第10章无穷级数习题详解

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第十章无穷级数习题详细解答

解若级数分别为
∑u
n =1 ∞
∞
n
= 1 − 1 + 1 − " + (−1) n −1 + " ；
∑v
n =1 ∞
n
= −1 + 1 − 1 + " + (−1) n + " ；
∞ ∞
则级数
∞
∑ (u n + vn ) 显然收敛；但是如果另外有级数 ∑ wn = ∑ u n ，则级数
（3）（5） ∑ ( n + 2 − 2 n + 1 + n ) ;
n =1 ∞
（6）
1 1 1 1 + + 3 + 4 +"; 3 3 3 3
（7） ( − ) + (
1 1 1 1 1 1 − 2 ) + "" + ( n − n ) + " ; 2 3 2 3 2 3 2 1 3 5 7 2n − 1 +"; （8） + + + + " + 3 5 7 9 2n + 1
敛，由比较判别法,故级数
(sin 2n) 2 也收敛. ∑ 6n n =1
∞
（5）当 a > 1 时， u n =
∞ ∞ 1 1 1 1 ，而收敛，故收敛 < ∑ ∑ n n n n a 1+ a n =1 a n =1 1 + a
当 0 ≤ a ≤ 1 时， lim u n = lim
n→∞ ∞
（4）因为 S n = sin （5）因为

无穷级数习题课含解答

无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时，，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性，而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数，令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛；其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，，所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则，因为，所以，于是，即级数收敛；其绝对值级数为，因为，所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（绝对收敛），在处（发散）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛，故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1）（2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，，对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，，两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得，当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为，则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数；（2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点，对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1）对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。

第十章无穷级数

第十章无穷级数一、概念 1.定义无穷数列}{n u 中：∑∞==++++121......n nn uu u u无穷数列}{n u 的各项之和∑∞=1n nu叫无穷级数，简称级数。

n u 叫∑∞=1n nu的一般项（通项）；......21++++n u u u 为展开式。

【例】 ①∑∞=++++⨯+⨯=+1...)1(1...321211)1(1n n n n n ②...ln ...3ln 2ln 1ln ln 1+++++=∑∞=n n n③ (323)21++++=∑∞=nn nne e e e ne④......32321++++=∑∞=n x x x x nx nn n 2.级数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∑∞=),1x u u u n n n n （其中函数项级数：（数项级数）是具体数字常数项级数：每一项都①两个特殊的数项级数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅-≥∑∑∞=∞=0,1011n n n n n n n u u u u ）（交错级数：中，正项级数：②一个特殊的函数项级数∑∞=1)(n nx u中，nn n x a x u ⋅=)(（常数乘以x 的幂级数），即∑∞=1n nn xa 称为幂级数。

3.级数∑∞=1n nu的收敛与发散前n 项和n n u u u S +++= (21)数列}{n S 叫∑∞=1n nu的部分和数列。

敛散性：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=→∑∑∑∑∞=→∞∞=∞=∞=→∞→∞发散不存在，则若分和数列的极限）要求级数的和，即求部的和，记为叫收敛，则存在（若1111lim ()lim lim n n n n n n n n n n n n n n u S Su u S u S S S 【例】①∑∞=+1)1(1n n n 111)111(...)3121()211()1(1...321211+-=+-++-+-=+++⨯+⨯=n n n n n S n 1lim =∞→n n S ，∑∞=+∴1)1(1n n n 收敛②∑∞=1ln n n!ln ln ...2ln 1ln n n S n =+++=+∞=∞→n n S lim ，∑∞=∴1ln n n 发散4.几何级数与-p 级数（1）∑∞=-11n n aq几何级数，首项a ，公比qqq a aq aq a S n n n --=++=-1)1( (1)∞→n 时：⎪⎪⎪⎪⎨⎧∞→⎩⎨⎧=⋅-+-+-=-=∞→∞→===-不存在时时n n n n S n a a a a a S q S n na S q q 0)1(...,1,,11||1Ⅰ：1||<q ，0lim =∞→nn q ，qaS n n -=∞→1limⅡ：1||>q ，∞=∞→nn q lim ，∞=∞→n n S limⅢ：【例】①111)21(2121-∞=∞=⋅=∑∑n n n n 收敛nn n n S 211211)211(2121...21212-=--=+++= ∴1lim =∞→n n S②1111)35(3135-∞=∞=-⋅=∑∑n n n n n ，135>=q 发散（2）-p 级数⇒≤⇒>发散收敛11p p ∑∞=131n n收敛∑∑∞=∞==121111n n n n 发散调和级数 (31)21111+++=∑∞=n n发散二、级数的性质 1.∑∞=1n nu与∑∞=1n nku具有相同敛散性（0≠k ）【例】∑∞=14n n 发散，∑∞=-125n n收敛2.在∑∞=1n nu中增加、减少、改变有限项不改变敛散性。

第十章无穷级数培训讲学

第十章无穷级数第十章无穷级数1．判断下列级数的敛散性：（1）ΛΛ++++⋅+⋅)2(1421311n n（2）ΛΛ++++++)3121()3121()3121(22n n （3）ΛΛ++++++2cos 5cos 4cos 3cos n ππππ解：（1）由)211(21+-=n n u n ，所以43)2111211(21→+-+-+=n n S n （∞→n ）故原级数收敛，且其和为43。

（2）由 ΛΛ+++++++)3121()3121()3121(22n n ∑∞=+=1)3121(n n n而级数∑∞=121n n 及∑∞=131n n均收敛，故原级数收敛。

（3）由012cos≠→+=n u n π，（∞→n ），故原级数发散。

注：应用（1）中的技巧，可得对任何自然数p ，有：)1211(1)(1p p p n n +++=+∑Λ。

2．判别下列级数的敛散性。

（1）)1ln(1∑∞=+n n π（2）∑∞=⋅11n nn n （3）∑∞=-+12)1(2n n n（4）)1sin (1∑⎰∞=+n n dx x x π （5）∑∞=1!n nn n （6）∑∞=+++12)1()1)(1(n nn x x x x Λ（0≥x ）（7）nn n a b∑∞=1)(，其中a a n →，a b a n ,,皆为正数，0≠a 。

解：（1）由 n n u n ππ~)1ln(+= （∞→n ），又 ∑∞=1n n π 发散，故由比较判别法知，原级数发散。

（2）由 1111→=⋅n n nn nn （∞→n ），又 ∑∞=11n n 发散，故由比较判别法的极限形式可知，原级数发散。

（3）法1：nn n nn u )21(212)1(21-+=-+=-，而∑∞=-1121n n 及 nn ∑∞=-1)21(均收敛，故原级数收敛。

法2：由 12123lim 2)1(2lim lim <==-+=∞→∞→∞→nn n n n n n n n u ，故原级数收敛。

(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数

第十章无穷级数【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）．7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列 1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231n n n u u u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u ∞=∑的前n 项和121nn n i i s u u u u ==+++=∑，ns 称为级数1nn u ∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，1n s u =，．如果级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞=，则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u ∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku ∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变．（2）如果级数1nn u ∞=∑、1nn v ∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±．（3）在级数1nn u ∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞不为零，则级数1n n u ∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或 21nnn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数11111123p p p pn nn ∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；如果级数1nn u ∞=∑发散，则级数1nn v ∞=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式设1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn nu l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散． 3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u ∞=∑为正项级数，如果lim n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或lim n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：1234u u u u -+-+=，或12341(1)nnn u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n nn u ∞-=-∑满足条件：（1）1n n u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛 1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数1nn u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n ∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u ∞=∑绝对收敛，则级数1nn u ∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u ∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u ∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u ∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u ∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或lim 1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u ∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零，从而n →∞时n u 也不趋于零，因此级数1nn u ∞=∑发散）．五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式123()()()()n u x u x u x u x +++++称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数102030()()()u x u x u x +++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 123()()()(s x u x u x u x=++ ．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，形式为012nn n a x a a x a x ∞==++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a ，叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数nnn a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R 叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间．3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nnn a x ∞=∑或1nnn a x ∞=∑，有如下方法：如果1lim n n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ ．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()nn u x ∞=∑（如202!nnn x n ∞=∑或0(1)2n nn x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim 1()n n nu x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数 1．幂级数和函数的性质性质 1 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质 2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式0000()xxn n n n s x dx a x dx ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质 3 幂级数nnn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()00()n n n n n n s x a x a x ∞∞==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑（x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)n n x +、1n nx -等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式（1）2111n nn x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）21(1)11n n n x x x x ∞==-=-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．11n ∞=∑．解：因1141lim lim 12n n n n n→∞→∞-==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．2．213n n ∞=-∑ ．解：因222233lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nn nn ∞=-∑ ．解：因33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sin lim 11n n n→∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因 211cos1lim 12n n n→∞-=，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．8．111nn a∞=+∑ （0a >）．解：当1a =时， 111lim lim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11lim lim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n n a a aa →∞→∞+==+，而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ．解：因11(2)!(2)!22lim lim (1)!2(1)!2n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=++，故原级数发散．2．213n n n∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)3(1)!limlim 135(21)3!n n n nn n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ．解：因112121212lim lim 2122122n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛． 6．21sin2nn nπ∞=∑ ．解：因22sin22limlim 1122nnn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑ ．解：111lim lim lim 22nn n n e→∞→∞→∞==，故原级数收敛．2．11[ln(1)]nn n ∞=+∑ ．解：lim lim lim ln(1n n n →∞→∞→∞==，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．111(1)n n ∞-=-∑ ．解：因级数11111(1)n n n ∞∞-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足111n n u u +=>=，且1lim 0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛． 2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n n n +→∞-+不存在，故原级数发散．4．11sin 27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112nn ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n xn∞-=-∑．解：因111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n ∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．2．0!nn xn ∞=∑ ．解：因111(1)!lim lim lim11!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!nn n x ∞=∑．解：因1(1)!lim lim !n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．4．2121n nn x n ∞=+∑ ．解：因12122(1)1limlim lim 21n n n n n n na n a n ρ++→∞→∞→∞++===+，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)n n n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-．2．211(1)21n nn xn +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n n xn x x n +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)lim 1nn n n xx nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则11()()()()1nnn n xs x x x x ∞∞=='''====-∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n xn -∞-=--∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x x n +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑，则 122241()(1)1n n n s x xx x ∞--='=-=-+-∑，故[]2001()arctan arct 1xxs x dx x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑．解：先求幂级数的收敛域．令211(1)(2)lim 11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收。

无穷级数习题及详细解答

(1,5]
n1
(4) 设函数 f (x) x 1 ( x ) 的傅里叶级数的和函数为 S(x),则S(5 ) 等于 1
(5) 设函数 f (x) x2 (0 x ) 的正弦函数 bn sin nx 的和函数 n1
S(x),则当x( , 2 )时，S(x)
( 2 x 2)
0
（1）证明 an
an2
1 (n n 1
3, 4,) ，并求级数
n3
1 n
(an
an2 )
的和；
（2）证明级数
an 收敛.
n1 n
证：（1） an
4 tan2 x tann2 xdx
0
4 sec2 x tann2 xdx
0
4 0
tan n2
xdx
1 n 1
an2 ,
即有
an
1
x cos
x2dx
1 sin
x2
1
sin1.
2 6 2! 10 4! 14 6!
0
2
02
13.
将函数
f
x
x 2 x x2
展开成 x 的幂级数.
f
x
2
x x x2
1 3
2 2
x
1 1
x
1 1
3
1
x
1 1
x
2
而
1
1n xn
1 x n0
x 1,1
1
1 x
n0
x n 2
2
x 2, 2
(x)
1
x2
a0 2
n1
an
cos nx
1

无穷级数习题及解答w

无穷级数例题选解1．判别下列级数的敛散性：212111111!21(1)sin;(2)ln(1);(3);(4)()32n nn n n n n n nnnn ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？（1）211(1)[3n nn n ∞-=-+∑；（2）21cos 3nn n n ∞=∑；（3）11(1)n n ∞-=-∑。

3．求幂级数0nn ∞=∑的收敛区间。

4．证明级数1!nnn n x n∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。

5．在区间(1,1)-内求幂级数11n n xn+∞=∑的和函数6．求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。

7．把()arctan f x x =展开成 x 的幂级数，并求级数 0(1)3(21)nnn n ∞=-+∑ 的和8．设11112,()2n n na a a a +==+（1,2,n = ）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)n n n a a ∞=+-∑收敛。

9．设40tan nn a xdx π=⎰，1）求211()n n n a a n∞+=+∑的值；2）试证：对任意的常数0λ>，级数1n n a nλ∞=∑收敛。

10．设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n n a 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。

11．已知222111358π+++= ，计算1011ln 1xdx x x +-⎛⎜⎠。

12．计算48371115!9!3!7!11!πππππ++++++。

参考答案：1．解：（1）2211sin n n<，而∑∞=121n n收敛，由比较审敛法知∑∞=121sinn n收敛。

（2）)(1~)11ln(∞→+n nn，而∑∞=11n n 发散，由比较审敛法的极限形式知∑∞=+1)11ln(n n发散。

高等数学第10章无穷级数习题详解

1 ，故该级数收敛，且 3
1
(3n 2) (3n 1) 3 .
n 1
1
5．若级数
un 与 vn 都发散时，级数 (un vn ) 的收敛性如何？若其中一个收敛，一
n 1 n 1 n 1

个发散，那么，级数
(u
n 1

n
vn ) 收敛性又如何？
当 n 时， S n 1 ，故级数收敛 .
2 3 n sin sin sin 6 6 6 6 1 2 3 n (2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin ) 12 6 12 6 12 6 12 6 2 sin 12 1 3 3 5 2n 1 2n 1 [(cos cos ) (cos cos ) (cos cos )] 12 12 12 12 12 12 2 sin 12 1 (2n 1) [cos cos ] 12 12 2 sin 12 2n 1 不存在，所以 lim S n 不存在，因而级数发散 . 由于 lim cos n n 12

sin
（ 5）由于 lim
n
sin n n 2 lim 2 ， n 1 2n 2n
而
1 收敛，故 sin n 也收敛. n 2 n 1 2 n 1
而级数
n
n 1

1
2
收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛 .
(sin 2n) 2 1 1 1 （4 ） u n ，而为公比 q 1 的等比级数，该级数收敛，由比 n n n 6 6 6 n 1 6

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第十章无穷级数习题10-13. 判定下列级数的敛散性: （1）∑∞=-+1)1(n n n ; （2）∑∞=+-1)12)(12(1n n n ;（3）++++⋅+⋅)1(1321211n n ; （4） ++++6πsin6π2sin6πsinn ;（5）∑∞=++-+1)122(n n n n ; （6）++++4331313131;（7）22111111()()()323232nn-+-++-+ ;（8）++-+++++121297755331n n ;（9）)(12112-∞=+-∑n n n a a （0a >）;(10)+++++++++nn )11(1)311(1)211(1111132.解（1）因为11)1()34()23()12(-+=-+++-+-+-=n n n S n 当∞→n 时，∞→n S ，故级数发散.（2）因为)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n)12)(12(1751531311+-++⋅+⋅+⋅=n n S n)]121121()5131()311[(21+--+-+-=n n]1211[21+-=n ,当∞→n 时，21→n S ，故级数收敛. (3) 因为111)1(1+-=+n nn n ，)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅=n n S n111)111()3121()211(+-=+-+-+-=n n n当∞→n 时，1→n S ，故级数收敛. （4）因为 6sin63sin62sin6sinπ++π+π+π=n S n)6sin12sin263sin12sin262sin12sin26sin12sin2(12sin 21ππ++ππ+ππ+πππ=n )]1212cos1212(cos)125cos123(cos)123cos12[(cos 12sin 21π+-π-++π-π+π-ππ=n n ]12)12(cos12[cos12sin21π+-ππ=n由于 π+∞→1212coslim n n 不存在，所以n n S ∞→lim 不存在，因而级数发散.（5）因为)1()12(122n n n n n n n -+-+-+=++-++---+---+---=)34()45()23()34()12()23[(n S )]1()12(n n n n -+-+-++)12(121)12()12(--+++=--+-+=n n n n当∞→n 时，21-→n S ，故级数收敛.(6) 该级数的一般项)(013311∞→≠→==-n u nnn ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散. (7) ∑∑∞=∞=-=-++-+-+-1133222131)2131()2131()2131()2131(n nn nnn∑∞=131n n该级数为公比131<=q 的等比级数，该级数收敛，而∑∞=121n n该级数为公比121<=q 的等比级数，该级数也收敛，故∑∑∞=∞=-112131n nn n也为收敛级数.(8) 该级数的一般项)(0112211212∞→≠→+-=+-=n n n n u n ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(9) 因为 a a a a a a a a S n n n n -=-++-+-=+-+121212353)()()(当∞→n 时，a S n -→1，故该级数收敛. (10) 该级数的一般项)(01])11[()11(11∞→≠→+=+=-n enn u n nn ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.4. 证明下列级数收敛，并求其和：++-++⋅+⋅+⋅)13)(23(11071741411n n .证 )13()23(11071741411+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n S n)1311(31)]131231()7141()411[(31+-=+--++-+-=n n n当∞→n 时，31→n S ，故该级数收敛，且31)13()23(11=+⋅-∑∞=n n n .习题10.21. 用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1） ++⋅++⋅+⋅+⋅)4()1(1741631521n n ;（2）1++++715131;（3） +-++++222)12(1513111n ;（4）++++22226)2(sin 6)4(sin 6)2(sin nn ; （5） +++++n2πsin8πsin 4πsin 2πsin .解（1）由于145lim1)4)(1(1lim222=++=++∞→∞→n n nnn n n n而级数∑∞=121n n收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛.(2) 由于2112lim1121lim =-=-∞→∞→n n nn n n ，而级数∑∞=11n n发散，由比较判别法的极限形式，故原级数发散.（3）由于41)12(lim 1)12(1lim222=-=-∞→∞→n n nn n n而级数∑∞=121n n收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛.（4）nnn n u 616)2(sin 2≤=，而∑∞=161n n为公比161<=q 的等比级数，该级数收敛，由比较判别法,故级数∑∞=126)2(sin n nn 也收敛.（5）由于 π=π⋅ππ=π∞→∞→n nn n nn 22sin lim212sin lim，而∑∞=121n n收敛，故∑∞=π12sinn n也收敛.2. 用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1） ++++++nn 323534132;（2） +⋅++⋅+⋅+nnn n !33!332!2333322;（3） +++⋅+⋅+nn 21sin 21sin 321sin221sin32;（4）∑∞=12)!3()!(n n n ; （5）∑∞=12ln n nn n ;（6）∑∞=1!n nn n; （7）∑∞=123n nn .解（1）nn n u 32+=，1312331lim2333limlim11<=++⋅=+⋅+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n nn n nn n ，故该级数收敛.（2）nnn nn u !3⋅=，13)111(lim 3)1(3lim !3)1()!1(3limlim111>=+-=+=⋅++=∞→∞→++∞→+∞→en n n n nn n u u nn nn nnn n n nn n故该级数发散. （3） nn n u 21sin=，1212121sin212121sin lim21sin21sin )1(limlim1111<=+⋅⋅=+=++∞→+∞→+∞→nn n n u u nnn n n n n n nn n ，故该级数收敛. （4） )!3()!(2n n u n =，10)33)(23)(13()1(lim )!(!3)]!1(3[])!1[(limlim2221<=++++=⋅++=∞→∞→+∞→n n n n n n n n u u n n nn n ，故该级数收敛.（5）nn n n u 2ln =，1211ln )1ln(21limln 221)1ln(limlim11<=+⋅+=⋅++=∞→+∞→+∞→n n nn nn n n u u n nn n nn n ，故该级数收敛. （6）!n nu nn =，1)11(lim )1(lim !)!1()1(limlim11>=+=+=⋅++=∞→∞→+∞→+∞→e nnn nn n n u u nn nn nn n nn n ，故该级数发散. （7）nn n u 32=，131)1(31lim33)1(limlim22121<=+=⋅+=∞→+∞→+∞→n n nn u u n n n n nn n ，故该级数收敛.3. 用根值判别法判定下列各级数的敛散性：（1）∑∞=+1)25(n nn n ; （2）∑∞=+12)11(n nn;（3）∑∞=+12)2(2n nnn n ; （4）131en nn ∞=+∑;（5）∑∞=1)(n nna b ，其中a b a n a a n n ,,),(∞→→均为正数；（6）∑∞=∞→>=>⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)0,lim ,0(n n n n nn a a a x a x ．解（1）由于15125lim)25(limlim<=+=+=∞→∞→∞→n n n n u n nnn nn n ，故该级数收敛. (2) 由于1)11(lim )11(limlim2>=+=+=∞→∞→∞→e nnu nn nnn nn n ，故该级数发散.(3) 由于12)21(21lim2)21(lim2)2(limlim22>=+=+=+=∞→∞→∞→∞→enn nn u nn nn nn nn nn n ，故该级数发散. (4) 由于1313limlim>=+=∞→∞→eeu nnn n nn n ，故该级数发散.(5) ab a b a b u nn nnnn nn n ===∞→∞→∞→lim)(limlim当a b a b <<即,1，该级数收敛；当a b ab >>即,1，该级数发散；当a b ab ==即,1，不能判断.(6) ax a x a x u nn nnnn nn n ===∞→∞→∞→lim)(limlim1）当0=a 时，该级数发散 2）当∞<<a 0时，有当a x ax <<即,1，该级数收敛；当a x ax >>即,1，该级数发散；当a x ax ==即,1，根值法不能判断.4. 判别下列级数的敛散性：（1）++++432)43(4)43(3)43(243; （2）∑∞=+12sin)1(n nnn π;（3） +-++-+-)1sin1()21sin21()1sin 1(nn;（4） ++++++)321ln()221ln()121ln(222; （5）222sin2sin2sin 333nnπππ⋅+⋅++⋅+ ;（6）21cos32nn n n ∞=π∑；（7）∑∞=--+111)2(n nn e e . 解（1）n n n u )43(=，14343lim )43(limlim<=⋅==∞→∞→∞→n n nn n nn n n n u ，故该级数收敛. （2）(1)sin,lim,2n n nn u n π→=+=+∞，所以发散.(3) 332211113!1sin ()11sin,lim lim 011n n n o nn nnn nu nnnn→∞→∞--++=-==，故该级数收敛.(4) )21ln(2nu n += ,因 )(2~)21ln(22∞→+n nn，故212lim 1)21ln(lim2222==+∞→∞→nn nnn n ，而∑∞=121n n收敛，故该级数收敛.(5) nnn u 3sin2π=,因nn33sinππ<,有ππnnn)32(3sin2<,πn n )32(1∑∞=收敛，由比较收敛法，故该级数收敛.(6) n n n n u 23cos2π=,因nnn n n 223cos2≤π，1212lim<=∞→nnn n ，而级数∑∞=12n nn 收敛，由比较收敛法，故该级数收敛.(7) 211-+=-nnn ee u , 112lim211=-+-∞→nee nn n (由罗比达法则)，故该级数收敛.习题 10.31. 求下列幂级数的收敛域：（1） +++3232x x x ; （2） -+-+-2423224321x x x x ; （3） +⋅⋅+⋅+64242232xxx ; （4）++++++3232222132122112x x x ;（5） +⋅+⋅+⋅+⋅!42!32!22!12443322xxxx ;（6）+⋅+⋅+⋅+⋅44332234333231xxxx ;（7）∑∞=-+--1121)!12()1(n n n n x; （8）∑∞=---11)1()1(n nn nx ;（9）∑∞=--122212n n nxn ; （10）∑∞=-1)5(n nnx .解（1）n a nx u n n n ==,，11limlim1=+==∞→+∞→nn a a n nn n ρ，所以收敛半径11==ρR当1=x 时，原级数为∑∞=1n n ，0lim ≠∞=∞→n n ，该级数发散当1-=x 时，原级数为∑∞=-1)1(n n n ，0)1(lim ≠∞=-∞→n nn ，该级数发散因而该级数的收敛域为 )1,1(-.(2) ,1)1(,)1(22na nx u nn n nn -=-=1)1(limlim221=+==∞→+∞→n na a n nn n ρ,所以收敛半径11==ρR .当1=x 时，原级数为∑∞=-12)1(n nn，为交错级数，该级数收敛.当1-=x 时，原级数为∑∞=121n n，该级数也收敛,因而该级数的收敛域为 ]1,1[-.(3),)2(6421,)2(642n a n xu n nn ⋅⋅=⋅⋅=0221lim)22()2(642)2(642limlim1=+=+⋅⋅⋅⋅⋅==∞→∞→+∞→n n n n a a n n nn n ρ,故收敛半径+∞==ρ1R ，因而该级数的收敛域为 ),(+∞-∞.(4) ,12,1222+=+=n a x n u nn nnn21)1()1(2lim211)1(2limlim222211=+++=+⋅++==∞→+∞→+∞→n n n n a a n nn n nn n ρ,所以收敛半径211==ρR .当21=x 时，原级数为∑∑∞=∞=+=⋅+121211)21(12n nn nn n ，该级数收敛.当21-=x 时，原级数为∑∞=-12)1(n nn，该级数也收敛,因而该级数的收敛域为 ]21,21[-. (5),,!21,!2n a n xu nn n nn ⋅=⋅=0)1(21lim)!1(2!2limlim11=+=+⋅⋅==∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n nn n ρ,故收敛半径+∞==ρ1R ，因而该级数的收敛域为 ),(+∞-∞.(6) ,31,31nn nnn n a x n u ⋅=⋅=313)1(3limlim11=⋅+⋅==+∞→+∞→n n n nn n n n a a ρ,所以收敛半径31==ρR .当3=x 时，原级数为∑∞=11n n，该级数发散.当3-=x 时，原级数为∑∞=-1)1(n nn，该级数为交错级数，收敛,因而该级数的收敛域为 )3,3[-.(7) 因为该级数缺少偶次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径 0)12(2lim)!12()!12(lim lim212121=+⋅=-⋅+⋅=∞→-+∞→+∞→n n xxn n xu u n n n n nn n ,因而该级数的收敛域为 ),(+∞-∞.(8) ,)1()1(1nx u nn n --=-令1-=x t ，则na ntu n n nn n 1)1(,)1(11---=-=,11limlim1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ,收敛半径11==ρR ，有 11<-x ，即20<<x当0=x 时，原级数为∑∑∞=∞=--=-1112)1()1(n n n nn，该级数发散.当2=x 时，原级数为∑∞=--11)1(n n n，该级数为交错级数，收敛.因而该级数的收敛域为 ]2,0((9) 因为该级数缺少奇次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径 2)12(2)12(lim)12(22)12(lim lim2222121xn xn xn xn u u n n nn nn nn n =-⋅+=-⋅+⋅=∞→-+∞→+∞→.当122<x，即22<<-x 时，该级数收敛.当122>x，即2>x 时，该级数发散.当 2=x 时，原级数为∑∞=-1212n n ，该级数发散.当 2-=x 时，原级数也为∑∞=-1212n n ，该级数发散.因而该级数的收敛域为 )2,2(-.(10) ,)5(nx u nn -=令5-=x t ，则na ntu n nn 1,==11limlim1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ,收敛半径11==ρR ，有 15<-x ，即64<<x当4=x 时，原级数为∑∞=-1)1(n nn，该级数为交错级数，收敛.当6=x 时，原级数为∑∞=11n n，该级数发散.因而该级数的收敛域为 )6,4[.本章复习题A 一、选择题1.A2.C3.D4.A5.B6.D7.D 二、填空题 1.12；2. [0,2)3.3(1)nn n x∞+=-∑4. 12α>；12α<5.236.22(1)xx -二、判断题 1．√ 2．× 3．× 4．× 5．× 6．×四、计算题1.判断下列级数的敛散性：（1）1(1cos)pn n∞=π-∑ (0)p >; （2）∑∞=-⋅1232n nnn n ；（3）∑∞=-+-121)1(n n nn k （0k >）; （4）∑∞=13πsinn nn；（5）∑∞=--1sin )1(n nnn ； (6) ∑∞=1!2n nnnn .（7）∑∞=---11ln )1(n n nn ；（8）∑∞=⋅12πtann nn .2. 求下列级数的收敛域:（1）nn nx x n)11()1(12+--∑∞=; （2）32221)1(-∞=∑-n nn nxn.3. 求下列级数的收敛区间：（1）∑∞=-12)2)(12(n nn n x; （2）∑∞=-+12)11(n nnxn.4. 求下列幂级数的收敛区间和收敛半径:（1）∑∞=--1223)1(n nnn x ; （3）nn nnx n)1()2(31+-+∑∞=;5. 将函数x x xx x f -+-+=arctan 2111ln41)(展成为关于x 的幂级数.6. 将函数29)(xxx f +=展成x 的幂级数.7. 求下列幂级数的收敛域及和函数.（1）∑∞=+1)1(n nx n n ; （2）n n x n n∑∞=12!.四．计算题解答1．判断下列级数的敛散性：（1）因为nn2sin2cos12ππ=-，而∞→n 时，nn2~2sinππ，当21>p 时，该级数收敛，当210≤<p 时，该级数发散。

第10章 无穷级数习题详解

第十章 无穷级数 习题详细解答