数值分析平方根法
平方根运算计算
平方根运算计算平方根是一种常见的数学运算，用于求解一个数的平方根。
在数学中，平方根通常表示为√x，表示寻找一个数的平方根。
在计算中，我们使用平方根运算符号来表示，如√x。
本文将介绍平方根运算的计算方法，并提供一些例子来说明。
一、平方根的计算方法平方根的计算方法有多种，其中最常见的方法是使用开方运算符号√来计算。
但在电脑或计算器中，我们通常使用算法来计算平方根。
1. 迭代法迭代法是计算平方根的常见方法之一。
它通过反复逼近的方式来得到一个数的平方根。
具体方法如下：步骤1：选择一个初始猜测值x0，计算 x1 = (x0 + a / x0) / 2，其中a 是待求平方根的数。
步骤2：检查 x1 和 x0 的差异。
如果差异小于指定的精度范围，则终止计算并得到结果x1，否则继续迭代计算。
步骤3：将 x1 当作新的初始猜测值，重复步骤1和2，直到达到指定的精度要求。
2. 牛顿法牛顿法也是一种常见的平方根计算方法。
它基于泰勒级数近似的原理，通过迭代的方式逼近平方根。
具体方法如下：步骤1：选择一个初始猜测值x0，计算 x1 = (x0 + a / x0) / 2，其中a 是待求平方根的数。
步骤2：检查 x1 和 x0 的差异。
如果差异小于指定的精度范围，则终止计算并得到结果x1，否则继续迭代计算。
步骤3：将 x1 当作新的初始猜测值，重复步骤1和2，直到达到指定的精度要求。
二、平方根计算的例子下面是几个平方根计算的例子，以帮助理解平方根运算的实际应用。
例子1：计算√25使用迭代法计算：步骤1：选择初始猜测值x0 = 5，计算 x1 = (x0 + 25 / x0) / 2 = (5 +25 / 5) / 2 = 3.5。
步骤2：检查 x1 和 x0 的差异，差异较大，继续计算。
步骤3：将 x1 当作新的初始猜测值，重复步骤1和2。
重复以上步骤几次后，最终得到结果：√25 ≈ 5。
例子2：计算√2使用牛顿法计算：步骤1：选择初始猜测值x0 = 1，计算 x1 = (x0 + 2 / x0) / 2 = (1 + 2 / 1) / 2 = 1.5。
平方根法
实验名称 平方根法 小组成员 一、实验目的与内容 计算结果的分析 一、实验目的与内容 1.了解平方根法的原理和意义； 2.编程实现用平方根法求解线性方程组。 二、相关背景知识介绍 平方根法又叫 Cholesky 分解法，是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。 我们知道，对于一般方阵，为了消除 LU 分解的局限性和误差的过分积累，而采用了选主元的 方法。但对于对称正定矩阵而言，选主元却是完全不必要的。 若线性方程组 Ax=b 的系数矩阵是对称正定的，我们可按如下的步骤求其解： 1.求 A 的 Cholesky 分解： A LLT ；[1] 2.求解 Ly=b 得到 y， 3.将 y 回代求解 LT x y 得到 x。 三、代码 用平方根法求解下列方程组. n=5,10,100,…( 到你们小组计算能力的极限)求解，对计算解 和准确解比较,观察准确程度
10
15
20
五、计算结果分析 从数据结果可以看出，利用平方根法较为准确，且计算高阶矩阵时较快。在编程过程中 有的组员对计算出 L 阵后的计算不太清楚，造成了计算结果的错误，经过讨论对平方根法的 理解更加深刻了一层。
4教 师 评 语指导教 Nhomakorabea： 年 月 日
5
2.0000,-2.3094,-1.6330,-1.2649,-1.0328 -0.8729,-0.7559,-0.6667,-0.5963,-0.5394 -0.4924,-0.4529,-0.4193,-0.3904,3.7428 2.0000,-2.3094,-1.6330,-1.2649,-1.0328 -0.8729,-0.7559,-0.6667,-0.5963,-0.5394 -0.4924,-0.4529,-0.4193,-0.3904,-0.3651 -0.3430,-0.3234,-0.3059,-0.2902,3.8644
平方根的计算方法
平方根的计算方法平方根是数学中常见的一个运算，用于求一个数的平方根。
在实际应用中，我们经常需要计算一个数的平方根，比如在几何学、物理学以及计算机科学等领域。
本文将介绍几种常见的平方根计算方法。
一、开方运算符开方运算符是一种求平方根的直接方法。
表示平方根的符号为√，后面跟随要开方的数。
例如，√9表示对9进行开方运算，结果为3。
这种方法适用于计算整数和完全平方数的平方根。
然而，对于非完全平方数，需要使用其他方法进行计算。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的数值方法，用于逼近非线性方程的解。
对于求解平方根的问题，可以利用牛顿迭代法进行逼近计算。
具体步骤如下：1. 首先，选择一个初始估计值x0，通常可以选取目标数的一半作为初始值。
2. 计算下一个估计值x1，通过使用公式x1 = (x0 + n/x0)/2，其中n 是要求平方根的数。
3. 不断重复步骤2，直到满足终止条件。
常见的终止条件是前后两个估计值的差小于一个预设的容差。
牛顿迭代法的优点是收敛速度较快，通常可以在几次迭代后得到精确的结果。
然而，该方法对于初始估计值的选择比较敏感，可能会产生较大的误差。
三、二分查找法二分查找法是一种常用的搜索算法，可以在一个有序的数列中查找目标值。
在求解平方根的问题中，我们可以将平方根的取值范围进行逼近，然后使用二分查找法进行计算。
具体步骤如下：1. 首先，确定平方根的上下界，通常可以选择0作为下界，目标数作为上界。
2. 计算平方根的中间值mid，通过使用公式mid = (low + high)/2，其中low和high分别为上下界的初始值。
3. 比较中间值mid和目标数的平方的大小关系：a) 如果mid^2 等于目标数，则mid为目标数的平方根，算法结束。
b) 如果 mid^2 大于目标数，则目标数的平方根必定在low和mid之间，将high更新为mid-1，然后重复步骤2。
c) 如果 mid^2 小于目标数，则目标数的平方根必定在mid和high之间，将low更新为mid+1，然后重复步骤2。
解平方根的常见方法与技巧
解平方根的常见方法与技巧在数学中，平方根是一种常见的运算，求解平方根的方法与技巧是非常重要的数学基础知识。
本文将介绍一些常见的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和运用平方根的概念。
1. 直接开平方直接开平方是最常见的方法之一，简单直接。
对于一个正实数a，其平方根记作√a，即a的平方根等于b。
举个例子，√25=5，因为5的平方等于25。
2. 分解质因数法当我们需要求解非完全平方数的平方根时，可以运用分解质因数的方法。
首先，将原数分解成质因数的乘积形式，并对每个质因数的指数进行除2操作。
最后将所得的结果相乘，并开方，即可得到原数的平方根。
例如，对于数100，先将其分解成2^2乘以5^2，然后进行除2操作，结果为2乘以5，即10，最后开方得到√100=10。
3. 二分查找法二分查找法是一种高效的找根方法，特别适用于近似解的求解过程。
该方法基于数值的中间值，通过不断缩小范围来逼近平方根的值。
具体步骤如下：- 确定平方根的上下限，例如对于求解根号2，可以将上限a设置为2，下限b设置为1。
- 求取平方根的中间值c，即(a+b)/2。
- 判断中间值的平方是否接近原数，若平方值大于目标数，将上限a 设置为c，若平方值小于目标数，将下限b设置为c。
- 重复以上步骤，不断缩小范围直至所求的平方根满足要求。
4. 迭代法迭代法是一种逐步逼近平方根的方法，通过不断迭代优化来达到精确解。
该方法使用下面的迭代公式：(x + a / x) / 2，其中x为初始近似解，a为原数。
通过不断迭代，不断更新x的值，最终得到原数的平方根。
迭代法适用于对较大的正实数进行近似求根。
5. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值分析中常用的方法，也适合用来解决平方根的问题。
其基本思想是通过切线逼近曲线来求解函数的根。
对于求解根号a，可以选取初始近似解x，然后通过不断迭代优化来逼近平方根。
具体迭代公式如下：x = (x + a / x) /2。
不断迭代，直到满足精度要求。
数学中的平方根和立方根的计算方法
数学中的平方根和立方根的计算方法在数学中，平方根和立方根是常见的运算。
它们在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。
本文将为您详细介绍平方根和立方根的计算方法，帮助您更好地理解和应用这两个概念。
一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于给定数的运算。
计算平方根的方法有很多种，其中最常见的是牛顿迭代法和二分法。
1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种逐步逼近的方法。
它通过不断迭代改善逼近值，以接近给定数的平方根。
具体的计算步骤如下：（1）选择一个初始逼近值x0；（2）根据公式xn+1 = (xn + a / xn) / 2，计算下一个逼近值，直到满足精度要求；（3）当逼近值足够接近给定数的平方根时，停止迭代。
2. 二分法二分法是一种分治的方法。
它通过不断将给定数的平方根所在的区间一分为二，然后缩小区间范围，最终找到平方根的近似值。
具体的计算步骤如下：（1）选择一个初始区间[a, b]，其中a为0，b为给定数本身；（2）计算区间的中点c = (a + b) / 2；（3）比较c的平方与给定数的大小关系，缩小区间范围；（4）重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求。
二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于给定数的运算。
计算立方根的方法主要有牛顿迭代法和二分法。
1. 牛顿迭代法计算立方根的牛顿迭代法与计算平方根的方法类似。
具体的计算步骤如下：（1）选择一个初始逼近值x0；（2）根据公式xn+1 = (2 * xn + a / (xn^2)) / 3，计算下一个逼近值，直到满足精度要求；（3）当逼近值足够接近给定数的立方根时，停止迭代。
2. 二分法计算立方根的二分法也与计算平方根的方法类似。
具体的计算步骤如下：（1）选择一个初始区间[a, b]，其中a为0，b为给定数本身；（2）计算区间的中点c = (a + b) / 2；（3）比较c的立方与给定数的大小关系，缩小区间范围；（4）重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求。
平方根的计算
测试案例和结果分析
测试案例设计
设计覆盖各种情况的测试案例，包括正常输入、边界 情况、异常输入等。
结果分析
对测试结果进行详细分析，包括计算精度、计算速度 、稳定性等方面，以评估程序的性能和可靠性。
05
平方根在数学中应用
几何学中距离和面积计算
距离公式
在二维平面或三维空间中，两点之间的距离计算经常涉 及到平方根运算，如勾股定理。
统计学应用
在统计学中，平方根常用于计 算标准差和方差等统计量。
金融学应用
在金融学中，平方根常用于计 算波动率和风险价值等金融指
标。
02
手工计算方法
逐位试探法原理及步骤
原理
从最高位开始，逐位确定平方根的各 个数位上的数字，使得该数位的平方 不超过原数对应位置的数。
步骤
首先确定最高位数字，然后依次确定 次高位、次次高位等，直到达到所需 的精度或无法继续确定下一位数字为 止。
平方根的计算
汇报人：XX 20XX-01-31
contents
目录
• 平方根概念及性质 • 手工计算方法 • 数值迭代算法 • 程序设计实现 • 平方根在数学中应用 • 总结与展望
01
平方根概念及性质
平方根定义与表示方法
平方根定义
若一个数的平方等于另一个给定 的数，则这个数称为给定数的平 方根。
THANK YOU
感谢观看
非负性
对于任意实数a，若a≥0，则其平方根√a总 是非负的。
唯一性
对于给定的非负数a，其平方根√a是唯一的 。
运算性质
平方根运算满足一些基本的运算性质，如 √(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）等。
实际应用举例
几何应用
平方根计算方法
平方根计算方法平方根是数学中常用的一个概念，求一个数的平方根可以帮助我们理解数的大小关系以及解决一些实际问题。
在计算平方根的过程中，我们常常用到各种不同的方法和公式。
本文将介绍几种常用的平方根计算方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求函数零点的数值逼近方法，也可以用来计算平方根。
以下是使用牛顿迭代法计算平方根的步骤：1. 我们要求解的平方根是x，我们先随意猜测一个近似值y。
2. 计算出y的平方，如果y的平方接近于x，那么y就是x的平方根。
3. 如果y的平方与x相差较大，我们可以利用牛顿迭代法进行改进。
a. 我们可以通过求函数f(y)=y^2-x的导数f'(y)来得到曲线的切线斜率。
b. 曲线上的一点(x, f(x))和曲线的切线交点(x', f(x'))可以近似地代表函数f(y)的零点。
c. 利用切线和x轴的交点求出新的近似值，再通过重复步骤3，直到y的平方接近于x。
牛顿迭代法是一种快速高效的平方根计算方法，但在实际应用中可能会出现收敛性问题。
因此，当使用牛顿迭代法时，我们需要注意收敛性的检验。
二、二分法二分法是一种基于区间逼近的方法，也可以用来计算平方根。
以下是使用二分法计算平方根的步骤：1. 我们要求解的平方根是x，我们先确定一个范围[a, b]，其中a为x的下界，b为x的上界。
2. 计算出区间的中点c，即c=(a+b)/2。
3. 如果c的平方接近于x，那么c就是x的平方根。
4. 如果c的平方大于x，说明平方根落在区间[a, c]内，那么我们将b更新为c。
5. 如果c的平方小于x，说明平方根落在区间[c, b]内，那么我们将a更新为c。
6. 重复步骤2到5，直到区间的长度足够小或满足精度要求。
三、连分数法连分数法是一种用连分数表示平方根的方法，每一项都是一个有理数。
以下是使用连分数法计算平方根的步骤：1. 将待求的平方根表示为一个连分数形式：√x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + ...)))。
数值分析第五章4-5
(3) y i
(4) xi
(bi lik yk )
k 1
n
i 1
lii
ki
, i 1, 2, , n.
, i n, n 1, ,1.
(3.8)
(bi
k i 1
l
xk ) lii
由计算公式（3.7）知
a jj l 2 , j 1, 2,, n. jk
其中 i , i , i 为待定系数。比较分解式（3.13）两边即 得 b ,c ,
ai i , bi i i 1 i , i 2,3, , n, ci i i , i 2,3, , n 1.
j
l 2 a jj max a jj jk
max l 2 max a jj 于是 jk j ,k 1 j n 上面分析说明，分解过程中元素 l jk 的数量级不会增长 且对角元素 l jj 恒为正数。于是不选主元素的平方根 法式一个数值稳定的方法。 当求出 L 的第 j 列元素时，L 的第 j 列元素亦算出。
这就是说，由 A的假设条件，我们完全确定了 , , 实现了 A的 LU 分解。 求解 Ax f 等价于解两个三角形方程组：
i i i
1.Ly f , 求y; 2.Ux y, 求x.
从而得到解三对角线方程组的追赶法公式： （1）计算 的递推公式
i
1 c1 b1 , i ci (bi ai i 1 ),
(3.10)
计算出 T LD 的第 i 行元素 tij ( j 1, 2,, i 1) 后，存放 在 A 的第 i 行相应位置，然后再计算 L 的第 i 行元 素，存放在 A 的第 i 行。D 的对角元素存放在 A 的相应位置。例如
平方根的计算方法
平方根的计算方法平方根是数学中常见的一个概念，它是一个数的平方根是另一个数，即对于非负实数a和b，如果b²=a，那么b就是a的平方根。
在现实生活中，我们经常会遇到需要计算平方根的情况，比如在物理学、工程学等领域。
因此，了解平方根的计算方法是非常重要的。
本文将介绍几种常见的平方根计算方法，希望能对大家有所帮助。
首先，我们来介绍最常见的一种平方根计算方法——开平方。
开平方是指求一个数的平方根。
比如，要求一个数a的平方根，就是要找到一个数b，使得b²=a。
在实际计算中，可以利用开平方的数学公式来求解。
对于非负实数a，它的平方根可以表示为b=√a。
其中，符号√称为根号，表示对一个数开平方。
在计算机编程中，通常可以使用sqrt()函数来计算一个数的平方根。
其次，还有一种常见的平方根计算方法——牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种利用泰勒级数进行逼近的方法，可以用来求解方程的根。
对于求一个数a的平方根，可以利用牛顿迭代法进行逼近计算。
具体的计算过程是，首先假设一个初始值x0，然后利用迭代公式xn+1=(xn+a/xn)/2进行迭代计算，直到达到一定的精度要求为止。
牛顿迭代法在实际计算中有较高的精度和收敛速度，因此在一些科学计算和工程计算中得到了广泛的应用。
另外，还有一种常见的平方根计算方法——二分法。
二分法是一种通过不断将区间一分为二来逼近根的方法，可以用来求解方程的根。
对于求一个数a的平方根，可以利用二分法进行逼近计算。
具体的计算过程是，首先确定一个初始的区间[a, b]，然后计算区间的中点c=(a+b)/2，再根据c²与a的大小关系来调整区间的左右边界，直到达到一定的精度要求为止。
二分法在实际计算中也有较高的精度和收敛速度，因此也得到了广泛的应用。
综上所述，平方根的计算方法有很多种，其中开平方、牛顿迭代法和二分法是比较常见的几种方法。
在实际应用中，可以根据不同的需求和精度要求选择合适的计算方法。
平方根的计算与应用
平方根的计算与应用平方根是数学中常见的运算之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍平方根的计算方法以及它在实际生活和科学研究中的应用。
一、平方根的计算方法1. 开平方法开平方法是最常用的计算平方根的方法之一。
它利用数学公式和逐步逼近的思想来计算平方根。
以求解一个正数x的平方根为例，我们可以从一个猜测值开始，然后通过迭代计算逐渐接近真实的平方根。
具体的步骤如下：1) 选择一个初始猜测值g。
2) 将猜测值g带入公式，计算出g的平方r。
3) 如果r接近于x，我们可以认为g就是x的平方根，否则继续迭代计算。
4) 根据计算结果，调整猜测值g来逼近真实的平方根。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更高效的计算平方根的方法。
它利用函数的导数和切线的概念来逼近平方根。
具体的步骤如下：1) 选择一个初始猜测值g。
2) 计算出g的平方r。
3) 计算函数f(x)=x^2 - r的导数f'(x)。
4) 计算切线的斜率，即f(g)/f'(g)。
5) 利用斜率和初始猜测值计算出下一个猜测值g'，即g' = g -f(g)/f'(g)。
6) 根据计算结果，调整猜测值g来逼近真实的平方根。
二、平方根的应用平方根在实际生活和科学研究中有广泛的应用，下面我们列举几个常见的应用领域：1. 几何学平方根在几何学中有许多应用，比如计算三角形的斜边长度、计算圆的半径、计算矩形的对角线长度等。
通过计算平方根，我们可以得到准确的数值结果，用于解决各种几何问题。
2. 物理学物理学中的许多公式和方程涉及到平方根的计算，比如牛顿第二定律、斯涅尔定律等。
通过对平方根的计算，我们可以解决物理学中的各种问题，如运动物体的速度、光的折射角度等。
3. 金融学金融学中的一些指标和模型也需要使用平方根进行计算，例如波动率的计算和风险管理模型中的计算。
平方根可以帮助金融从业者更准确地评估风险、制定决策和进行投资分析。
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（4）系数矩阵A元素间数量级相差很大，并且无一定规则 A可能“病态”。
精度分析
在求得方程组Ax b的一个近似解x*后，检验精度的一个 简单方法是将x*代入方程组求得残量（余量）r b Ax*。 如果 r 很小，就认为解x*比较准确。但在“病态”严重的
方程组，也有即使残差量 r 很小，近似解与准确解的差仍 很大的情形。
上例中，方程组
x1 x1
x2 2 1.00001x2
2
x1 x1
2 0
若以x1 1, x2 1作为它的近似解，其残量
r (2, 2)T (2, 2.00001)T (0, 105)T
k 1
j 1, 2,,i 1
用平方根法解线性代数方程组的算法
（2）求解下三角形方程组
yi bi i1 lik yk lii
k 1
（3）求解LTX = y
n
xi yi lki xk lii
k i1
(i n, n 1,,1)
AT = A
A = LLT
UTLT = LU
LU 分解唯一
U = LT
用平方根法解线性代数方程组的算法
（1）对矩阵A进行三角分解，即A=LLT，由矩阵乘法： 对于 i = 1, 2,…, n 计算
1
lii aii i1 li2k 2
k1
lij aij i1 lik l jk l jj
105
,
但它们的解却大不相同，解分量
的相对误差至少为 1 。 2
误差分析
定义：如果矩阵A或常数项b的微小变化，引 起方程组Ax b解的巨大变化，则称此方程组 为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵 （相对于方程组而言）。
否则称方程组为“良态”方程组，A称为 “良态”矩阵。
矩阵的“病态”性质是矩阵本身的特性。 为了定量刻划方程组的“病态”程度，下面 对方程组Ax b就系数矩阵或右端项分别有扰动 的两种情形进行讨论。
l
ij
sij
d jj
d ii
aii
i 1
sik lik
k 1
改进平方根法解对称正定方程组的算法
令LTX = y，先解下三角形方程组LDY = b得
yi
bi
i1
dkklik yk
dii
k 1
(i 1, 2,, n)
解上三角形方程组LTX = Y得
R = LT
改进的平方根法
1
l21
A
l31
ln1
1 l32
d11
1
1
1
d 22
dnn
l21 1
l31 ln1
l32 ln2
1
d11
s21
sn1
第五章 线性方程组的迭代解法
6.3 平方根法 6.4 误差分析
平方根法
平方根法 改进的平方根法 一维压缩存储
平方根法
定理6：（对称正定矩阵的三角分解）
如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异 下三角矩阵，使A=LLT ，且当限定的对角元素为正时， 这种分解是唯一的。
设 A = LU
其中
1
d 22
sn2 dnn
sik lik d kk
l21 ln1
1
1
法
d11 a11
对于i 2 , 3, , n
sij
aij
j 1
sik l jk
k 1
改进的平方根法
定理 如果n阶对称矩阵A的所有顺序主子式均 不等于零，则矩阵A存在唯一的分解式
A = LDR其中L和R分别是n阶单位下三
角阵和单位上三角阵，D是n阶对角元素
的不为零的对角阵，上述分解也称为A
的LDR分解。
设 A = LDR
AT = A
A = LDLT
RTDLT = LDR
LDR 分解唯一
所以
x x*
A1
r A
A1
r
r
cond ( A) .
x
b
b
b
A
由上式可看出，当方程组“病态”严重时，条件数很
大，即使残量很小，解的相对误差仍可能很大。
xi
yi
n
lik
xk
k i1
(i n, n 1,,2, 1)
一维压缩存储
在编写乔累斯基程序时，考虑到系数矩阵 A 的对 称性，只要将其下三角部分
逐行存放于一维数组 A^［1∶ m］中.
方程组的病态
一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会有误差，
即有扰动，从而使计算结果产生误差。
例：方程组
x1 x1
x2 2 1.00001x2
2
x1 x2
2 0
.
而方程组
x1 x1
x2 2 1.00001x2
2.00001
x1 x2
1 .
1
比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差
别，最大相对误差为
1 2
误差分析
设b有扰动 b，相应解x的扰动记为 x,即 A(x x) b b
由 Ax b， A x b x A1 b 两边取范数 x A1 b A1 b
又因为
Ax b
x
AA
x
A1 b
A A1 b
很小，但解的误差
x x* (2, 0)T (1,1)T (1, 1)T
却不小。
精度分析
定理：设x和x*分别是方程组Ax b的准确解和近似解，
r为x*的残量，则
x - x*
r
cond ( A) .
x
b
证：因为 b Ax A x
x x* A1(b Ax* ) A1r A1 r
如果 A充分小，使得 A1 A 1,则由上式得
x
A1 A
A A1 A
A
x 1 A1 A 1 A A1 A
A
上式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与 A A1
有关。一般地，A A1 越大，解的扰动也越大。
误差分析
综上分析可知,量 A-1 A 实际上刻划了解对原始数据变化的
x
b
b
A
此式表明,当右端项有扰动时,解的相对误差不超过
右端项的相对误差的 A A1 倍。
误差分析
如果右端项无扰动，系数矩阵A有扰动 A，相应的解x 的扰动仍记为 x,则
( A A)(x x) b A x A(x x) 0 x A1 A(x x) A1 A ( x x )
A) A)
.
当A为对称矩阵时，
cond ( A)2
1 n
,
其中1，n为A的绝对值最大和绝对值最小的特征值。
条件数的性质
ⅰ）cond ( A )≥1 ⅱ）cond ( kA )= cond ( A ) k 为非零常数
ⅲ）若 A 1 ， 则 cond(A) A1
误差分析
计算条件数需要求矩阵的逆，因而比较困难。根 据数值经验，在下列情况下，方程组常是“病态”的。 （1）在用主元素法时出现小主元； （2）如果A的最大特征值和最小特征值之比（按绝对值） 是大的，则A是“病态”的。 （3）系数矩阵中有行（或列）近似线性相关，或系数行 列式的值近似于零。
灵敏程度,即刻划了方程组的“病态”程度。
定义：设A为非奇异阵，称数cond ( A)v
A1 v
A (v 1, 2或 v
）为矩阵A的条件数。
常用的条件数，有
(1)
cond ( A)
A-1
A
(2) A的谱条件数
cond ( A)2
A1 2
A 2
max min
( (
AT AT