中职数学基础模块下册 -计数原理- ppt课件
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高教版中职数学(基础模块)下册6.2《等差数列》ppt课件4
(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n ＋1)＋p＋q.又(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数，
∴数列{an＋1－an}是等差数列．
类型二 等差数列基本量的计算
例 2.在等差数列{an}中， (1)已知 a15＝33，a45＝153，求 an； (2)已知 a6＝10，S5＝5，求 Sn； (3)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d＞0，
(3)设该等差数列的项数为 n，则 a1＋a2＋a3＋a4＝36，an ＋an－1＋an－2＋an－3＝124，
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝160，即 a1＋an＝40. ∴Sn＝n（a12＋an）＝20n＝780，解得 n＝39.故填 39.
(4)解法一：令 Sn＝An2＋Bn，则
(5)等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n，…为等差数列，公差为 n2d.
(6)若等差数列的项数为 2n，则有
S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1.
(2015·重庆)在等差数列 {an} 中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6
设数列{an}的前 n 项 和为 Sn，若对于所有的正整数 n， 都有 Sn＝n（a1＋ 2 an），证明{an} 是等差数列．
证明：当 n≥2 时，由题设知 an＝Sn－Sn－1＝n（a12＋an）－（n－1）（2a1＋an－1） ＝12[a1＋nan－(n－1)an－1]， 同理 an＋1＝12[a1＋(n＋1)an＋1－nan]．从而 an＋1－an＝12[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1]. 等差数列的定义
∴数列{an＋1－an}是等差数列．
类型二 等差数列基本量的计算
例 2.在等差数列{an}中， (1)已知 a15＝33，a45＝153，求 an； (2)已知 a6＝10，S5＝5，求 Sn； (3)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d＞0，
(3)设该等差数列的项数为 n，则 a1＋a2＋a3＋a4＝36，an ＋an－1＋an－2＋an－3＝124，
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝160，即 a1＋an＝40. ∴Sn＝n（a12＋an）＝20n＝780，解得 n＝39.故填 39.
(4)解法一：令 Sn＝An2＋Bn，则
(5)等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n，…为等差数列，公差为 n2d.
(6)若等差数列的项数为 2n，则有
S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1.
(2015·重庆)在等差数列 {an} 中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6
设数列{an}的前 n 项 和为 Sn，若对于所有的正整数 n， 都有 Sn＝n（a1＋ 2 an），证明{an} 是等差数列．
证明：当 n≥2 时，由题设知 an＝Sn－Sn－1＝n（a12＋an）－（n－1）（2a1＋an－1） ＝12[a1＋nan－(n－1)an－1]， 同理 an＋1＝12[a1＋(n＋1)an＋1－nan]．从而 an＋1－an＝12[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1]. 等差数列的定义
中职数学人教版基础模块下册第六章数列《数列的概念》课件
在数列中的每一个数称为这个数列的项.
各项依次称为这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项．
比如，2009是数列①的第1项，2093是数列①的第8项．
新知探究
思考：
(1)集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是同一个集合吗？
答案：是
(2)数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数列吗？
2009， 2021， 2033， 2045， 2057， 2069， 2081， 2093
有穷数列
有穷数列
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360
1
1
1
1， ， ， ， …
2
3
4
无穷数列
1， 1.4， 1.41， 1.414， …
无穷数列
−1， 1， − 1， 1， …
无穷数列
1 1，2 (3 )， 4，5， ( 6) ， 7 ；
2 2，4，( 6)，8，10，(
×
有关，存在什么关系？
)，14；
12
数列（5）的44
)，196；
4 − 1，1， − 1，( 1 )， − 1，(
数列（5）与前边哪些数列
×
1)， − 1；
4 1，
， 1， − 1， ( )；
， 9， − 16，
， − 36，( )．
新知探究
我们还可举出一些数列的例子．
为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，
上图中是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对
应的付款总金额数分别为
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360；
（4）与数列（3）对应项
各项依次称为这个数列的第1项（或首项）、第2项……第n项．
比如，2009是数列①的第1项，2093是数列①的第8项．
新知探究
思考：
(1)集合{1，2，3，4}与集合{4，3，2，1}是同一个集合吗？
答案：是
(2)数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是同一个数列吗？
2009， 2021， 2033， 2045， 2057， 2069， 2081， 2093
有穷数列
有穷数列
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360
1
1
1
1， ， ， ， …
2
3
4
无穷数列
1， 1.4， 1.41， 1.414， …
无穷数列
−1， 1， − 1， 1， …
无穷数列
1 1，2 (3 )， 4，5， ( 6) ， 7 ；
2 2，4，( 6)，8，10，(
×
有关，存在什么关系？
)，14；
12
数列（5）的44
)，196；
4 − 1，1， − 1，( 1 )， − 1，(
数列（5）与前边哪些数列
×
1)， − 1；
4 1，
， 1， − 1， ( )；
， 9， − 16，
， − 36，( )．
新知探究
我们还可举出一些数列的例子．
为了方便资金暂时不足的人购物，有些购物网站推出了分期付款服务，
上图中是标价为3 000元的电脑可以享受的分期服务，不同的付款方式所对
应的付款总金额数分别为
3 000， 3 045， 3 090， 3 180， 3 360；
（4）与数列（3）对应项
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
高教版中职数学(基础模块)下册9.5《柱、锥、球及其简单组合体》ppt课件1
解 邮筒顶部半球面的面积为
S半球面
1 4 2
0.565
m2
邮筒下部圆柱的侧面积为
S侧面 2 1.855 m2
所以邮筒的表面积约为
0.565+1.885=2.45(m2)．
9．5 柱、锥、球及简单组合体
运用知识 强化练习
1.如图所示，混凝土桥桩是由正四棱柱与正四棱锥组合而成的几何体， 已知正四棱柱的底面边长为5 m，高为10 m，正四棱锥的高为4 m．求这根桥 桩约需多少混凝土（精确到0.01 t）？（混凝土的密度为2.25 t／m3）
圆锥用表示轴的字母表示．如图所示的 圆锥表示为圆锥SO．
9．5 柱、锥、球及简单组合体
动脑思考 探索新知
观察圆锥，可以得到圆锥的下列性质(证明略)：
(1) 平行于底面的截面是圆； (2) 顶点与底面圆周上任意一点的距离都相等，且等于母线的长度； (3) 轴截面为等腰三角形，其底边上的高等于圆锥的高．
因为 2πR 80
所以 R 40 π
S球 4 R2 4 (40)2 6400 2.037 103 cm2
V球
4 3
R3 4 3
( 40 )3
256000 32
8.646 103
cm3
即这个球的表面积约为 2.037 103 cm2 ，体积约为 8.646103 cm3
9．5 柱、锥、球及简单组合体
A
RO
C B
9．5 柱、锥、球及简单组合体
动脑思考 探索新知
如图所示，用平面去截球，观察截面的图形． 由实验可以得到球的如下性质（证明略）： 球的截面是圆面，并且球心与截面圆心的连线垂直于截面. 设球心到截面的距离为d，球的半径为R，截面上圆的半径为r（如图），则
中职数学基础模块全一册教学课件
例2 用符号“∈”或“∉”填空： （1） 5_____N， －2_____N， 3.7_____N； （2） 0_____Z， 2.3_____Z， －5_____Z； （3） π_____Q， －1.6_____Q， 9.21_____Q； （4） 3 _____R， －2_____R， 4.7_____R．
特别地，不含任何元素的集合称为空集，记作 ．例如， 方程 x2 1 0 在实数范围内的解集就是空集．
例1 下列对象能否组成一个集合？ （1）所有短发的女生； （2）小于10的正奇数； （3）方程x2－9=0的所有解； （4）不等式x－7＞0的所有解．
解 （1）由于短发没有具体的标准，表述的对象是不确 定的，所以不能构成一个集合．
当集合为元素较多的有限集或为无限集时，若要用列举法 表示，可以在大括号内只写出几个元素，其他元素用省略号表 示，但写出的元素必须让人明白省略号表示了哪些元素．
例如，由小于50的所有正整数组成的有限集可以用列举法 表示为
1，2，3，…，49 ．
2．描述法
有的集合无法用列举法表示，例如由大于2的实数组成的集 合，这个集合有无穷多个元素，显然无法一一列举出来．这种 情况下，我们可以抓住这一集合的元素所具有的特征，即所有 元素都是实数，并且大于2，由此可将这个集合表示为
1.1.1 集合与元素
集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集．集合里的 每一个对象称为集合的元素．
集合通常用大写英文字母A，B，C，…来表示，集合的元 素通常用小写英文字母a，b，c，…来表示．
自然数集
正整数集 常
用 数
整数集
集
有理数集
实数集
所有自然数组成的集合称为自然数集，记作N； 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 N ； 所有整数组成的集合称为整数集，记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
数学(基础模块)下册PPT优秀课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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6.3.2 等比数列的通项公式
算一算 想一想
在等比数列{an}中，a1=5，q=3，求a2、 a3、a4、a5.
你能很快地写出这个数列的第9项吗？
2
等比数列通项公式推理过程
设等比数列{an}的公比为q，则 a2=a1•q a3=a2•q=(a1•q)•q=a1•q2 a4=a3•q=(a1•q2)•q=a1•q3 a5=a4•q=(a1.•q3)•q=a1•q4
6
课后小结
1、等比数列的通项公式 2、等比数列通项公式中的四个量，an、a1、n、 q 3、两式相除求公比q 4、将构成等比数列的三个数设为a/q,a,aq,是 求解等比数列问题经常使用的方法。
7
作业布置
练习6.3.2 第1题、第2题。
8
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. .
an=a1•qn-1
a1=a1•q0
3
例题2
求等比数列 -1, 1/2, -1/4, 1/8, ...的第十项.
4
例题3
在等比数列{an}中，a5=-1，a8=-1/8,求a13 .
5
例题4
小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们 三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列。 已知他们三人一共钓了14条鱼 ，而他们每 个人钓鱼数量的积为64，并且知道小强钓 的鱼最多，小明钓的鱼最少，问：他们三 人各钓了多少条鱼？
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6.3.2 等比数列的通项公式
算一算 想一想
在等比数列{an}中，a1=5，q=3，求a2、 a3、a4、a5.
你能很快地写出这个数列的第9项吗？
2
等比数列通项公式推理过程
设等比数列{an}的公比为q，则 a2=a1•q a3=a2•q=(a1•q)•q=a1•q2 a4=a3•q=(a1•q2)•q=a1•q3 a5=a4•q=(a1.•q3)•q=a1•q4
6
课后小结
1、等比数列的通项公式 2、等比数列通项公式中的四个量，an、a1、n、 q 3、两式相除求公比q 4、将构成等比数列的三个数设为a/q,a,aq,是 求解等比数列问题经常使用的方法。
7
作业布置
练习6.3.2 第1题、第2题。
8
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an=a1•qn-1
a1=a1•q0
3
例题2
求等比数列 -1, 1/2, -1/4, 1/8, ...的第十项.
4
例题3
在等比数列{an}中，a5=-1，a8=-1/8,求a13 .
5
例题4
小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们 三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列。 已知他们三人一共钓了14条鱼 ，而他们每 个人钓鱼数量的积为64，并且知道小强钓 的鱼最多，小明钓的鱼最少，问：他们三 人各钓了多少条鱼？
高教版(2021)中职数学基础模块下册《直线的点斜式方程和斜截式方程》PPT课件
(B)直线经过点(2,-1),斜率为-1
(C)直线经过点(-1,-2),斜率为-1
(D)直线经过点(-2,-1),斜率为1
)
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
例2 已知直线过点A（3，-5）和B（-2，5），求直线的方程．
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
二. 直线的斜截式方程
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b称为直
(1)经过点A(1,3),斜率为4；
(2)经过点B(2,-5)、D(3,0);
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
练习
4.分别求满足下列各条件的直线的斜截式方程：
(1)斜率是-2,在y轴上的截距是4；
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
练习
5.已知直线的倾斜角是
,在y轴上的截距为4,分别写
出直线的点斜式和斜截式方程.
再见
设点（，）是直线 上不同于0 的任意一点．
根据经过两点的直线斜率公式，得
y y0
k
x x0
可化为 y y0 k x x0
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
一. 直线的点斜式方程
过点0 (0 , 0 )，斜率为的直线 的方程为
y y0 k ( x x0 )
6.2.2直线的点斜式方程
和斜截式方程
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
回顾复习：
1.直线的斜率公式
（1） =tan ( ≠ 90° )
（2） =
2−1
2−1
(1 ≠ 2 )
注意：不是所有的直线都有斜率
斜率不存在的直线:与轴垂直的直线.
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
(C)直线经过点(-1,-2),斜率为-1
(D)直线经过点(-2,-1),斜率为1
)
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
例2 已知直线过点A（3，-5）和B（-2，5），求直线的方程．
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
二. 直线的斜截式方程
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b称为直
(1)经过点A(1,3),斜率为4；
(2)经过点B(2,-5)、D(3,0);
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
练习
4.分别求满足下列各条件的直线的斜截式方程：
(1)斜率是-2,在y轴上的截距是4；
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
练习
5.已知直线的倾斜角是
,在y轴上的截距为4,分别写
出直线的点斜式和斜截式方程.
再见
设点（，）是直线 上不同于0 的任意一点．
根据经过两点的直线斜率公式，得
y y0
k
x x0
可化为 y y0 k x x0
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
一. 直线的点斜式方程
过点0 (0 , 0 )，斜率为的直线 的方程为
y y0 k ( x x0 )
6.2.2直线的点斜式方程
和斜截式方程
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
回顾复习：
1.直线的斜率公式
（1） =tan ( ≠ 90° )
（2） =
2−1
2−1
(1 ≠ 2 )
注意：不是所有的直线都有斜率
斜率不存在的直线:与轴垂直的直线.
6.2.2 直线的点斜式方程和斜截式方程
中职数学基础模块下册等差数列说课稿PPT课件
第19页/共24页
（六）课后作业 运用巩固
必做题：课本p11习题6-2第3，5题。 选做题：已知等差数列{an}的首相a1=-2，第10 项是第一个大于1的项。求公差d的取值范围。
教学设想：通过分层作业，提高同学们的求知
欲和满足不同层次的需求
第20页/共24页
§5.2等差数列 1、定义 2、数学表达式 3、等差数列的 式
第11页/共24页
①、 ② •引导学生观察：数列
有何规律？引导学生得出“从第二项起，每一
项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列
教学设想：通过粉笔叠加每层粉笔数量 不同的例子引出一个具体的等差数列， 创设问题情境，引起学生的兴趣，启发 他们的求知欲培养学生由特殊到一般的 认知能力
②从函数、方程的观点看通 项公式。
第5页/共24页
二、教法分析
教法分析
教学设计理念
车学刀情分析
教学方法
第6页/共24页
教学 设计 理念
语言 知识 目标
以学生为主体 以教师为主导 以训练为主线
教学的最终目的是使学 生获得知识，提高综合 职业能力，学生是教学 的主体。
第7页/共24页
学情分析
知识层面：对数列的知识有了初步的接触和 认识，对方程、函数，学生掌握的也较理想。 技能层面：对数学公式的运用已具备一定 的技能，解方程（组）较为熟练。
说课课题眉山工程技师学院尹成豪说课程序?一教材分析?二教法分析?三教学流程?四板书设计?五效果预测教材分析教材的地位和作用一教材分析教学目标教学的重点和难点教材分析一教材的地位和作用本节课等差数列是中职数学第六章第二节的内容是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上对数列的知识进一步学习
（六）课后作业 运用巩固
必做题：课本p11习题6-2第3，5题。 选做题：已知等差数列{an}的首相a1=-2，第10 项是第一个大于1的项。求公差d的取值范围。
教学设想：通过分层作业，提高同学们的求知
欲和满足不同层次的需求
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§5.2等差数列 1、定义 2、数学表达式 3、等差数列的 式
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①、 ② •引导学生观察：数列
有何规律？引导学生得出“从第二项起，每一
项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列
教学设想：通过粉笔叠加每层粉笔数量 不同的例子引出一个具体的等差数列， 创设问题情境，引起学生的兴趣，启发 他们的求知欲培养学生由特殊到一般的 认知能力
②从函数、方程的观点看通 项公式。
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二、教法分析
教法分析
教学设计理念
车学刀情分析
教学方法
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教学 设计 理念
语言 知识 目标
以学生为主体 以教师为主导 以训练为主线
教学的最终目的是使学 生获得知识，提高综合 职业能力，学生是教学 的主体。
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学情分析
知识层面：对数列的知识有了初步的接触和 认识，对方程、函数，学生掌握的也较理想。 技能层面：对数学公式的运用已具备一定 的技能，解方程（组）较为熟练。
说课课题眉山工程技师学院尹成豪说课程序?一教材分析?二教法分析?三教学流程?四板书设计?五效果预测教材分析教材的地位和作用一教材分析教学目标教学的重点和难点教材分析一教材的地位和作用本节课等差数列是中职数学第六章第二节的内容是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上对数列的知识进一步学习
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分步计数原理 （乘法原理） 一般地，若完成一件事，需要 分成 n 步，做第1步有 m1 种不 同的方法，做第2步有 m2 种不 同的方法，…，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成 这件事共有： N m1 m2 mn 种不同的方法.
区别
做一件事情可以分为几类办法，每一类都可以独立完成这 件事情 做一件事情要分为几步，每一步都完成了才能完成这件 事情
×
10 ×
10×
10×
10 ×
10
× 10
= 9×10６
例2:体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每位数若是 0~9这十个数字中任一个，则产生中奖号码所有可能的 种数是多少？
变２： 0~9这十个数字可组成多少数字不重复的 七位数？
百万 十万 万 千 百 十 个
９
×
９
× ８×
７× ６ × ５
×
４=544320
练习
1题 书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放
有3本不同的数学书，第3层放有2本不同的英语 书；
（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？
４＋３＋２＝９
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不 同的取法? ４×３×２＝２４ (3)从书架上取两本不同学科的书,有多少种不同的取 法 4×3+4×2+3×2=26
例题1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈 会,有多少种不同的选法？
分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖，需分2类： 第一类，选一名男三好学生，有 5 种方法； 第二类，选一名女三好学生，有 4 种方法； 所以，根据分类计数原理，共有N =5 + 4 = 9种； (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈 会, 需分2步完成, 第一步，选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 根据分步计数原理, 得到不同选法种数共 有 N = 5 × 4 = 20 种。
响重庆到广州的火车全部停运．于是他决定先乘火车到柳 州，然后第二天再乘汽车到广州．一天中，火车有３班， 汽车有２班，问小李一共有多少种走法？ 火车1 柳州 重庆 火车2 火车 3 汽车2 汽车1
广州
分析: 第一步, 由重庆去柳州有3种方法, 第二步, 由柳州去广州有2种方法；
所以 从重庆经柳州到广州共有3 ×2 = 6 种不同的方法。
种不同的方法．
注意：每类方法都能独立完成这件事,不重复,不遗漏
问题2: 在重庆工 作的小李欲回广州 老家过年，受雪灾 影响重庆到广州的 火车全部停运．于 是他决定先乘火车 到柳州，然后第二 天再乘汽车到广州 ．一天中，火车有 ３班，汽车有２班 ，问小李一共有多 少种走法？
问题2: 在重庆读书的小李欲回老家广州过年，受雪灾影
小结
数学 用于生活
分 类 讨 论
归 纳 推 理
课后作业 关于涂色问题的探究
课后作业 问题背景：
关于涂色问题的探究
数学史上著名的“四色问题”．1852年，弗南西斯· 格思里来 到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象 ：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边 界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上严格 证明呢？ 这个猜想引起了 很多数学家的极大兴趣，但在这之后的100多 年期间，他们都没有能严格的证明其正确性，终于在1976年 ，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同 的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于 完成了四色问题的证明。
3+2&#，在每 一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计 数呢？
分类计数原理
（又叫：加法原理）
一般地,若完成一件事，有 n 类办法，在第 1类办法中有 m1 种不同的方法，在第2类办法中 有m2 种不同的方法，…，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 mn
例2：体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每
位数若是0~9这十个数字中任一个，则每次摇 奖产生的号码有多少种可能？
第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位 第七位
10
× 10
×10 ×
10 × 10
×
10
× 10
=10７
变１：这十个数字一共可以组成多少个７位数？
百万 十万 万 千 百 十 个
9
例3
第29届奥运会在中国北京举行，在乒乓球比赛中，中国队 的马琳、王皓、王励勤包揽了男子单打的前三名。有４ 位女粉丝前去献花，请问可能出现多少种献花情况。 3×3×3×3 =34 = 81
类似问题练习：
1. 有三封信需要寄出，现在有４个邮筒，请问有多 少种投递方法？ 43 2. 学校创建语文、数学、英语3个兴趣小组,有4位同 学想要加入,但每人只能参加一科,请问有多少种报名 方法? 34
3. 某宾馆来了3个人投宿,此时宾馆还有4个单 间,请问有多少种安排方法? 4×3×2=24
分类计数原理与
分步计数原理 数学 源于生活
都是有关做一件事情的 不同方法的种数的问题。 分类计数原理：针 对的是“分类”问 题，其各种方法互 相独立，用其中任 何一种方法都可以 做完这件事。 分步计数原理：针对 的是“分步”问题， 各个步骤的方法相互 依存，只有各个步骤 都完成了才算做完这 件事。
[ 延伸]：如果小李回家的时候需要转一次车后再
乘飞机（如图），则共有多少种不同的走法？
火车1 汽车1 A地 汽车2 飞机1
重庆
火车2 火车 3
B地
广州 飞机2
共有
：3×2×2=12种
[探究] ：如果完成一件事情需要 n 步，每一步都有若
干种不同方法，那么应当如何计数呢？
分步计数原 （又叫：乘法原理） 理
分类计数原理与分步计数原理
问题1: 重庆的
王先生想到西昌 现场观看嫦娥一 号卫星的发射， 从重庆到西昌可 以乘坐火车或者 汽车，一天中， 火车有３班，汽 车有２班，问从 重庆到西昌共有 多少种不同的走 法?
问题1: 重庆的王先生想到西昌现场观看嫦娥
一号卫星的发射，从重庆到西昌可以乘坐火 车或者汽车，一天中，火车有３班，汽车有 ２班，问从重庆到西昌共有多少种不同的走 法．
有条件的同学上网查阅更多关于四色问题 的介绍
课后作业
关于涂色问题的探究
如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不 同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域 必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 探究： 如果有４种颜色呢？５种颜色呢？
又有多少种不同的涂色方法呢？
一般地，若完成一件事，需要分成 n 步， 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 m2 种不 同的方法，…，做第 n 步有 mn 种不同的方法， 那么完成这件事共有： N m1 m2 mn 种不同的方法.
注意：只有每步都完成，事情才能完成
分类计数原理(加法原理） 一般地,若完成一件事，有 n 类办 法，在第1类办法中有 m1 种不 同的方法，在第2类办法中有 m2 种不同的方法，…，在第 n 类办 法中有 mn 种不同的方法，那么 完成这件事共有： N m1 m2 mn 种不同的方法．
分析: 从重庆到西昌有2类方法, Ⅰ.乘火车，3种方法; Ⅱ.乘汽车，2种方法;
重庆 火车1 火车2 火车 3 汽车1 汽车2 西昌
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有：
[探究]: