数学---广东省潮州市2016-2017学年高二(上)期末试卷(文)(解析版)

2016-2017学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”的否定是（）A．∃x0∈R，x﹣x+1＜0 B．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0C．∃x0∈R，x﹣x+1≤0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞02．（5分）“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（）A．B．C．或D．以上都不对5．（5分）函数f（x）=3x﹣4x3，（x∈[0，1]）的最大值是（）A．B．﹣1 C．0 D．16．（5分）已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．27．（5分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=70°B．a=60，c=48，B=60°C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°8．（5分）当x＞0，y＞0，+=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．169．（5分）在数列{a n}中，a n+1=ca n（c为非零常数）且前n项和S n=3n+k，则k等于（）A．﹣1 B．1 C．0 D．210．（5分）若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5分）若x，y满足约束条件，且目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，0）D．（﹣4，2）12．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）二、解答题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知{a n}是公差为d的等差数列，a1=1，如果a2•a3＜a5，那么d的取值范围是．14．（5分）抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为．15．（5分）若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．16．（5分）已知F1，F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的交点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=﹣1，2a1+a3=﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为S n，若S k=﹣99，求k．18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+m+3=0无实根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C对应的三边，已知b2+c2=a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若2sin2=cos C，判断△ABC的形状．20．（12分）一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于（）2km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？21．（12分）设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0，）的距离比点P到x轴的距离大．（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线l：y=kx与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|=2，求k的值．（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y0）是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C 的切线方程．22．（12分）设函数f（x）=ln x﹣ax+﹣1．（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x1∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题1．B【解析】命题“∃x0∈R，x﹣x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．故选：B．2．B【解析】双曲线的标准方程为﹣=1，则a=b=，则双曲线为等轴双曲线，则双曲线离心率e=，即充分性成立，反之若双曲线离心率e=，则双曲线为等轴双曲线，但方程不一定为x2﹣y2=3，即必要性不成立，即“双曲线方程为x2﹣y2=3”是“双曲线离心率e=”的充分不必要条件，故选：B3．A【解析】法一：∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，∴a1+2d=4，即a3=4．故选A．法二在等差数列中，∵a1+a5=a2+a4=2a3，∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，∴a3=4．故选A．4．C【解析】由，利用余弦定理得：=+c2﹣2c×，即c2﹣3c+10=0，因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或．故选C5．D【解析】函数f（x）=3x﹣4x3的导数为f′（x）=3﹣12x2=3（1﹣4x2），由f′（x）=0，可得x=（﹣舍去）f（x）在[0，）递增，（，1）递减，可得f（x）在x=处取得极大值，且为最大值1．故选：D．6．D【解析】∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=∴f（1）+2f′（1）=2故选D．7．D【解析】A、∵A=45°，C=70°，∴B=65°，又b=10，∴由正弦定理==得：a==，c=，此时三角形只有一解，不合题意；B、∵a=60，c=48，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac cos B=3600+2304﹣2880=3024＞0，∴此时三角形有一解，不合题意；C、∵a=7，b=5，A=80°，∴由正弦定理=得：sin B=，又b＜a，∴B＜A=80°，∴B只有一解，不合题意；D、∵a=14，b=16，A=45°，∴由正弦定理=得：sin B==＞，∵a＜b，∴45°=A＜B，∴B有两解，符合题意，故选D8．D【解析】∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．9．A【解析】由a n+1=ca n，得，所以数列{a n}是等比数列，因为当公比不等于1时等比数列的前n项和S n=，而S n=3n+k，由此可知k=﹣1．故选A．10．C【解析】因为抛物线为y2=4x，所以p=2设A、B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则，即x1+x2=4，故|AB|=x1+x2+p=4+2=6．故选C．11．B【解析】画出区域图，可知当a=0时，z=2y，即y=z，符合题意；当a＞0时，y=﹣x+z，斜率﹣＞﹣1，即0＜a＜2时符合题意；当a＜0时，y=﹣x+z，斜率﹣＜2，即﹣4＜a＜0时符合题意；综上，a∈（﹣4，2），故选：B．12．D【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+e x0，PF2=a﹣e x0则a（a+e x0）=c（a﹣e x0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．二、解答题13．【解析】{a n}是公差为d的等差数列，a1=1，∵a2•a3＜a5，∴（1+d）（1+2d）＜1+4d，即2d2﹣d＜0，解得d．故答案为：．14．4【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，∴可得所求点的横坐标为4．故答案为：4．15．﹣2【解析】∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．16．y=±x【解析】∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2|PF2|．由双曲线定义知|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2a，由已知易得|F1F2|=|PF2|，∴2c=2a，∴c2=3a2=a2+b2，∴2a2=b2，∵a＞0，b＞0，∴=，故所求双曲线的渐近线方程为y=±x．故答案为y=±x．三、解答题17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，依题意，得，解得a1=1，d=﹣2所以数列{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）d=﹣2n+3（Ⅱ）S n===﹣n2+2n令S k=﹣k2+2k=﹣99，即k2﹣2k﹣99=0解得k=11，或k=﹣9（舍去）18．解：命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则3﹣m＞m+1＞0，解得﹣1＜m＜1．命题q：关于x的方程x2+2mx+m+3=0无实根．则△=4m2﹣4（m+3）＜0，解得＜m＜．（1）命题p为真命题，则实数m的取值范围是（﹣1，1）；（2）“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则命题p与q必然一真一假，∴，或．解得：m∈∅或，或＜m≤﹣1．∴实数m的取值范围是∪．19．解：（1）在△ABC中，由余弦定理得b2+c2﹣a2=2bc cos A，又b2+c2=a2+bc，∴cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵2sin2=cos C，∴cos B+cos C=1，∴cos B+cos（﹣B）=1，可得：cos B+cos cos B+sin sin B=1，∴sin B+cos B=1，可得：sin（B+）=1，∵B∈（0，π），∴B=，C=，∴△ABC是等边三角形．20．解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个km+400km所用的时间，因此，t=+≥2=10．当且仅当=，即x=80时取“=”．故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．21．解：（1）过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可知：丨PM丨﹣丨PN丨=，而y≥0，∴|PN|=y，∴=y﹣，化简得x2=2y（y≥0）为所求的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，解得：，，A（0，0），B（2k，2k2）则丨AB丨=，∴k4+k2﹣6=0而k2≥0，∴k2=2，∴k=±，∴k的值±．（3）Q（1，y）是曲线C上一点，∴x2=2y，y=，∴切点为（1，），由y=x2，求导得y'=x，∴当x=1时k=1，则直线方程为y﹣（x﹣1），即2x﹣2y﹣1=0是所求切线方程．22．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣a﹣（1）当a=1时，f（x）=ln x﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，f′（x）=﹣1，∴f′（1）=0∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2．（2）f′（x）=﹣=﹣．∴当0＜x＜1，或x＞2时，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＞0．当a=时，函数f（x）的单调增区间为（1，2）；单调减区间为（0，1），（2，+∞）．（3）当a=时，由（2）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=﹣若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立⇔g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值（*）又g（x）=x2﹣2bx﹣=（x﹣b）2﹣b2﹣，x∈[0，1]，①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，[g（x）]min=g（0）=﹣＞﹣与（*）矛盾②当0≤b≤1时，[g（x）]min=g（b）=﹣b2﹣，由﹣b2﹣及0≤b≤1，得，≤b≤1；③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，[g（x）]min=g（1）=﹣2b及b＞1得b＞1．综上，b的取值范围是[，+∞）．。