无穷级数练习题
无穷级数习题
一、填空题 1、设幂级数
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径为3，则幂级数
1
1
(1)
n n
n na x ∞
+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数
0(21)n
n n x
∞
=+∑的收敛域为 。
3、幂级数
21
1
(3)
2
n n
n
n n
x ∞
-=-+∑的收敛半径R = 。 4
、幂级数
n
n ∞
=的收敛域是 。 5、级数21(2)4n
n
n x n ∞
=-∑的收敛域为 。 6、级数0
(ln3)2n
n
n ∞
=∑的和为 。 7、
1
1
1()2n n n ∞
-==∑ 。 8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为
01
(cos sin )2
n n n a a nx b nx ∞
=++∑，则其系数3b 的值为 。
9、设函数2
1,
()1,f x x -?=?+? 0,0,
x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数
1
1
(1)(2)n n n n ∞
=++∑的和 。 11、级数21
(2)4n
n
n x n ∞
=-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3
、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、
22ln 3- 7、4 8、23π 9、212
π 10、1
4 11、(0,4)
二、选择题
1、设常数0λ>，而级数
21
n n a ∞=∑
收敛，则级数1
(1)n
n ∞
=-∑ ）。
（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=
，2
n n
n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。
（A ）若
1n
n a
∞
=∑条件收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑都收敛。
（B ）若
1n
n a
∞
=∑绝对收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑都收敛。
（C ）若
1n
n a
∞
=∑条件收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑的敛散性都不一定。
（D ）若
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑的敛散性都不定。
3、设0,1,
2n a n >=，若
1n
n a
∞
=∑发散，
1
1
(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛，
则下列结论正确的是（ ）。 （A ）
21
1n N a
∞
-=∑收敛，
21
n
n a
∞
=∑发散. （B ）
21n
n a
∞
=∑收敛，
21
1
n n a
∞
-=∑发散.
（C ）
21
21
()n n n a
a ∞
-=+∑收敛. （D ）2121
()n n n a a ∞
-=-∑收敛.
4、设α
为常数，则级数
21
sin()(
n n n α∞
=∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数
1
(1)(1cos
)n n n
α
∞
=--∑（常数0α
）是（ ）
（A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6
、设(1)ln(1)n
n u =-+
，则级数 （A ）
1n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都收敛. （B ）
1n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都发散.
（C ）
1
n
n u
∞
=∑收敛而
20
n
n u
∞
=∑发散. （D ）
1
n
n u
∞
=∑发散而
21
n
n u
∞
=∑收敛.
7、已知级数
1
211
1
(1)
2,5n n n n n a a ∞
∞--==-==∑∑，则级数1
n n a ∞
=∑等于（ ）
。 （A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 8、设函数2()(01)f x x x =≤≤，而 1
()sin n
n S x b
n x π∞
==
∑， x -∞<<∞
其中1
2
()sin n b f x n xdx π=?，1,2,3
n =，则1
()2
S -
等于（ ）。 （A ）12-. （B ）14-. （C ）14. （D ）1
2
.
9、设,
()22,x f x x ?=?-? 1
02
112
x x ≤≤
<< 01()cos 2n n a S x a n x π∞==+∑，x -∞<<+∞
其中1
2
()cos n a f x n xdx π=? (0,1,2,n = 则5()2
S -等于（ ）。 （A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34
-.
10、设级数
1
n
n μ
∞
=∑收敛，则必收敛的级数为
（A ）1(1)n
n
n u n ∞
=-∑. （B ）n ∞
=
∑
2
1
n
n u
∞
=∑. （C ）
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑. （D ）11
()n n n u u ∞
+=+∑.
11、已知级数
1
1
(1)
2n n n a ∞
-=-=∑，
215
1
n n a
∞
-==∑，则级数
1
n
n a
∞
=∑等于（ ）。
（A ）3. （B ）7. （C ）8. （D ）9. 12、若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，则级数（ ）
（A ）
1n n a ∞=∑收敛. （B ）1
(1)n
n n a ∞=-∑收敛. （C ）11
n n n a a ∞
+=∑收敛.（D ）1
1
2n n n a a ∞
=++∑
收敛. 13、若
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =处收敛，则此级数在2x =处（ ）。
（A ）条件收敛. （B ）绝对收敛. （C ）发散. （D ）敛散性不能确定.
14、设幂级数0n
n n a x ∞
=∑与1n
n n b x ∞
=∑
的收敛半径分别为3与1
3，则幂级数221n n n n
a x
b ∞
=∑的收敛半
径为（ ） （A ）5. （B
（C ）1.3 （D ）1.5
参考答案：
三、解答题
1、设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且0
()
lim
0x f x x
→=，证明级数1
1
()n f n ∞
=∑绝对收敛。
【分析一】0
()
lim
0x f x x
→=表明0x →时()f x 是比x 高阶的无穷小，若能进一步确定()f x 是x 的p 阶或高于p 阶的无穷小，1p >，从而1
(
)f n
也是1n 的p 阶或高于p 阶的
无穷小，这就证明了
1
1
()n f n
∞
=∑
绝对收敛。 【证明一】由0
()
lim
0x f x x
→=及()f x 的连续性?(0)0,(0)0f f '==。再由()f x 在0x =邻域有二阶连续导数及洛必达法则
2000()()()1lim lim lim (0)222
x x x f x f x f x f x x →→→'''''?=== ? 2
()1
l i m
(0).2
x f x f x →''= 由函数极限与数列极限的关系? 21
()
1lim (0)12
x f n
f n
→+∞''=
因211n n ∞
=∑收敛11()n f n ∞=?∑收敛，即1
1
()n f n ∞
=∑绝对收敛。
2、设正项数列n a 单调减小，且
1
(1)n
n n a ∞=-∑发散，试问级数1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑是否收敛？
【分析与求解】因{}n a 单调下降有下界0??极限lim 0n x a a →+∞
=≥。若0a =，由莱布
尼兹法则，并错级数
1
(1)n
n
n a
∞
=-∑收敛，与假设矛盾，于是0a >。
现在对正项级数
1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑可用根值判别法：因为
11
lim lim 111n n n
a a →+∞==<++，
所以原级数收敛。
3、求幂级数113(2)
n
n n
n x n ∞
=+-∑收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。 【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求
1lim
lim .3
n n == 于是收敛半径3R =，收敛区间为(3,3).-
当3x =时是正项级数：1
31
.3(2)n n n
n n ∞
=?+-∑ 31
1()3(2)n n n n n
n ?
→+∞+-，而11
n n
∞
=∑发散， ? 1
31
3(2)n n
n n n ∞
=+-∑发散，即3x =时原幂级数发散。 当3x =-时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
31(1)(3(2)(2)13(2)3(2)n n n n n n n n n
n n -+---=?+-+- (1)213(2)n n n n n n
-=-?
+- 因 1
21
3123(2)lim lim 0,()23(2)33
n n n n n n n n n n n n n
n ∞
→+∞→+∞=+-=?=+-∑收敛，
1213(2)n n n n n ∞
=??+-∑收敛，又1(1)n n n ∞=-∑收敛131
3(2)n n n n n
∞
=?+-∑收敛，即3x =-时原幂级数收敛。
4、（1）验证函数369
3()1()3!6!9(3)!
n x x x x y x x n =++++
++-∞<<+∞满足微分方程
x y y y e '''++=；
（2）利用（1）的结果求幂级数30
(3)!n
n x n ∞
=∑的和函数。
【分析与求解】
（1）首先验证该幂级数的收敛区间是(,).-∞+∞这是缺项幂级数，令3
t x =，则
原级数300
(3)!(3)!n n
n n x t n n ∞
∞
====∑∑
由 1
1(3(1))!
l i m
l i m 0
1(33)(32)(3
1)
(3)!
n n n n n n n →+∞→+∞+==++
+ (,)t ?∈-∞+∞，从而(,)x ∈-∞+∞时原级数收敛。
其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：
311()(31)!n n x y x n -∞
='=-∑， 32
1()(32)!
n n x y x n -∞
=''=-∑， (,).x ∈-∞+∞
于是 ()()()y x y x y x '''++
32313110(32)!(31)!(3)!
n n n
n n n x x x n n n --∞
∞∞====++--∑∑∑
级数的线性性质 323131
1()(32)!(31)!(3)!n n n
n x x x n n n --∞
=+++--∑
23456
01()()2!3!4!5!6!
!
n
n x x x x x x x n ∞
==+++++++
=∑ x
e = ().x -∞<<∞（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）
（2）因为幂级数30(3)!
n
n x n ∞
=∑的和函数()y x 满足微分方程
.x y y y e '''++= ① 又知 (0)1,(0)0.y y '== ②
所以为求()y x 只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②
该方程相应的齐次方程的特征方程为 2
10.λλ++=
特征根为1,212λ=-
± ? 相应齐次方程的通解为
12
12().x y e
c x c x -=+ 设非齐次方程的一个特解为x y Ae *=，代入方程①得
3.x x y y y Ae e '''*+*+*==
? 1.3
A =
? 非齐次方程①的通解为
2
121().3
x
x y e c x c x e -=++ 令0x =，由初始条件② ?
112
1(0)1,311(0)0.
23y c y c ?
=+=??
??'=-+=??
? 1
22,0.3c c == 因此
32021
()(3)!
33x
n x n x y x e x e n ∞
-===+∑ ()x -∞<<+∞
5、求幂级数
121
1
(1)(1)(21)
n n n x n n ∞
-=-+
-∑的收敛区间与和函数().f x
【分析与求解】 这是缺项幂级数，令2
,t x =考察
1
n
n n a t
∞
=∑，其中
1
1
(1)
(1).(21)
n n a n n -=-+
-
由
1
n
n a ≤ ?
l i 1.n →+=
1
n n n a t ∞
=?∑的收敛半径为1?原幂级数收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-。
下面求和函数：
2
1
22
1
2(1)
2212
11
()(1)
(1)
(1),1n n n n n
n
n n n x f x x x
x
x x x ∞
∞
∞
---====-=-=-=+∑∑∑ 1
221
1
()(1)(21)
n n n f x x n n ∞
-==--∑，
? 21
1
21()2(1)
,21
n n n x f x n -∞
-='=--∑ 12(1)22
1
2
()2
(1)1n n n f x x x ∞
--=''=-=
+∑ (1)x < 注意22(0)0,(0)0f f '==，积分两次得
222
00
1
()()22arctan 1x x
f x f t dt dt x t
'''===+??
, 222
()()2arctan 2arctan 21x
x
x t
f x f t dt tdt x x dt t '=
==-+?
??
22arctan 1(1)x x n x =-+ (1).x <
因此，2
2122
()()()2arctan 1(1).1x f x f x f x x x n x x
=+=+-++ 6、求级数
2
1(1)(1)2n
n
n n n ∞
=--+∑的和。 【分析与求解】先将级数分解：
2000
111(1)(1)(1)(1)().222n
n n n n n n n A n n n n ∞
∞∞
====--+=--+-∑∑∑ 第二个级数是几何级数，它的和已知
112
().1231()
2
n n ∞
=-==--∑ 求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察
1
(1)1n n n x x
∞
=-=
+∑ (1)x <
? 2
3
012()(1)(1)(1)()1(1)n
n n n n n S x n n x
x x x ∞
∞-==''??''=--=-==??++??
∑∑ ?
230
111124(1)
(1)()
.1222427
(1)2
n n n n n S ∞
=--===+∑ 因此原级数的和 4222.27327
A =
+= 7、求级数
2
2
1
2(1)n n n ∞
=-∑的和。 【分析与求解】 先用分解法将原级数分解。
111
222
1
1111
()2112(1)2(1)n n n n n n A n n n n ∞
∞∞
+++====-=--+-+∑∑∑ 记 12.A A - 要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是1(1)n x +，即
11
(1)1(1)n n
n n x x n -∞
=-+=∑ (11).
x -<≤ 于是 1122111
2
(1)2n n n n A n n ∞
∞
++====-∑∑
111(1)1111
()1(1)1242424
n n n n n n -∞=--=-=--=∑，
212311
2
(1)2n n n n A n n ∞
∞
+====+∑∑
112
31
(1)1(1)1111()()()22222n n n n n n n n --∞
∞==--=--=-----∑∑
11151(1)12,2288n n =----=- 因此 1253
12.84
A A A n =-=-
8、将函数1()arctan
1x
f x x
+=-展为x 的幂级数。 【分析与求解】()f x '容易展开。 222
21(1)(1)(1)2
()1(1)(1)(1)1()1x x f x x x x x x
--+?-'=
=+--+++-
2
1
1x
=
+， 由 20
11(1)(1)1n n
n n
n t t t
t t
∞
==-+-
+-+
=-+∑
(1)
t <，得 22
1()(1)(1).1n n
n f x x x x ∞
='==-<+∑ ① 在幂级数的收敛区间内可逐项积分得
20
()(1),x
x
n n n f t dt t dt ∞
='=-∑?
?
2121
00(1)(1)()(0)(21
421n n n n n n f x f x x
n n π∞
∞++==--=+=+++∑∑ ② 且收敛区间不变，当1x =±时，②式右端级数均收敛，而左端1()arctan 1x
f x x
+=-在1x =-连续，在1x =无定义，因此
[21
01(1)arctan ,1,1)1421
n n n x x x x n π∞+=+-=+∈--+∑
9、将函数111()1arctan 412
x f x n x x x +=
+-- 展开成x 的幂级数。 【分析与求解】111
()1(1)1(1)arctan 442f x n x n x x x =+--+-，先求()f x '的展开式
2
111111
()1414121f x x x x
'=++-+-+ 44224
01
1111111121211n
n n n x x x x x ∞∞
===+-=-=-=-+-∑∑ (1)x < 积分得 41
40
011()(0)()(1).41
n x
x n
n n x f x f f x dx t dt x n +∞
∞
=='=+==<+∑∑?
?
10、设2
1a r cta n ,0()21,0x x x f x x ?+≠?
=??=?
试将()f x 展开成x 的幂级数，并求级数
2
1(1)14n
n n
∞
=--∑的和。 【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数，然后约去因子x ，再乘上2
1x +并化简即
可。直接将arctan x 展开办不到，且(arctan )x '易展开，即
22
1
(arctan )(1),1,1n n n x x x x ∞
='==-<+∑ ① 积分得
0221
00(1)arctan (arctan )(1)21
x
n
x
n
n n n n x t dt t dt x n ∞
∞+==-?'==-=+∑∑? []1,1.x ∈- ②
因为右端级数在1x =±时均收敛，又arctan x 在1x =±连续，所以展开式在收敛区间端点
1x =±成立。
现将②式两边同乘2
1x x
+得
2222
22000
1(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞
∞∞===+---=+=++++∑∑∑
12201
(1)(1)2121n n n n
n n x x n n -∞
∞==--=++-∑∑
21
11
1(1)[
]2121
n n n x n n ∞
==+
--+-∑ 22
1
(1)21,[1,1],0.14n n
n x x x n ∞
=-=+∈-≠-∑ 上式右端当0x =时取值为1，于是
22
1(1)2()1,[1,1].14n n
n f x x x n
∞
=-=+∈--∑ 上式中令2
1
(1)111
1[(1)1][21].1422442n n x f n ππ∞
=-=?=-=?-=--∑
11、将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数11
2
n n ∞
=∑的和。
【分析与求解】 按傅氏系数公式，先求()f x 的傅氏系数n a 与n b 。 因()f x 为偶函数0(1,2,3
).n b n ==
11
002()cos
2(2)cos l l n n a f x xdx x n dx l l
ππ==+??
10
1
11
22
00
22
24cos sin sin cos n xdx xd n x n xdx n x
n n n ππππππ
π=+
=-=
???
22224,21,2(21)[(1)1](1,2,)2.0,
n
n k k n n n k ππ-?
=-?-=--==?=??
1
00
2(2) 5.a x dx =+=?
注意到()f x 在[1,1]-分段单调，连续且(1)(1)f f -=，于是有傅氏展开式
[]22
1541
()2c o s (21),1,1.2(21)
n f x x n x x n ππ∞==+=--∈--∑ 为了求
21
1
n n ∞
=∑的值，上式中令0x =得 2
2
1
54
1
2,2(21)n n π
∞
==--∑即 2
2
1
1.(21)8n n π∞
==-∑ 现由 2222
21111111111
,(21)
(2)(21)4n n n n n n n n n ∞
∞
∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑ ? 2
2
2211
311,.48
6n n n n ππ∞∞
===
=∑∑
12、将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数。
【分析与求解】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期4的周期延拓，于是得()f x 的傅氏系数：
0(1,2,3
).n b n ==
22002()cos (1)cos 2l l n n x n a f x dx x xdx l l ππ
==
-?? 220022(1)sin sin 22
n n x d x xdx n n ππ
ππ=
-=-?? 2
222
2
4
4
cos ((1)1)2
n
n x
n n πππ
==
-- =22
8,21,(21)1,2,3
2,0,
n k k k n k π-?
=-?-=?=?
?
2
222
0000
21
()(1)(1)0.22
a f x dx x dx x ==-=-=??
由于（延拓后）()f x 在[]2,2-分段单调、连续且(1)(1).f f -=于是()f x 有展开式 []22
18
1(21)()cos ,0,2.(21)2n n f x x x n π
π∞
=-=-∈-∑
13、求幂级数
113(2)n
n n
n x n
∞
=??+-??∑的收敛区间，并讨论该区间端关处的收敛性。 解：设1
0,1,2,
,3(2)n n n
a n n
=
>=??+-??
111121()3(2)113lim
lim lim 2333(1)(1)1()
3
n
n
n
n n n x x x n n
n a a n +++→∞
→∞→∞++-??+-??===??+-+??+- 3R ∴= ?收敛区间(3,3).-
当3x =时，3111
223(2)1()3
n n n n n a n n
n ==?>??+-??+- 而
11
2n n
∞
=∑发散?原级数在3x =处发散。 当3x =-时，(3)(1)21
3(2)3(2)n n n n n n n n
a n n n
--==-?+-??+-?? 记1
0,1,2,,3(2)n n n
V n n
=
>=??+-??
1
1
11121()23(2)23,23(2)231
1()3
n
n n
n
n n n n n N
V n n V n ++++++-+-=?=?+-++- 213n →∞???→< 1213(2)n n n
n n ∞=??+-∑收敛，又1
(1)n
n n ∞
=-∑收敛。 故原级数在3x =-处收敛?收敛域内[3,3).-
14、将函数2
()2x
f x x x
=
+-展开成x 的幂级数。 分析 先将()f x 分解成部分分式，再利用等比级数间接展开。 解：2111111
()(),(2)(1)32313112
n f x x x x x x x
=
=-=--+-++-
011,22,2
12
n
n
n x x x ∞
==-<<-∑
1
(1),1 1.1n n n x x x ∞
==--<<+∑ 0001111()(1)(1),1 1.3232
n n n n n n n n n n f x x x x x ∞∞∞===????∴=--=---<
15、将函数12()arctan 12x f x x -=+展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21
n
n n ∞
=-+∑的和。
分析 直接展开较困难，先将()f x '展开，再递项积分得出()f x 的展开式 解 22
212(12)2(12)2
()12(12)141()12x x f x x x x x
-+---'=
?=-++++ 2
20011
2(1)(4)2(1)4,22n
n
n n n n n x x x ∞
∞
===--=---<<∑∑
20
()(0)()2(1)4
4
x
x
n
n
n n f x f f t dt t dt π
∞
='=+=
--∑?
?
21
0(1)24421
n n n n x n π
∞
+=-=-?+∑ 当12x =时，2100(1)11(1)4212221n n
n n n n n n ∞
∞+==--??=++∑∑收敛 （莱布尼兹判别法） 当12n =-时，212100(1)(1)1(1)421
2221n n n
n n n n n n +∞
∞+==---??=-++∑∑收敛 210(1)11()24,,421
22n n n n f x x x n π
∞
+=-??∴=-??∈-??+??∑
又01(1)()arctan002421
n
n f n π∞==-==+∑
(1).214n n n π∞
=-∴=+∑
16、求幂级数121
1(1)(21)
n n n x n n -+∞
=--∑的收敛域及和函数().s x
解：求收敛域，由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之，设
121
(1)(),1,2
(21)
n n n x u x n n n -+-==
-
23
21
21()(21)
lim lim ()(1)(21)n n n x x n
x u x n n x u x n n x ++-→∞→∞-==++ 当2
1x <，即1x <时，原级数绝对收敛； 当21,x >即1x >时，原级数发散。
所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是(1,1).-
当1x =时，1
1
(1)(21)n n n n -∞
=--∑绝对收敛211
(
)(21)n n n
<-
同理，当1x =-时，1(1)(21)
n
n n n ∞
=--∑绝对收敛，
因此，该级数的收敛域为[]1,1-
[]121
1
(1)(),
1,1(21)n n n x S x x n n -+∞
=-=∈--∑
17、求幂级数
121
1
(1)(1)(21)
n n n x n n ∞
-=-+
-∑(1)的收敛区间与和函数()f x 。
解：此级数(1)是缺项的幂级数
令1
121(21)1()(1)
(1),1,2
,(21)(21)
n n n
n n n u x x x n n n n n ---+=-+
=--
2
21()(1)(21)1(21)lim
lim ()(1)(21)(21)1
n n n n u x n n n n x x u x n n n n +→∞
→∞+++-=?=++-+
当2
1x <，即1x <时，级数(1)绝对收敛； 当2
1x >，即1x >时，级数(1)发散。
∴级数(1)的收敛区间为(1,1)-
11
21221111(1)(1)(1)(1)(21)2(21)n n n n n
n n n n x x x n n n n -∞
∞∞
--===--+=-+--∑∑∑ 记2
1
22
1
()(1)
,(1,1)1n n
n x g x x x x
∞
-==
-=∈-+∑
1(7)221(1)1
()(1)2(21)
2n n n S x x xarctamx lin x n n -∞
=-=-+-∑例
2
22
()()2()2arctan (1),(1,1)1x f x g x S x x lin x x x
∴=+=+-+∈-+
18、（1）讨论级数1
1(1)!n n n n ∞
+=+∑的敛散性，（2）已知级数2n a ∞∑n=1和2
1n n b ∞
=∑都收敛，试证明级数1
n n n a b ∞
=∑绝对敛。
（1）解
1122
(2)!(2)111()(1)(1)!(1)(1)n n n n n u n n n n n u n n n e n
+++++=?=→<→∞++++
1
1
(1)!
n n n n ∞
+=+∴
∑收敛 （2）证
21n
n a
∞
=∑与
21
n
n b
∞
=∑都收敛?
1
2n n
n a b
∞
=∑收敛1
n n
n a b
∞
=?
∑收敛
即 1
n
n x α∞
=∑绝对收敛。
19、设有方程10n
x nx +-=，其中n 为正整数，证明此方程存在唯一的正实根n x ，并证明
当1α>时，级数
21
n
n xn
∞
=∑收敛。
分析 （1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调性 （2）用比较判别法证明
1
n n x α∞
=∑收敛。
证 （1）取()10n n f x x nx =+-=，则()n f x 在[]0,1上连续，且
(0)10,(1)0(0,1)n n f f n n =-<=>??∈，使()0n f x =，
又[]1()0,0,()n n n f x nx n x f x -'=+>∈+∞?在[]0,+∞上严格递增?方程
10n x nx +-=存在唯一正实根(0,1).n x ∈
由 10n
n n x nx +-=且(0,1)n x ∈，有
11100(1)n
n
n n n x x x n n n
αα-<=
又 11n n α∞
=∑收敛1
n n n α
∞
=?∑收敛。
20、设4
tan .n n a xdx π
=
?
（1）试证：
211
()n n n a a n
∞
+=+∑ （2）试证：对任意常数0λ>，级数
1
n
n a n λ∞
=∑收敛。 （1）解 直接求2n n a a ++的表达式
2
24
4420
tan
tan (1tan )n
n n n n o
a a tan xdx xdx x x dx π
π
π
+++=+=?+???
2
440
tan sec tan (tan )n
n x xdx xd x ππ
=
?=?
?
4111
tan 11
0n x n n π
+==
++ 211
11
()(1)n n n n a a n n n ∞
∞+==∴+=+∑∑
11
111
()(1)1n n n S k k k k ∞
∞
====-++∑∑
1
11()1
n n =-
→→∞+ 111
()1n n n a a n
∞
+=∴
+=∑ （2）证 4
0t a n n n a x d x π
<=
?
令tan ,arctan n t n t ==
1
120011.11n n
t dt t dt t n n
=<=<++?? 于是 11
0n a n n
λλ+<
< 由于 1
1
11,
1n λλ∞
=+>+∑收敛 因此
1n
n a n
λ
∞
=∑收敛。 21、求级数2
1
(3)n
n x n ∞
=-∑的收敛域。 【解】因系数21
(1,2
),n a n n
==故 2
12l i m l i m 1.
(1)n x x n
a n a n +→∞→+∞==+ 因此当131x -<-<，即24x <<时级数绝对收敛。
当2x =时，得交错级数11(1)2n
n n ∞
=-∑；当4x =时，得正项级数211
n n
∞
=∑，二者都收敛，
于是原级数的收敛域为[]2,4.
22、已知函数, 1.
()2,x x f x x ≤≤?=?
-<≤?
若0若1x 2. 试计算下列各题：
2
00
(1)();x
s f x e dx -=? 412
(2)(2);x s f x e dx -=-?
22
02(3)(2)(2,3
)n x
n
s f x n e dx
n +-=-=?
； 0
(4)n n s s ∞
==∑
【解】用分段积分法，分部积分法和换元积分法，分别可得
12122
00
1
1
1
(1)(2)2x x x x x s xe dx x e dx xe dx xe dx e dx -----=+-=-+?????
1
2
11
2
22
220112111(1)(1)x
x x x xe
e dx xe e dx e e e e e
----=-+++=
-+=-=-??； 2222
2010200(2)2()()t t s s x t f t e dt e f t e dt s e e ------====??；
2222200200(3)2()()t n n
t n n n s s x n t f t e dt e f t e dt s e e
------====??；
(4)利用以上结果，有2200022200
2
1(1)1
()11111n n n n S e s e e s s s e e e e e
∞
∞
==--===
===--+-∑∑
23、设有两条抛物线2
1y nx n =+和21(1)1
y n x n =+++，记它们交点的横坐标的绝对值为n a 。
（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n s ； （2）求级数
1n
n n
s a ∞
=∑的和。 【解】（1）用n L 与n 1L +分别表示两条抛物线
21y nx n =+
与2
1(1),1
n y n x L n =++
+与1n L + 有两个交点(,)n n a y -与(,)n n a y ，如图5.2.
令 2
211(1)1nx n x n n +
=+++
，容易求得n a =抛物线围成的平面图形的面积。
22011(1)1n
n a a s nx n x dx n n -??=+-+-??+?
??
22(1)n n a n a a x dx n n -=
-=+? （2） 因为
41411()(1,2)3(1)31
n n s n a n n n n ==-=++，
于是
141111
1141
()()()(1).31223131
n
k k k
s a n n n =??=-+-++-=-??++??∑ 故 11414
lim lim(1).313n
n k n n n k n k
s s a a n ∞
→∞→∞====-=+∑∑
24、设40
sin cos ,0,1,2,
n
n I x xdx n π
=
=?
，求
.n
n I
∞
=∑
【解】由
40
1
1
401
1sin (sin )(sin )()1
12
n
n n n I xd x x n n π
π
++===
++?，有
1
0011
n n n n I n ∞
∞
+===+∑∑
令1
1
()1n n s x x
n ∞
+==
+∑，因其收敛半径1R =，且(0)0s =，故在(1,1)-内有
1
()1n n s x x x
∞
='=
=
-∑ 于是 0
1
()(0)1(1),1 1.1x
s x s dt n x x t
=+
=----?
令(1,1)2
x =
-， 即得
101()()1(1
)12).
21
22n n s n n n ∞
+===--=+∑ 从而
40
sin cos (
)1(22
n n n n I x xdx s n π
∞
∞
=====∑∑?
25、已知()n f x 满足1()()n x n n f x f x x e -'=+（n 为正整数），且(1)n e
f n
=
，求函数项级数1
()n n f x ∞
=∑之和。
【解】由已知条件可知()n f x 满足一阶线性微分方程
1()(),n x
n n f x f x x e -'-=?其通解为 ()().n
x
n x f x e c n
=+
由条件(1)n e f n =，得0c =，故().n x
n x e f x n
=
从而 111().n x n x
n n n n x e x f x e n n
∞
∞
∞
=====∑∑∑
数项级数敛散性判别法。(总结)
华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。
微积分习题之无穷级数共21页文档
[填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
无穷级数单元测试题答案知识分享
无穷级数单元测试题 答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、收敛 3、5 4、π 33--，π π12 48+ -， ???????±±=--±±==,...3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件，
故该交错级数条件收敛。 （2）∑∞ =?? ? ??+11n n n n 解：lim lim( )[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a 解：另设级数1 () n v n a b =+ 111111 1(1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4) ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ）
无穷级数练习题word版
无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4)
二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散.
无穷级数单元测试题
第十二章 无穷级数单元测试题 一、判断题 1、。收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u （ ） 2、若正项级数∑∞=1 n n u 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。 （ ） 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散，则。1lim 1>=+∞→r u u n n n （ ） 4、若∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则n n n v u ∑∞ =1绝对收敛。 （ ） 5、若幂级数n n n x a )23(1 -∑∞ =在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（ ） 6、已知n n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。 （ ） 7、n n n x a ∑∞=1和n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞ =+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。 （ ） 8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数 ...! 2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。 （ ） 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。 （ ） 10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，
n a （n=0,1,2,...）, n b （n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则 必有)sin cos (2)(1 0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。 （ ） 二、选择题 1、下列级数中不收敛的是（ ） A ∑∞ =+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n 2、下列级数中，收敛的是（ ） A ∑∞ =--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ． 3、判断∑∞=+11 11n n n 的收敛性，下列说法正确的是（ ） A 因为 01 1>+n ，所以此级数收敛 B 因为01lim 11=+∞ →n n n ，所以此级数收敛 C 因为 n n n 111 1>+，所以此级数发散。 D 以上说法均不对。 4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A ∑∞=-1)1(n n n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-??? ??-1132)1(n n n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞ =--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4),则常数a=（ ）
无穷级数习题
第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<，
无穷级数 测试题
1. 填空3分一道（1）若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1 .n n n u v ∞ =+∑必 （2）若常数项级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim .n n u →∞ = 2.14分 下列级数中条件收敛的是（ ）绝对收敛的是（） (A)()11112n n n ∞ =-+∑ (B)( )11n ∞=-∑ (C)()111n n n ∞=-∑ (D)()2111n n n ∞=-∑ (E)( )11n n ∞=-∑ （F ）() 111n n ∞-=-∑ 下列题10分一道 3.判定级数112n n n ∞=?∑的敛散性（收敛或者发散） 4.判定级数13!n n n n n ∞=?∑的敛散性 5.判定级数()111001n n n ∞ =+∑的敛散性 6.判定级数211ln 1n n ∞=??+ ???∑的敛散性 7.求幂级数()131n n n n x n ∞=-∑的收敛半径及收敛区间（开） 8. 求幂级数11!n n x n ∞ =∑的收敛区间 9.求幂级数112n n nx ∞-=∑的收敛区间及和函数 10.将13 x +展开成()1x -的幂级数，并求其收敛区间。 知识点归纳： 一、正项级数：1.调和级数11n n ∞ =∑发散。 2.11p n n ∞=∑：当p>1时，收敛，p ≤1时发散（包括一系列等价无穷小） 3.比值审敛法（针对通项里出现了,!n a n ）：1lim n n n u u +→∞ 的值<1,收敛；>1则发散；等于1，方法用错了，该用第2条。 二.交错级数：()11n n n u ∞=-∑，判定lim 0n n u →∞≠则该级数发散；lim 0n n u →∞ =， 1n n u u +≤，则该级数收敛，此时该级数分条件收敛和绝对收敛，就是将该级数加绝对值()111n n n n n u u ∞∞ ==-=∑∑，去掉麻烦的()1n -， 此时判别法回到正项级数判别法：1）如果还收敛的话，则为绝对收敛，如果发散则为条件收敛。
无穷级数练习题
无穷级数练习题 无穷级数习题 一、填空题 ,,nn1，1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。axnax(1),,,nnn0,n1, ,n2、幂级数的收敛域为。 (21)nx，,0n, ,n21n,R,3、幂级数的收敛半径。 x,nn(3)2,，n1, n,x4、幂级数的收敛域是。 ,，1n0n, 2n,(2)x,5、级数的收敛域为。 ,nn4n,1 n,(ln3)6、级数的和为。 ,n20n, ,1n1,7、。 n,(),2n1, 28、设函数fxxx(),，, 的傅里叶级数展开式为 (),,,,,x ,a0，，(cossin)，则其系数b的值为。 anxbnx,nn321n, ,,,,x0,,1,,2,9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的fx(),x,,,20,,,x1,，x,, 敛于。 ,110、级数的和。 ,nnn，，(1)(2)n1, 2n,(2)x,11、级数的收敛域为。 ,nn,4n,1 ,1,1)R,3参考答案:1、 2、 3、 4、 5、 (2,4),(1,1),(0,4), 21212,,46、 7、 8、 9、 10、 11、 (0,4)422ln3,3 二、选择题 1
,,an2n1、设常数，而级数收敛，则级数是( )。 ,,0a(1),,,n21n1n,,,，n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛与,有关 aa，aa,nnnn，，n,1.2，则下列命题中正确的是( )。 2、设q,p,nn22 ,,, (A)若条件收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (B)若绝对收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (C)若条件收敛，则与的敛散性都不一定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,n1,an,,0,1,23、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。 a(1),a,,nnnn1,n1, ,,,,(A)收敛，发散. (B)收敛，发散. aaaa,,,,21n2n2n21n,,N1,n1n1n1,,, ,, (C)收敛. (D)收敛. ()aa，()aa,,,212nn212nn,,n1n1,, ,sin()1n,4、设为常数，则级数,是( ) (),,2nnn1, (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与取值有关. , ,,n,05、级数(1)(1cos),,(常数)是( ) ,n1n, (A)发散. (B)条件收敛. (C) 绝对收敛. (D)收敛性与有关. , 1n6、设，则级数 u,,，(1)ln(1)nn
无穷级数单元测试题答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、 收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，???????±±=--±±==,... 3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。
（2）∑∞ =??? ? ?+11n n n n 解：lim lim()[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a Λ 解：另设级数1 () n v n a b =+ 1111111 (1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ L L 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4)ΛΛ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） Λ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++L （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得2462 1 ()11f x x x x x '=++++=-L （这是公比21q x =<的几何级数）
关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)
n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1） 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛， 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛， 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1 ． n 2n 1 ； ． 1 ；3． 1 1 。 2 n 1 2n 2n2 n 1 3 n 5 n n 1 判断下列正项级数的敛散性 ． n! ；5． n e ； 6． n 1 ；7． 2n 3 ；8． n 4 ； 4 n 1 e n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n n n n 1 n 9． ；10． 3n n 1 2n 。 n 1 1 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 ． 1 n 1 n 1 ； 12． 1 n 1 ； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001； 11 2 n ln n n 1 n 2 14． 1 22 2 3 1 4 1 ； 2 1 3 2 4 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 ． 3n x n ；16． 1 n x n ； 17． n! x n ； ． 1 n ； 15 n n 18 n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n 1 19． 1 2n 1 ； 20． n 2 n ； 1 2 n 1 x n 1 3 n x n 求下列级数的和函数 21． n 1 nx n 1 ； 22． n 1 2 1 n 1 x 2n 1 ； 将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数 23． shx e x e x ， x 0 0 ；24． cos 2 x ， x 0 0 ； 2 25． 1 x ln 1 x ， x 0 0 ； 26． 1 ， x 0 3 ； x 将下列函数在区间 , 上展开为付里叶级数 27． A x cos x ， x 。28． f x 2t ， x 2
数项级数经典例题大全 (1)
第十二章 数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解 当1|| 4、 讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、 证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、 判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要 条件) 7、 证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、 考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解 有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、 判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21(2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、2 12 π 10、14 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. （C ） 1 n n u ∞ =∑收敛而 20 n n u ∞ =∑发散. （D ） 1 n n u ∞ =∑发散而 21 n n u ∞ =∑收敛. 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 无穷级数 P127-练习1 判别下列级数的敛散性： 1． 31 2 ln n n n ∞ =∑ ； 【解】 32 14 54 ln ln lim lim 01→∞ →∞ ==n n n n n n n ，而级数51 4 1∞ =∑ n n 收敛 （5 4 p = 的p -级数）， 则由正项级数的极限形式的比较判别法知 31 2 ln n n n ∞ =∑ 收敛. 2． 21 sin 2 n n n π ∞ =∑． 【解】因为2 2 sin 2 2 π π≤ n n n n ， 由于2 1 1 2(1)12 lim lim 122n n n n n n n u n u p p ++ +==<，故由正项级数的比值判别法知级数2 12π∞ =∑n n n 收敛. 再由正项级数的比较判别法知21 sin 2 n n n π ∞ =∑收敛，且为绝对收敛. P128-练习2 设常数0,a >试判别级数 1 (1)(1cos )n n a n ∞ =--∑是条件收敛还是绝对收敛． （1992） 【解】211 1(1)(1cos )(1cos )2sin 2n n n n a a a n n n ∞ ∞∞ ===--=-=∑∑∑， 因为正项级数212n a n ∞ =?? ?? ?∑收敛，而2 2sin 22a a n n ??≤ ???， 所以 正项级数211 (1cos )2sin 2n n a a n n ∞ ∞ ==-=∑∑收敛， 从而 级数 1 (1)(1cos )n n a n ∞ =--∑绝对收敛. P129-练习3 设正项级数 1 n n a ∞ =∑收敛，且常数(0,)2π λ∈，则21(1)(tan )n n n n a n λ ∞ =-∑（ ）． （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与λ有关 【解】因正项级数 1 n n a ∞ =∑收敛，所以 21 n n a ∞ =∑也收敛. 又22tan lim lim tan ,0n n n n n a n n a n l l l l ==>，故由正项级数的极限形式的比较判别法知 21 (1)(tan )n n n n a n λ ∞ =-∑是绝对收敛的. 选（A ） P130-练习4 设级数 1 n n a ∞ =∑与 1 n n b ∞ =∑均收敛，且n n n a c b ≤≤，证明：级数 1 n n c ∞ =∑收敛． 【证明】由0n n n n n n n a c b c a b a ≤≤?≤-≤-, 故级数 1 1 (), ()n n n n n n b a c a ∞ ∞ ==--∑∑均为正项级数. 因为级数1 n n a ∞ =∑与 1 n n b ∞ =∑均收敛， 则 1 ()n n n b a ∞ =-∑收敛，由正项级数的比较判别法知1 ()n n n c a ∞ =-∑收敛， 又由于级数()1 1 ()n n n n n n c a c a ∞∞ ===+-∑∑，则由性质知级数1 n n c ∞ =∑收敛． P133-练习5 求幂级数121(1)21 n n n x n -￥ =--?的收敛域及和函数． （2010） 【解】易求得级数的收敛半径1R =，且在1x =±时级数均收敛，故收敛域为[1,1]-； 当()1,1x ∈-时 ，设11221 111(1)(1)()()2121 n n n n n n S x x x x xS x n n --ゥ -==--===--邋， 其中121 11(1)()21 n n n S x x n -￥ -=-=-?， 而12112212 00 1 1 (1)1 ()(1)arctan 211n x x x n n n n n S x x dx x dx dx x n x -ゥ---==￠骣骣 -÷÷??÷==-==÷??÷÷??÷-+桫桫邋蝌 ， 故1()()arctan ,[1,1]S x xS x x x ==- 无穷级数例题选解 1．判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11! 21(1) sin ;(2) ln(1);(3) ;(4) ( ) 32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++ -∑ ∑ ∑∑ 2．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ （1 ）21 1 (1) [ 3 n n n n ∞ -=-+ ∑； （2） 2 1 cos 3 n n n n ∞ =∑ ； （3） 1 1 (1) n n ∞ -=-∑ 。 3 ．求幂级数0n n ∞ =∑ 的收敛区间。 4．证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑ 当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 5．在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数 6． 求级数∑ ∞ =-2 2 2 )1(1n n n 的和。 7．把()arctan f x x =展开成 x 的幂级数，并求级数 0 (1) 3 (21) n n n n ∞ =-+∑ 的和 8．设11112,()2n n n a a a a +== + （1,2,n = ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 9．设40 tan n n a xdx π = ? ， 1） 求21 1()n n n a a n ∞ +=+∑ 的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ ∞ =∑ 收敛。 10．设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1 )1(n n n a 发散，试问∑∞ =? ?? ? ?? +111 n n n a 是否收敛？并说明理由。 11．已知222111358 π +++= ，计算1 011ln 1x dx x x +-?? ?。 12．计算 4 8 3 7 11 15! 9! 3! 7! 11! π π π π π + + ++ + + 。q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0 n n q 当且仅当 1||
无穷级数练习题
关于数项级数敛散性的判定
级数敛散性判别方法的归纳
超越考研《无穷级数》练习题参考答案
无穷级数习题及解答w