港澳台学生联考：数学必考知识点：排列组合概率二项式式(含答案)
35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
排列组合、二项式定理(附答案)
排列组合、二项式定理(附答案)第六章：排列组合与二项式定理一、考纲要求：1.掌握加法原理和乘法原理，能够用这两个原理解决简单的问题。
2.理解排列和组合的意义，掌握排列数和组合数的计算公式以及组合数的性质，并能够用它们解决简单的问题。
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能够用它们计算和论证简单的问题。
二、知识结构：加法原理和乘法原理排列和组合排列数和组合数的公式和应用二项式定理和二项式系数的性质和应用三、知识点、能力点提示：1.加法原理和乘法原理是排列组合的基础，掌握这两个原理为处理排列和组合中的问题提供了理论根据。
2.排列和排列数公式是中学代数中的独特内容，研究对象和研究方法与前面掌握的知识不同，解题方法比较灵活。
历届高考主要考查排列的应用题，通常是选择题或填空题。
3.组合和组合数公式是历届高考中常出现的题型，主要考查排列组合的应用题，通常是选择题或填空题。
组合数有两个性质：对称性和递推关系。
4.二项式定理和二项式系数的性质是高中数学中的重要内容，主要考查计算和论证方面的问题，通常是选择题或证明题。
3a4的值为(。
)A.4B.6C.8D.10解：根据二项式定理，展开(2x+3)的四次方可得：2x+3)4= C412x)4+ C422x)3(3)+ C432x)2(3)2+ C442x)(3)3+ C453)416x4+96x3+216x2+216x+81将(2x+3)表示成a+a1x+a2x+a3x+a4x的形式，可得：a+a1x+a2x+a3x+a4x= C4a4+ C41a3x+ C42a2x2+ C43ax3+ C44x416a4+96a3x+216a2x2+216ax3+81x4 由此可得：a+a2a3a4C4a4+ C42a2+ C43a+ C4416a4+216a2+81又因为(2x+3)的系数为1，所以a=2，代入上式可得：a+a2a3a416(2)4+216(2)2+81=8故选C.例21：有两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是多少？解：对于8个人的任意一个排列均可“按先前排从左到右再后排从左到右”的次序入座，所以应有$P_8$种不同的入座法。
港澳台学生联考：数学必考知识点：排列、组合与概率(含答案)
个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是 13/63
.（以数值作答）
三、解答题： 北京博飞华侨港澳台学校
3
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33、 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛.
(I) 求所选 3 人都是男生的概率；
(II)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率；
的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为 B
（A）120
（B）240
（C）360
（D）720
7、从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个
城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案有 B
A．300 种
B．240 种
（B） 1 3
（C） 1 6
（D）6
二、填空题：
22、圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．2n(n-1)
23、已知甲、乙两组各有 8 人，现从每组抽取 4 人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组
成共有 4900
种可能(用数字作答).
24、乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7
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排列、组合与概率高考题答案
一、选择题：
1、五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建 1 项，其中甲工程队不能承建 1 号子项目，则
不同的承建方案共有 B
（A） C41C44 种 （B） C41 A44 种 （C ） C44 种 （D） A44 种
2、从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女
高考数学知识点专题精讲与知识点突破：排列、组合、二项式、概率(含答案解析)
高考数学知识点专题精讲与知识点突破排列、组合、二项式、概率一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。
分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。
区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。
二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。
（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：n ； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。
第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。
专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
港澳台侨联招考试：数学必考知识点：概率大题(含答案)
有（ ）
（A）70 种
（B）80 种
（C）100 种
（D）140 种
5．从 4 位男教师和 3 位女教师中选出 3 位教师，派往郊区 3 所学校支教，每校 1 人，要求这 3 位教师中男、女教
师都要有，则不同的选派方案有
A．210 种
B．186 种 C．180 种
D．90 种
6．若 A，B，C，D，E，F 六个不同元素排成一列，要求 A 不排在两端，且 B、C 相邻，则不同的排法共有
A．2，6
B．5，3
C．3，5
D．6，2
17．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数 a ， b 组成复数 a bi ，其中虚数有（ ）
A．30 个
B．42 个
C．36 个 D．35 个
18．若从 1,2,3， ，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
种数位（ ）
A．420
B．840
C．720
D．640
16．某学习小组男女生共 8 人，现从男生中选 2 人，女生中选 1 人，分别去做 3 种不同的工作，共有 90 种不同的
选法，则男女生人数为（ ）
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（Ⅰ）如果出现 A 症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率； （Ⅱ）如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次 A 症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期．设
药物试验持续的用药周期数为 ，求 的期望．
41．甲、乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为 4 、 3 、 7 ，求： 5 5 10
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
高中数学排列组合二项式概率统计知识点归纳及常考题型
“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理：分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++= 21分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21 2．排列：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列数)!(!)1()1(m n n m n n n A mn -=+--=3．组合：从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=；组合数性质：m n n m n C C -=，mn m n m n C C C 11+-=+4．排列组合常用方法：分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英语书不能相邻，则有多少中排列方式？特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？（二）二项式定理1．二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，其中rn C 为第1+r 项的二项式系数，=-nb a )(2．通项公式：rr n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r =3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于2n对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n项，最大值为2nn C当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第121++n 项，最大值为2121+-=n n n n C C （3）二项式系数之和nn n n n C C C 210=+++奇数项与偶数项的二项式系数之和相等131202-=++=++n n n n n C C C C（三）概率1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．2．事件的和A+B ：表示事件A 和B 至少有一个发生； 事件的积A ×B ：表示事件A 和B 同时发生B A B A B A B A ⋅=++=⋅,3．常见的几种类型的概率计算：（1）等可能事件：可预知的有限个结果，且每个结果出现的可能性相同 计算方法：nm A P =)( （2）互斥事件：在一次试验中，事件A 发生了，则事件B 一定不会发生，事件B 发生了，事件A 不可能发生互斥事件有一个发生的概率计算方法：)()()(B P A P B A P +=+， 特殊的，对立事件：1)()(=+A P A P（3）相互独立事件：在一次试验中，事件A 发生与否对事件B 发生的概率没有影响，同理，事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，若A 与B 是独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都是独立事件 独立事件同时发生的概率的计算方法：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅（4）n 次独立重复事件恰有k 次发生的概率：kn k k n n p p C k P --=)1()(4．关于两个事件常见的概率计算：（若21)(,)(p B P p A P ==）5．注意事项（1）等可能事件的概率中，基本事件数目的计算可以分化得细致一点或粗略一点，这样虽然形式上有所差别，结果往往是一样的，通常有这样一些不同考虑：“整体考虑或局部考虑” 、“元素可辨或不可辨” 、“元素放回或不放回” 、“元素有序或无序”.（2）重视几种概率类型的混合，注意概率加法、乘法的混合运算，适当注意概率类型的突破. （3）准确理解文字（生活）语言，如“至少”、“至多”、“都”、“不都”、“都不”、“恰有几个”、“有几个”，“只有第几次”、“第几次”，“直到第几次”等等，然后等价转化为数学（概率）语言，并注意表述规范.（四）统计1．离散型随机变量的定义：若随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量叫做随机变量。
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（A）72 个
7. 某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有 6 人，会演舞蹈节目的有 5 人，当中同时能歌能舞的只 有 2 人，现在从中选派 4 人参加校际演出队，要求至少有 2 人能演舞蹈节目，那么不同选派方法共有 （ C ） （B）126 种
1 3 1 3
（A）210 种
5 9 10 27 1 4 6 91 5 18
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排列组合概率二项式测试
一、选择题 1. 设集合 A 1, 2,3, 4 ，若 A 至少有 3 个元素，则这样的 A 共有（ C （A）2 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）7 个 C ） ）
2. 用 0、1、2、3、4 组成没有重复数字的 5 位数，其中的奇数共有（ （A）60 个 （B）48 个 （C）36 个 （D）24 个
① ② ③
9 由①、③得 P ( B ) 1 P (C ) 8
代入②得
27[P(C)]2－51P(C)+22=0.
解得 将
P (C ) P (C ) 2 3
2 11 或 （舍去）. 3 9
分别代入 ③、②
可得
1 1 P ( A) , P ( B ) . 3 4
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（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； （Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率 解：（Ⅰ）设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.
1 P( A B) 4 , 由题设条件有 P( B C ) 1 , 12 2 P( A C ) 9 . 1 P ( A) (1 P ( B )) 4 , 1 即 P ( B ) (1 P (C )) , 12 2 P ( A) P (C ) 9 .
21 64
18. 从 5 对夫妻中，选派 4 人参加社会调查，则 4 人中至少有一对夫妻的概率为_________.
13 21
三、解答题 19. 对某种产品的抽检规则如下：从一批 10 件产品中随机抽取 2 件，逐一检查，如果未发现次品， 则该批产品抽检通过，现有一批 10 件产品， （I）若其中有 1 件次品，求该产品通过抽检的概率
2 5 （II） （III） 的分布列为: 7 42
P
0
5 21
1
45 84
2
3 14
3
1 84
21. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工 的零件不是一等品的概率为
1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 4
1 2 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 12 9
1 7
）
（C）
1 8
（D）
1 16
11. 3 种颜色的卡片各 5 张，从中随机抽取 3 张，则 3 张卡片颜色相同的概率为（ A ） （A） （B）
12 91
（C）
1
8 273
（D）
16 273
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北京博飞--华侨港澳台培训学校 12. 一个口袋中，装有大小、轻重都无差别的 5 个红球和 4 个白球，每一次从袋中摸出两个球，若颜 色不同，则为中奖 . 每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则 3 次摸球恰有 1 次中奖的概率为 （ A （A） ）
1 （II）若该批产品通过抽检的概率为 ，其中次品有几件？ 3
解（I）当抽出的 2 件产品是正品时，该批产品通过抽检，10 件产品中有 9 件是正品，因此通过抽检 的概率是 p
C92 80% 2 C10 m(m 1) 10 9
···········7 分
(II) 设该批产品中有 m 件正品，则通过抽检的概率为
3. 某公司从 8 名职员中选出 4 人派往甲、乙、丙 3 地出差，其中甲地需去 2 人，另外两地各去 1 人. 那么，不同的选派方法共有（ （A）105 种 4. （B）210 种 D ） （C）420 种 （D）840 种
5 名男生和 1 名女生排成一行，若女生不排头也不排尾，则不同排法的种数为（ B ） （B）480 （C）240 （D）120 B ）
5 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 . 6
m 22．已知 x 展开式的二项式系数之和为 256. x
n
（1）求 n ；
（2）若展开式中常数项为
35 ，求 m 的值； 8
（3）若 ( x m) n 展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项，求 m 的取值情况. 【答案】（1） n 8 ；（2）
3
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北京博飞--华侨港澳台培训学校 1 1 2 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 , , . 3 4 3 （Ⅱ）记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则
P ( D ) 1 P ( D ) 1 (1 P ( A))(1 P ( B ))(1 P (C )) 1 2 3 1 5 . 3 4 3 6
80 243 100 243 80 729 100 729
（B）
（C）
（D）
二、填空题 13. 现有两种型号的照相机各 10 部，从中任意抽取 3 部进行质量检测，若要求抽检的照相机兼备两 种型号，则不同的抽取方法共有 900 种.（限用正整数作答.） .
3
a 14. 设 x 是变量， a 为常数，若 ( 3 x )12 的展开式中常数项等于 440，则 a 的值为 x
m 1 2 ； （3） m 只能等于 2.
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4
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p
以题目要求 p
1 ， 3
所以 m(m 1) 30
解方程得 m 5 （舍）， m 6
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2
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1 所以当该批产品通过抽检得概率为 时，其中有 4 件次品. 3
·····15 分
20. 盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球. 规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得 1 分 . 现从盒内任取 3 个球. （Ⅰ）求取出的 3 个球颜色互不相同的概率；（Ⅱ）求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率； （Ⅲ）设 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 的分布列和数学期望. 【答案】（I）
（C）105 种
2 7
（D）95 种 B ）
8. 从 1，2,···，8，9 这九个数中,任取两个不同的数，其乘积为奇数的概率为（ (A) (B) (C) (D)
9. 将 4 个球随机放进 3 个空盒，那么每个盒都有球的概率为 (A) (B)
4 9
（
B
）
(C)
(D)
1 5
10. 8 把不同的将该锁打开的概率为（ A （A） （B）
（A）600
5. 用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，能被 25 整除的共有（ （A）60 个 (B) 42 个 （C）30 个 (D) 24 个
6. 用数字 1,2,3,4,5,6 组成的没有重复数字的 6 位数中，数字 1,2 相邻且 3,4 不相邻的 6 位数共有 （ B ） （B）144 个 （C）216 个 （D）288 个
2
15. 整数 412 被 25 除后的余数是
16
16. 某企业从甲、乙、丙三地招聘一批员工，其中 39 人招自甲地，91 人招自乙地，余者招自丙地。 为了解他们对企业发展的意见和建议，采用分层抽样的方法，从这批员工中抽取 56 人进行调研，如 果被抽取的这些人中来自丙地共有 16 人，那么，从这批新招的员工共有_____182___人. 17. 设有 4 张不同的卡片，若有放回地抽取 4 次，每次随机抽取一张，则恰好有两张卡片未被抽到的 概率为________ _.