2010届高中物理高考复习学案：曲线运动及天体运动规律应用
高三物理第二轮复习 曲线运动及天体运动规律的应用第2讲万有引力定律在天体运动中的应用 新人教版
专题四 曲线运动及天体运动规律的应用第2讲 万有引力定律在天体运动中的应用【核心要点突破】知识链接一、万有引力定律及应用思路1.万有引力定律：叫引力常量其中万2211221/1067259.6,kg m N G rm m G F ∙⨯==- 2.（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。
即 222224T r m r m r v m ma r Mm G πω====向（2）万有引力等于重力二、宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速度）：是卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小速度V 1=7.9Km/s 。
（2）第二宇宙速度（脱离速度）：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，V 2=11.2Km/s 。
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，V 3=16.7 Km/s 。
深化整合【典例训练1】（2010·安徽理综·T17）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。
假设探测器在离火星表面高度分别为1h 和2h 的圆轨道上运动时，周期分别为1T 和2T 。
火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G 。
仅利用以上数据，可以计算出A ．火星的密度和火星表面的重力加速度B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C ．火星的半径和“萤火一号”的质量D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力【命题立意】本题以“萤火一号”火星探测器为背景材料,体现了现代航天技术始终是高考的一个热点。
主要考查对万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动等知识点的综合运用能力。
【思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：【规范解答】选A.设火星的半径为R ，火星的质量为M ，由向万F =F 可得：2121214)(m )(M G T h R h R m π+=+，2222224)(m )(M G T h R h R m π+=+，联立可以求出火星的半径为R ，火星的质量为M ，由密度公式334M M R V πρ==，可进一步求出火星的密度；由mg M G 2=Rm ，可进一步求出火星表面的重力加速度，A 正确。
高三物理“曲线运动”第4课时天体运动中容易出错的几个问题复习学案
江苏省常州市西夏墅中学高三物理“曲线运动”第4课时 天体运动中容易出错的几个问题复习学案【典型例题】天体运动作为高中物理的一个重要组成部分,在备考复习中占有一定位置。
虽然内容不多但由于和航天、卫星等高科技相关,近年来受到较大关注。
但测试时常常不能很好完成这类题目，表现出理解上的一些偏差，归纳起来常出现的错误有以下几个方面。
1、对公式的理解不到位，机械记忆公式，出现混淆公式中M 和m 、R 和r.例1、(2005年北京，20)已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍。
不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出（ ）Ａ．地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8Ｂ．地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4Ｃ．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为 8∶9Ｄ．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为 81∶4分析：2、混淆自转和公转例2、同步卫星离地心距离为r ，运行速率为V 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球 自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为V 2，地球的半径为R ，则下列比值正确的是（ ） A ．a1a2 =r R B.a1a2 =(R r )2 C. v1v2 =r R D. v1v2 =rR 分析：3、混淆运行速度和发射速度例3、人造地球卫星绕地球运转时，其运转的速率与轨道半径的关系，下列说法正确的是（ ）A ．根据牛顿第二定律：万有引力提供卫星作圆周运动需要的向心力，即r GM v r v m r Mm G ==得22，由此得到卫星的速率随运转半径的增大而减小．B ．因第二宇宙速度(脱离速度)比第一宇宙速度(环绕速度)大，所以轨道半径越大的卫星速率越大．C ．增大卫星的运转速率，会出现受力的供需不平衡，即：rv m F 2〈，卫星会作远离圆心的运动，于是可得运转半径越大的卫星速率越大．D ．人造地球卫星的转动速率r GM v =，随轨道半径的增加而减小，当卫星速率减小后，会跳到轨道半径更大的轨道上运动，那么卫星在大气层中不断受到大气的摩擦阻力，速率不断减小，于是其轨道半径不断增大。
高三物理总复习—天体运动经典教案
高三物理总复习—天体运动经典教案第一部分：平抛运动和圆周运动1. 物体做曲线运动的条件当物体所受的合外力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
合运动与分运动具有等时性、独立性和等效性。
2.物体（或带电粒子）做平抛运动或类平抛运动的条件是：①有初速度②初速度方向与加速度方向垂直。
3.物体做匀速圆周运动的条件是：合外力方向始终与物体的运动方向垂直；绳子固定物体通过最高点的条件是：为绳长）L gL v (≥；杆固定通过最高点的条件是：0≥v 。
物体做匀速圆周运动的向心力即物体受到的合外力。
4.描述圆周运动的几个物理量为：角速度ω，线速度v ，向心加速度a ，周期T ，频率f 。
其关系为：22222244rf Tr r r v a ππω==== 5.平抛（类平抛）运动是匀变速曲线运动，物体所受的合外力为恒力，而圆周运动是变速运动，物体所受的合外力为变力，最起码合外力的方向时刻在发生变化。
第二部分：万有引力定律及应用1.在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供，其基本关系式为：rf m T r m r m r v m ma r Mm G 22222244ππω=====向，在天体表面，忽略星球自转的情况下：mg R Mm G =22.卫星的绕行速度、角速度、周期、频率和半径r 的关系：⑴由r v m r Mm G 22=，得rGM v =，所以r 越大，v 越小。
⑵由r m r Mm G 22ω=，得3r GM =ω，所以r 越大，ω越小⑶由r T m r Mm G 222??=π，得GM r T 32π=，所以r 越大，T 越大。
⑷由)(2g ma r Mm G '=向，得2)(r GM g a ='向，所以r 越大，a 向(g/)越小。
3. 三种宇宙速度：第一、第二、第三宇宙速度⑴第一宇宙速度（环绕速度）：是卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小速度V 1=7.9Km/s 。
高中物理高考复习学案：曲线运动及天体运动规律应用
高考物理复习学案：曲线运动及天体运动规律应用【命题趋向】《大纲》对匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度等考点为Ⅰ类要求，对运动的合成与分解，抛体运动，匀速圆周运动的向心力等考点均为Ⅱ类要求。
对万有引力定律及其应用，环绕速度等考点均为Ⅱ类要求，对第二宇宙速度和第三宇宙速度等考点为Ⅰ类要求。
抛体运动与圆周运动是高中阶段学习的两种重要的运动形式，是历年高考重点考查的内容之一。
平抛运动、匀速圆周运动的规律及物体做曲线运动的条件是考查的重点和难点，万有引力定律与天体问题是历年高考必考内容。
考查形式多以选择、计算等题型出现。
本部分内容常以天体问题（如双星、黑洞、恒星的演化等）或人类航天（如卫星发射、空间站、探测器登陆等）为背景，考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。
这类以天体运动为背景的题目，是近几年高考命题的热点，特别是近年来我们国家在航天方面的迅猛发展，更会出现各类天体运动方面的题。
【考点透视】1．理解曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
（2）曲线运动的特点：○1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。
○3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。
2．理解运动的合成与分解物体的实际运动往往是由几个的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系：○1分运动的性；○2运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；○3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
） 3.理解平抛物体的运动的规律（1）物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。
2010-2019年高考物理真题分专题训练 专题05 曲线运动 (学生版)
十年高考真题分类汇编(2010－2019) 物理专题 05曲线运动选择题：1.(2019•海南卷•T6)如图，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO’的距离为r ，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为µ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g 。
若硬币与圆盘一起OO’轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为A.12g r μB.g r μC.2g r μD.2g rμ 2.(2019•海南卷•T10)三个小物块分别从3条不同光滑轨道的上端由静止开始滑下。
已知轨道1、轨道2、轨道3的上端距水平地面的高度均为4h 0；它们的下端水平，距地面的高度分别为10h h =、202h h =、303h h =，如图所示。
若沿轨道1、2、3下滑的小物块的落地点到轨道下端的水平距离分别记为s 1、s 2、s 3，则A.12s s >B.23s s >C.13s s =D.23s s =3.(2019•全国Ⅱ卷•T6)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。
某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v 表示他在竖直方向的速度，其v-t 图像如图(b)所示，t 1和t 2是他落在倾斜雪道上的时刻。
则A. 第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小B. 第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大C. 第一次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大D. 竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大4.(2019•江苏卷•T6)如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动.座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱A.运动周期为2πRB.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为mω2R5.(2018·江苏卷)某弹射管每次弹出的小球速度相等.在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球.忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的A. 时刻相同，地点相同B. 时刻相同，地点不同C. 时刻不同，地点相同D. 时刻不同，地点不同6.(2018·北京卷)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。
高考综合复习——曲线运动天体运动
高考综合复习——曲线运动与万有引力复习专题一曲线运动的合成与分解、抛体运动总体感知知识网络第一部分曲线运动的合成与分解知识要点梳理知识点一——曲线运动▲知识梳理1．曲线运动物体运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。
2．曲线运动的速度方向曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是曲线上该点的切线方向。
3．曲线运动的性质做曲线运动的物体，速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。
4．物体做曲线运动的条件从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向不在一条直线上，物体就做曲线运动；从动力学角度来说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动。
▲疑难导析物体做曲线运动所受合力的效果：如图所示，物体受到的合力F跟速度方向成角。
将力F沿切线方向和垂直切线方向分解为和，可以看出分力使物体速度大小发生改变，分力使物体的速度方向发生改变。
即在F的作用下，物体速度的大小和方向均改变，物体必定做曲线运动。
说明：①当或时，方向不变，物体做直线运动。
②当时，=0，v大小不变；方向改变，物体做速度大小不变、方向改变的曲线运动，即匀速圆周运动。
③当时，使物体速度增加，此时物体做加速运动；当时，分力使物体速度减小，此时物体做减速运动。
知识点二——运动的合成与分解▲知识梳理一、运动的合成与分解1．已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。
分运动与合运动是一种等效替代关系，运动的合成与分解是研究曲线运动的一种基本方法．2．合运动与分运动的关系（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
（3）等效性：各分运动的叠加与合运动有完全相同的效果。
二、合运动的性质和轨迹的判定合运动的性质和轨迹：由合初速度和合加速度共同决定。
1．两个匀速直线运动的合运动为一匀速直线运动。
曲线运动知识点总结
曲线运动知识点总结曲线运动是物体在运动过程中所形成的曲线运动轨迹。
在物理学中，曲线运动是研究物体在运动中所产生的力和速度变化，以及运动轨迹的规律性。
本文将对曲线运动的概念、运动规律、运动轨迹和应用领域等方面进行全面总结和分析。
一、曲线运动的概念曲线运动也被称为非匀速运动或弯曲运动。
它是指物体在运动过程中所呈现出来的复杂运动轨迹，这种轨迹往往是不规则的，通常以曲线的形式表现出来。
曲线运动所涉及的物体可以是一个质点、一个刚体或者是一个系统，其基本特征是在没有任何外力干扰的情况下，物体在运动过程中保持一定的速度或运动方向，而其运动轨迹将呈现出曲线运动的形式。
曲线运动可以分为平面曲线运动和空间曲线运动。
平面曲线运动是指物体在二维空间中的曲线运动，通常涉及在平面上的运动。
而空间曲线运动则是指物体在三维空间中的曲线运动，通常涉及在空间中的运动。
二、曲线运动的运动规律曲线运动的基本运动规律可以归纳为以下三个方面。
1.运动速度的变化规律在曲线运动过程中，物体的运动速度将随着时间的变化而发生改变。
具体来说，当物体处于曲线运动状态时，它所受到的加速度将直接影响其速度变化的快慢和方向。
通常情况下，加速度的大小和方向都会随着时间和物体所处位置的变化而发生多次变化，从而造成物体速度的不规则变化。
2.运动加速度的变化规律曲线运动中，物体所受到的加速度将对其运动方向发生影响。
具体来说，加速度的方向通常与曲线的切线方向相同或者相反，而加速度的大小则取决于曲线的强度。
如果曲线较陡峭，那么物体所受到的加速度将更大，反之则加速度更小。
同时，物体在曲线的不同位置上所受到的加速度也会有所不同，因为曲线的弯曲程度在不同位置上是不同的。
3.运动轨迹的变化规律曲线运动的最基本特征就是其不规则的运动轨迹。
在物体的运动中，曲线运动轨迹通常具有很多弯曲和转折。
这些弯曲和转折往往是由于物体所受到的力和加速度变化造成的，因此，在研究曲线运动轨迹时，必须对物体所受的运动力和加速度进行全面的分析和计算。
高考物理复习 曲线运动与天体运动
曲线运动与天体运动一、曲线运动①曲线运动：①概念：物体运动轨迹是曲线的运动。
（常见的曲线运动有斜抛运动、平抛运动以及匀速圆周运动。
在中学阶段只学习后两者。
）②条件：物体所受的合外力与其速度的方向不在同一直线上。
③曲线运动的轨迹与各矢量的关系：曲线运动的物体所受合外力及加速度方向总是指向该曲线的凹侧（即：提供向心力），其速度方向是沿该点的切线方向，其轨迹被合力与速度夹在其中。
设合力与瞬时速度夹角为θ，则当θ<90°时，物体运动速率增加；当θ=90°时，物体运动速率不变；当θ>90°时，物体运动速率减小。
②运动的合成与分解：在运动学中除时间外，其他物理量皆为矢量，所以：它们都遵守数学上的向量法则以及正交分解。
二、平抛运动①概念：物体以一定的初速度v 0沿水平方向抛出，如果物体仅受重力作用，这样的运动叫做平抛运动。
②实质以及性质：①实质：水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动。
②性质：其所受合外力为恒力，其运动轨迹为抛物线，是匀变速曲线运动。
③公式：①基本公式：①速度公式：2220t g v v +=。
速度的方向是该点在抛物线上的切线方向，它与水平方向成的角的大小为0arctan v gt =α。
②位移公式：222042t g v t S +=。
②轨迹公式：2202x v g y =。
③速度角α与位移角β的关系：0022tan 2tan v gt v gt ⨯===βα 三、匀速圆周运动、向心力和向心加速度①描述圆周运动的物理量：①线速度：l 与所用的时间t 之比就是质点的线速度大小，用υ表示；其公式为tl =υ；单位是m/s ；其方向就是质点所在圆周位置的切线方向。
②角速度：α与所用的时间t 之比就是质点的角速度大小，用ω表示；其公式为t αω=；单位是rad/s ；读作弧度每秒。
（注：弧度制规定：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1中r 是该圆半径。
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2010届高考物理复习学案：曲线运动及天体运动规律应用【命题趋向】《大纲》对匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度等考点为Ⅰ类要求，对运动的合成与分解，抛体运动，匀速圆周运动的向心力等考点均为Ⅱ类要求。
对万有引力定律及其应用，环绕速度等考点均为Ⅱ类要求，对第二宇宙速度和第三宇宙速度等考点为Ⅰ类要求。
抛体运动与圆周运动是高中阶段学习的两种重要的运动形式，是历年高考重点考查的内容之一。
平抛运动、匀速圆周运动的规律及物体做曲线运动的条件是考查的重点和难点，万有引力定律与天体问题是历年高考必考内容。
考查形式多以选择、计算等题型出现。
本部分内容常以天体问题（如双星、黑洞、恒星的演化等）或人类航天（如卫星发射、空间站、探测器登陆等）为背景，考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。
这类以天体运动为背景的题目，是近几年高考命题的热点，特别是近年来我们国家在航天方面的迅猛发展，更会出现各类天体运动方面的题。
【考点透视】1．理解曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
（2）曲线运动的特点：○1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。
○3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。
2．理解运动的合成与分解物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系：○1分运动的独立性；○2运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；○3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
） 3.理解平抛物体的运动的规律（1）物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。
物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。
（2）平抛运动的处理方法通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
(3)平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，水平初速度V0方向为沿x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t. ①位移分位移tV x 0=,221gt y =合位移2220)21()(gt t V s +=,02tan V gt =ϕ. ϕ为合位移与x 轴夹角.②速度 分速度V V x =, Vy=gt,合速度220)(gt V V +=,0tan V gt =θ.θ为合速度V 与x 轴夹角(4)．平抛运动的性质做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。
4.理解圆周运动的规律(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。
(2)描述匀速圆周运动的物理量①线速度v ，物体在一段时间内通过的弧长S 与这段时间t 的比值，叫做物体的线速度，即V=S/t 。
线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。
线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。
②角速度ω，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度θ与这段时间t 的比值叫做匀速圆周运动的角速度。
即ω=θ/t 。
对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是rad/s 。
③周期T 和频率f(3)描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:r fr T rV ωππ===22(4)向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。
对于匀速圆周运动物体其向心力应由其所受合外力提供。
rmf r T m r m r V m ma F n n 22222244ππω=====.5.理解万有引力定律（1）万有引力定律： ○1自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
○2公式：221r m m GF =，G=6.67×10-11N.m2/kg2.○3适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。
（2）万有引力定律的应用： ○1讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G 2)(h R Mm +。
所以重力加速度g= G 2)(h R M+，可见，g 随h 的增大而减小。
○2求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。
○3求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。
由G 2r Mm =m r V 2得V=r GM ，由G 2r Mm= mr(2π/T)2得T=2πGM r 3。
由G 2r Mm= mrω2得ω=3r GM ，由Ek=21mv2=21G r Mm 。
(3)三种宇宙速度：○1第一宇宙速度V1=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；○2第二宇宙速度V2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度V3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
【例题解析】类型一：运动的合成与分解的应用例1．一条宽度为L 的河流，水流速度为Vs,已知船在静水中的速度为Vc ，那么： （1）怎样渡河时间最短？（2）若Vc>Vs,怎样渡河位移最小？（3）若Vc<Vs,怎样注河船漂下的距离最短？ 解：（1）如图甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为：θsin c V Lt =.可以看出：L 、Vc 一定时，t 随sinθ增大而减小；当θ=900时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，c V L t =min .如图乙(2)所示，渡河的最小位移即河的宽度。
为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度V 的方向与河岸垂直。
这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。
根据三角函数关系有：Vccosθ─Vs=0. 所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在Vc>Vs 时，船才有可能垂直于河岸横渡。
（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。
怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，设船头Vc 与河岸成θ角，合速度V 与河岸成α角。
可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs 的矢尖为圆心，以Vc 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs.船漂的最短距离为：θθsin )cos (min c c s V L V V x -=.2图甲图乙图丙此时渡河的最短位移为：L V VL s c s ==θcos .针对训练1：如图所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M 。
滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H 。
某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率Vm 。
类型二：平抛运动的相关问题例2．如图所示，一足够长的固定光滑斜面与水平面的夹角为53°，物体A 以初速度v1从斜面顶端水平抛出，物体B 在斜面上距顶端L=20m 处同时以速度v2沿斜面向下匀加速运动，经历时间t 物体A 和物体B 在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（cos53°=0.6，sin53°=0.8，g=10 m/s2）A ．v1=15m/s ，v2=4 m/s ，t=4sB ．v1=15 m/s ，v2=6 m/s ，t=3sC ．v1=18 m/s ，v2=4 m/s ，t=4sD ．v1=18m/s ，v2=6 m/s ，t=3s解析：由平抛运动知识得t v gt 12253tan =︒，得4v1＝15t ，把各选项中的时间t 和速度v1代入上式，只有A 项能使关系式有解。
故正确答案为A 。
答案：A 。
点评：本题考查考点“平抛运动”，涉及到运动的合成与分解、匀变速直线运动等知识。
本题重在考查考生对“物体A 和物体B 在斜面上相遇”这一条件的理解应用能力。
本题不仅考查对平抛运动规律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。
如果不采用代入法而自接推导会复杂得多。
平抛运动还可结合牛顿运动定律、天体运行、电场等知识进行综合命题。
针对训练2：如图在倾角为θ的斜面顶端A 处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B 处，设空气阻力不计，求（1）小球从A 运动到B 处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？类型三：匀速圆周运动的特点分析求解皮带传动和摩擦传动问题Aω例3．如图所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
解析：因va= vc ，而vb ∶vc ∶vd =1∶2∶4，所以va ∶ vb ∶vc ∶vd =2∶1∶2∶4；ωa ∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa ∶ωb ∶ωc ∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa ∶ab ∶ac ∶ad=4∶1∶2∶4。
针对训练3：如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0=1.0cm 的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。
当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。
自行车车轮的半径R1=35cm ，小齿轮的半径R2=4.0cm ，大齿轮的半径R3=10.0cm 。
求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。
（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）类型四：水平面内和竖直面内的圆周运动问题例4．如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的AB 两处，上面绳长l=2m ，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?解析：设两细线都拉直时，A 、B 绳的拉力分别为AT 、BT ，小球的质量为m ，A 线与竖直方向的夹角为︒=30θ，B 线与竖直方向的夹角为︒=45α，受力分析，由牛顿第二定律得：当B 线中恰无拉力时，θωθsin sin 21l m T A = ①mg T A =θcos ②由①、②解得33101=ωrad/s当A 线中恰无拉力时，θωαsin sin 22l m T B = ③ mg T B =αcos ④ （3分）由③、④解得3102=ωrad/s所以，两绳始终有张力，角速度的范围是3310rad/s 310<<ω rad/s 点评：本题以圆周运动为情境，要求考生熟练掌握并灵活应用匀速圆周运动的规律，不仅考查考生对牛顿第二定律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。