例谈高考数学常考、易错、失分点--函数篇

例谈高考数学常考、易错、失分点--函数篇【易错点5】映射与函数例5、已知函数()y f x =()x F ∈，若集合{(,)|(),}A x y y f x x F ==∈，{(,)|1}B x y x ==，则A B 中所含元素的个数有 个【易错点诊断】：此题误认为由于集合A 、B 均表示点集，故直线与一函数图像的交点个数有无穷多个，而忽略了函数的定义。

解析：由于集合A 表示函数()y f x =()x F ∈图像上的点构成的点集，集合B 表示垂直于x 轴的直线1x =，由于函数是一个特殊的映射，其自变量与函数的对应可以是一对一、多对一，但一对多不构成映射，故其元素个数只能是0个或1个。

【迷津指点】函数f : A →B 是特殊的映射，特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！因此理解函数的概念更多的可从映射的角度去理解和把握，据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

例6、若()(),f x g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x -=⎡⎤⎣⎦有实数解，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是（） A 、215x -B 、215x +C 、215x x +-D 、215x x ++【易错点诊断】本题主要考查函数的概念，由于给定的条件较为抽象，学生易思维受阻，找不到解题思路，对抽象函数的解答应回归到函数的基本概念及性质上来，此题应从映射的角度来理解“对应法测”寻求解题思路。

解析：由题意可知，存在0x ，使()000x f g x -=⎡⎤⎣⎦，即()00x f g x =⎡⎤⎣⎦，从函数定义出发，画出映射帮助思考，如图从A 到B 再到C 是由题意可得，如果继续对C 集合中的0x ，应用法则g ，则会得到()0g x ，从B 到C 再到D 的映射为()()000fgg x x g x →→，即存在()0u g x =，使()g f u u =⎡⎤⎣⎦，即函数()g fx ⎡⎤⎣⎦过点(),u u ，即方程()g f x x =⎡⎤⎣⎦有解，易知215x x x ++=在实数集R 上无解故选D 。

【适用性练习】（1）函数{}{}:1,2,31,2,3f →满足()()f f x f x =⎡⎤⎣⎦，则这样的函数个数共有 (A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个解析：答案：D ；从映射角度明确两集合中元素的对应情况，若象有且只有一个，则这样的映射对应函数均符合，这样的函数有3个，若象有且仅有2个，则必需相应的原象对应相同的数值,剩下一个可以任意对应，这样的映射即函数共有2326C ⨯=个，若象有三个,满足条件的函数只有1个即只能1,2,3分别对应于1,2,3.综上满足条件的函数共有10个. （2）若函数 y= f （x-1）的反函数是 y= f -1（x-1），则下列等式成立的是（ ） A 、f （x ）= f （x-1） B 、f （x ）= -f （x-1） C 、f （x ）- f （x-1）=1 D 、f （x ）- f （x-1）= -1解析：由反函数的知识（或映射知识）易知y= f -1（x-1）可等价推出x-1=f(y),故其原函数为y-1=f(x)也就是y=1+f(x)而由题意知原函数为y= f （x-1）故y= f （x-1）=1+f(x)从而f （x-1）-f(x)=1，答案：D【易错点6】已知()y f x =的定义域，确定()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦定义域类问题,求解函数一类问题要树立定义域优先的意识.例7、已知函数3()log 2,[1,9]f x x x =+∈，试求函数()22[()]()g x f x f x =+的最大值。

【易错点诊断】此题极易忽略函数()g x 中()2f x 对定义域的限制，而错误的将函数()g x 的定义域认为仍是[1,9]而导致错解。

解析：由于()y f x =的定义域为[1,9]，故对于()22[()]()g x f x f x =+自变量需满足2191319x x x ≤≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩，故函数()g x 的定义域为{}|13x x ≤≤，从而()()2233log 2log 2xx g x =+++()()22333log 6log 6log 33xxx=++=+-，由于[]1,3x ∈，故[]3log 0,1x∈，故当3log 1x=时函数取得最大值13。

【迷津指点】复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

在解答函数如函数的单调性、奇偶性、值域、解析式等等一定要养成定义域优先的意识。

【适用性练习】 （1）已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]()22xf x f y +=的单调递增区间.答案: {}|13x x ≤≤ （2）设2()lg2x f x x+=-，则2()()2x f f x+的定义域为A ．(4,0)(0,4)-B ．(4,1)(1,4)--C ．(2,1)(1,2)--D ．(4,2)(2,4)--解：f （x ）的定义域是（－2，2），故应有－2<2x <2且－2<2x<2解得－4<x <－1或1<x <4故选B（3）已知函数()11xf x x+=-的定义域为A,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B,则（）A.A B B =B.A B ⊆C.A B =D.A B B =(提示:{}|R 1A x x x =∈≠且,{}|R 1,0B x x x x =∈≠≠且)答案:D 【易错点7】函数的图象变换例8、设函数()y f x =定义在实数集上，则函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关于 A 、直线0y =对称 B 、直线0x =对称 C 、直线1y =对称 D 、直线1x =对称 【易错点诊断】易误由题意得到()()11f x f x -=-，而套用结论若函数()f x 满足()()fx a f x a +=-则函数关于x a =对称的结论而得到函数关于直线0x =对称的错误结论，须知这个结论是对同一个函数而言，而本题是关于两个函数的对称问题。

解析：由图象变换可以得到两个图象间的关系，函数()1y f x =-是由函数()y f x =的图象向右平移一个单位得到，而()()11y f x f x =-=--⎡⎤⎣⎦是由函数()y f x =的图象关于y 轴对称得到()y f x =-再向右平移一个单位得到，故两函数的图象关于直线1x =对称。

故选D【迷津指点】若把对称问题迁移到函数中，则有结论：函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是f(a-x)=f(a+x)。

但若函数满足y=f(a-x)和y=f(a+x)，则它们的图像关于y 轴对称。

这是很容易混淆的。

前者是一个函数图像自身关于直线x=a 对称，后者是两个函数图像关于y 轴对称。

函数图像关于直线对称，还有结论：函数y=f(b-x)与y ＝f(a ＋x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。

函数y=f(a-x)与y ＝f(x-a)，则f(x)的图像关于直线x ＝a 对称。

函数图像关于点对称，有结论：函数y=f(x)满足f(x)＋f(2a-x)＝2b(或f(a+x)＋f(a-x)＝2b)，则f(x)的图像关于点(a,b)对称。

当b ＝0时，函数y=f(x)满足f(2a-x)＝-f(x)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称。

与周期函数联系，有结论：函数y=f(x)满足f(x-a)＝f(x ＋a)，则2a 是f(x)的一个周期。

函数y=f(x)满足f(x ＋a)＝-f(x)，则2a 是f(x)的一个周期。

函数y=f(x)的图像关于直线x ＝a 和x ＝b 都对称，则2(a-b)是f(x)的一个周期。

函数y=f(x)的图像关于直线x ＝a 和点(b,c)都对称，则4(a-b)是f(x)的一个周期。

以上结论，用于解客观题就是“秘密武器”，用于解答题可以化繁为简。

求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像1C 与2C 的对称性，需证两方面：①证明1C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C 上；②证明2C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在1C 上。

【适用性练习】（1）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x fx +=，若()15,f =-则()()5ff =_______________。

（答案:15-）（2）已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝_____(答案：212x x -+)；（3）若函数x x y +=2与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答案：276x x ---）（4）已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值(答案：993)；【易错点8】求函数的定义域与求函数值域错位例9、已知函数()()()22lg 32215f x m m x m x ⎡⎤=-++-+⎣⎦（1）如果函数()f x 的定义域为R 求实数m 的取值范围。

（2）如果函数()f x 的值域为R 求实数m 的取值范围。

【易错点诊断】此题学生易忽视对232m m -+是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。

另一方面对两个问题中定义域为R 和值域为R 的含义理解不透彻导致错解。

解析：（1）据题意知若函数的定义域为R 即对任意的x 值()()2232215mm x m x -++-+0>恒成立，令()()()2232215g x m m x m x =-++-+，当232m m -+=0时，即1m =或2。

经验证当1m =时适合，当2320m m -+≠时，据二次函数知识若对任意x 值函数值大于零恒成立，只需23200m m ⎧-+>⎨∆<⎩解之得1m <或94m >综上所知m 的取值范围为1m ≤或94m >。

（2）如果函数()f x 的值域为R 即对数的真数()()2232215m m x m x -++-+能取到任意的正数，令()()()2232215g x m m x m x =-++-+当232m m -+=0时，即1m =或2。