结构力学第九章
结构力学-力矩分配法
MB=150－90=60
2）去掉约束，相当于
m －150 A－15
M－1－50175
200kN150M－B 90 20kN/m
MB
－3B0 151020
－30↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ －－12900
C
在结点加上负的不平衡
力矩，并将它分给各个 175
杆端及传递到远端。
mBA 300
mBC 120 －MB=－6090
注意：
• ①结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩。 • ②分配系数 μ1j 表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它
等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度 之和的比值，即：μ1j＝S1j/ΣS1j ，且Σ μ1j＝1 （3）
• ③只有分配弯矩才能向远端传递。
• ④分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩 是杆端转动时产生的远端弯矩。
• 用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要 逐次放松每一个结点，应用单结点的基本运算，就可逐 步渐近求出杆端弯。以图1所示连续梁为例加以说明。
转动刚度
在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）
远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。
下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB
MAB
MAB
θ MAB
1
√ ① ②
1
MAB
1
③④
1
Δ
转动刚度SAB=4i是（ ）
A
i
B
A
i
√ √ B ①
③
A
i
B
④
A
i
4i>SAB>3i
√B ②
A
i⑤ B
i
返回
结构力学第九章 薄壁杆件扭转
上式写成通用形式为：
绕第i室的 周线积分
ds ds qi qk 2GA2 t k i k t i
沿第i与第k 室的公共 壁积分 （9-13）
式中，i=1,2,3,…,n；
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
令
qi qi G
（9-14）
qi 第i室的扭转常数,式（9-13）可写为：
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工 程和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船 舶结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船 体梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转 开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截 面所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计 算公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计 算公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
求扭转惯性矩及 剪流
300
Байду номын сангаас400
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
作业2、3、5
考试
考试题型： （1）选择填空 （2）判断题（不要解释理由，只要判断对错） 以上两项共54分，可能会增加题量，减小每题的分值 （3）计算题（基本运算）46分 计算题比作业题目简单，运算量小 重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节 试验报告＋作业＝平时分 考试时计算题先把关键公式写下
M s 2 Ai qi
i 1
n
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。 仅由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还 必须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。 刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对于 图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例如 对于第2室，有
结构力学 第9章 渐近法
19
4、在力矩分配法中反复进行力矩分配及传 递，结点不平衡力矩愈来愈小，主要是因为 分配系数及传递系数<1。
2/3 5.图示结构µ =_______。EI=常数。 CB
µ =4i1/(4i1+3i2)=2/3 CB
i1=EI/4
i2=EI/6
20
6.图示结构用力矩分配法计算时分配系数:
AB 1 / 2 AD 1 / 8
1.几个概念 （1）转动刚度：AB杆当A端产生单位转动时所需施加 的杆端力矩，称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
——杆端抵抗转动的能力，大小只与远端的支撑条件有关。 4种杆件的转动刚度分别为：
S AB 4i i A B 0 S AB 3i B A i
S AB 3i A i B
S AB i A i B
0.571 0.429 +150 +600 -450 +75 +225 -225 -129 -96 +16 -9 -7 +1 -1 0
0 0 0
最后弯矩M -208 == 10
21
+484 -484
+553 -553
15
0
12= 23=
例9—3用力矩分配法计算图示连续梁。
1.5kN/m
A
结点1分配传递 +75 结点2分配传递 结点1分配传递 +16 结点2分配传递 结点1分配传递 +1 结点2分配传递
25kN/m 400kN 25kN/m
1
EI 12m EI 6m 6m
2
EI
12m
3
0.5 0.5 -300 +300 -600 +150 +150 -64 +32 +32 -5 +2 +3
结构力学课后解答：第9章__超静定结构的实用计算方法与概念分析
习 题9-2解：设EI=6，则5.1,1==BC AB i i 53.05.13145.1347.05.131414=⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯=BC BA μμ结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩-67.0545.9-45.9()()()逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ(b)解：设EI=9，则3,31,1====BE BD BC AB i i i i12.0141333331316.0141333331436.01413333333=⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==BC BA BE BD μμμμ结点 A BC杆端 AB BA BC BD BE 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.216.20 最后弯矩 3.6 7.25.461.2 -73.8()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ9-3 (a) 解：Ｂ为角位移节点设EI=8,则1==BC AB i i ，5.0==BC BA μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M BA ⋅=⨯⨯⨯⨯=+=4882124432222 m KN l M BC ⋅-=⋅+-=582621892 结点力偶直接分配时不变号结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 0 48 -58 12 分配传递0 50 50 5 5 12 最后弯矩103-312(b) 解：存在B 、C 角位移结点设EI=6，则1===CD BC AB i i i73741413145.0141414==⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯==BC CB BC BA μμμμ固端弯矩：mKN M M M m KN M m KN M CDCB BC BA AB ⋅-=⨯+⨯-===⋅-=⋅-=14021808640080802结点 A BC杆端 AB BA BC CB CD 分配系数 固结 0.5 0.5 4/7 3/7 固端弯矩-80 80 0 0 -140 分配传递-20 -40 -40 -2047.5 91.4 68.6 -11.4 -22.8 -22.8 -11.4 3.25 6.5 4.9 -0.82-1.63-1.63-0.820.6 0.45 最后弯矩-112.2215.57-15.4866.28-66.05(c) 解：B 、C 为角位移结点51411,5441454414,51411=+==+==+==+=CD CBBC BA μμμμ固端弯矩：mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M DC CD CB BC BA AB ⋅-=⨯-=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅=⨯=10065242003524501252450125241283424646424222222结点 A BCD 杆端 AB BA BC CB CD 滑动 分配系数 滑动 0.2 0.8 0.8 0.2 -100固端弯矩64 128 -50 50 -200 分配传递15.6 -15.6 -62.4 -31.272.48 144.96 36.24 -36.24 14.5 -14.5 -58 -29 11.6 23.2 5.8 -5.8 2.32-2.32-9.28-4.643.7 0.93 -0.93 最后弯矩96.4295.58-95.6157.02-157.03-142.9796.42(d) 解：11313141413114131414145.0141414=⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯⨯=DBDE DCCD CA μμμμμ 固端弯矩：mKN M mKN M ED DE ⋅=⋅-=⨯-=383812422 结点 A CD E 杆端 AC CA CD DC DB DE ED 分配系数 固结 0.5 0.5 4/11 3/11 4/11 固结 固端弯矩0 0 0 0 0 -2.67 2.67 分配传递-5 -10 -10 -546/33 92/33 69/33 92/33 46/33 -0.35 - 23/33- 23/33-0.35 0.127 0.096 0.127 0.064 最后弯矩-5.35-10.7-9.3-2.442.190.254.12(e) 解：当D 发生单位转角时：()()2414-=⨯⨯=m EI K Y C 则()）假设12(441==⨯=-m EI EIM DC73,74,3716,379,371216,12,16,9,12=====∴=====∴EB ED DE DA DC DE EB DE DA DC S S S S S μμμμμ 结点D EB 杆端 DC DA DE ED EB BE 分配系数 12/37 9/37 16/37 4/7 3/7 固结 固端弯矩0 0 -9 9 0 0 分配传递-2.57 -5.14 -3.86 -1.93 3.75 2.81 5 -2.5 -0.72 -1.43 -1.07 -0.54 0.230.18 0.31 0.16 最后弯矩3.982.99-6.985-5-2.47(f) 解：截取对称结构为研究对象。
结构力学PPT 第9章
<I>
临沂大学建筑学院 结构力学学科组
第九章
§9.1 位移计算概述
静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误 差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线 位移、竖向线位移以及角位移。 Bx 1. 截面位移
P
P
B
C
c
cx
B
By
cy
A C
A
刚架受荷载作用
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q 0 )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q 0 )ds Rk ck
广义力与广义位移的对应关系 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广 义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即： T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作 用方向上的分量； 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角； 3）若广义力是等值、反向的一对力P
C
L
P=1/l
D
求C点两边的相对转角
求CD杆的转角位移
练习
A P=1/ l
图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。 AB杆的转角
l ④ P=1/ l B
P=1/ l B l A P=1/ l P=1/ l P=1/ l l C
（
P=1/ l A l ⑤
）
AB连线的转角
P=1/ l B
（ ）
AB杆和AC杆的 相对转角
9kN.m
12kN B
7.5kN.m
A
2m
2m
结构力学第9章9-3_1(华南理工)
一端固定 另一端铰支杆： 3 EI 3i k 3 2 l l l3 l2 3 EI 3i
剪切柔度δ：单位侧向力作用下引起的杆端相对侧移。
两端固定杆： 12 EI 12i k 3 2 l l l3 l2 12 EI 12i
一端固定 另一端铰支杆： 3 EI 3i k 3 2 l l l3 l2 3 EI 3i
FP串 FP ( a b ) FP j
j
串 a b j
j
i
j
kj
剪力分 k j 配系数
1 k串 1 1 ka kb
1 1 kj j
例9-4 试分析图9-16a、b所示刚架柱子的并联、串联关系。
当水平力作用在上横梁时, 可以将a、b、c看成一个合成柱， 其总侧移与柱d的侧移相同，而剪力FP是该合成柱和柱d分担的， 因而两者之间属于并联关系。 根据杆件并联、串联的基本特征，上述合成柱又是由柱a、b 并联后再与c串联形成的。
§9-3 剪力分配法 当刚架横梁与柱子的弯曲刚度之比ib/ic≥3～5时，通常可将 横梁刚度近似地视为无穷大，采用剪力分配法进行分析。 即使对于ib/ic值稍小的刚架，也可以通过修正的方法(D值法) 来减少因不考虑结点角位移所引起的内力误差。
优点：计算简便，传力及力的分配明确、直观。 9-3-1 基本概念 刚架结点无角位移，因为各楼层的柱子 两端具有同样的相对侧移，楼层总水平 剪力是按柱子剪切刚度的大小分配到各 柱子上的。 剪切刚度k：使杆件两端发生单位相对 侧移时所需的侧向力。 剪切柔度δ：单位侧向力作用下引起的杆端相对侧移。
变截面单阶柱： 1
2 3EI 2 I2 l1 k 3 1 1 l2 I1 l2
结构力学教学第九章矩阵
F
(e) ix
EA ( e ) u jx =− L
i
x
F jx = −
j
(e )
(e)
EA ( e ) u jx L
θ
(e ) y F iy = 0
(e )
Mj =0
(e )
F jy = 0
uj
(e )
土木建筑工程学院
七、矩阵位移法
2 单元分析——杆端力与杆端位移的关系
Mi = −
F
(e) ix
(e)
P2 x P2 M
P3 x
(2)
P1 x
(1)
P1M
x
y
P1 y
P2 y
θ
土木建筑工程学院
七、矩阵位移法
1 矩阵位移法的基本思想
(1) F jy
(1) F jx
(1) F jM
（1）
(1) Fix
F1(1) y
(1) M1
(1) FiM
(1) P1 x = Fix
F1(1) x
P1 x
P1M
P1 y
Fix F iy FiM F jx F jy F jM
(e)
k11 k21 k31 = k41 k51 k61
k12 k22 k32 k42 k52 k62
k13 k23 k33 k43 k53 k63
F ix =
(e )
EA ( e ) u ix L
i
x
F jx = −
j
(e)
(e )
EA ( e ) uix L
θ
(e) y F iy = 0
(e )
西南科技大学_结构力学第9章
EI i —— 杆件线刚度。 l
2、弯矩分配系数
—— 依据杆端抵抗转动的能力进行分配。
远端固定：S AB 4i 远端铰支：S AB 3i 弯矩分配系数： 远端滑动：S AB i
S 远端自由： AB 0
S
S
M Aj Aj M Aj M A A
1 —— 同一结点处各杆分配系数之和为1。
0
0
17.67 -17.67
例9-2
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
15kN/m
B
50kN
A iAD=2 D
iAB=2
4m
iAC=1.5
C
4m 3m 2m
例9-2
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
15kN/m 50kN
解：
1. 确定基本体系
D
B
iAB=2
A
iAD=2
4m
iAC=1.5 C 4m 3m 2m
配系数
F M AB 30kN m
F M AD 24kN m F M DA 36kN m
AB 0.3
AD 0.4
-0.9 -0.9
AC 0.3
本章小结
力矩分配法的基本概念
力矩分配法的基本思路 力矩分配法的三要素
力矩分配法的计算
试用力矩分配法作连续梁的弯矩图。
三、力矩分配法的三要素
1、固端弯矩
—— 查表8-1、8-2
2、弯矩分配系数
P210-212
—— 依据杆端抵抗转动的能力进行分配。
S AB —— AB 杆 A 端产生单位转角时所需施加的力偶。
远端固定：S AB 4i 远端铰支：S AB 3i 远端滑动：S AB i
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结点平衡
结点B：
结点C
2.将上述过程用矩阵表示： （1） 荷载引起的单元固端力： 单元1
单元2
单元3
FLi：单元固端力列阵。
(2)结点平衡： 结点B：
结点C：
结论：作用在单元上的荷载引起的等效荷载：由相交于结点的各单元 固端力列阵相应元素反号叠加求得。
五、解方程：
六、单元杆端力的计算：
位移法法中有叠加公式： 对杆端力写成矩阵形式：
二、数字编号
1.结点编号 2.单元编号 3.结点位移编号
三、结点位移列阵
写成矩阵形式 可动结点平衡方程：
可动结点劲度矩阵 可动结点等效荷载列阵
（一） K 的建立
1.回顾位移法中计算Kij的过程 作单位弯矩图：
M 1 中结点B:
结点C:
M 2 中结点B： 结点C
Fmi ——局部坐标系中单元杆端内力列阵。 mi ——局部坐标系中单元杆端位移列阵。
由杆端内力画弯矩图、剪力图：
七、支座反力的计算：
由内力图：考虑支座结点平衡： 结点A： 结点B： 结点C： 结点D：
返回
§9—2 单元劲度矩阵
一、杆件单元的空间位置
平面杆件单元i,整体坐标系oxyz,局部坐标系o'xmymzm
整体坐标系中： 局部坐标系中：
写成矩阵形式： 其中：
称为平面固接单元的转换矩阵。 同理：
思考： 给出平面梁单元，平面铰单元的转换矩阵
四、单元在整体坐标系中的劲度矩阵
——整体坐标系 ——局部坐标系 从局部坐标系出发，两边前乘
五、单元劲度矩阵的性质
1、kmi ki 为对称矩阵
反力互等定理: k支座发生单位位移时在m支座内引起的反力，等于m支座发 生单位位移时在k支座内引起的反例。
2.将上述过程用矩阵表示
（1）局部坐标系；
单元杆端位移、杆端内力等量 值以局部坐标系正向为正，反之 为负。
（2） 单元杆端可能的杆端位移和杆端力；
（3）单元位移引起的杆端内力；
（5） 结点平衡：
可动结点劲度矩阵由相交于结点的各单元劲 度矩阵相应元素叠加求得。
（二） F 的建立：
1.回顾位移法中求解FR1P 的过程： 作荷载弯矩图：
（5）计算单元最后杆端力，
先计算
在计算
或用
计算。
二、支座反力
求解步骤：
1，将Fmi 转换至整体坐标系中； 2.根据单元自由度序号列阵将杆端力Fi叠 加至支座反力列阵中。
返回
§9—6 例题
例1 设EA=常数，试用矩阵位移法分析图示的平面桁架。 解：1.建立坐标系与编号
2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点的平衡方程为 K F
例
解： （一）结点集中荷载
（二）单元荷载
1.求局部坐标单元固端力
2.转换到整体坐标 3.叠加
返回
§9—5 单元杆端内力和支座反力
一、单元杆端内力
1.计算公式
2.求解步骤 （1）形成单元局部坐标系下的单元劲度矩阵kmi （2）形成转换矩阵Ti （3）形成杆端位移列阵 i （4）形成固端力列阵FLi
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
5.求： 对于桁架，一般只有结点荷
载，于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例 设 EI=常数，EA=常数， EI=20EA，试用矩阵位移法分析
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件，排除了刚体位移
3.稀疏带状矩阵 只有临近结点之间才有相互影响
返回
§9—4 可动结点等效荷载列阵
一、直接作用在结点上的荷载
将结点集中荷载按自由度方向分解，将各荷载分量直接叠加到可 动结点荷载列阵中
二、作用在单元上的荷载
步骤： 1.求单元固端力； 2.转换至整体坐标系中； 3.按照单元杆端自由度序号叠加到可动结点等效荷载列阵中
2、kmi ki 为奇异矩阵
不存在，即已知 可求出 ，反之，已知 无法求出对应的 。
物理意义： 已知结点力列阵
单元相对位移
限制刚体位移 单元绝对位移。
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
6.按”对号入座”原则，将ki叠加到 k 中。
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
第九章 矩阵位移法
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
位移法求解基本系：
1.整体坐标系 x—y—z 2.结点位移、结点力等量值沿 坐标轴正向为正，反之为负。
思考：考虑空间杆件单元。
二 单元局部坐标系的劲度矩阵
1.平面铰接单元 单元结点位移 单元杆端力
为表示方便，平面铰接单元常采用下述方法：
2.平面固接单元
单元结点位移
单元杆端力
单元劲度矩阵
三、单元转换矩阵
单元分析
一般在局部坐标系中进行
整体分析（如：力的平衡） 一般在整体坐标系中讨论
两种坐标系中杆端力，位移分量之间的关系——转换矩阵
图示的平面刚架。 解： 1.建立坐标系与编号 2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点平衡方程
4，求
（1）计算个单元的方向余弦和杆长： （2）求 kmi
（3）求ki
(4)求
(5)求： （1）直接作用在结点上的荷载为
(2)作用在单元上的荷载
把FL沿整体坐标系方向分解，得
从而得
6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2，E2106kNmA2B杆、CD杆杆