平方根法
第四节 平方根法
l22 ln 2 lnn
求 解 顺 序 ： 按 L的 列 求 l1 1 , l 2 1 , , l n 1 l 2 2 , l 3 2 , , l n 2 l n n
第r次
a ir
a1 1 a r 1 1 a r1 a n1 a1 r 1 a r 1 r 1 a rr 1 a n r 1 a1 r a r 1 r a rr a nr
l
a l l l
n.
l1 1 lr1 l r 1 1 l n1
l r 1 r 1 l rr -1 l r 1 r -1 l n r -1 l rr l r 1 r lnr ? ?
1
i 1
1T T 1 T T 1 Tx A x 0 a , 0 A A x ) 存在非零解，即, x ( A x , ,0( A 0 ii A y 使得 其中y x) 0 ... 11... 0 ) 对任意 I 若不然，则 存在 AA I (A
a rr a ir
l
k 1
r 1
2 rk
2 ,
l
k 1
r 1
ik rk
l
l ir
, i r 1, , n .
l rr
按 列 计 算 对 称 正 定 矩 阵 C h o lesk y 分 解 .
应用Cholesky分解解线性方程组
b1 y1 , l1 1 i 1 （1 ） 解 L y b , b i l ik y k k 1 yi , i 2 , 3, , n . l ii yn xn , lnn T n （2） 解 L x y, y i lki x k k i 1 xi , i n 1, ,1 . l ii
平方根的计算方法
平方根的计算方法导言：平方根（square root）是数学中常见的运算，用于求一个数的平方根。
计算平方根可以帮助我们解决很多实际问题，例如在几何学、物理学和工程学中的应用。
本文将介绍几种计算平方根的方法，并探讨它们的优缺点。
一、牛顿法（Newton's Method）牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近平方根的值来得到更加精确的结果。
该方法基于牛顿-拉夫逊法则，其迭代公式如下：x_(x+1) = x_x - (x_x^2 - x)/(2x_x)其中，x为需要求平方根的数，x为迭代次数，x_x为迭代过程中的近似值。
通过迭代计算，x_x将逐渐逼近平方根。
牛顿法的优点是收敛速度快、迭代次数较少，适用于求解大部分整数和实数的平方根。
但是，牛顿法需要选择一个合适的初始值，否则可能导致结果偏离真实值。
二、二分法（Bisection Method）二分法是一种基于区间划分的方法，通过不断将区间缩小，逐渐逼近平方根的值。
该方法的思路是，如果一个数的平方大于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数左侧；反之，如果一个数的平方小于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数右侧。
通过不断将区间一分为二，可以逐步缩小范围。
二分法的优点是简单易实现，并且收敛性较好。
然而，与牛顿法相比，二分法的收敛速度较慢，需要更多的迭代次数。
三、连分数（Continued Fraction）法连分数法是一种将平方根表示为连分数的方法，通过截断连分数的展开式，可以近似计算平方根的值。
以求解正整数的平方根为例，设平方根为一个无限连分数：√x = x_0 + 1/(x_1 + 1/(x_2 + 1/(x_3 + 1/(x_4 + ...))))其中，x_x为连分数的系数。
通过不断截断、逼近连分数的展开，可以得到近似的平方根。
连分数法的优点是可以提供较为准确的结果，并且在计算机实现时能够保持高精度。
然而，连分数法的计算步骤繁琐，对于非整数的平方根计算较为复杂。
二次方程的解法
二次方程的解法二次方程是指形如$ax^2+bx+c=0$的方程，其中$a\neq0$。
解二次方程的方法有多种，下面将分别介绍平方根法、配方法和求根公式法。
一、平方根法对于形如$x^2=d$的方程，其中$d$为任意实数，解可通过取平方根的方式得到。
首先，将二次方程$ax^2+bx+c=0$移项变形，得到$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$。
如果方程右侧为一个完全平方数，即$\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=d^2$，其中$d$为实数，那么方程的解可表示为：$x=-\frac{b}{2a}\pm d$。
二、配方法当二次方程无法使用平方根法解时，可以使用配方法来求解。
配方法的基本思想是通过添加适当的常数，将二次项与一次项相乘后得到一个完全平方。
具体步骤如下：1. 将二次方程$ax^2+bx+c=0$移项变形，得到$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$。
2. 如果方程右侧不是一个完全平方，即$\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=d^2$不成立，那么就需要通过添加适当的常数$k$来保持方程的等价性。
3. 为了使方程的左侧可以写成一个完全平方的形式，需要将$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$中的$\frac{b}{a}x$项分解为两个相同的项，即$x^2+\frac{b}{a}x=k^2$。
4. 根据配方法的原理，常数$k$可以等于$\frac{b}{2a}$。
因此，方程变为$(x+\frac{b}{2a})^2=k^2-\frac{c}{a}$。
5. 如果右侧能够表示成某个完全平方数的形式，即$k^2-\frac{c}{a}=m^2$，其中$m$为实数，那么方程的解为$x=-\frac{b}{2a}\pm m$。
三、求根公式法求根公式法是一种较为一般化的解方程的方法，适用于任何二次方程。
平 方 根 法
L是单位下三角阵, U是上三角阵, 将U再分解
u11
u 22
1
u
nn
u12
u11 1
u1n
u11
u n1,n
DU 0
u n1,n1
1
其中D为对角阵, U0为单位上三角阵，于是
A = L U = L D U0
又
A = AT = U0TD LT
数值计算方法
点l11是 需由a11要此进1例, 行可开l以21方看a运l1出211 算，11。平 1为,方避根免l法31 开解al方13正11 运定12算方 ，2程我组们的改缺
A LDL 用 解ll3232单成位a3三3a2l角2321 阵ll32222作1为11分24解T1阵4，13即的l把32 形对a式称32 l，正22l3其1定l21中矩 0阵11A分2 2
l11 l21 ln1
l22
l
n
2
l
nn
按矩阵乘法展开，可逐行求出分解矩阵L的元素，计
算公式是对于i=1,2,…,n
i1
1
lii (aii li2k ) 2
k 1
i 1
a ji l jk lik
l ji
k 1
lii
j=i+1, i+2,…,n
这一方法称为平方根法,又称乔累斯基(Cholesky)分
数值计算方法
平方根法 工程实际计算中,线性方程组的系数矩阵
常常具有对称正定性，其各阶顺序主子式及 全部特征值均大于0。矩阵的这一特性使它的 三角分解也有更简单的形式，从而导出一些 特殊的解法，如平方根法与改进的平方根法。
平方根的运算定律
平方根的运算定律平方根（square root）是数学中常见的一个运算，用于求一个数的平方根。
平方根的运算定律包括主要的两个方面：平方根的性质和平方根的计算方法。
本文将对平方根的运算定律进行详细的论述。
一、平方根的性质1. 非负数的平方根是唯一的：对于任意一个非负数a，它的平方根是唯一确定的。
即如果b和c都是a的平方根，则b=c。
这个性质可以通过数学证明得到。
2. 负数的平方根是虚数：对于任意一个负数a，它的平方根是虚数。
虚数是指实部为0的复数，通常用i来表示。
例如，-1的平方根为i。
3. 零的平方根是零：零的平方根是零本身。
即0的平方根为0。
二、平方根的计算方法1. 开方法：开方法是一种常见的计算平方根的方法。
它的基本思想是通过逼近来求得一个数的平方根。
例如求解√a，可以选择一个近似值x0，然后通过迭代的方式不断逼近真实的平方根。
2. 牛顿迭代法：牛顿迭代法也是一种常用的计算平方根的方法。
它的基本思想是通过不断逼近零点来求得方程的解。
对于求解√a，可以将其转化为求解f(x) = x^2 - a = 0的解。
然后使用牛顿迭代法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。
3. 二分法：二分法也是计算平方根的一种常见方法。
它的基本思想是通过不断折半查找来逼近平方根。
对于一个非负数a，假设它的平方根在区间[0, a]之间，那么可以将该区间一分为二，然后判断平方根是否在左边的子区间还是右边的子区间。
通过不断迭代这个过程，最终可以得到平方根的近似值。
总结：平方根的运算定律包括平方根的性质和计算方法两个方面。
平方根的性质包括非负数的平方根是唯一的、负数的平方根是虚数以及零的平方根是零。
计算平方根可以通过开方法、牛顿迭代法和二分法等方法来实现。
这些方法都是基于数学原理和数值计算的基础上得出的，可以在实际问题中应用。
通过了解平方根的运算定律，我们可以更好地理解和应用平方根的概念，提高数学运算的效率和准确性。
在实际问题中，平方根的运算定律也具有重要的应用价值，例如在物理学、工程学和金融学等领域中经常需要用到平方根的运算。
平方根的计算方法
平方根的计算方法平方根是数学中非常常见的概念。
它表示一个数的平方根可以返回该数，即进行平方运算得到原数的操作。
然而，平方根的计算并不总是那么简单。
在这篇文章中，我们将详细介绍几种不同的方法来计算平方根。
1.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程或函数近似解的方法。
对于平方根计算来说，我们可以将问题转化为求解方程x^2=a的近似解。
迭代公式如下：x(n+1)=(1/2)*(x(n)+a/x(n))其中，x(n)是第n次迭代的近似解。
初始值可以是任意正数，后续的迭代将会越来越接近真实的平方根。
2.二分法二分法是一种用于求解函数零点的迭代算法。
对于平方根计算来说，我们可以将问题转化为求解方程x^2-a=0的近似解。
迭代公式如下：x(n+1)=(x(n)+a/x(n))/2其中，x(n)是第n次迭代的近似解。
初始值可以是任意正数，后续的迭代将会越来越接近真实的平方根。
3.整数平方根方法该方法适用于计算整数的平方根。
可以通过不断尝试从小到大的整数i，找到最大的整数i，使得i的平方小于等于给定的数a，即i^2<=a。
该方法的时间复杂度较低，但只适用于整数。
4.应用特殊数学公式有一些特殊的数学公式可以用来计算一些数的平方根。
例如，牛顿迭代公式可以使用泰勒级数展开近似计算平方根。
还有一些其他公式，如连分数、二次无理数等。
这些公式的使用需要对数学的原理有一定的了解，并且适用范围有限。
总结起来，计算平方根的方法有很多种，包括牛顿迭代法、二分法、整数平方根方法以及特殊数学公式等。
每种方法都有其适用范围和优缺点。
在实际计算中，我们可以根据具体情况选择最合适的方法来计算平方根。
学习平方根的求解方法
学习平方根的求解方法在数学学习中，平方根是一个常见的概念，用来表示一个数的平方根。
它在解决各种实际问题中起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论几种常见的平方根求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、开方法开方法是最基本也是最直观的平方根求解方法。
对于一个正数a，它的平方根表示为√a。
要求解√a，我们通常可以使用以下两种方法之一：1. 估算法：通过将a与已知的完全平方数进行比较，找到一个最接近a的完全平方数b^2（b为正整数），然后在[b, b+1)的范围内进行线性插值估算。
例如，要求解√13，我们可以发现2^2=4，3^2=9，4^2=16，13介于9和16之间，因此我们可以估算出√13约等于3 +(13-9)/(16-9) = 3.5。
2. 迭代法：通过不断迭代逼近的方法，找到a的平方根的近似值。
我们可以从一个初始值x开始，使用迭代公式x = (x + a/x)/2，直到x的值收敛于√a为止。
这种方法通常需要进行多次迭代才能得到较为准确的结果。
二、牛顿法牛顿法是一种高效的数值迭代算法，可以用来求解函数的零点。
对于求解平方根的问题，我们可以将其转化为求解函数f(x) = x^2 - a = 0的零点问题。
然后应用牛顿法进行迭代求解。
具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0，通常取a的一个近似值。
2. 根据牛顿迭代公式进行迭代计算：xn+1 = xn - (f(xn)/f'(xn))，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
3. 重复步骤2，直到迭代收敛于√a。
牛顿法的优点在于迭代速度较快，收敛性好。
然而，该方法在处理复杂函数时可能会出现收敛性问题。
三、二分法二分法是一种基于区间缩小的迭代算法，也可以用来求解平方根。
该方法基于一个简单的原理：根据中值定理，当一个连续函数在区间的两个端点取值异号时，必然在该区间内存在至少一个零点。
具体步骤如下：1. 选择一个区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，其中f(x) = x^2 - a。
平方根计算方法
平方根计算方法平方根是数学中常用的一个概念，求一个数的平方根可以帮助我们理解数的大小关系以及解决一些实际问题。
在计算平方根的过程中，我们常常用到各种不同的方法和公式。
本文将介绍几种常用的平方根计算方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求函数零点的数值逼近方法，也可以用来计算平方根。
以下是使用牛顿迭代法计算平方根的步骤：1. 我们要求解的平方根是x，我们先随意猜测一个近似值y。
2. 计算出y的平方，如果y的平方接近于x，那么y就是x的平方根。
3. 如果y的平方与x相差较大，我们可以利用牛顿迭代法进行改进。
a. 我们可以通过求函数f(y)=y^2-x的导数f'(y)来得到曲线的切线斜率。
b. 曲线上的一点(x, f(x))和曲线的切线交点(x', f(x'))可以近似地代表函数f(y)的零点。
c. 利用切线和x轴的交点求出新的近似值，再通过重复步骤3，直到y的平方接近于x。
牛顿迭代法是一种快速高效的平方根计算方法，但在实际应用中可能会出现收敛性问题。
因此，当使用牛顿迭代法时，我们需要注意收敛性的检验。
二、二分法二分法是一种基于区间逼近的方法，也可以用来计算平方根。
以下是使用二分法计算平方根的步骤：1. 我们要求解的平方根是x，我们先确定一个范围[a, b]，其中a为x的下界，b为x的上界。
2. 计算出区间的中点c，即c=(a+b)/2。
3. 如果c的平方接近于x，那么c就是x的平方根。
4. 如果c的平方大于x，说明平方根落在区间[a, c]内，那么我们将b更新为c。
5. 如果c的平方小于x，说明平方根落在区间[c, b]内，那么我们将a更新为c。
6. 重复步骤2到5，直到区间的长度足够小或满足精度要求。
三、连分数法连分数法是一种用连分数表示平方根的方法，每一项都是一个有理数。
以下是使用连分数法计算平方根的步骤：1. 将待求的平方根表示为一个连分数形式：√x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + ...)))。
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j 2, l21
i2
a a21 1 2 1, j 3, l31 31 2 l11 1 l11 1
2 l22 a22 l21 2 1 1
j 3, l32 (a32 l31l21 )
i3
1 (0 1 2) 2 l22 1
2 2 l33 a33 l31 l32 11 22
i2
1 3 1 5 , j 3, l31 a31 l11 l11 3 3
2
2 l22 a22 l21 53
j 3, l32 (a32 l31l21 )
i3
1 5 1 (9 3) 2 2 l22 3 2
a11 l11 l11 a21 l21 l11
ai 1 li 1 l11
i 1, 2 , , n
L的第一列元素 li 1可以求出 假设L的第1 ~ r 1列已求出 , 考察A的第r列元素air
2 2 arr lrk lrk lrk lrr k 1 r k 1 r r 1
3．3 平方根法 系数矩阵为对称正定矩阵的方程组称为对称正定方程组。 对 称正定方程组可用高斯消去法、LU 分解法求解，但可导出计算 量更小的平方根法。 利用对称正定矩阵的三角分解（乔累斯基分解）求解对称正 定方程组的方法称为平方根法。 3.3.1 对称正定矩阵 对称矩阵 A AT 对称正定矩阵 A AT ，且对任意非零向量 x R n 有 ( Ax, x ) x T Ax 0
air lik lrk lik lrk lir lrr
k 1 k 1
r 1
i r , r 1, , n
可得L的元素的计算公式
l11 a11
ai 1 li 1 l11
r 1
i 2 ,3 , , n
2 lrr arr lrk k 1
a11 ar 1 an 1
a1 r arr anr
a1 n l11 l11 lr 1 ln 1 arn lr 1 lrr lrr lnr lnn ann ln 1 lnr lnn
平方根法：利用对称正定矩阵的三角分解（乔累斯基分解） 求解对称正定方程组 Ax b 。 将 A LLT 代入 Ax b 有 LLT x b 令 LT x y ， 有 Ly b ， 求出 y ， 然后求三角方程组 LT x y 中 的x。 计算公式 i 1 1 yi bi lik yk ， i 1, 2, , n lii k 1 n 1 xi yi lki xk ， i n, n 1, ,1 lii k i 1
例 求解方程组
解
3.3.3 改进平方根法
将对称正定矩阵 A ，进行 A LDL 分解，可避免开方运算，其中 D diag( d i ) ，且 di 0 ， L 为单位下三角矩阵，有
T
由矩阵乘法当 i j 时
a11 a21 a n1
a12 a22 an 2
d2
d1 l21 l n1
d2 ln 2
1 l21 1 dn
ln1 ln 2 1
引入辅助变量 tij lij d j ，则 LDLT 分解计算公式 对于 i 1, 2,
,n , i 1
A ( LD ) ( LD )
1 2 1 2 T 1 2
其中 D diag ( d1 , d 2 ,
1 2
, d n ) ，令 L LD 为下三角矩阵，且
主对角元素均为正数，仍将 L 记为 L ，定理得证。
n 阶对称正定矩阵 A 存在唯一的对角元素均为正数的下三
角矩阵 L 使 A LLT 成立。 这种直接将 A 分解为 LLT 的方法称为矩 阵的乔累斯基分解。
5 2 ) (2 2) 2 3 2 3
l33
2 2 a33 l31 l32 17 (
例 对矩阵
进行乔累斯基分解。 解 A 为对称矩阵，且
A1 1 0 A2 1 0 A3 0
即 A 为对称正定矩阵。可进行乔累斯基分解。
i 1
l11
a11 1
a1n 1 a2n l21 ann ln1
j
1 ln 2
j 1
d1 1
d2
1 l21 1 dn
ln1 ln 2 1
aij lik d k lkj lik d k l jk lij d j ， l jj 1
, n 也是对称正定
1, 2,
,n
3． A 的特征值 i 0 ， i 1, 2,
,n ,n
4． A 的顺序主子式都大于零，即 det Ak 0 ， k 1, 2, 5． A 对称正定，则 A 的对角元素 aii 0 ， i 1, 2,
,n。
古尔维兹定理 序主子式为正。
。计算量和 LL 分解相当，
T
A LDLT
有
A L D LT D d1d 2
求解方程 即有
dn
Ax b LDLT x b
Ly b T DL x y
L xD y
T
1
有计算公式 （1）求解下三角方程组 Ly b 中的未知数 y ： y1 b1 i 1 ， （ i 1, 2, yi bi lik yk k 1 （2）计算 y DLT x 中的未知数 x： yn x n d n ， （ i n 1, n x yi l x i ki k d k i 1 i ,n）
于是，对 i 1, 2,
k 1 k 1
, n ，则有 j 1 1 lij aij lik d k l jk ， j 1, 2, dj k 1
2 , i 1 ， di aii lik dk k 1
j 1
将对称正定矩阵 A ，进行 A LDL 分解，虽然避免了开方运算，但
i 3 ， t31 a31 5 ， t32 a32 t31l21 9 5 1 4 ，l t31 5 ， 31 d1 3
5 2 t32 4 l32 2 ， d 3 a33 t31l31 t32l32 17 5 4 2 3 3 d2 2
3.3.2 对称正定矩阵的乔累斯基分解
定理 对称正定矩阵 A R nn 存在唯一的单位下三角矩阵
L 和对
角矩阵 D ，使
A LDLT
定理
对称正定矩阵 A R nn 存在唯一的主对角元素均为正
数的下三角矩阵 L ，使 A LLT 证 A 对称正定，可唯一的分解为 A LDLT 也可唯一地写成
， （ j 1, 2,
j 1 tij aij tik l jk , j 1, 2, k 1 tij , j 1, 2, , i 1 lij dj i 1 di aii tik lik k 1
, i 1 ）
计算顺序： d1 , l21 , d 2 , l31 , l32 , d3 , l41 , l42 , l43 , 且不需开方。计算行列式时，由
定理 设 A R nn 为对称正定矩阵，则 1． A 非奇异，且 A1 为对称正定矩阵。 2． Ak 为 A 的顺序主子阵，则 Ak ，k 1, 2,
a11 a21 矩阵，其中 Ak a k1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k ， k akk
, 2,1 ）
例 用改进平方根法解方程组
解
A 对称，且 系数矩阵
A1 3 0 A2 6 0 A3 4 0
方程组为对称正定方程组。
i 1
d1 a11 3
i 2, t21 a21 3, l21
t21 3 1, d 2 a22 t21l21 5 3 1 2 d1 3
（实）对称矩阵 A 正定的充要条件是 A 的各阶顺
4 1 0 例 判断矩阵 A 1 4 1 0 1 4
的正定性。 解 A 为对称矩阵，且
A1 4 0 A2 4 4 (1)(1) 15 0 A3 56 0
即 A 为对称正定矩阵。
r 2 , , n
lir
air lik lrk
k 1
r 1
lrr
i r 1, , n
例 对矩阵
进行乔累斯基分解。 解 A 为对称矩阵，且
A1 3 0 A2 6 0 A3 4 0
即 A 为对称正定矩阵。可进行乔累斯基分解。
i 1
l11
T
在计算每个元素时多了相乘的因子， 因此乘积计算量比 LL 分解约大了一 倍，但分析计算 lij , di 的公式可以看出，式中许多计算是重复的。为了避 免重复计算，作如下的变换 其中 T LD ，即有
1 l21 l n1 1 ln 2
T
A LDLT TLT
d1 1 1 l21 1 dn ln1 ln 2 1