复变函数与积分变换试题2012.7
成人高考数学复变函数与积分变换考核试卷
D. L{sin(at)} = a/(s²+a²)
（）
6.对于傅里叶变换，以下表述正确的是（）
A.傅里叶变换是一种积分变换
B.傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号
C.傅里叶变换具有线性性质
D. A、B、C都正确
（）
7.以下关于复变函数积分变换的表述，正确的是（）
B. f(z)在z=0处的解析延拓与f(z)在z=0处的解析性质有关
C. f(z)在z=0处的解析延拓的收敛域与f(z)在z=0处的解析性质有关
D. A、B、C都正确
（）
16.以下关于积分变换的表述，正确的是（）
A.积分变换是一种线性变换
B.积分变换可以解决微分方程初值问题
C.积分变换可以简化计算过程
8.拉普拉斯变换可以解决微分方程的初值问题。（）
9.在复变函数中，任何连续函数的积分都是路径无关的。（）
10. Z变换是复变函数积分变换的一种，常用于控制理论。（）
五、主观题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1. (10分)请说明复变函数解析的概念，并给出两个解析函数的例子。
2. (10分)请解释傅里叶级数的概念，并说明其在信号处理中的应用。
A.函数在整个复平面上解析
B.函数在一个单连通区域内解析
C.函数在一个多连通区域内解析，但积分路径不包围任何奇点
D.函数在一个多连通区域内解析，积分路径包围了奇点
（）
13.以下哪些是复变函数的应用领域？（）
A.量子力学
B.电路分析
C.流体力学
D.数论
（）
14.关于积分变换的性质，以下哪些是正确的？（）
《复变函数与积分变换》试题及答案.
年级专业： 教学班号：学号： 姓名:装订线课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110_分钟课程代码：7100031试卷总分：100_分一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）1; 2、； 3、'|和它的主值二、（8分）设'，函数'■在•平面的哪些点可导？若可导，求出在可导点的导数值。
三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函 数。
四、（25分，每小题各5分）计算下列积分:的正向;-de + sin 05.五、（10分）将函数 gm 在下列圆环域内分别展开为洛朗级数1.2.；・伫一15界 ^： M=i? ・的正向;3. ，■:的正向; 4.们；＜：6山「：的正向;(1)(2)六、（10）1、求将上半平面lm（z>0映射到单位圆域，且满足arg r（n =匸■，的分式线性映射，。
IU-1"=—-2、平面的区域恥环犬-.被映射映射到’平面的什么区域？「2 （ff（t）--七、（5分）求矩形脉冲函数〔° 曲我的傅氏变换。
八、（6分）求’1的拉普拉斯变换。
九、（5分）求的拉氏逆变换。
十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程：一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）1、* _ JT It &(1 - = ]6[oos( ——) + /sin( ——)] - m + +4 4=16(QDS(-2JT)-F /SII M -2«))=16 (2)3 3、21四、参考答案及评分标准：（每小题 5分，共25分）由柯西-黎曼方程得： '即 '.所以’在 ’可导.三、参考答案及评分标准：（10分）v^= 2-3?十3穴二…欣空二= “&xJ A 2 dy得,卩二J(-6砂必=-3A y 十 g(y}-r故 -?」；、’；J/'二、参考答案及评分标准：（ 8 分)解： ■异上F ，因为dv ov=乩——=0,——=2y Exd 2u 沪 口W C?j/，所以为调和函数.证明:P V (? u由"M 得3A1 d g\y}= 2- ?A22 四、参考答案及评分标准：（每小题5分，共25分）3115~/ -1-4 Sill 0—+ - 44 2 iz2? + 5J >-2JZ一心2/1(2 d3+24 .因为-上在c 内无奇点,所以:cir = 0r/ -J6(Z4 2fl(2z+ “vsinZ? --- -------2J >42.1-------------------------------- S -------------所以洛朗级数为H m _送JJ-0所以洛朗级数为原式- 六、参考答案及评分标准: 1解：将上半平面 内点• （每小题 5分，共10分）lm （z>0映射到单位圆域 的变换为 为上半平面，所以-，故 ,所以解：边界1： ,..= i =i "丄 “0x 〉n ,忑〔故 羔K ;>= f ^dfV . -uj解：r (s}= Hr + 3sin(20■+ /cos Z] =r 2] + 3i(sin 2/J + Zj/cos 小八 (2)2 3x 2=—十 -------------------------$ S~ + 4 2 b二—+ — ------解：设二也上一在方程的两边取 拉氏变换并考虑初始条件得:，故七、 Z特殊点：作图参考答案及评分标准：（5分）十、参考答案及评分标准：（6分） 3+2八、 参考答案及评分标准：（6分）S 1 + 1I - y (/ 4 1)? 九、 参考答案及评分标准: (5分)解:取逆变换得:。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数及积分变换复习题去答题
复变函数及积分变换复习题去答题第一章一、选择题1. 一个向量顺时针旋转3π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位，对应的复数为1，则原向量对应的复数是（A ） A. 2B. 1C.i D.i2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i -+ B. 34i + C. 34i - D. 34i -- 3.方程23z i +-= C ）A. 中心为23i -的圆周 B. 中心为23i -+，半径为2的圆周 C. 中心为23i -+D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z-+=的最小值是（A ）A. -3B. -2C. -1D. 1 二、填空题1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。
（椭圆2222153()()22x y +=） 2. 复数22(cos5sin 5)(cos3sin 3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（16ieθ）3. 方程2112(1)z ii z--=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=）4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为，以±2为焦点，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域否 .5．复数()i i z --=1132的模为_________，辐角为____________.（5/12π-）6. 曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.（43v u =）三、对于映射12()w z z=+，求出圆周4z =的像。
复变函数与积分变换习题
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i iii 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i +解： 3)231(i + zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i+12解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i 2332++-解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周321z z ++=0 则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
复变函数与积分变换考试题
[试题分类]:复变函数与积分变换[题型]:单选[分数]:2分1.复数 3 – 2i的虚部为（）。
A. 3B.– 2iC.– 2D.–i[答案]:C2.算式(3 – 2i) – (–1 + i) 的值等于（）。
A. 4 –iB. 4 – 3iC. 2 –iD. 2 – 3i[答案]:B3.算式(–1 + i)2的值等于（）。
A. –2iB. 2 – 2iC. 2D. 2i[答案]:A4.算式的值等于（）A.B.C.D.[答案]:D5.已知z1和z2 是两个复数，以下关于共轭复数运算的式子（）是正确的。
A.B.C.D.[答案]:A6.方程组的解为（）。
A.B.C.D.[答案]:B7. 复数的三角表示式为（）。
A.B.C.D.[答案]:D8.复数z的主辐角在（）上不连续。
A. 负实轴B. 正实轴C. 原点及负实轴D. 原点及正实轴[答案]:C9. 复数的三角表示式为（）。
A.B.C.D.[答案]:D10. 的值等于（）。
A.8iB.–8iC. 8D.–8[答案]:B11. 圆周方程的复数形式为（）。
A.B.C.D.[答案]:A12.复数的模等于（）。
A.13B.49C.7D.[答案]:C13.复数6 – 8i的模等于（）。
A. 10B.–10C.D. 100[答案]:A14.复数2 + 3i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:B15.复数–4 + 6i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:D16.复数–1 – 2i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:B17.复数 1 – 2i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:C18.以下式子中，不正确的是（）。
（注：Re表示实部，Im表示虚部）A.2i > 0B.| 2i | > 1C.Re (2i) = 0D.Re (2i) < Im (2i)[答案]:A19.以下（）不是方程的根。
A.B.C. 2D. –2[答案]:C20. 以下复数中只有（）是方程的根。
复变函数与积分变换考试试卷
复变函数与积分变换考试试卷一. 填空题(每空 5 分，共 25 分)1．设100i)(1z +=，则Imz ＝ 。
2.方程lnz=i 3π的解为 。
3.)21(421lim z zi x +++→=_______________________________________。
4.导函数xv i x u x f ∂∂+∂∂=)('在区域D 内解析的充要条件为_________。
5.函数)Re()Im()(z z z x f -=仅在点z=____________________处可导。
二．选择题(每题 5 分，共 25 分)1．复数i 218-2116z =的辐角为 （ ） A.arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 21 2. 方程|z+2-3i|=2所代表的曲线（ ）A.中心为2-3i ，半径为2的圆周B. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周C. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周D. 中心为2-3i ，半径为2的圆周3. 复数)2(tan πθπθ i z -=的三角表示式是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i C.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i D.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i 4. 若函数在复平面内处处解析，那么实常数a=（ ）A.0B.1C.2D. -25.设f(z)=sinz,则下列命题中，不正确的是（ ）A. f(z)在复平面上处处解析B.f(z)以 π2为周期C.2e f(z)iz ize --= D.|f(z)|是无界的 三．计算题(每题10 分，共 50 分)1.设)22(2)(22xy x i y y x z f ++--=，写出f(z)关于z 的表达式。
复变函数与积分变换试题及答案
复变函数与积分变换试题与答案一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模 ，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为： 。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是： 。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。
二、判断题（每题2分，共20分，请在正确的题打“√”，错误的题后打“×”）1．区域Im(z)＞0是无界的单连通的闭区域。
（ ）2．初等函数在其定义域内解析，可导。
（ ）3．解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )的u(x ,y )与v (x ,y )互为共扼调和函数。
（ ）4．如果f (z )在z o 解析，那么f (z )在z o 连续。
（ ）5．如果)(o z f '存在，那么f (z )在z o 解析。
（ ）6．如果z o 是f (z )的奇点，那么f (z )在z o 不可导。
（ ）7．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。
（ ）8．每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。
（ ）9．幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。
（ ）10．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成泰勒级数。
（ ）二、计算题(6分×4)1．求p ，m ，n 的值使得函数)()(2323pxy x i y nx my z f +++=为解析函数。
2．求u (x ，y )=y 3－3x 2y 与它的共扼调和函数v (x ，y )构成的解析函数)()()(y x iv y x u z f ，，+=3.⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行）4．dz z ze z z ⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）四、（5分）将下面函数在指定圆环内展为罗朗级数)1(1)(z z z f -= （1<|z |<+∞）五、（5分）求把上半平面保形照为单位圆的分式线性函数。
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全国2012年7月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．复数1+i的辐角为（）
A．2π,
k k Z
∈B．
π
2π,
4
k k Z
+∈
C．
π
2π,
2
k k Z
+∈D．(21)π,
k k Z
+∈
2．在复平面上方程|z-1|+|z+1|=4表示（）
A．直线B．圆周C．椭圆周D．抛物线
3．不等式组
1
||1,Im
2
z z
<<表示的区域是（）
A．单连通区域B．多连通区域C．无界区域D．闭区域
4．关于函数cos z，以下哪个说法是错误的（）
A．它是有界函数B．它是周期函数C．它仅有实零点D．它是解析函数5．函数2
()||
f z z
=在复平面上有定义且（）
A．在z=0解析B．处处解析C．处处不解析D．以上都不对
6．设C为正向圆周|z|=1，则积分
C dz z
⎰的值为（）A．0 B．1 C．2πD．2πi
7．当函数
3
()
(2)(21)
z
f z
z z
=
--
表示成z的幂级数时，收敛半径为（）
A．1
2
B．1
复变函数与积分变换试卷第1页（共3页）
复变函数与积分变换试卷 第2页（共3页）
C ．2
D ．∞
8．点z =0是函数221
()sin z f z z z
-=的（ ）
A ．可去奇点
B ．极点
C ．本性奇点
D ．解析点
9．函数1()z
f z e =在点z =0处的留数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．e
10．映射1
()w f z z
==将单位圆盘||1z <映成（ ） A ．|w |<1 B ．|w |>1 C ．Re w <1
D ．Re w >1
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11．复数(1+i )2的共轭复数为__________.
12．复平面上解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+满足的柯西-黎曼条件为__________. 13．函数()z f z e =的周期为__________.
14．设C 是从0到i 的线段，则积分||c
z dz =⎰__________.
15．设C 由正向圆周|z |=3与负向圆周|z |=1组成，则积分z
C e dz z
=⎰__________.
16．函数1
()f z z
=
在1z =处的泰勒展开式为__________. 17．函数3()3f z z z =+在z i =处的伸缩率为__________.
18．把点1,,1z i =-分别映成点,1,0w =∞-的分式线性变换为__________.
19．设()f t 是可微函数且lim ()0t f t →∞
=，则f (t )的傅氏变换与()f t '的傅氏变换的关系为
__________.
20．设L [()]()f t F p =，则对任意复数p 0有L 0[()]p t e f t __________.
复变函数与积分变换试卷 第3页（共3页）
三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)
21．指出函数21
()1
f z z =+在复平面上的解析区域并求其导数。
22．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在复平面上解析，验证22
2222()|()|4|()|f z f z x y ∂∂'+=∂∂。
23．求函数(,)v x y 使得22()(,)f z x y iv x y =-+在复平面上解析。
24．设函数32
2
||323()()f z d z ζζζζζ=+=-⎰，求()f z 在||3z <内的导数。
25．将函数1
()()
f z z z i =-在||1z >内展成罗朗级数。
26．求函数2sin ()(1)
z
f z z z =
+的在复平面上的所有奇点，并确定它们的类别。
27．利用留数求积分22π0
sin 14cos x
I dx x
=+⎰
的值。
四、综合题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
28．求一个函数，它把区域：||1,Im 0z z <<保角映射成上半平面。
29．利用拉氏变换求解常微分方程,(0)0t y y e y '-==。