直线与圆锥曲线(面积问题)2

直线与圆锥曲线（面积问题）1．如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，为两个顶点，已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4.（Ⅰ）求椭圆的方程和焦点坐标； （Ⅱ）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求的面积.2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭，离心率e = （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设过点()0,2E -的直线l 与椭圆C 相交于P Q 、两点，求OPQ ∆的面积的最大值。

3．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点()0,1C . （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于,A B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程. 4．已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于两点.当的面积最大时，求直线的方程.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其长轴为4，短轴为2.（1）求椭圆C 的方程及离心率.（2）直线l 经过定点()0,2，且与椭圆C 交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值.6．如图,已知椭圆22221(0x y a b a b+=>>)的右顶点和上顶点分别为,,A B AB 求椭圆的标准方程; (2)过点A 作斜率为(0k k >)的直线l 与椭圆交于另外一点C ,求ΔABC 面积的最大值,并求此时直线l 的方程.7．已知O 为坐标原点， M 是椭圆2212x y +=上的点，设动点P 满足2OP OM = .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线():0l y x m m =+≠与曲线C 相交于A ，B 两个不同点，求OAB ∆面积的最大值.8．已知中心在原点O ，焦点在x 的椭圆过点⎭． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点P ， Q 两点，连接PQ ，求BPQ ∆的面积的最大值．9．已知椭圆G ： 22221x y a b +=的右焦点为F ，点P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，且PF 与y 轴交点恰为PF 中点.（1）求椭圆G 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆G 于点,A C 和,B D ．求四边形ABCD 的面积的最小值．10．设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>， 12,F F 是椭圆的左右焦点，以12,F F 及椭圆（I ）求椭圆方程；（II ）过12,F F 分别作直线12,l l ，且12l l ⊥，设1l 与椭圆交于,A C 两点， 2l 与椭圆交于,B D 两点，求四边形A.BCD 面积的取值范围.参考答案1．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程，进而可得焦点坐标；（Ⅱ）根据题意得到的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式可得求出,.试题解析：（Ⅰ）由椭圆上的点到、两点的距离之和为4,得 ，椭圆方程为，点代入方程可得，从而可得椭圆的方程为，从而可得焦点坐标为.（Ⅱ）将与联立，消去，得.2．(1) 2214x y +=;(2)1. 【解析】试题分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在，不合题意，可设直线l ：y=kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值． 试题解析：（Ⅰ）由点1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上得， 221314a b +=①c e a ==又所以② 由①②得2223,4,1c a b ===，故椭圆C 的标准方程为2214x y += ()()1122:=2,,,,.II l x l y kx P x y Q x y ⊥-（）当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得 ()224116120.k x kx +-+=1=2OPQ S d PQ ∆⋅=244,0,.4444,20.1OPQ t t t S t t tt t k t OPQ ∆=>==+++≥==∆>∆则因为当且仅当，即的面积最大值为 3．（1）2212x y += （2）10,10x y x y -+=++= 【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得1b =得22a =（2）设直线l 点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及弦长公式求底边AB 长，再根据点到直线距离公式得高，最后根据三角形面积公式列方程，解出直线斜率，注意验证斜率不存在时是否满足题意试题解析：解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为： 22221x y a b+= (0)a b >>，由已知：2221{b c a a b c ===+得： 22a =， 21b =，所以，椭圆E 的方程为： 2212x y +=. （Ⅱ）由已知直线l 过左焦点()1,0F -．当直线l 与x 轴垂直时，1,A ⎛- ⎝⎭，B ⎛- ⎝⎭，此时AB =则1122OAB S ∆==，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为： ()1y k x =+由()221{ 12y k x x y =++= 得()2222124220k x k x k +++-=所以2122412k x x k +=-+， 21222212k x x k -=+， 而12121122OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-， 由已知23OAB S ∆=得1243y y -=，， 所以()22222441612912k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±， 所以直线l 的方程为： 10x y -+=或10x y ++=．4．(1) .（2） 或.【解析】试题分析：（1）由条件知a=2b ，,又,可得a,b ，故得到E 的方程；（2）设出直线l 的方程和点P 的坐标，联立直线l 与椭圆方程，当判别式大于0时，根据韦达定理得根与系数的关系得到的长。

根据点到直线距离公式代入面积中，得到其关于k 的表达式，根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k 的值，即求得l 的方程.试题解析：(1) 设F(c,0)，由条件知a=2b ，得,又，所以a=2， ,故的方程.（2）依题意当轴不合题意，故设直线l ：y=kx-2，设将y=kx-2代入，得，当，即时，,从而,又点O 到直线PQ 的距离，所以OPQ 的面积，设，则t>0，，当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ 的面积最大时，的方程为： 或.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．5．（1）2214x y +=， e =（2）1 【解析】试题分析：（1）根据条件可得2a =， 1b =，即得椭圆C 的方程，及离心率．（2）先设直线方程为： 2y kx =+，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长AB ，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示OAB 面积，最后根据基本不等式求最大值试题解析：解：（Ⅰ） 2a =， 1b =，c =，∴椭圆C 的方程为： 2214x y +=，离心率：c e a ==． （Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为： 2y kx =+，由2244{2x y y kx +==+，得()224116120k x kx +++=，()()()22216441121643k k k ∆=-+⨯=-，由0∆>得： 2430k ->， 设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1221641k x x k -+=+， 1221241x x k =+，AB ==又∵原点O 到直线的距离d =∴12OABS AB d =⨯==41==． 当且仅当22164343k k -=-，即2434k -=时，等号成立， 此时OAB 面积的最大值为1．点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.6．（1）2214x y +=；（2）直线l 的方程是y=112x .【解析】试题分析：(1)由题意得222222{5, c a a b a b c =+==+据此解答即可;(2) 由题意,设与AB 平行的椭圆的切线方程为12y x m =-+, 联立方程组, 消去,y 根据0∆= ,求出m ,然后求出点C 的坐标,即可解答.试题解析：(1)由题意得22222{5, c a a b a b c =+==+2{1a b ==解得，22,14x y +=所以椭圆方程为.(2) 12AB k =-, 设与AB 平行的椭圆的切线方程为12y x m =-+, 联立方程组得221{ ,244y x mx y =-++= 消去y 得222220x mx m -+-=, ①()2244220m m ∆=--=,解得m =.0,k m >∴=代入到①中得x =代入到y=12x --y =, 当取C的坐标是⎛⎝⎭时,ΔABC 的面积最大, dΔABC S=121,此时,直线l 的方程是y =112x .7．（1）22184x y +=；（2）【解析】试题分析：（1）设点()()11,,,P x y M x y ，,则由2OP OM =，得112,2x x y y ==，利用“逆代法”可得动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线():0l y x m m =+≠与曲线22184x y C +=,联立可得2234280x mx m ++-=，，根据韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式将OAB ∆面积用m 表示，利用基本不等式 即可得结.试题解析：（1）设点，,则由，得，即，，因为点在椭圆，所以，故22184x y +=，即动点的轨迹的方程为22184x y +=. （2）由曲线与直线联立得，消得，因为直线与曲线交于，两点，所以，又，所以.设， ，则， ，因为点到直线：的距离，，所以，，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.【方法点晴】本题主要考查逆代法求曲线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最大值的.8．（Ⅰ）2219x y +=；（Ⅱ） 278．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则223{ 2719c a a b =+=可求得a b ，（Ⅱ）由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为o ．故可设直线BP 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >，由221{990y kx x y =++-=，消去y 得()2219180k xkx ++=，求弦长|BP|，将式子中的0k >换成1k -，得221116212829BPQ BQ S BP BQ k k k k ∆⎛⎫==+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，设1k t k +=，则2t ≥． 2162964BPQ tS t ∆=+利用基本不等式即得解. 试题解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22{ 2719c a a b =+=，故3{ 1a b ==， 所以，椭圆方程为2219x y +=． （Ⅱ）由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为o ．故可设直线BP 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >，由221{990y kx x y =++-=，消去y 得()2219180k x kx ++=，则BP =0k >换成1k -，得：29BQ k =+．12BPQS BP BQ ∆==22118··2199k k ++=211891k k =+()221629191k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2211621829k k k k ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，设1k t k+=，则2t ≥． 故2162964BPQ t S t ∆==+162276489t t≤=+，取等条件为649t t =即83t =， 即183k k +=，解得k =时， BPQ S ∆取得最大值278． 9．（1）22132x y +=；（2）9625【解析】试题分析：（1）由题意易得()1,0F ，即1c =，根据椭圆的定义122PF PF a +=可求出a 的值，故而可求出b ，即可求出椭圆的方程；（2）考虑直线AC 的斜率为0或不存在，分别求得面积，讨论当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的方程为()1y k x =-，（ 0k ≠），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得AC ，将k 换为1k-得BD ，由四边形的面积公式，运用换元法和基本不等式，可得最小值；，即可得到面积的最小值试题解析：（1）依题意， ()1,0F ，另一焦点坐标为()1,0-，123PF PF +=+=a = 1c =，所以b =所以椭圆G 的方程为22132x y +=． （2）当AC 垂直于坐标轴时， 2BD a =， 22b AC a=， 21242S AC BD b ===，当AC 不垂直于坐标轴时，设直线AC 的方程为()1y k x =-， 0k ≠， ()11,A x y ，()22,B x y由()221{ 321x y y k x +==-，得()2222326360k x k x k +-+-=， 0∆>， 2122632k x x k +=+， 21223632k x x k -=+，12AC x =-=AC == 同理，2132BD k==+， 所以()()()()2222242241112426322366136k k S AC BD k k k k ⎛⎫+ ⎪===- ⎪++++⎝⎭， 因为24222116613625613k k k k k =≤=++++，当且仅当221k k =，即1k =±时等号成立，所以min 119624662525S ⎛⎫=-=⎪⨯⎝⎭. 10．(1) 22143x y += (2) 288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）布列关于a ，b 的方程组，解得椭圆方程，（2）直线():i l y k x m =+，联立方程得()222223484120kxk mx k m +++-=，利用韦达定理表示()2212143k AC k +=+，()2212143k BD k +=+， ()()22222721121ABCDk Sk k +=++，换元求值域即可.试题解析：（I ）由题设可得： 2{a c bc ==， 222abc -= ， 224,3a b ∴==，故椭圆方程为22143x y += （2）当直线斜率不存在时， 6S =当直线斜率存在时，设直线():i l y k x m =+，代入椭圆方程得：()222223484120k x k mx k m +++-=,则2221212228412,?3434k m k m x x x x k k --+=-=++所以弦长:12x =-== A.C 的斜率为k ，不妨设0k >，则()2212143k AC k +=+，()2212143k BD k +=+()()()()()2222222222422121121721721124343122512121ABCDk k k k S k k k k k k ++++∴=⋅⋅==++++++ ()22227272288,649121211k kk k ⎡⎫==∈⎪⎢⎣⎭++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 综上，四边形A.BCD 面积的取值范围是288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，面积问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。