为，当时，原不等式为，原不等式的集为或，若，则，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.综上，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.【考点】不等式的解法.42.不等式的解集是空集，则实数的范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，不等式的解集是空集，当，解得或，（1）当时，不等式可化为，所以解集不是空集，不符合题意（舍去）；（2）当时，不等式可化为不成立，所以解集为空集；当，要使的不等式的解集为空集，则，解得，综上所述，实数的范围为，故选B.【考点】一元二次不等式问题.43.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【考点】比较大小44.三个数的大小关系是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，所以，故选C.【考点】指数，对数45.已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由指数函数是单调递减函数，所以，又，所以，故选C．【考点】指数函数与对数函数图象与性质．46.设，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，函数在上单调递增，故，又，而.综上知【考点】指数函数，对数函数的性质47.已知命题：；：.（1）若“”为真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）先分别求出命题为真命题时的取值范围，再由已知“”为真命题进行分类讨论即可求解；（2）由（1）可知，当同时为真时，即可求出的范围.试题解析：若为真，则，所以，则若为真，则，即.（1）若“”为真，则或，则.（2）若“”为真，则且，则.48.设，且b＞0，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解答：∵a+b<0，且b>0，∴−a>b>0，∴a 2>b2.本题选择C选项.49.关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x-2）>0的解集是（）A．（1，2）B．（-1，2）C．（-，-1）（2，+）D．（-，1）（2，+）【答案】C【解析】由已知，不等式为，所以或，故选C．50.设，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（）A．①④B．②④C．②③D．③④【答案】B【解析】①；②；③；；④．所以选B.51.已知．（1）当时，解不等式；（2）若，解关于的不等式．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1），结合图像可得不等式解集（2），所以根据根的大小进行分类讨论：时，为；，为；时，为试题解析：（1）当时，不等式，即，解得．故原不等式的解集为．（2）因为不等式，当时，有，所以原不等式的解集为；当时，有，所以原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为52.已知，那么下列命题中正确的是( )A．若则B．若，则C．若且，则D．若且，则【答案】C【解析】当时，，选项A是假命题；若，则由可得，选项B是假命题；若a3>b3且ab<0，则 (对)，若a3>b3且ab<0，则若a2>b2且ab>0，则 (错)，若，则D不成立。
高中数学第一册不等式单元测试题(含答案)
不等式单元测试题一、单选题（共12题；共24分）1.（2020高二下·北京期中）若，，则（）A. B. C. D.2.（2020高一下·邯郸期中）已知，且.下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.3.（2020高一下·成都期中）若，则一定有（）A. B. C. D.4.（2020高一下·嘉兴期中）设、、，，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.5.（2020高一下·吉林期中）下列命题中：① ，；② ，；③ ；④ ；正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.（2020高一下·哈尔滨期末）已知，，则的最小值为（）A. 8B. 6C.D.7.（2020高一下·太和期末）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. 1B. 4C.D.8.（2020高一下·丽水期末）已知实数满足，且，则的最小值为（）A. B. C. D.9.（2020高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 910.（2020高一下·南昌期末）已知a，，且满足，则的最小值为（）A. B. C. D.11.（2020高一下·丽水期末）不等式的解集是（）A. 或B. 或C.D.12.（2020高一下·吉林期末）若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是（）A. x＞5a或x＜－aB. x＞－a或x＜5aC. 5a＜x＜－aD. －a＜x＜5a二、填空题（共4题；共4分）13.（2020高二下·西安期中）比较大小：________ ．（用，或填空）14.（2020高一下·温州期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是________.15.（2020高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最小值为________.16.（2020高一下·哈尔滨期末）不等式的解集为________.三、解答题（共8题；共75分）17.（2020高一下·六安期末）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．18.（2020高一下·大庆期末）已知关于x的不等式．（1）当时，解上述不等式．（2）当时，解上述关于x的不等式19.（2020高一下·太和期末）已知函数.（1）若对任意实数，恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式.20.（2020高一下·宜宾期末）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.21.（2020高一下·萍乡期末）（1）解不等式；（2）解关于x的不等式：.22.（2020高一下·成都期末）已知定义在上的函数，其中为常数．（1）求解关于的不等式的解集；（2）若是与的等差中项，求a+b的取值范围．23.（2020高一下·南昌期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（）与速度（）的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从刹车到停车走了．（Ⅰ）当汽车不装货物以的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？．（Ⅱ）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．参考数据：．）24.（2020高一下·重庆期末）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】，又，，所以，所以.故答案为：C【分析】采用作差法比较即可.2.【答案】B【解析】【解答】，且，，.故答案为：B.【分析】由和，得，根据不等式的性质可得选项.3.【答案】C【解析】【解答】由题可得,则,因为, 则, ,则有,所以,即故答案为：C【分析】由题,可得,且,即,整理后即可得到作出判断.4.【答案】C【解析】【解答】对于A，由，则，A不符合题意；对于B，若，则，B不符合题意；对于C，，因为，，所以，即，C符合题意；对于D，，因为，，所以，所以，即，D不符合题意；故答案为：C【分析】利用不等式的性质以及作差法比较大小逐一判断即可.5.【答案】C【解析】【解答】① ，由不等式的加法得，所以该命题正确；② ，是错误的，如：，满足已知，但是不满足，所以该命题错误；③ ，所以，所以该命题正确；④ 所以，所以该命题正确.故答案为：C【分析】①利用不等式的加法法则判断；②可以举反例判断；③利用不等式性质判断；④可以利用作差法判断.6.【答案】C【解析】【解答】∵，，∴，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：C【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解的最小值即可.7.【答案】B【解析】【解答】因为，所以，且，则，即，取等号时有：，且；，当且仅当时取得最大值：，故答案为：B.【分析】先利用基本不等式分析取得最大值的条件，然后再去计算的最大值.8.【答案】B【解析】【解答】,当且仅当时取等号故答案为：B【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.9.【答案】D【解析】【解答】依题意，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9.故答案为：D【分析】利用基本不等式求得的最大值.10.【答案】C【解析】【解答】∵，∴．即．当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为：C【分析】利用a和b的关系进行代换，再利用基本不等式即可得出．11.【答案】C【解析】【解答】由得：，，，即不等式的解集为，故答案为：C【分析】由原不等式可化为，直接根据一元二次不等式的解法求解即可.12.【答案】B【解析】【解答】由有所以方程的两个实数根为，因为，所以所以由不等式得，或故答案为：B【分析】利用因式分解求出对应方程的实数根，再比较两个实数根的大小，从而得出不等式的解集.二、填空题13.【答案】＜【解析】【解答】解：即故答案为：＜【分析】利用作差法比较大小；14.【答案】【解析】【解答】将式子变形为，即，因为，，所以（当且仅当时，等号成立），所以有，即，故，所以，则的最小值是.故答案为：.【分析】由题易得，然后由基本不等式可得，最后可求得的最小值.15.【答案】16【解析】【解答】依题意，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故答案为：16【分析】利用基本不等式求得的最小值.16.【答案】{x｜2＜x＜3}【解析】【解答】由，得，从而解得，所以，不等式的解集为，故答案为：.【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式的解集.三、解答题17.【答案】（1）解：因为，所以，因为，所以，所以当且仅当时，等号成立，所以当时，（2）解：存在，使得成立，等价于当时，由（1）知，所以，，所以．因为，所以，解得，所以实数a的取值范围为【解析】【分析】（1）变形为后，根据基本不等式可得结果；（2）转化为，等价于，等价于,等价于.18.【答案】（1）解：当时，代入可得，解不等式可得，所以不等式的解集为（2）解：关于的不等式．若，当时，代入不等式可得，解得；当时，化简不等式可得，由解不等式可得，当时，化简不等式可得，解不等式可得或，综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或【解析】【分析】（1）将代入，结合一元二次不等式解法即可求解.（2）根据不等式，对a分类讨论，即可由零点大小确定不等式的解集.19.【答案】（1）解：当时，恒成立；当时，要使对任意实数x，恒成立，需满足，解得，故实数a的取值范围为（2）解：由不等式得，即.方程的两根是，.①当时，，不等式的解为或；②当时，不等式的解为；③当时，不等式的解为；④当时，，不等式无解；⑤当时，，不等式的解为综上：①当时，不等式的解为或；②当时，不等式的解为；③当时，不等式的解为；④当时，，不等式解集为；⑤当时，不等式的解为【解析】【分析】（1）对a讨论，时不合题意；合题意；，利用判别式小于0解不等式，求交集即可得到所求范围；（2）先将不等式化为，再对参数a的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.20.【答案】（1）解：当时，不等式为，即，该不等式解集为.（2）解：由已知得，若时，恒成立，，即，的取值范围为.【解析】【分析】（1）当是，解一元二次不等式求得不等式的解集.（2）利用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.21.【答案】（1）解：原不等式可化为且，由标根法（或穿针引线法）可得不等式的解集为（2）解：原不等式等价于.当时，；当时，，解集为空集；当时，.综上所述，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为【解析】【分析】（1）分式不等式用穿根法求解即可.（2）含参数的二次不等式求解，先求解对应方程的实数根，再结合二次函数图象对实数根的大小分类讨论解决即可.22.【答案】（1）解：，整理为，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是;（2）解：由条件可知，即，即，，，，即，解得：，所以a+b的范围是.【解析】【分析】（1）不等式转化为，然后分类讨论解不等式；（2）由条件转化为，再转化为关于a+b的一元二次不等式.23.【答案】解：（Ⅰ）滑行的距离为，汽车总质量为M，时速为，比例常数为k，根据题意可得，将，代入可得，所以，当时，代入上式，可得．（Ⅱ）卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．行驶的路程为，由，可得，解得，因为，所以．所以最大限制时速应是：【解析】【分析】（Ⅰ）设从刹车到停车滑行的距离为，时速为，卡车总质量为M，比例常数为k，然后根据条件求出k的值，得到函数的解析式．然后代入的速度行驶，汽车从刹车到停车所滑行的距离．（Ⅱ）再根据滑行距离到障碍物距离建立不等关系，解之即可求出所求最大限制时速．24.【答案】（1）解：当时，，，故解集为；（2）解：由题知，解得.【解析】【分析】（1）将代入，解二次不等式的解集即可；（2）令即可；。
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不等式单元测试题一、单选题（共12题；共24分）1.（2020高二下·北京期中）若，，则（）A. B. C. D.2.（2020高一下·邯郸期中）已知，且.下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.3.（2020高一下·成都期中）若，则一定有（）A. B. C. D.4.（2020高一下·嘉兴期中）设、、，，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.5.（2020高一下·吉林期中）下列命题中：① ，；② ，；③ ；④ ；正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.（2020高一下·哈尔滨期末）已知，，则的最小值为（）A. 8B. 6C.D.7.（2020高一下·太和期末）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. 1B. 4C.D.8.（2020高一下·丽水期末）已知实数满足，且，则的最小值为（）A. B. C. D.9.（2020高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 910.（2020高一下·南昌期末）已知a，，且满足，则的最小值为（）A. B. C. D.11.（2020高一下·丽水期末）不等式的解集是（）A. 或B. 或C.D.12.（2020高一下·吉林期末）若a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是（）A. x＞5a或x＜－aB. x＞－a或x＜5aC. 5a＜x＜－aD. －a＜x＜5a二、填空题（共4题；共4分）13.（2020高二下·西安期中）比较大小：________ ．（用，或填空）14.（2020高一下·温州期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是________.15.（2020高一下·宜宾期末）若正数满足，则的最小值为________.16.（2020高一下·哈尔滨期末）不等式的解集为________.三、解答题（共8题；共75分）17.（2020高一下·六安期末）已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．18.（2020高一下·大庆期末）已知关于x的不等式．（1）当时，解上述不等式．（2）当时，解上述关于x的不等式19.（2020高一下·太和期末）已知函数.（1）若对任意实数，恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式.20.（2020高一下·宜宾期末）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.21.（2020高一下·萍乡期末）（1）解不等式；（2）解关于x的不等式：.22.（2020高一下·成都期末）已知定义在上的函数，其中为常数．（1）求解关于的不等式的解集；（2）若是与的等差中项，求a+b的取值范围．23.（2020高一下·南昌期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（）与速度（）的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从刹车到停车走了．（Ⅰ）当汽车不装货物以的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？．（Ⅱ）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．参考数据：．）24.（2020高一下·重庆期末）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】，又，，所以，所以.故答案为：C【分析】采用作差法比较即可.2.【答案】B【解析】【解答】，且，，.故答案为：B.【分析】由和，得，根据不等式的性质可得选项.3.【答案】C【解析】【解答】由题可得,则,因为, 则, ,则有,所以,即故答案为：C【分析】由题,可得,且,即,整理后即可得到作出判断.4.【答案】C【解析】【解答】对于A，由，则，A不符合题意；对于B，若，则，B不符合题意；对于C，，因为，，所以，即，C符合题意；对于D，，因为，，所以，所以，即，D不符合题意；故答案为：C【分析】利用不等式的性质以及作差法比较大小逐一判断即可.5.【答案】C【解析】【解答】① ，由不等式的加法得，所以该命题正确；② ，是错误的，如：，满足已知，但是不满足，所以该命题错误；③ ，所以，所以该命题正确；④ 所以，所以该命题正确.故答案为：C【分析】①利用不等式的加法法则判断；②可以举反例判断；③利用不等式性质判断；④可以利用作差法判断.6.【答案】C【解析】【解答】∵，，∴，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：C【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解的最小值即可.7.【答案】B【解析】【解答】因为，所以，且，则，即，取等号时有：，且；，当且仅当时取得最大值：，故答案为：B.【分析】先利用基本不等式分析取得最大值的条件，然后再去计算的最大值.8.【答案】B【解析】【解答】,当且仅当时取等号故答案为：B【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.9.【答案】D【解析】【解答】依题意，当且仅当时等号成立，所以的最大值为9.故答案为：D【分析】利用基本不等式求得的最大值.10.【答案】C【解析】【解答】∵，∴．即．当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为：C【分析】利用a和b的关系进行代换，再利用基本不等式即可得出．11.【答案】C【解析】【解答】由得：，，，即不等式的解集为，故答案为：C【分析】由原不等式可化为，直接根据一元二次不等式的解法求解即可.12.【答案】B【解析】【解答】由有所以方程的两个实数根为，因为，所以所以由不等式得，或故答案为：B【分析】利用因式分解求出对应方程的实数根，再比较两个实数根的大小，从而得出不等式的解集.二、填空题13.【答案】＜【解析】【解答】解：即故答案为：＜【分析】利用作差法比较大小；14.【答案】【解析】【解答】将式子变形为，即，因为，，所以（当且仅当时，等号成立），所以有，即，故，所以，则的最小值是.故答案为：.【分析】由题易得，然后由基本不等式可得，最后可求得的最小值.15.【答案】16【解析】【解答】依题意，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故答案为：16【分析】利用基本不等式求得的最小值.16.【答案】{x｜2＜x＜3}【解析】【解答】由，得，从而解得，所以，不等式的解集为，故答案为：.【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式的解集.三、解答题17.【答案】（1）解：因为，所以，因为，所以，所以当且仅当时，等号成立，所以当时，（2）解：存在，使得成立，等价于当时，由（1）知，所以，，所以．因为，所以，解得，所以实数a的取值范围为【解析】【分析】（1）变形为后，根据基本不等式可得结果；（2）转化为，等价于，等价于,等价于.18.【答案】（1）解：当时，代入可得，解不等式可得，所以不等式的解集为（2）解：关于的不等式．若，当时，代入不等式可得，解得；当时，化简不等式可得，由解不等式可得，当时，化简不等式可得，解不等式可得或，综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或【解析】【分析】（1）将代入，结合一元二次不等式解法即可求解.（2）根据不等式，对a分类讨论，即可由零点大小确定不等式的解集.19.【答案】（1）解：当时，恒成立；当时，要使对任意实数x，恒成立，需满足，解得，故实数a的取值范围为（2）解：由不等式得，即.方程的两根是，.①当时，，不等式的解为或；②当时，不等式的解为；③当时，不等式的解为；④当时，，不等式无解；⑤当时，，不等式的解为综上：①当时，不等式的解为或；②当时，不等式的解为；③当时，不等式的解为；④当时，，不等式解集为；⑤当时，不等式的解为【解析】【分析】（1）对a讨论，时不合题意；合题意；，利用判别式小于0解不等式，求交集即可得到所求范围；（2）先将不等式化为，再对参数a的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.20.【答案】（1）解：当时，不等式为，即，该不等式解集为.（2）解：由已知得，若时，恒成立，，即，的取值范围为.【解析】【分析】（1）当是，解一元二次不等式求得不等式的解集.（2）利用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.21.【答案】（1）解：原不等式可化为且，由标根法（或穿针引线法）可得不等式的解集为（2）解：原不等式等价于.当时，；当时，，解集为空集；当时，.综上所述，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为【解析】【分析】（1）分式不等式用穿根法求解即可.（2）含参数的二次不等式求解，先求解对应方程的实数根，再结合二次函数图象对实数根的大小分类讨论解决即可.22.【答案】（1）解：，整理为，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是;（2）解：由条件可知，即，即，，，，即，解得：，所以a+b的范围是.【解析】【分析】（1）不等式转化为，然后分类讨论解不等式；（2）由条件转化为，再转化为关于a+b的一元二次不等式.23.【答案】解：（Ⅰ）滑行的距离为，汽车总质量为M，时速为，比例常数为k，根据题意可得，将，代入可得，所以，当时，代入上式，可得．（Ⅱ）卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．行驶的路程为，由，可得，解得，因为，所以．所以最大限制时速应是：【解析】【分析】（Ⅰ）设从刹车到停车滑行的距离为，时速为，卡车总质量为M，比例常数为k，然后根据条件求出k的值，得到函数的解析式．然后代入的速度行驶，汽车从刹车到停车所滑行的距离．（Ⅱ）再根据滑行距离到障碍物距离建立不等关系，解之即可求出所求最大限制时速．24.【答案】（1）解：当时，，，故解集为；（2）解：由题知，解得.【解析】【分析】（1）将代入，解二次不等式的解集即可；（2）令即可；。