圆锥曲线-面积问题(原题+答案)
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
32个经典圆锥曲线问题
圆锥曲线32题1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．3. 已知椭圆的离心率为在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；（2）当的面积等于时，求的值．8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．11. 已知椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值?若是，求出该值；若不是，说明理由．12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，．14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，求直线的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3是一个定值．25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．35. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．36. 已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若的取值范围．圆锥曲线32题答案1. （1）由题设知：，即．将点代入椭圆方程得，解得．所以，故椭圆方程为．（2）由（）知，，所以，所以所在直线方程为，由得，设，，则，所以所以2. （1）因为椭圆的离心率为，所以．解得，故椭圆的方程可设为，则椭圆的左焦点坐标为，过左焦点且倾斜角为的直线方程为：．设直线与椭圆的交点为，，由消去，得，解得，．因为，解得．故椭圆的方程为．（2）①当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程，得消去并整理，得．因为直线和椭圆有且只有一个交点，所以．化简并整理，得．因为直线与垂直，所以直线的方程为．联立方程组解得所以把代入上式得②当切线的斜率为时，此时或，符合式．③当切线的斜率不存在时，此时或符合式．综上所述，点的轨迹方程为．3. （1）由题意得解得，．所以的方程为．（2）设直线（，），，，．将代入，得．故，．于是直线的斜率所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4. （1）因为，且通过原点，所以所在直线的方程为．由得，两点坐标分别是，．所以．又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．（2）设所在直线的方程为，由得．因为，两点在椭圆上，所以，即．设，两点坐标分别为，，则，且，．所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以．当时，边最长．（显然）．所以，所在直线的方程为．5. （1）由题意，知椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，由题意，知，，又，则，所以椭圆方程为．（2）设，，由题意，知直线的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立，即消去，得，，由根与系数的关系，知又，即有，所以．则所以．整理，得，又时等式不成立，所以，得，此时．所以的取值范围为．6. （1）抛物线的准线为，所以，所以抛物线方程为．（2）由（1）知点的坐标是，由题意得，．又因为，所以．因为，所以所以的方程为的方程为由联立得所以的坐标为．7. （1）设圆心的坐标为，由题意，知圆心到定点和直线的距离相等，故圆心的轨迹的方程为．（2）由方程组消去，并整理得．设，，则设直线与轴交于点，则．所以因为，所以，解得．经检验，均符合题意，所以．8. （1）因为，所以设点的坐标为，点的坐标为由得则则，解得．（2）设点的坐标为，点的坐标为，由得，得，则．由得，解得，代入上式得：，则，，当且仅当时取等号，此时，又则，解得．所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为．9. （1）由题意可得，抛物线上点到点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义，即．（2）由（1）得，抛物线方程为，，可设，，．因为不垂直于轴，可设直线：，由消去得，故又直线的斜率为的斜为．从而得直线：，直线：．所以设，由，，三点共线得，于是所以或．经检验，或满足题意．综上，点的横坐标的取值范围是．10. （1）因为，所以．又点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为．由得，设，的坐标分别为，，的中点为，则因为是等腰的底边，所以．所以的斜率．此时方程为，解得，，所以，所以．此时，点到直线的距离，所以的面积11. （1）因为椭圆的离心率为，所以，．因为，解得，，所以椭圆的方程为．（2）法1：因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．设直线的斜率为，则直线的斜率为所以直线的方程为，直线的方程为．设点，，由消去，得因为点在椭圆上，所以是方程的一个根，则．所以．同理．所以．又．所以直线的斜率为所以直线的斜率为定值，该值为法2：设点，，则直线的斜率，直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．所以，即因为点，在椭圆上，所以由得，得同理由得由得，化简得由得得．得，得所以直线的斜率为为定值．法3：设直线的方程为，点，，则，，直线的斜率，直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．所以，即化简得．把，代入上式，并化简得由消去得则，，代入得，整理得，所以或．若，可得方程的一个根为，不合题意．若时，合题意．所以直线的斜率为定值，该值为．12. （1）由题意可知：，又，，所以，，所以椭圆的方程为：．（2）①若直线的斜率不存在，此时为原点，满足，所以，方程为．②若直线的斜率存在，设其方程为，，将直线方程与椭圆方程联立可得即，可得设，则，，由可知，解得或，将结果代入验证，舍掉．此时，直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．13. （1）根据及题设知，．将代入，解得或故的离心率为（2）由题意，得原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即由得设，由题意知，则即代入的方程，得将及代入得．解得，，故，．14. （1）据题意，为点到直线的距离，连接，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以所以点的轨迹是抛物线，焦点为，准线为直线所以曲线的方程为．（2）据题意，，过点的切线斜率存在，设为，则切线方程为：，联立抛物线方程可得，由直线和抛物线相切，可得，即因为，所以方程存在两个不等实根，设为，，因为，，由方程可知，所以切线，所以，结论得证．15. （1）由题意设双曲线方程为．由已知得，，再由，得．故双曲线的方程为．（2）设，，将代入，得．由题意知解得．所以的取值范围为．16. （1）因为抛物线上的点到轴的距离等于，所以点到直线的距离等于点到焦点的距离，得是抛物线的准线，即解得，所以抛物线的方程为；可知椭圆的右焦点，左焦点，由，得，又，解得，由椭圆的定义得，所以，又，得，所以椭圆的方程为．（2）显然，，由消去，得，由题意知，得，由消去，得，其中，化简得，又，得，解得，设，，则，由所以的取值范围是．17. （1）由题意可得：，又，解得．所以椭圆的方程为：．（2）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，由，解得．设，，，所以，，则直线的方程为：，令，可得所以直线与轴的交点为．18. （1）依题意，设抛物线的方程为．由抛物线且经过点，得，所以抛物线的方程为．（2）因为所以，所以，所以直线与的倾斜角互补，所以．依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，将其代入抛物线的方程，整理得．设，则，，所以．以替换点坐标中的，得．所以所以直线的斜率为19. （1）联立方程有，有，由于直线与抛物线相切，得，所以，所以．（2）假设存在满足条件的点，直线，有，设，，有，，，，，当，满足为定值，所以．20. （1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以．设内切圆的半径为，点的坐标为，则的重心的坐标为，因为，所以．由面积可得即，则解得，，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．（2）设，，，则切线，的方程分别为，．因为点在两条切线上，所以，．故直线的方程为．又因为点为直线上，所以，即直线的方程可化为，整理得，由解得因此，直线过定点21. （1）由题意可得：直线的斜率存在，设方程为：，设，，动点，由可得．可得．；；由可得即点的轨迹方程为（2）设直线的方程为：（且），由可得，可得，因为直线与抛物线相切，所以，可得，可得，又由可得可得，所以以线段为直径的圆过点．22. （1）由题意可知：，，椭圆的离心率，则，所以椭圆的标准方程：．（2）设直线的方程为．消去整理得：．设，，则，，所以为定值．23. （1）过，两点作准线的垂线，垂足分别为，，易知，，因为所以，所以为的中点，又是的中点，所以是的中位线，所以而，所以所以，，所以，而，所以；（2）因为为的中点，是的中点，所以，所以，所以，所以抛物线的方程为．24. （1）双曲线的，，可得双曲线的渐近线方程为，即为．（2）令可得，解得，（负的舍去），设，，由为的中点，可得，，解得，，即有，可得的斜率为，则直线的方程为，即为．（3）设，即有，设，，由为的中点，可得，，解得，，则为定值．25. （1）设所在直线的方程为，抛物线方程为，联立两方程消去得．设，，则．由题意知，，且，所以，所求抛物线的方程为．（2）由点为抛物线上的点，得．由题意知直线，的斜率均存在，且不为，设直线的方程为，则直线的方程为．由得，因而由得，因而从而直线的斜率26. （1）由题意可知：，，所以椭圆的标准方程：，设直线的方程，则整理得：，解得：，，则点坐标，故直线的斜率，直线的斜率所以所以；（2）由（Ⅰ）可知：四边形的面积，则三角形，，由，整理得：，则，所以，的最小值．27. （1）设，，由题知抛物线焦点为，设焦点弦方程为，代入抛物线方程得，有，解之得，由韦达定理：，所以中点横坐标：，代入直线方程，中点纵坐标：为，消参数，得其方程为：，当线段的斜率不存在时，线段中点为焦点，满足此式，故动点的轨迹方程为：．（2）设，代入，得，，联立，得，同理，，所以，又因为，故与的面积比为．28. （1）因为过点，所以，解得所以抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线为（2）设过点的直线方程为，，所以直线为，直线为：，由题意知，，由可得，所以，，所以，所以为线段的中点．29. （1）由题意可知：椭圆的离心率，则椭圆的准线方程，由由解得：，，则，所以椭圆的标准方程：．（2）方法一：设，时，与相交于点，与题设不符，当时，则直线的斜率的方程，直线的斜率，则直线的斜率，直线的方程，联立解得：则，由，在椭圆上，，的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或相反，则或，所以或，则解得：则或无解，又在第一象限，所以的坐标为：．方法二：设，由在第一象限，则，，当时，不存在，解得：与重合，不满足题意，当时，，，由，，则，，直线的方程的方程联立解得：，则，由在椭圆方程，由对称性可得：，即，或，由，在椭圆方程，解得：或无解，又在第一象限，所以的坐标为：．30. （1）设中点为，中点为，以，所在的直线分别为轴，轴，为原点建立直角坐标系．因为，动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设其长、短半轴的长分别为，，半焦距为，则，，，所以曲线的方程为：．（2）直线的方程为，设，，由方程组得方程，，，故．35. （1）设，由题意知，点一定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得，，解得，，所以的标准方程为．设，依题意知，点在抛物线上，代入抛物线的方程，得，所以的标准方程为．（2）设，，，由知，故直线的方程为，即，代入椭圆的方程，整理得，，，，所以设点到直线的距离为，则所以当且仅当时，取等号，此时满足．综上，面积的最大值为．36. （1）由题意，得，，则椭圆为．由得．因为直线与椭圆有且仅有一个交点，所以，所以椭圆的方程为．（2）由（1）得．因为直线与轴交于，所以当直线与轴垂直时，，所以当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由，依题意得，，且，所以所以，因为，所以．综上所述，的取值范围是．。
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（ ）p q qp 11+（A ）（B ）（C ） （D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。
（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。
e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（ ）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（ ）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
第九讲 圆锥曲线中弦长和面积问题
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 2· －85t2－4×4（t25－1） ＝452· 5－t2， 当 t＝0 时，|AB|max＝4 510.故选 C.
变式训练. 过双曲线 x2－y22＝1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若 使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条，则 λ＝ 44 ．
(2)若直线 l：y＝kx＋m(k，m 为常数，k≠0)与椭圆 Γ 交于不同的两点 M
和 N. (ⅰ)当直线 l 过 E(1，0)，且E→M＋2E→N＝0 时，求直线 l 的方程；
(ⅱ)当坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23，且△ MON 的面积为 23时，求 直 线 l 的倾斜角．
解析 (1)∵A1(a，0)，B1(0，1)，
∴S△MON＝12×|MN|× 23＝
3 4
3（k2＋1）（9k 2＋1）
（3k 2＋1）2
.
∵△MON 的面积为 23，
由
3 4
3（k2（＋31k）2＋（19）k 22＋1）＝ 23，可得 k＝± 33，
设直线 l 的倾斜角为 θ，则 tan θ＝± 33， 由于 0≤θ＜π，∴θ＝π6或 θ＝56π.
解析 ∵使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直． 此时 A，B 的横坐标为 3，代入双曲线方程，可得 y＝±2，故|AB|＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4， ∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4， 综上可知，|AB|＝4 时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.
[方法点拨] 求解弦长的 4 种方法 (1)当弦长的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点 间的距离公式求解． (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程， 利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
圆锥曲线专题
圆锥曲线专题一、求面积问题方法：利用焦点三角形及定义1、已知椭圆14922=+y x 的左右焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点， （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积2、已知双曲线14522=-y x 的左右焦点为F 1、F 2，P 为双曲线上一点， （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积二、求轨迹方程（一）与两个定圆相切的圆心轨迹方程（用圆心距解题）1.一动圆与两圆：012812222=+-+=+x y x y x 和都外切，则动圆的圆心 的轨迹方程是什么？2. 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
（二）用代入法求轨迹1.已知圆922=+y x ，从圆上任意一点P 向x 轴作垂线段/PP ，点M 在/PP 上，并且/2MP =，求点M 的轨迹。
2.双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。
三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）常用方法：方程的根与系数关系；弦长公式；对焦点弦要懂得用焦半径公式（连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
点差法； （一）求相交弦长1．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.2.求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；变式：双曲线X 2-22y =1,截得直线Y=x+M 所得的弦长为求M 的（二）中点问题1.已知中点坐标：以定点为中点的弦所在直线的方程（1）过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
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直线与圆锥曲线的位置关系
专题一:面积问题
1、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3
π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
2121x x k AB -+=
]4))[(1(212212x x x x k -++=．
因为6=a ，3=b ，所以33=c ．
又因为焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为19
362
2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．
由直线方程与椭圆方程联立得
0836372132=⨯++x x ．
设1x ，2x 为方程两根， 所以13
37221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而13
48]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3
6短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2
213
x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥
轴时，AB =
（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+。
2
=，得223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，
122631km x x k -∴+=+，21223(1)31
m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-2222
2223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)
k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤。
当且仅当2
219k k =
，即3k =±时等号成立。
当0k =
时，AB = 综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 1222
S AB =⨯⨯=。
3、如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A 、B 两点，记ABC ∆的面积为S 。
（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （Ⅱ）当12==，S AB 时，求直线AB 的方程。
解：（Ⅰ）解：设点A 的坐标为()b x ,1，点B 的坐标为()b x ,2， 由14
22
=+b x ，解得22112b x -±=，， 所以212
1x x b S -⋅= 212b b -⋅=
，b b 112=-+≤ 当且仅当2
2=b 时，S 取到最在值1， （Ⅱ）解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14
,22y x b kx y 得 ，b k b x x k 01241222=-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
，b k 1422+-=∆
2121x x k AB -⋅+=
2411412
222
=++-⋅+=k b k k 设O 到AB 的距离为d ，则
，AB
s d 12== 又因为，k
b
d 21+= 所以，k b 122
+=代入②式并整理，得 ，k k 04124=+
- 解得，，b k 23,2122==
代入①式检验，0 ∆。
故直线AB 的方程是
2
622,262226222622--=+-=-=+=x y x y ，x y ，x y 或或或。
4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，2
2a 4c
=。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。
解：设椭圆方程为).(0b a 1b
y a x 22
22>>=+
（I ）由已知得 2222c b a 4c 2a c
b +=== ⇒ 1
c 1b 2
a 222=== ∴所求椭圆方程为
.1y 2
x 22
=+
（II ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为2kx y +=，),(),,(2211y x B y x A
由 1y 2x 2
kx y 22
=++=消去y 得关于x 的方程：
068kx x 2k 122=+++)(
由直线l 与椭圆相交A 、B 两点，∴△02k 12464k 022>+-⇒>)(， 解得2
3k 2>， 又由韦达定理得 2212
212k 16x x 2k 18k
x x +=⋅+-
=+
212212212x 4x x x k 1x x k 1AB -++=-+=∴)(
24
16k 2k 1k 1222-++=. 原点O 到直线l 的距离2k 12
d +=
2222ADB
2k 132k 222k 12416k d AB 21S +-=+-=⋅=∴∆
解法1：对222k
12416k S +-=两边平方整理得： 024S k 4S 4k 4S 22242=++-+)( （*）
0S ≠ ，
∴ 04S 24S 0S S -40
24S 4S 44S 162
22
2
2222>+>≥+⨯--)()( 整理得：.2
1S 2≤ 又0S >，
2
2S 0≤<∴. 从而AOB S ∆的最大值为22S =
， 此时代入方程（*）得
214k 0
4928k 4k 24±=∴=+-
所以，所求直线方程为： 042y x 14=+-±.
解法2：令)(0m 32k m 2>-=
， 则3m 2k 22+=，
222m
4m 224m m 22S 2≤+=+=∴. 当且仅当m 4m =
即2m =时， 2
2S max =
此时2
14k ±=. 所以，所求直线方程为 042y x 14=+-±.
解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零.
设直线l 的方程为2kx y +=，)(11y ,x A ，)(22y ,x B
则直线l 与x 轴的交点),(0k
2D - 由解法一知：23k 2>且 2212212k 16x x 2k 18k
x x +=⋅+-
=+
解法1：2kx 2kx k
221y y OD 21S 2121AOB --+⋅=-⋅=
∆ 222
22
12212
12k 132k 222k 12416k x 4x x x x x +-=+-=-+=-=)(
下同解法一
解法2：PO A PO B AO B S S S ∆∆∆-=
2
212122k 132k 22x x x x 22
1+-=-=-⨯⨯=
下同解法一
5、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为2
2，21,F F 为其焦点，一直线过点1F 与椭圆相交于B A ,两点，且AB F 2∆的最大面积为2，求椭圆的方程。
解：由e ＝2
2得1:1:2::=c b a ，所以椭圆方程设为22222c y x =+ 设直线c my x AB -=:，由⎩⎨⎧=+-=22222c
y x c my x 得：02)2(222=--+c mcy y m 0)1(8)22(4)2(4422222222>+=+=++=∆m c m c m c c m 设),(),,(2211y x B y x A ，则21,y y 是方程的两个根 由韦达定理得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222221221m c y y m m c y y 所以21224)(222122121++=-+=-m m c y y y y y y c c y y F F S ABF 222121212∙=-=∆2
122++m m ＝22222221221
1122c c m m c =∙≤+++ 当且仅当0=m 时，即x AB ⊥轴时取等号 1,222==∴c c
所以，所求椭圆方程为12
22
=+y x。