圆锥曲线中的面积问题
圆锥曲线中的面积问题
圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x y a b a b-=>上一点，且12F PF θ∠=，则122cot 2PF F S b θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________例2：已知点P 是椭圆2216251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF 的斜率为-，则12PF F △的面积是（ ）A. B. C. D.例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.8D.例4：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK △的面积是（ ）A. 4B.C.D. 8例5：以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，已知点M 的坐标为()2,1，双曲线C 上点()()0000,0,0P x y x y >>满足11211121P F M F F F M FP F F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S -△△等于（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 1-例6：已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IFF S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（）A.12+ B.1C. 1D. 1例7：已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的c a 为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点 （1）求E 的方程（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 面积最大时，求l 的方程例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的c a 为12，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2 （1）求椭圆C 的方程（2）若,,,P Q M N 是椭圆C 上的四点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 面积的最小值例9：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=（1）求点P 的轨迹方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA 和PAM 的面积满足2PQM PAM SS =？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
圆锥曲线：弦长公式与面积的12类题型考法总结 高考数学
PQ = 3.
【答案】(1)求椭圆C的方程；(2)求△ 面积的取值范围.
试卷讲评课件
【详解】(1)依题意， = ，当直线的斜率不存在时，由 = ，
得直线过点
为
+
,
，于是
+
= ，解得 = ，所以椭圆的方程
= .
(2)依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为
【解析】 = .
试卷讲评课件
(3)是否存在常数，使得 + = ⋅ 恒成立？若存在，
求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由于PF 的方程为 = �� + ，将其代入椭圆方程得
+ − + − = ，由违达定理得
+
+
−
− − +
− +
+
=
试卷讲评课件
3.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，
不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两
个三角形的底边长.
= + = ∣ ∣∣ − ∣
＋
＋
由 ＞，得0＜ ＜ ，所以 ＜＜.综上可得：
＋
＜
≤ ，即 ∈
( ,
].
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例2.已知 P 为椭圆
x2
8
+
y2
2
= 1 上的一个
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
4圆锥曲线的弦长面积问题-中等难度-讲义
圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解一、弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦长AB 为：()2221212121141x AB k x x k x x x x k a∆=+-=++-=+()1212122221111141y AB y y y y y y k k ka∆=+-=++-=+或二、面积问题1.三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+002211122a1x ABPkx y mS AB d k k∆∆-+=⋅=+⋅+2.焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为112121212y ABF c S F F y y c y y a∆∆=⋅-=-=H OyxPBA3.平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==三、范围问题方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 ：222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） 2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k =时，等号成立3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+ 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 5）2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.经典例题一．选择题（共9小题）1．（2018•德阳模拟）设点P为椭圆C：x249+y224=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24B．12C．8D．6【解答】解：∵点P为椭圆C：x 249+y224=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，|PF1|+|PF2|=2a=14∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，∴△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2=12×PF1⋅PF2=24，∵△PF1F2的重心为点G．∴S△PF1F2=3S△GF1F2，∴△GPF1的面积为8，故选：C．2．（2018•邵阳三模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为2√1313，且两焦点与短轴端点构成的三角形的面积为6，则椭圆C的标准方程是（）A ．x 216+y 29=1B ．x 216+y 213=1C ．x 213+y 29=1D ．x 213+y 24=1【解答】解：设椭圆半焦距为c ，则{c a=2√131312×2c ×b =6a 2−b 2=c 2，解得a=√13，b=3，c=2．故椭圆方程为：x 213+y 29=1．故选：C ．3．（2018•齐齐哈尔三模）已知双曲线x 22−y 2=1的左焦点为F ，抛物线y 2=12x 与双曲线交于A ，B 两点，则△FAB 的面积为（ ） A ．2B ．1+√2C ．2+√2D ．2+√3【解答】解：双曲线x 22−y 2=1的左焦点为F （﹣√3，0），由{x 22−y2=1y 2=12x可得：A （2，1），B （2，﹣1），则△FAB 的面积为：12×(2+√3)×2=2+√3．故选：D ．4．（2018•珠海二模）已知F 是双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，P是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M ，若点P ，M ，F 三点共线，且△MFO 的面积是△PMO 面积的4倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．√3B ．√5C ．√6D ．√7【解答】解：如图以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线y=bax 交于点M ，由△MFO 的面积是△PMO 面积的4倍，可得|MF |=4|MP |， 由OM ⊥PF ，设F （c ，0），可得|MF |=√a 2+b 2=b ，则|PM |=b4，在直角三角形POF 中，由射影定理可得， |OF |2=|MF |•|FP |，即为c 2=b•54b=54（c 2﹣a 2），则c 2=5a 2，即有e=ca=√5．故选：B ．5．（2018•重庆模拟）已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M 、N 两点，与抛物线的准线交于P 、Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（ ） A ．16√3B ．12√3C ．4√3D ．3【解答】解：根据题意画出示意图：依题意，抛物线抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0）， ∴圆的圆心坐标为F （1，0）．∵四边形MNPQ 是矩形，且PM 为直径，QN 为直径，F （1，0）为圆的圆心， ∴点F 为该矩形的两条对角线的交点，∴点F 到直线PQ 的距离与点F 到MN 的距离相等．∵点F 到直线MN 的距离d=2， ∴直线MN 的方程为：x=3， ∴M （3，2√3），∴则矩形MNPQ 的面积是：4×4√3=16√3． 故选：A ．6．（2018•武汉模拟）过点P （2，﹣1）作抛物线x 2=4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为（ ）A ．√32B ．√33 C ．12D ．34【解答】解：设过P 点的直线方程为：y=k （x ﹣2）﹣1，代入x 2=4y 可得x 2﹣4kx +8k +4=0，①令△=0可得16k 2﹣4（8k +4）=0，解得k=1±√2．∴PA ，PB 的方程分别为y=（1+√2）（x ﹣2）﹣1，y=（1﹣√2）（x ﹣2）﹣1， 分别令y=0可得E （√2+1，0），F （1﹣√2，0），即|EF |=2√2．∴S △PEF =12×2√2×1=√2，解方程①可得x=2k ，∴A （2+2√2，3+2√2），B （2﹣2√2，3﹣2√2）， ∴直线AB 方程为y=x +1，|AB |=8，原点O 到直线AB 的距离d=√22，∴S △OAB =12×8×√22=2√2．∴△PEF 与△OAB 的面积之比为12．故选：C ．7．（2018•马鞍山三模）已知抛物线C ：y 2=4√3x 的准线为l ，过C 的焦点F 的直线交l 于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ，若F 为线段AB 的中点，BH ⊥AB 交l 于H ，则△BHF 的面积为（ ） A ．12√3B ．16√3C ．24√3D ．32√3【解答】解：抛物线C ：y 2=4√3x 的准线为为x=﹣√3，焦点F （√3，0）， 设直线AB 的方程为y=k （x ﹣√3）， 由{y =k(x −√3)x =−√3，解得x=﹣√3，y=﹣2√3k ，∴A （﹣√3，﹣2√3k ）， ∵F 为线段AB 的中点， ∴x B ﹣√3=2√3，y B ﹣2√3k=0， ∴x B =3√3，y B =2√3k将点B 坐标代入y 2=4√3x ，可得12k 2=4√3×3√3， 解得k=±√3，不妨令k=√3，∴A （﹣√3，﹣6），B （3√3，6）， ∵k BH •k BA =﹣1， ∴k BH =﹣√33， 设H （﹣√3，y H ），∴H −√3−3√3=﹣√33， 解得y H =10，∴|BH |=√(−√3−3√3)2+(10−6)2=8， |BF |=√(3√3−√3)3+62=4√3，∴S △BHF =12|BH |•|BF |=12×8×4√3=16√3，故选：B ．8．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：x 23﹣y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．2√3D ．4【解答】解：双曲线C ：x 23﹣y 2=1的渐近线方程为：y=±√33x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F （2，0）的直线为：y=√3(x −2)，则：{y =−√33xy =√3(x −2)解得M （32，−√32），{y =√33x y =√3(x −2)解得：N （3，√3）， 则|MN |=(3−32)+(√3+√32)=3．故选：B ．9．（2008秋•中山区校级月考）斜率为2的直线l 经过抛物线x 2=8y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．40【解答】解：设直线l 的倾斜解为α，则l 与y 轴的夹角θ=90°﹣α， cotθ=tanα=2， ∴sinθ=√5，|AB |=8sin 2θ=815=40．故选：D ．二．填空题（共6小题）10．（2018•邵阳三模）已知Q 为椭圆C ：x 23+y 2=1上一动点，且Q 在y 轴的右侧，点M （2，0），线段QM 的垂直平分线交y 轴于点N ，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q 的横坐标为32． 【解答】解：设直线MQ 的中点为D ，由题意知ND ⊥MQ ，直线ND 的斜率存在，设Q （x 0，y 0），（y 0≠0，x 0＞0），∴点D 的坐标为（x 0+22，y 02），且直线MQ 的斜率k MQ =y 0x 0−2，∴k ND =﹣1k MQ =2−x 0y 0，∴直线ND 的方程为y ﹣y 02=2−x 0y 0（x ﹣x 0+22），令x=0，可得y=x 02+y 02−42y 0，∴N （0，x 02+y 02−42y 0），由x 023+y 02=1可得x 02=3﹣3y 02， ∴N （0，−2y 02−12y 0），∴S四边形OQMN =S△OQM +S△OMN =12×2×|y 0|+12×2×|−2y 02−12y 0|=|y 0|+|2y 02+12y 0|=2|y 0|+12|y 0|，即y 0=±12，x 0=32等号成立，故Q 的横坐标为32，故答案为：3211．（2018•齐齐哈尔二模）已知点P 是双曲线x 22﹣y 2=1 上的一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|+|PF 2|=4√2，则△PF 1F 2的面积为 √5 ． 【解答】解：不妨设P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF 1|﹣|PF 2|=2√2，又|PF 1|+|PF 2|=4√2， ∴|PF 1|=3√2，|PF 2|=√2，又|F 1F 2|=2c=2√3，∴cos ∠F 1PF 2=PF 12+PF 22−F 1F 222PF 1⋅PF 2=23，sin ∠F 1PF 2=√53，∴△PF 1F 2的面积为12×3√2×√2×√53=√5．故答案为：√5．12．（2018•沈阳一模）已知正三角形△AOB （O 为坐标原点）的顶点A 、B 在抛物线y 2=3x 上，则△AOB 的边长是 6√3 ． 【解答】解：由抛物线的对称性可得∠AOx=30°，∴直线OA 的方程为y=√33x ，联立{y =√33x y 2=3x，解得A （9，3√3）．∴|AO |=√81+27=6√3． 故答案为：6√3．13．（2018•甘肃模拟）抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE →=NM →+NF →，则△MNF 的面积为 3√22．【解答】解：准线方程为x=﹣1，焦点为F （1，0）， 不妨设N 在第三象限， ∵2NE →=NM →+NF →， ∴E 是MF 的中点，∴NE=12MF=EF ，∴NE ∥x 轴，又E 为MF 的中点，E 在抛物线y 2=4x 上，∴E （12，﹣√2），∴N （﹣1，﹣√2），M （0，﹣2√2），∴NF=√6，MN=√3，∴S △MNF =12×√6×√3=3√22故答案为：3√2214．（2016秋•九龙坡区校级期中）如图所示，过抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作直线交C 于A 、B 两点，过A 、B 分别向C 的准线l 作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F 与BB′A′F 的面积分别为15和7，则△A′B′F 的面积为 6 ．【解答】解：设△A′B′F 的面积为S ，直线AB ：x=my +p2，代入抛物线方程，消元可得y 2﹣2pmy ﹣p 2=0设A （x 1，y 1） B （x 2，y 2），则y 1y 2=﹣p 2，y 1+y 2=2pmS △AA'F =12|AA'|×|y 1|=12|x 1+p 2||y 1|=12（y 122p +p 2）|y 1|S △BB'F =12|BB'|×|y 2|=12|x 2+p 2||y 2|=12（y 222p +p 2）|y 2|∴12（y 122p +p 2）|y 1|×12（y 222p +p 2）|y 2|=p 24（p 22+y 124+y 224）=p 44（m 2+1） S △A′B′F =p2|y 1﹣y 2|=p 2√m 2+1=S∵四边形AA′B′F 与BB′A′F 的面积分别为15和7∴p 44（m 2+1）=（15﹣S ）（7﹣S ） ∴14S 2=（15﹣S ）（7﹣S ） ∴34S 2﹣22S +105=0 ∴S=6 故答案为：615．（2016春•芒市校级期中）斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，则|AB |得最大值为 4√105．【解答】解：设直线l 的方程为y=x +t ，代入椭圆x 24+y 2=1消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1=0，由题意得△=（2t ）2﹣5（t 2﹣1）＞0，即t 2＜5． 弦长|AB |=4√2×√5−t 25≤4√105．当t=0时取最大值． 故答案为：4√105．三．解答题（共5小题）16．（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅰ）直线l 与椭圆Γ交于A ，B 两点，AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√32，则c a =√32，得c=√32a，b=12a，所以3x 24c2+3y2c2=1，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为x 24+y2=1．（Ⅰ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得y=±√32，S△AOB=12×1×√3=√32，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由{y=kx+mx2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，所以x0=−4km1+4k2，y=kx0+m=−4k2m1+4k2+m=m1+4k2，将(−4km1+4k2，m1+4k2)代入x2+y2=1，得m2=(1+4k2)216k2+1，又因为|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅41+4k2√1+4k2−m2，原点到直线l的距离d=√1+k2，所以S△AOB=12×|m|√1+k2×√1+k2⋅41+4k2√1+4k2−m2=2|m|1+4k2√1+4k2−m2=21+4k2×2√16k2+1×√1+4k2×√1−1+4k216k2+1=2√12k 2(1+4k 2)(16k 2+1)2=216k 2+1×√12k 2(1+4k 2)≤216k 2+1×1+16k 22=1．当且仅当12k 2=1+4k 2，即k =±√24时取等号．综上所述，△AOB 面积的最大值为1．17．（2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a＞b ＞0）的离心率为√22，两条准线之间的距离为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2+y 2=89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a =√22，2a 2c=4√2，解得a=2，c=b=√2．∴椭圆的方程为：x 24+y 22=1．（2）△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，∴AB=2AM ， ∴点M 为AB 的中点．∵椭圆的方程为：x 24+y 22=1．∴A （﹣2，0）．设M （x 0，y 0），则B （2x 0+2，2y 0）．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1， 化为：9x 02﹣18x 0﹣16=0，−2√23≤x 0≤2√23．解得：x0=﹣23．代入解得：y0=±23，∴k AB=±1 2，因此，直线AB的方程为：y=±12（x+2）．18．（2018•衡阳一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，直线y=1与C的两个交点间的距离为4√63．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B 两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）易知椭圆过点(2√63，1)，所以83a2+1b2=1，①…（2分）又c a =12，②…（3分）a2=b2+c2，③…（4分）①②③得a2=4，b2=3，所以椭圆的方程为x 24+y23=1．…（6分）（Ⅰ）设直线l1：x=my﹣1，它与C的另一个交点为D．与C联立，消去x，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，…（7分）△=144（m2+1）＞0.|AD|=√1+m2⋅12√1+m23m2+4，…（9分）又F2到l1的距离为d=2√1+m，…（10分）所以S△ADF2=12√1+m23m2+4．…（11分）令t=√1+m2≥1，则S△ADF2=123t+1t，所以当t=1时，最大值为3．…（14分）又S四边形ABF2F1=12(|BF2|+|AF1|)⋅d=12(|AF1|+|DF1|)⋅d=12|AB|⋅d=S△ADF2所以四边形ABF2F1面积的最大值为3．…（15分）19．（2018•江苏二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．【解答】解：设P（x0，y0），Q（x1，y1）．（1）在y=x+3中，令x=0，得y=3，从而b=3．……（2分）由{x 2a 2+y 29=1，y =x +3得x 2a 2+(x+3)29=1． 所以x 0=−6a 29+a 2． ……（4分）因为PB 1=√x 02+(y 0−3)2=√2|x 0|，所以4√2=√2⋅6a 29+a2，解得a 2=18． 所以椭圆的标准方程为x 218+y 29=1． ……（6分）（2）方法一：直线PB 1的斜率为k PB 1=y 0−3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为k QB 1=−x 0y 0−3． 于是直线QB 1的方程为：y =−x 0y 0−3x +3．同理，QB 2的方程为：y =−x 0y 0+3x −3． ……（8分）联立两直线方程，消去y ，得x 1=y 02−9x 0． …（10分）因为P （x 0，y 0）在椭圆x 218+y 29=1上，所以x 0218+y 029=1，从而y 02−9=−x 022． 所以x 1=−x 02． ……（12分） 所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2=|x 0x 1|=2． ……（14分）方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k'，则直线PB 1的方程为y=kx +3．由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y =−1k x +3．将y=kx +3代入x 218+y 29=1，得（2k 2+1）x 2+12kx=0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0=−12k2k 2+1．…（8分）因为P （x 0，y 0）在椭圆x 218+y 29=1上，所以x 0218+y 029=1，从而y 02−9=−x 022． 所以k ⋅k′=y 0−3x 0⋅y 0+3x 0=y 02−9x 02=−12，得k′=−12k ． ……（10分）由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y=2kx ﹣3．联立{y =−1k x +3，y =2kx −3则x =6k 2k 2+1，即x 1=6k 2k 2+1． ……（12分） 所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2=|x 0x 1|=|−12k 2k 2+16k 2k 2+1|=2． ……（14分）20．（2018•黄州区校级模拟）如图，从椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F ，又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP ，|FA |=2√2+2，（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）过F 且斜率不为0的直线l 与C 相交于M ，N 两点，线段MN 的中点为E ，直线OE 与直线x=﹣4相交于点D ，若△MDF 为等腰直角三角形，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）令x=﹣c ，得y =±b 2a ．所以P (−c ，b 2a )．直线OP 的斜率k 1=−b 2ac ．直线AB 的斜率k 2=−b a ．故b 2ac =b a 解得b=c ，a =√2c ．由已知及|FA |=a +c ，得a +c =2√2+2， 所以(1+√2)c =2√2+2，解得c=2．所以，a =2√2，b=2所以C 的方程为x 28+y 24=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅰ）易得F （﹣2，0），可设直线l 的方程为x=ky ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程组x=ky ﹣2和x 2+2y 2=8，消去x，整理得（k2+2）y2﹣4ky﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由韦达定理，得y1+y2=4k2+k2，y1y2=﹣42+k2，所以y1+y22=2k2+k2，x1+x22=k(y1+y2)2−2=﹣42+k2，即C（﹣42+k2，2k2+k2），所以直线OC的方程为y=﹣k2x，令x=﹣4，得y=2k，即D（﹣4，2k），所以直线DF的斜率为2k−0−4+2=﹣k，所以直线DF与l恒保持垂直关系，故若△ADF为等腰直角三角形，只需|AF|=|DF|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即√4+4k2=√(x1+2)2+y12=√(1+k2)y12，解得y1=±2，又x128+y124=1，所以x1=0，所以k=±1，从而直线l的方程为：x﹣y+2=0或x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。
圆锥曲线面积问题解题技巧
圆锥曲线面积问题解题技巧
哇塞，朋友们！今天咱们就来好好唠唠圆锥曲线面积问题解题技巧这些事儿。
咱就说，对于圆锥曲线，是不是有时候感觉就像一团乱麻，理都理不清呀！
比如说椭圆吧，已知一个椭圆的方程，然后让你求某个图形的面积，这时候该咋办呢？嘿！先别慌！咱得冷静分析。
你看啊，就像解开一团纠结的毛线，得找到那个关键的线头。
拿双曲线来说，假如给你一个双曲线，还有一些条件，让你算一个和它相关的三角形面积。
这就相当于在迷宫里找出口，得有方法呀！比如咱可以通过巧妙运用一些公式和定理，像发现宝藏一样找到解题的关键。
再说说抛物线，那可真是像个调皮的小精灵，稍不注意就给你来个难题。
可咱不能怕呀！咱得勇敢面对呀！就像打游戏冲关一样，一步步找到技巧。
同学小张就曾经在这上面栽过跟头，他老是抓不住重点，急得直跺脚。
我就跟他说：“嘿，别急呀，咱慢慢分析，肯定能找到突破口。
”后来呀，他静下心来，按照一些方法去做，果然就把难题给解决了。
其实呀，解决圆锥曲线面积问题就像攀岩，得一步一个脚印，找好着力点。
有时候看似困难无比，但是只要你掌握了技巧，就会发现其实也没那么难嘛！遇到问题咱就得迎上去，和它正面交锋！绝对不能退缩。
我的观点就是，只要我们认真去学，多练习，多总结，圆锥曲线面积问题的解题技巧一定能被我们牢牢掌握！大家一起加油吧！。
第九讲 圆锥曲线中弦长和面积问题
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 2· －85t2－4×4（t25－1） ＝452· 5－t2， 当 t＝0 时，|AB|max＝4 510.故选 C.
变式训练. 过双曲线 x2－y22＝1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若 使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条，则 λ＝ 44 ．
(2)若直线 l：y＝kx＋m(k，m 为常数，k≠0)与椭圆 Γ 交于不同的两点 M
和 N. (ⅰ)当直线 l 过 E(1，0)，且E→M＋2E→N＝0 时，求直线 l 的方程；
(ⅱ)当坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23，且△ MON 的面积为 23时，求 直 线 l 的倾斜角．
解析 (1)∵A1(a，0)，B1(0，1)，
∴S△MON＝12×|MN|× 23＝
3 4
3（k2＋1）（9k 2＋1）
（3k 2＋1）2
.
∵△MON 的面积为 23，
由
3 4
3（k2（＋31k）2＋（19）k 22＋1）＝ 23，可得 k＝± 33，
设直线 l 的倾斜角为 θ，则 tan θ＝± 33， 由于 0≤θ＜π，∴θ＝π6或 θ＝56π.
解析 ∵使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直． 此时 A，B 的横坐标为 3，代入双曲线方程，可得 y＝±2，故|AB|＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4， ∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4， 综上可知，|AB|＝4 时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.
[方法点拨] 求解弦长的 4 种方法 (1)当弦长的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点 间的距离公式求解． (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程， 利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
(完整版)圆锥曲线-面积问题(原题+答案)
直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．又因为焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根， 所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+。
=，得223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
圆锥曲线专题
圆锥曲线专题一、求面积问题方法：利用焦点三角形及定义1、已知椭圆14922=+y x 的左右焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点， （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积2、已知双曲线14522=-y x 的左右焦点为F 1、F 2，P 为双曲线上一点， （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积二、求轨迹方程（一）与两个定圆相切的圆心轨迹方程（用圆心距解题）1.一动圆与两圆：012812222=+-+=+x y x y x 和都外切，则动圆的圆心 的轨迹方程是什么？2. 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
（二）用代入法求轨迹1.已知圆922=+y x ，从圆上任意一点P 向x 轴作垂线段/PP ，点M 在/PP 上，并且/2MP =，求点M 的轨迹。
2.双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。
三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）常用方法：方程的根与系数关系；弦长公式；对焦点弦要懂得用焦半径公式（连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
点差法； （一）求相交弦长1．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.2.求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；变式：双曲线X 2-22y =1,截得直线Y=x+M 所得的弦长为求M 的（二）中点问题1.已知中点坐标：以定点为中点的弦所在直线的方程（1）过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
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圆锥曲线中的面积问题
1 .过椭圆2222x y +=的中心O 的直线交椭圆A,B 两点 ，求ΔAF 2B 面积的最大值.
2.若椭圆22
22b
y a x +=1(a ＞b ＞0)与直线l :x +y =1在第一象限内有两个不同的交点，求a 、b 所满足的条件，并求出点P (a ,b )的所在区域面积。
3. 已知A 、B 是椭圆19162
2=+y x 的两个右、上顶点，
（1）C 、D 是椭圆上两点，且分别在AB 两侧，求四边形ACBD 面积的最大值；
（2）直线y=kx(k>0)交椭圆于C,D 两点，且分别在AB 两侧，求四边形ACBD 面积的最大值；
.
:)0(1:.422222
22的面积的最小值两点，求、别交于轴分轴、与，直线、，切点分别是、引两条切线向圆上的动点过椭圆MON N M y x AB B A PB PA b y x O P b a b
y a x C ∆=+>>=+
5.已知A 、B 、P(2,4)是抛物线y=―2
1x 2+m 上的点，且直线PA 、PB 的倾斜角互补，若直线AB 在y 轴上的截距为正，求△APB 面积的最大值.
6.已知抛物线x 2=4y,过点P(0,2)作直线l 与抛物线相交于点A,B.
(1)求ΔAOB 面积的最小值；
(2) AQ ，BQ 分别为A 、B 点处的切线,求ΔAQB 面积的最小值；
(3)直线OA,OB 交准线于C,D 两点,求四边形ABCD 的面积的最小值.
7.已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。
（Ⅰ）求r 的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、
BD 的交点P 的坐标。