弧 弦 圆心角
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
弧、弦、圆心角
E O· F C B D
︵= ︵ 例1.如图,在⊙O中, AB AC
∠ACB=600, 求证: ∠AOB= ∠BOC= ∠AOC
A
O B
C
例1 如图在⊙O中, AB = AC ，∠ACB=60°, 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明： ∵ AB
A
=
AC
∴ AB=AC．
O·
B
又∵∠ACB=60°，
AO E 180 3 35
75
七、思考 ⌒ ⌒ 如图已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC, 求证AB=CD
C B O D A
类型练习: 如图：A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120° C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形
如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点
B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
∵∠AOB＝∠A′OB′
∴射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．
∴OA=OA′，OB=OB′， ∴点 A与 A′重合，B与B′重合．
∴ AB
︵
A ' B '. ∴A B A ' B ' .
︵
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆 相等 相等 心角_____， 所对的弦________；
C
∴ AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
1 例2：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的 ， 3
1 0 0 AB的度数 360 120 3 ∴∠AOB=120 °
第三节 弧,弦,圆心角,弦心距之间的关系
教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日：00--- ：00 课题弧，弦，圆心角，弦心距之间的关系教学目标定理的内容及其证明教学重难点定理的内容在证明中都是应用教学过程【学习准备】动手画一圆1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是对称图形；2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个对称图形。
3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的不变性。
【解读教材】1、认识圆心角、弦心距、弧的度数1）圆心角的定义：。
2）弦心距的定义：。
3）弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成份时，每一份的圆心角是1°的角。
②因为在同圆中相等的圆心角所对的相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的叫做1°的弧。
③圆心角的度数和它们对的弧的相等。
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和A'B'，弦AB和''BA，弦心距OM和''MO是否也相等呢？定理总结：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对弦的也相等。
ABM OA 'M 'B '3、命题的证明: 如图，已知：∠AOB=∠A ′OB ′，求证：弧AB 和A ′B ′，弦AB 和A ′B ′，弦心距OM 和OM ′相等。
问题：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,是否还有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。
举出反例： 。
归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（简记：“知一推三”）【例题精析】 例题一：判断：1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) 2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( ) 3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( ) 4）相等的圆心角所对的弧相等。
弧、弦、圆心角教学设计
课题24.1.3弧、弦、圆心角课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一组量相等就可以推出其余两组量也相等,及它们在解题中的应用.2.过程与方法学生在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中,学会运用分类讨论的数学思想,转化的数学思想解决问题.3.情感、态度与价值观培养学生积极探索数学问题的态度及方法.教学重难点重点:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.难点:探索定理和推论及其应用.教学活动设计二次设计课堂导入1.我们熟悉的既是轴对称图形又是中心对称图形的有哪些?2.见教材83页“探究”探究:剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°,所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?实际上,圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.不仅如此,把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合.利用这个性质,我们还可以得到圆的其他性质.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.现在利用上面的性质来研究在同一个圆中,圆心角及其所对的弧、弦之间的关系.探索新知请同学们按下列要求作图并回答问题:如图所示的☉O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'OB',将圆心角∠AOB 绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢?请同学合作探究们现在动手做一做.(学生活动)老师点评:如图(1),在☉O 和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A'O'B'得到如图(2),滚动一个圆,使O 与O'重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA 与O'A'重合.续表探索新知合作探究你能发现哪些等量关系?说一说你的理由?我能发现:=,AB=A'B'.因此,我们可以得到下面的定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.同样,还可以得到:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.(学生活动)请同学们现在给予说明一下.请三位同学到黑板板书,老师点评.当堂训练如图,在☉O 中,AB,CD 是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F.(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE 与OF 的大小有什么关系?为什么?(2)如果OE=OF,那么与的大小有什么关系?AB 与CD 的大小有什么关系?为什么?∠AOB 与∠COD 呢?归纳小结 1.圆心角概念.2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,及其它们的应用.板书设计24.1.3弧、弦、圆心角1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.教学反思。
弧、弦、圆心角的关系
M
N
今天作业 课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性） 。
Ａ 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解(基础)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.【答案】证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)∴∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】判断圆周角必须同时满足两条：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.【答案与解析】解法1：如图所示，∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°∴∠POB=180°-x°=(180-x)°又解法2：如图所示，连结AQ，则又∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°【总结升华】考查圆周角定理的应用.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】连结AD，易证∠ADB=90°，即AD是等腰三角形△ABC的高．再由三线合一的性质得出BD与CD的大小关系.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．举一反三：【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
弧、弦、圆心角、圆周角
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
B
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
老师提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
弦心距所对应的圆心角相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
条件
在同圆或等圆中 那么 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的 弦心距相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余的 各组量都分别相等。
●
A
O
D C
ADC ABE 900 , C E. ADC ~ ABE. AC AD . AE AB AB AC AE AD.
B E
例2。如图，AB与CD相交于圆内一点P， 求证 AD弧的度数与BC弧的度数和的一半 等于 APD 的度数。
证明:过点C作CE//AB 交圆于E.
弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦相等。
可通过△AOB≌△ A∕OB∕ 然后利用全等的性质得到
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 （圆心角定理）
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
D
A
●
九年级数学 圆 第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
AB 3
3
3
∴ AM MN NB
A
M
NБайду номын сангаасO
B
E
F
C
A
MN O
B
E
F
解析二：
连结 OE，易知 OE 与半径的比．
AC ，也可求得 AM ，进而可求得 AM MO
证法二：
如图，连结 OE，设 AC＝2a，则 AC＝AB＝2OE＝2a
∵ CAM AOC 60 ，∴ AC OE ， C
∴ OM OE a 1 AM AC 2a 2
60
，
AO
EO
a
，
C
∴ AOE 为等边三角形，∴ AE AO a
又∵ EAO CBA 60 ，∴ AE BC
∴ AME BMC ，∴ AM AE a 1 ，∴ AM 1
BM BC 2a 2
AB 3
同理： BN 1 ，∴ MN AB 2 AB 1 AB ，
第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
课标引路
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
圆心角概念
抓两点
圆心角定理推 论使用前提条 件
注意 必须在同 圆或者等圆中
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
注意：这里说的相等是指角 的度数与弧的度数相等．而 不是角与弧相等，在书写时
证明三：连结 AE，并延长交 CO 的延长线于 G
设 AC＝2a，则有 AE＝OA＝a（证法一中已证明△AOE 为等边三角形）
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根据勾股定理得 DF= OD2 OF 2 = 15 ,则 CD=2DF=2 15 .
7
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8
2.如图,在圆O中,直径MN⊥AB,垂足为C,则下列结论中错误的是( )
(A)AC=BC
D
(B)弧AN=弧BN
(C)弧AM=弧BM
(D)OC=CN
5
3.在☉O中,圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则☉O的直径的长为( B )
(A)4 2 (B)8 2
(C)24 (D)16
4.如图,OE,OF分别为☉O的弦AB,CD的弦心距,如果OE=OF,那么 写一个正确的结论).
24.1.3 弧、弦、圆心角
1.圆的旋转不变性
圆是 轴对称 图形,任何一条 过圆心 的直线都是它的对称轴.
2.圆心角、弧、弦之间的关系
圆心角:顶点在 圆心 的角叫做圆心角.
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧
,所对的弦
.
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧相、等两条弦中有一组量相等
对应的其他各组量都分别
AB=CD
(只需
6
5.如图,☉O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.
解:过 O 作 OF⊥CD,交 CD 于点 F,连接 OD, ∴F 为 CD 的中点,即 CF=DF, ∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8, ∴OA=4,∴OE=OA-AE=4-2=2, 在 Rt△OEF 中,∠DEB=30°, ∴OF= 1 OE=1,在 Rt△ODF 中,OF=1,OD=4,
【方法技巧】 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,反过来也成立,也就是说: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对 应的其余各组量都相等.
4
1.下列说法中,正确的是( B )
(A)等弦所对的弧相等
(B)等弧所对的弦相等
(C)圆心角相等,所对的弦相等
(D)弦相等所对的圆心角相等
.ห้องสมุดไป่ตู้
相等
,那么它们所
相等
1
类型一:圆的旋转不变性 例1 下列命题中,不正确的是( D ) (A)圆是轴对称图形 (B)圆是中心对称图形 (C)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 (D)以上都不对
【思路点拨】 利用圆的旋转不变性
2
类型二:圆心角、弧、弦之间的关系 例2 如图,AB,CD是☉O的两条弦.
(1)如果 AB=CD,那么 = , ∠AOB=∠COD .
(2)如果 = ,那么 AB=CD
, ∠AOB=∠COD .
(3)如果∠AOB=∠COD,那么 =
,AB=CD.
3
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,OE与OF相等吗?为什么?
解:相等. ∵AB=CD,OA,OB,OC,OD都是圆半径, ∴△OAB≌△OCD. OE,OF为两全等三角形对应边的高, ∴OE=OF.