弧、弦、圆心角
弧弦圆心角课件
应用三：求解多边形内角和
弧弦圆心角定理
多边形内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
弧弦圆心角在多边形中的应用
通过弧弦圆心角定理，可以求解多边形内角和，进而解决与多边形内角相关的问题。同时，也可以利 用多边形内角和的求解方法，推导其他几何图形的内角和公式。
05
弧弦圆心角在三角函数中应用
心角之差。
弧弦圆心角在波动中的应用
02
利用弧弦圆心角可以直观地表示波动的相位，从而方便地描述
两个波之间的相位差以及波的干涉、衍射等现象。
应用实例
03
利用弧弦圆心角分析两个同频率波的干涉现象，可以方便地得
出干涉加强或减弱的条件。
应用三：描述圆周运动中角速度与线速度关系
角速度与线速度关系
在圆周运动中，角速度与线速度之间的关系可以通过弧弦圆心角来描述。具体地，角速度 等于单位时间内转过的弧弦圆心角所对应的弧度数，而线速度则等于角速度与半径的乘积 。
要点二
利用弧弦圆心角关系判断三角函 数方程的解的存在性
在解三角函数方程时，有时需要判断方程是否有解。此时 ，可以利用弧弦圆心角关系来判断方程是否有解。例如， 当方程中的三角函数值超出其定义域时，可以判断该方程 无解。
06
弧弦圆心角在物理中应用
应用一：描述简谐振动中相位差
相位差定义
两个同频率简谐振动的相位之差，等于它们所对应的弧弦圆心角 之差。
。
性质定理二
在同圆或等圆中，如果两条弧相等 ，那么它们所对的圆心角相等，所 对的弦也相等。
性质定理三
在同圆或等圆中，如果两条弦相等 ，那么它们所对的弧相等，所对的 圆心角也相等。
判定方法二：利用三角函数判定
人教版数学九年级上册 弧、弦、圆心角
∴ AB=CD.
变式1 如图，在⊙O 中，AD = BC．求证：DC = AB．
证明：∵ AD = BC，∴ AD BC.
AC
∴ AD AC BC AC.
∴劣弧CD 劣弧AB. ∴ DC = AB．
O
D
B
变式2 如上图，在⊙O 中，DC = AB．求证：AD = BC. 证明：∵ DC = AB，∴劣弧CD 劣弧AB.
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
学习目标
1. 理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转 不变性； 2. 探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解 决相关问题；（重点） 3. 理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆 或等圆”条件的意义.（难点）
导入新课
情境引入
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角
弧、弦、圆心角的 关系定理及推论
在同圆或等圆中
应用提醒
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
(2) 等弧所对的弦相等.
（√ ）
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ × ）
三 圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用
典例精析 例1 如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE，
∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
ED 解： ∵ BC=CD=DE，
C
∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°.
从而 AB CD，AB = CD.
C B
O·
A
在等圆中探究
问题2 如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB ＝∠CO′D，
你发现的等量关系是否依然成立？
A
B
归纳 通过平移
圆的有关性质——弧、弦、圆心角_PPT
∴ CD=AB
弦等
弧等
19
6．小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或 等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之 间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？ 要注意什么？
20
7．提升
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于点A、B.
（（12））试求判证断：A△CO⌒=EBFD的⌒形状，并说明理由；
2）如果OAEB与=C⌒ODF，相⌒那等么吗？为A什B=，么CD？ AOB CO。D
3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB ，CD AB。=CD
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等 (3) 弦相等 (4) 弦心距相等
知A E B
一 得
O· D
二三 C F 16
例1 如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C,∠ACB=60°,
一个角度．
30°
N
N′
15°
O
可以看出，点 N′在圆O上．
4
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一个角度．
60°
N′
N
30°
O
可以看出，点 N′也在圆O上．
5
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一°
O
可以看出，点 N′还在圆O上．
6
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
证明： ∵ BC⌒=C⌒D=⌒DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35A° ∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
ED C B
O
弧等
圆心角等
18
3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
解： ∵ AD=BC
九年级数学 圆 第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
AB 3
3
3
∴ AM MN NB
A
M
NБайду номын сангаасO
B
E
F
C
A
MN O
B
E
F
解析二：
连结 OE，易知 OE 与半径的比．
AC ，也可求得 AM ，进而可求得 AM MO
证法二：
如图，连结 OE，设 AC＝2a，则 AC＝AB＝2OE＝2a
∵ CAM AOC 60 ，∴ AC OE ， C
∴ OM OE a 1 AM AC 2a 2
60
，
AO
EO
a
，
C
∴ AOE 为等边三角形，∴ AE AO a
又∵ EAO CBA 60 ，∴ AE BC
∴ AME BMC ，∴ AM AE a 1 ，∴ AM 1
BM BC 2a 2
AB 3
同理： BN 1 ，∴ MN AB 2 AB 1 AB ，
第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
课标引路
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
圆心角概念
抓两点
圆心角定理推 论使用前提条 件
注意 必须在同 圆或者等圆中
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
注意：这里说的相等是指角 的度数与弧的度数相等．而 不是角与弧相等，在书写时
证明三：连结 AE，并延长交 CO 的延长线于 G
设 AC＝2a，则有 AE＝OA＝a（证法一中已证明△AOE 为等边三角形）
弧、弦、圆心角ppt课件
·O
A
·
O1
∵ ∠AOB=∠A1O⌒B1⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
归纳定理
圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦相等.
B
∵
α
∠AOB=∠A1O⌒B1⌒ ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
Oα
A1
A B1
探究活动
若题目中，缺少“在同圆或等圆中”这一 条件，结论还能够成立吗？
再见！
对称轴是什么？
2.由圆的轴对称性得到了圆中重要的垂径定理， 垂径定理的内容是什么？请画出基本图形.？
探究活动
问题1：如图１，平行四边形ABCD重心与圆心 重合，
使平行四边形ABCD 绕⊙Ｏ的圆心 旋转180°，你发
现了什么？
圆具有旋转不变性及中心对称性.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？
为什么？
A
E
B
O
D
F C
例题讲解
如图，在⊙O中，AB⌒=A⌒C,∠ACB=60°, 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。 A
证明： ∵A⌒B=⌒AC
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形
O
又 ∠ACB=60°
B
C
∴△ABC是等边三角形， AB=BC=CA
练习巩固
1、如图，AB是⊙O的直径，⌒ ⌒ ⌒
BC=CD=DE，∠COD=35°，E求∠ADOE
解：的∵ 度B⌒C数=⌒。CD⌒=DE
C
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35° A
O
B
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-
∠DOE
=750
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(二)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）1. 弧在前文中我们已经介绍了圆心角和弧之间的关系。
在这篇文章中，我们将进一步探讨弦和弦心距与圆心角、弧之间的关系。
首先，我们先来了解一下什么是弧。
在一个圆上，两个点之间的曲线部分叫做弧。
弧的长度可以通过圆心角来计算，即弧长等于圆心角的大小乘以半径。
假设圆的半径为r，圆心角为θ，那么弧长L可以表示为：L = r * θ2. 弦接下来，我们来介绍一下弦。
弦是连接圆上的两个点的线段。
弦的长度可以通过圆心角来计算，通过以下公式计算：S = 2 * r * sin(θ/2)其中S表示弦的长度。
3. 弦心距弦心距是指从圆的中心点到弦的距离。
弦心距可以通过以下公式计算：D = 2 * r * cos(θ/2)其中D表示弦心距。
4. 圆心角与弦、弦心距的关系圆心角与弦和弦心距之间有一定的关系。
当圆心角的大小固定时，弦和弦心距的大小也是固定的。
具体可以通过以下公式进行计算：•弦长S与圆心角θ之间的关系：S = 2 * r * sin(θ/2)•弦心距D与圆心角θ之间的关系：D = 2 * r * cos(θ/2)可以看出，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距都与半径r成正比。
也就是说，如果增加半径r的大小，弦长和弦心距也会增加；减小半径r的大小，弦长和弦心距也会减小。
另外，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距之间也有一定的关系。
根据三角函数的性质，可以得到以下关系：S^2 + D^2 = (2r)^2该关系也被称为勾股定理。
5. 总结综上所述，圆心角、弧、弦和弦心距之间存在一定的关系。
圆心角决定了弧的长度，可以通过半径和圆心角的关系进行计算；弦的长度和弦心距都与圆心角成正比，可以通过圆心角和半径的关系进行计算。
另外，弦和弦心距之间也满足勾股定理。
通过理解和掌握这些关系，我们可以在解决相关问题时更加灵活和准确。
实际应用中，这些关系经常用于计算圆中的各个要素，对于解决与圆相关的问题非常有帮助。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解(提高)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解圆心角的概念；2.掌握在同圆或等圆中，四组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，两条弦的弦心距之间的关系及其它们在解题中的应用．3.理解反证法的意义，并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.要点二、圆的确定（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；（3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.要点三、反证法反证法定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种重要的数学证明方法，而且有些命题只能用它去证明．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；（3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；（4）肯定原来命题的结论是正确的．【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系及应用1.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝BC，只需证»»AD BC=或证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB＝CD，∴»»AB CD=．∴»»»»AB BD CD BD-=-，即»»AD BC=，∴ AD＝BC．证法二：如图②，连OA、OB、OC、OD，∵ AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD．∴∠AOB－∠DOB＝∠COD－∠DOB，即∠AOD＝∠BOC，∴ AD＝BC．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】（2015秋•丹阳市月考）已知，半径为4的圆中，弦AB把圆周分成1：3两部分，则弦AB长是．【答案】解：连结OA、OB，如图，∵弦AB把圆周分成1：3两部分，∴∠AOB=×360°=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=4．故答案为4．2.如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）.A.这两条弦所对的圆心角相等B. 这两条弦所对的弧相等C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分相等D. 这两条弦所对的弦心距相等【思路点拨】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，但在不同圆中则另当别论.【答案与解析】C；解：A.这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，所以本选项错；B.这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，所以本选项错；C.这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，所以本选项是对的；D. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，所以本选项错；所以选C.【总结升华】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距间的关系，注意在同圆和等圆找个条件，审题要仔细，不要盲目解答.类型二、圆的确定3.已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．【思路点拨】要求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心，只要证明AE=BE=DE即可，可以根据等角对等边可以证得．【答案与解析】证明：∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠1=∠2．又∵DE∥AC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴AE=DE．又∵BD⊥AD于点D，∴∠ADB=90°．∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°．∴∠EBD=∠EDB．∴BE=DE．∴AE=B E=DE．∵过A，B，D三点确定一圆，又∠ADB=90°，∴AB是A，B，D所在的圆的直径．∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等，反之，到一个点距离相等的点在同一个圆上.举一反三：【变式】已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．【答案与解析】解：如下图，连接AB，作出AB的垂直平分线交直线a于O点，以O为圆心，OA为半径作圆．类型三、反证法4、（2014秋•定陶县期中）用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．【思路点拨】首先假设BN、CM能互相平分，利用平行四边形的性质进而求出即可．【答案与解析】已知如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，求证：BN、CM不能互相平分．O NMCBA证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，所以BN、CM能互相平分结论不成立，故BN、CM不能互相平分.【总结升华】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的步骤是解题关键．举一反三：【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 .【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角．。
圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义6、多边形与圆如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。
2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。
二、例题分析：1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
cm。
2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是23、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。
其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A、①②③④B、②③④C、②③D、③④5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块C．第③块 D．第④块6、三角形的外接圆的圆心是（），A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。
（三）巩固练习1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形，第7题 （第2题） 7、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=_______8、如图，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）B A CEDOF（第8题） （第11题）9、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。