无穷级数习题
(整理)无穷级数习题选择题
无穷级数习题一选择题1、若极限lim 0n n u →∞≠， 则级数1nn u∞=∑ ( )A 、 收敛；B 、 发散；C 、条件收敛；D 、绝对收敛。
2、如果级数1nn u∞=∑发散，k 为常数，则级数1nn ku∞=∑ ( )A 、 发散；B 、 可能收敛；C 、收敛；D 、无界。
3、如果级数1nn u∞=∑发散，下列结论正确的是（ ）A 、 lim 0;n n u →∞≠ B 、 lim 0;n n u →∞= C 、nn n1)1(1∑∞=-D 、)1(1nn ∑∞=-4、若级数1nn u∞=∑收敛,n s 是它前n 项部分和,则该级数的和s =( )A 、 n sB 、 n uC 、 lim n x u →∞D 、 lim n x s →∞5、级数2221111()()()234++++是( )A 、 幂级数B 、 调和级数C 、p 级数 D.等比级数6、在下列级数中,发散的是 ( )A 、1n ∞=∑ B 、0.01+C 、111248+++D 、 2343333()()()5555-+-+7、下列级数中,发散的是( )A 、 2221111357-+-+B 、11(1)n n ∞-=-∑C 、 11(1)nn n ∞=-∑ D 、231(1)nn n∞-=-∑8、如果级数1nn u∞=∑收敛，且0(0,1,2,3),n u n ≠=其和为,s 则级数11n nu ∞=∑（ ）； A 、收敛且其和为1s； B 、收敛但其和不一定为s ； C 、发散； D 、敛散性不能判定。
9、 下列级数发散的是 （ ） A 、n n n 1)1(11∑∞=-- B 、 )111()1(11++-∑∞=-n n n n C 、nn n1)1(1∑∞=-D 、)1(1nn ∑∞=-10、设常数0,a ≠几何级数1nn aq∞=∑收敛，则q 应满足( )A 、 1;q <B 、 11;q -<<C 、1;q <D 、 1.q >11、若p 满足条件( ),则级数211p n n∞-=∑一定收敛 ；A 、 0;p >B 、 3;p >C 、 2;p <D 、 23.p <<12、若级数211p n n∞-=∑发散，则有 （ ） ；A 、 2;p >B 、 3;p >C 、 3;p ≤D 、 2.p ≤13、 下列级数绝对收敛的是（ ）A 、∑∞=-2)1(n nnnB 、nn n 1)1(21∑∞=-- C 、 ∑∞=-1ln )1(n nn D 、 ∑∞=--2321)1(n n n14、下列级数收敛的是（ ）A 、∑∞=+1)1ln(1n n B 、 ∑∞=+-1)1ln()1(n n n C 、 ∑∞=+-112)1(n nn nD 、 ∑∞=+112n n n15、下列级数中条件收敛的是（ ）A 、 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-132)1(n nn；B 、∑∞=--11)1(n n n ； C 、∑∞=-+-1112)1(n n n n ；D 、∑∞=--13151)1(n n n。
(完整版)第六章无穷级数(典型例题)
第六章 无穷级数（3-4道小题，5分一个题）例1、 考察下述级数的敛、散性（不用全部讲）（1）∑∞=1n n ； （2)().111∑∞=+n n n ； （3） (81)614121++++；（4） (71)615141++++； （5)1ln 2124n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；（6）111111 (392)3nn +++++++ ; （7） (4)33221+++; （8）....cos ...3cos 2cos cos +++++n ππππ； （9）12nn n n ∞=-⎛⎫⎪⎝⎭∑ 例2、 已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时,求n u .例3、 若级数1n n u ∞=∑收敛，记1nn i i S u ==∑，则()B().lim0n n A S →∞=； ()lim n n B S →∞存在； ().lim n n C S →∞可能不存在； (){}.n D S 是单调数列。
例4、 若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是：(AE ）A 110nn u ∞=∑ B 1(10)n n u ∞=+∑ C 110n n u ∞=∑ D 1(10)n n u ∞=-∑ E 110n n u ∞=∑例5、 设1150100n n n n u v ∞∞====∑∑，，则()123n n n u v ∞=+∑（D)A 发散B 收敛，其和为100C 收敛,其和为50D 收敛，其和为400例6、 下列条件中,使级数()1n n n u v ∞=+∑一定发散的是()A()1.n n A u ∞=∑发散且1n n v ∞=∑收敛； ()1.n n B u ∞=∑发散；()1n n C v ∞=∑发散； ()1.n n D u ∞=∑和1n n v ∞=∑都发散.例7、 设级数1(1)n n u ∞=-∑收敛，则lim 1n x u →∞=.例8、 判别下列级数的敛、散性.(1）2111n nn ∞=++∑（讲直接用极限形式的） （2）n ∞=；(3）∑∞=11sin n n （注意可推广1sin 0)pn aa n ∞=>∑（ ）； （4）12sin3n nn π∞=∑;例9、 判别下列级数的敛散性：、(1）12!nn n ∞=∑； （2）12!n n n n n ∞=∑；（3) 132n n n n ∞=∑。
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
第十二章无穷级数练习题含答案
第十二章 无穷级数练习1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n n n n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？211(1)[3n n n n ∞-=-+∑； 21cos 3nn n n ∞=∑；1(1)n n ∞-=-∑。
3.求幂级数0nn ∞=的收敛区间。
4.证明级数1!nnn n x n∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。
注：数列nn nx )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。
5.在区间(1,1)-求幂级数 11n n x n +∞=∑ 的和函数。
6.求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。
7.设11112,()2n n na a a a +==+ （1,2,n =）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛。
8.设40tan n n a xdx π=⎰，1） 求211()n n n a a n∞+=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛。
9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n na 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。
10.已知222111358π+++=[参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x+-⎛⎜⎠。
无穷级数例题选解1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n nn n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑解：1）2211sin n n < ，而∑∞=121n n 收敛，由比较审敛法知 ∑∞=121sin n n 收敛。
2）)(1~)11ln(∞→+n n n ，而∑∞=11n n发散，由比较审敛法的极限形式知 ∑∞=+1)11ln(n n 发散。
无穷级数练习题
n1
n1
n1
7 o 若
u n收敛 ,则
u
2 n
收
敛
.
（
n1
n1
）
）
）
）
）
）
.
）
.
8 o 若
u
2 n
收
敛
,则
u n收敛 .
（）
n1
n1
9 o
若 u n收敛
n1
,则
1 必发散
n1 u n
.
（）
10 o
若 u n发散， 则
n1
1 n1 u n
(1f)(x)的麦克劳林 (2)f级 (x)在 数 x； 1处的泰.勒
7 求 幂 级 nn x数 的 和 函数 (n1)， n (1)的 并. 和 求
n1(n1)!
n1
n !
8.
将函f(数 x)πx在 (π,π)上展2成 π为 以周期的傅 2
级数，分 f(x别 )以画 及 级出 数的s和 (x)的 函图 数 .并 形 求 s(5π). 4
第十一部分：无穷级数 练习题
一 判断是非 （是：√；非：×, 后者请举反例.）
1 o 若级数 u n 收敛，则 n1
lim
n
u
n
0.
（
2 o
若
lim
n
u
n
0，则级数
u n收敛 .
n1
（
3 o 若 | u n | 收敛，则
u n收敛 .
（
n1
高数一 第7章无穷级数作业解答
u
n
的部分和为 sn
3．已知 lim nun 0 ，级数
n
(n 1)(un1 un ) 收敛，证明级数 un 也收敛.
n 1 n 1 n n n i 1 i 1 i 1
证明： sn
(i 1)(ui1 ui ) [(i 1)ui1 iui ] ui (n 1)un1 u1 ui ，
2．若级数
an2 及 bn2 都收敛，证明级数 (an bn )2 也收敛.
n 1 n 1 n 1
证明：因级数
a
n 1
2 n
及
b
n 1
2 n
都收敛，所以级数
(2a
n 1
2 n
2bn2 ) 收敛. 又因
2 2 (an bn ) 2 2an 2bn2 (an bn ) 2 2an 2bn2 ，
i 1 n i 1
n
n ui (n 1)un 1 u1 sn .
因 lim nun 0 ，且 lim sn 存在，所以 lim n 存在，也即级数
n n n
u
n 1
n
收敛.
无穷级数作业 2
1．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：
cos 2 n （2） ； n2 n 1
解：因
1 cos 2 n 1 ，且 收敛，所以原级数也收敛. 2 2 2 n n n 1 n
（3）
sin 2
n 1
n
；
解：因 sin
2
n
(整理)第七章 无穷级数
第七章无穷级数一、选择题1．下列关于级数的论述中一定错误的是(A) 若，则．(B) 若，则．(C) 若un≥0，且，则．(D) 若un≥0，且不存在，则．2．下列结论正确的是(A) 发散级数加括弧所成的级数仍发散．(B) 若加括弧后的级数收敛，则原级数收敛．(C) 若去括弧后的级数收敛，则原级数收敛。
(D) 若去括弧后的级数发散，则原级数发散．3．设都是正项级数，且级数收敛，则下列结论正确的是(A) 若un ＞vn，则级数发散． (B) 若，则级数收敛．(C) 若，则级数收敛． (D) 若，则级数发散．4．设级数，则下列结论正确的是(A) 因为，所以与p-级数比较得收敛．(B) 因为，所以．(C) 因为，所以收敛．(D) 因为，所以发散．5．设正项级数与任意项级数具有关系，则下列结论正确的是(A) 由收敛推知收敛． (B) 由发散推知发散．(C) 由收敛推知收敛． (D) 由发散不能断定的敛散性．6．下列命题中正确的是(A) 设正项级数发散，则．(B) 设收敛，则收敛．(C) 设至少有一个发散，则发散．(D) 设收敛，则均收敛．7．下列命题正确的是(A) 若收敛，则收敛．(B) 若条件收敛，则发散．(C) 若收敛，则收敛．(D) 若，则收敛．8．下列命题正确的是(A) 设复敛，则收敛．(B) 设收敛且n→∞时，an ，bn是等价无穷小，则收敛．(C) 设收敛，则．(D) 设收敛，令，且Sn为正项级数的前n项部分和(n=1，2，…)，则发散．9．下列命题正确的是(A) 若都收敛，则也收敛．(B) 若收敛，发散，则必发散．(C) 若收敛，绝对收敛，则绝对收敛．(D) 若条件收敛，绝对收敛，则条件收敛．10．已知都发散，则(A) 必发散． (B) 必发散．(C) 必发敞． (D) 必发散．11．设绝对收敛，则(A) 发散． (B) 条件收敛．(C) 绝对收敛． (D)12．对于常数k＞0，级数(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．(C) 发散． (D) 的收敛性与k的取值有关．13．设级数收敛，则其中的常数(A) a=-2，b=1． (B) a=b=1．(C) a=1，． (D) a=b=-2．14．设正项级数收敛，且bn =(-1)n ln(1+a2n)(n=1，2，…)，则级数(A) 发散． (B) 绝对收敛．(C) 条件收敛． (D) 的敛散性不能仅由所给条件确定．15．下列级数①②③④中收敛的个数是(A) 1个． (B) 2个． (C) 3个． (D) 4个．16．设有幂级数，则R为其收敛半径的充要条件是(A) 当|x|≤R时，收敛，且当|x|＞R时发散．(B) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|≥R时发散．(C) 当|x|＜R时，收敛，且当|x|＞R时发散．(D) 当-R＜x≤R时，收敛，且当R＜x或x≤-R时发散．17．下列命题正确的是(A) 若幂级数的收敛半径为R≠0，则．(B) 若不存在，则幂级数没有收敛半径．(C) 若的收敛域为[-R，R]，则幂级数的收敛域为[-R，R]．(D) 若的收敛域为(-R，R)，则的收敛域可能是[-R，R]．18．设收敛，则(A) 条件收敛． (B) 绝对收敛．(C) 发散． (D) 的敛散性仅由此还不能确定．19．设幂级数在x=-1处收敛，则此级数在x=1处(A) 绝对收敛． (B) 发散．(C) 条件收敛． (D) 的敛散性仅由此不能确定．20．设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛域包含点集(A) {2，3，4，e}． (B)(C) {1，5}． (D) {1，2，3，4，5，e}．21．设在x=1处收敛，则在x=0处(A) 绝对收敛． (B) 条件收敛．(C) 发散． (D) 的收敛性取决于{an}的给法．22．设级数收敛，则级数的收敛半径(A) R=2． (B) R=3． (C) R＞2．(D) R≥2．23．下列结论不正确的是(A) 若函数f(x)在区间[a，a+2π]上导函数连续，则展开成傅里叶级数时，有(B) 若函数f(x)在区间[-π，π]上有则必有(C) 设连续函数f(x)满足f(x)+f(x+π)=0，则f(x)在[-π，π]上展开成傅里叶级数时，必有a 0=a2k=b2k=0(k=1，2，…)．(D) 若函数f(x)满足狄利克雷条件，则必有其中24．下列命题①若函数f(x)为[-π，π]上的奇(偶)函数，则f(x)的傅里叶级数必为正(余)弦级数②若函数f(x)在[0，π]上有定义，则f(x)的傅里叶级数展开式是唯一的③设，不论收敛与否，总有④将函数f(x)=x2(0≤x≤1)做偶延拓，得到令x=2得中正确的是(A) ①、③．(B) ①、④．(C) ②、③．(D) ②、④．25．将函数在[0，π]上展开为余弦级数，则其和函数在x=0，1，π处的函数值分别为(A) (B) 0，2，0．(C) 1，2，π+1． (D)1．设，则=______．2．设幂级数的收敛半径是2，则幂级数的收敛半径是______．3．设幂级数，则该幂级数的收敛半径等于______．4．若幂级数的收敛域是(-8，8]，则的收敛半径R=______，的收敛域是______．5．已知幂级数当x=-2时条件收敛，则该幂级数的收敛区间为______．6．设幂级数的收敛区间为(-2，4)，则幂级数的收敛区间为______．7．幂级数的收敛域为______．8．幂级数的收敛域为______．9．函数展开成x的幂级数及其收敛区间分别为______．10．设函数f(x)=x+|x|(-π≤x≤π)的傅里叶级数展开式为，则其中系数b=______．n11．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于______，在x=2π处收敛于______．1．判别下列级数的敛散性：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)2．讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)3．设常数p＞0，试判断级数的敛散性．4．设b=1，，讨论级数的敛散性．1=1，对于n=1，2，…，设曲线上点处的切线与x轴交5．已知a1点的横坐标是a．n+1(Ⅰ)求a(n=2，3，…)；n(Ⅱ)设Sn 是以和(an+1，0)为顶点的三角形的面积，求级数的和．6．设un＞0(n=1，2，…)，证明：(Ⅰ)若存在常数a＞0，使当n＞N时，，则级数收敛；(Ⅱ)若当n＞N时，，则级数发散．7．设函数f(x)在区间[0，1]上有一阶连续导数且f(0)=0，设，证明级数绝对收敛．8．设f(x)在|x|≤1有一阶连续导数且，证明级数发散而级数收敛．9．设f(x)是[-1，1]上具有二阶连续导数的偶函数，且f(0)=1，试证明级数绝对收敛．10．设函数f(x)在|x|≤1上具有二阶连续导数，当x≠0时f(x)≠0，且当x→0时f(x)是比x高阶的无穷小．证明级数绝对收敛．11．求下列幂级数的收敛域：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)12．求下列幂级数的和函数：(Ⅰ) (Ⅱ)13．已知a0=3，a1=5，且对任何自然数n＞1，，证明：当|x|＜1时，幂级数收敛，并求其和雨数．14．分别求幂级数的和函数与幂级数当x≥0时的和函数·15．将函数展开为x的幂级数．16．(Ⅰ)将展开成x-1的幂级数；(Ⅱ)在区间(-1，1)内将展开为x的幂级数，并求f(n)(0)．17．将展开成x的幂级数．18．求证：19．将展开成以2π为周期的傅里叶级数．20．将函数展开成正弦级数，并求级数的和．一、选择题1．A[分析] 由级数发散．而只在级数收敛时才成立，故(A)不正确．应选(A)．2．C[分析] 对于(A)：例如级数，它是发散的，但添加括号后的级数(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+…=0是收敛的．故(A)不对．对于(B)：例如级数(1-1)+(1-1)+…收敛于零，但级数1-1+1-1+…却是发散的．故(B)不对，同时也说明(D)也不对．这说明：若加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛．由排除法可知，应选(C)．3．C[分析] 根据比较原理的极限形式：设有正项级数，又设，则1°当0＜l＜+∞时，级数〈A〉与〈B〉有相同的敛散性；2°当l=0时，若级数〈B〉收敛，则级数〈A〉也收敛；3°当l=+∞时，若〈B〉发散，则〈A〉也发散．由此可知(C)正确，应选(C)．4．D[分析] 设〈A〉：为正项级数，1°若，即为有限数，即a与n为同阶无穷小，则p＞1时，〈A〉收敛；p≤1时，〈A〉发散．2° 若，且p＞1，则〈A〉收敛．3° 若即a是比低阶的无穷小，p≤1，则n〈A〉发散．由此可知(D)正确．应选(D)．5．A[分析] 由于，由比较判别法可知，级数与级数有相同的敛散性，即由收敛推知收敛．故(A)正确，应选(A)．6．C[分析] 对于(A)：令，则正项级数发散，但，故(A)不正确．=(-)n，则收敛，但发散，所以(B)不正对于(B)：令an确．对于(D)：令，则收敛，但发散，所以(D)不正确．若收敛，则由比较判别法知都收敛，因此都收敛，矛盾，所以发散，(C)正确．故应选(C)．7．B[分析] 令，则收敛，但发散，故(A)不正确．令u=(-1)n，则收敛，但发散，所以(C)不正确．n令un=(-1)n，则，但发散，所以(D)不正确．对于(B)，可用反证法证明其成立．若收敛，则收敛，说明绝对收敛，与题设矛盾．故发散．所以应选(B)．8．D[分析] 对于(A)：令，则收敛，但发散，故(A)不对．对于(C)：令，则收敛，但，故(C)不对．对于(B)：令，则收敛且当n→∞时an 与bn是等价无穷小，但发散，故(B)也不对．对于(D)：由于收敛，根据收敛的必要条件可得，又，所以，故发散．因此选(D)．9．C[分析] 令，则都收敛，但发散，所以(A)不正确．令，则收敛，发散，而绝对收敛，所以(B)、(D)不正确．事实上，由于收敛，所以，因此数列{an}有界，不妨假设存在M＞0，对任意的n都有|an |≤M，从而|anbn|≤M|bn|，又绝对收敛，从而根据正项级数的比较判别法知，收敛，所以绝对收敛．故应选(C)．10．C[分析] 取，则都收敛．又因为都发散，故都是发散的正项级数，从而必发散．故应选(C)．11．C[分析] 由于绝对收敛，所以，从而存在正整数N，当n＞N 时，有，而，所以，由正项级数的比较判别法可得都收敛．故(A)不成立，而(C)成立．令，则绝对收敛，但(B)、(D)不成立，所以应选(C)．12．B[分析] 因为数列单调下降，且，故级数收敛．但，由于，而发散，因此条件收敛．故应选(B)．13．A[分析] 由于[lnn+aln(n+1)+bln(n+2)]由题设知，故应选(A)．14．B[分析] 由于正项级数收敛，所以正项级数收敛，从而，因此有|bn |=|(-1)n|ln(1+a2n)|～a2n(n→∞)，由正项级数的比较判别法可知绝对收敛．应选(B)．15．C[分析]对，由于，所以该级数收敛．对，由于，而级数收敛，故该级数收敛．对级数，由于，所以n充分大时ln(lnn)·lnlnlnn＜lnn，从而．由于发散，所以该级数发散．由于，所以级数条件收敛．16．C[分析] 由幂级数的收敛半径的定义：“如果幂级数不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得：(i)当|x|＜R时，幂级数绝对收敛；(ii)当|x|＞R时，幂级数发散；(iii)当x=R 与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散，则称正数R为该幂级数的收敛半径．”可知，(C)正确，应选(C)．17．D[分析] 对任意的幂级数都存在收敛半径，收敛半径R可为R=+∞，0＜R＜+∞，或R=0，因此(B)不正确．对任意的幂级数不一定存在．例如，收敛半径为，由于a2n =2n，a2n+1=0，于是不存在，因此(A)也不正确．(C)也不正确，如收敛域为[-1，1]，但收敛域为[-1，1)．事实上，若，则其收敛域为(-1，1)，而的收敛域为[-1，1]，所以应选(D)．18．B[分析] 考察幂级数，由于收敛，所以幂级数在x=-2处收敛，根据阿贝尔定理可得当|x|＜|-2|时，对应的幂级数都绝对收敛，所以当x=1时，对应的幂级数绝对收敛，而此时对应级数为．所以应选(B)．19．A[分析] 根据阿贝尔定理可得：当|2x-1|＜|-2-1|=3时，幂级数绝对收敛．而当x=1时|2·1-1|＜3，因此与x=1对应的级数绝对收敛．故应选(A)．20．A[分析] 由于有相同的收敛半径，所以当|x-3|＜2时级数3)n绝对收敛，显然只有集合{2，3，4，e}中的点都满足不等式|x-3|《2，因此应选(A)．21．D[分析] 令，则级数在x=1处收敛，而在x=0处对应的级数发散．所以选项(A)，(B)不正确．又如，则级数在x=1处收敛，而在x=0处对应的级数收敛．所以选项(C)不正确．由排除法可知应选(D)．22．D[分析] 由于收敛，所以级数在x=-1处收敛，根据阿贝尔定理得：当|x-1|＜2时，对应的级数都绝对收敛，再根据收敛半径的定义可知R≥2，故选(D)．23．[分析] 对于(A)：将函数f(x)作周期延拓，所得周期函数仍记为f(x)，则f(x)cosx是周期为2π的周期函数，从而积分与a无关(事实上，=f(a+2π)cos(na+2nπ)-f(a)cosna=0)．令a=-π，则同理可证：故(A)正确．对于(B)：设，则应用三角函数系的正交性可得代入上述不等式，整理得式中右端为一与m无关的数，这说明级数收敛，于是，即．故(B)正确．对于(C)：据题设知函数f(x)是周期为2π的连续函数，则两式相加，由于f(x)+f(x+π)=0，则可得a0=a2k=b2k=0 (k=1，2，…)．故(C)也正确．对于(D)：若函数f(x)满足狄利克雷条件，则有其中，当x为f(x)的连续点时，故(D)不正确，应选(D)．24．A=0[分析] 对于①：设f(x)为奇函数，则f(x)cosnx也为奇函数，从而an(n=0，1，2，…)，因此f(x)～．故①正确．对于②：在区间[0，π]上定义的函数f(x)既可以做偶延拓展成余弦级数，也可以做奇延拓展成正弦级数．故②不正确．对于③：设，可证F(x)在[-π，π]上连续，且以2π为周期，从而满足狄利克雷条件，可将F(x)展成傅里叶级数其中，令z=0得为了求A即因此即故③正确．对于④：由于f(2)=f(0)=0，即，故④不正确．综上分析，应选(A)．25．D[分析] 将f(x)延拓成[-π，π]上的偶函数F(x)，根据狄利克雷定理可得所以选(D)．二、填空题1．8[分析] 1°先求由2°3°由收敛而是添加括号而得．因此，由2．2[分析] 由于有相同的收敛域，而所以与有相同的收敛半径，而有相同的收敛域．因此有相同的收敛半径，故的收敛半径为2．3．[分析] 由于令ρ(x+1)＜1，可得，所以收敛半径为．4．(-2，2][分析] 因幂级数的收敛域为(-8，8]，所以其收敛半径R=8．又因幂级数是由幂级数逐项求导两次所得，从而幂级数的收敛半径R=8．对于=，因-8＜x3≤8-2＜x≤2，所以的收敛域为(-2，2]．5．[-2，4)[分析] 由于级数存x=-2处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=3，故收敛区间为[-2，4)．6．(-4，2)[分析] 由于幂级数有相同的收敛域，所以收敛区间也一样；而幂级数有相同的收敛区间和收敛半径．又幂级数和幂级数有相同的收敛域，综上可得：级数有相同的收敛区间．又因为收敛半径一样，由的收敛区间为(-2，4)可得的收敛半径为3，所以收敛半径为3．从而幂级数的收敛区间为(-4，2)．7．[-1，1)[分析] 因为当x→0时，故，于是幂级数的收敛半径R=1．易知当x=1时幂级数发散，x=-1时幂级数收敛．故幂级数的收敛域为[-1，1)．8．[-1，1)[分析] 收敛半径幂级数在x=1对应的级数，发散；在x=-1时对应的级数收敛．所以收敛域为[-1，1)．9．[分析] 由于所以故10．[分析]11．，1[分析] 根据狄利克雷定理知：f(x)以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于f(x)以2π为周期的傅里叶级数在x=2π处收敛于三、解答题1．(Ⅰ)由于以及级数收敛，故由正项级数比较判别法可得：收敛．(Ⅱ)此题用比值判别法失效，所以选用比较判别法．注意，常数k＞0有极限，因此，因为级数收敛，所以由正项级数的比较判别法知级数收敛．(Ⅲ)该正项级数的通项是以积分形式给出的，因此需对积分进行估值．显然这是正项级数，因当时，所以由于收敛，所以原级数收敛．(Ⅳ)因为又收敛，所以原级数绝对收敛．2．(Ⅰ)先讨论级数的敛散性，因为而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．又因为级数用比值判别法可得，级数收敛，所以绝对收敛，又因为收敛，所以级数收敛，因此原级数条件收敛．(Ⅱ)先讨论级数的敛散性，由于而级数发散，所以根据比较判别法的极限形式可得级数发散．由于级数是交错级数，但不单调，莱布尼兹判别法不适用．注意到，由于是收敛交错级数，级数是收敛的正项级数，根据级数的性质可得条件收敛。
无穷级数经典习题
一. 选择题1. 设α为常数, 则级数(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与α取值有关.解. 绝对收敛, 发散, 所以发散. (B)是答案2. 设, 则(A) 与都收敛. (B) 与都发散.(C) 收敛, 而发散. (D) 发散, 收敛.解. 由莱布尼兹判别法收敛, . 因为, 发散, 所以发散. ( C)是答案.3. 设函数, 而. 其中, 则等于(A) , (B) , (C) , (D)解. 是进行奇展拓后展成的富氏级数. 所以=. (B)是答案.4. 设条件收敛, 则(A) 收敛, (B) 发散, (C) 收敛,(D) 和都收敛.解. 因为条件收敛, 所以. 对于(C),所以. (C)是答案.5. 设级数收敛, 则必定收敛的级数为(A) (B) (C) (D)解. 收敛, 所以收敛. 收敛级数的和收敛. 所以(D)是答案. 对于(C)有以下反例: , , . 所以发散.6. 若在处收敛, 则此级数在处(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定.解. 因为在收敛, 所以收敛半径大于2. 幂级数在收敛半径内的任何点都绝对收敛. (B)是答案.7. 设幂级数的收敛半径为3, 则幂级数的必定收敛的区间为(A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2)解. 和有相同收敛半径. 所以,在(－2, 4)中级数一定收敛, 在端点级数不一定收敛. 所以答案为(A).二. 判断下列级数的敛散性:1.解. 因为, 所以和有相同的敛散性. 又因为发散, 由积分判别法知发散. 所以原级数发散.2.解. 因为, 所以和有相同的敛散性. 收敛, 所以原级数收敛.3.解. , 所以级数发散.4.解. , 所以级数收敛.5.解. ，所以级数收敛.6.解. 拉阿伯判别法: , .> 1, 所以级数收敛.7.解. , 级数收敛.8.解. , 级数收敛.9.解. 考察极限令,=所以, 即原极限为1. 原级数和有相同的敛散性. 原级数发散.10.解. , 级数发散.三. 判断下列级数的敛散性1.解. 因为, 级数发散.2.解. , 令当x > 0时, , 所以数列单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛.因为, 而发散, 所以发散. 原级数条件收敛.3.解. 因为, 所以收敛, 原级数绝对收敛.4.解. 因为所以收敛, 原级数绝对收敛.5.解. =1, 收敛, 原级数绝对收敛.6.解. .因为, 又因为, 条件收敛, 所以原级数条件收敛.四. 1.设正项数列单调下降, 且发散, 证明: 级数收敛.2. 设正项数列, 满足为常数), 证明: 级数收敛.证明: 1. 因为正项数列单调下降, 且发散, 由莱布尼兹判别法,存在, 且. 容易证明:.(反设存在N, 使得. 则, 令, 得到, 矛盾). 所以. 因为收敛, 所以收敛.2. 考察数列,因为为常数), 所以, 即该数列递减有下界, 于是存在. 由此推出收敛. , 所以级数收敛.五. 求下列级数的收敛域:1.解.第一个级数的收敛半径为, 第二个级数的收敛半径为1. 所以它们的共同收敛区域为. 考察端点:当时, 得第一个级数发散, 第二个级数收敛. 所以该级数发散. 原级数的收敛区域为.2.解. , 于是.当时, 得, 收敛;当时, 得, 收敛. 于是原级数的收敛区域为[－1, 1].3.解. . 当时, 得数项级数及, 通项都不趋于0, 发散. 该级数的收敛区域为.4.解.第一个级数的收敛区域(－1, 1); 第二个级数的收敛区域. 所以公共收敛区域为.5.解. . 当时得数项级数, 发散. 该级数的收敛区域为(－2, 4).6.解. . 当时, 得收敛, 当时, 得发散敛. 该级数的收敛区域为[4, 6).。
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第十二章 无穷级数习题课资料丁金扣一、本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。
幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。
二、本章重点用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。
三、本章难点用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。
四、例题选讲例1：判别级数()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。
（用定义）解：原式=()()22ln 1ln 11()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞∞==+-=-++∑∑级数的部分和111111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln(1)ln 2n =-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于1ln 2。
例2：证明级数2cos cos(1)n n n n ∞=-+∑收敛。
（利用柯西审敛原理） 证明：1cos cos(1)n pn p n m n m m S S m ++=+-+-=∑ ()()()11cos 1cos 11()cos 111n p m n n n p m n mm n p +-=+++=--+-+++∑ 得1111112()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑，对任意的0ε>，取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，对所有p N ∈，都有n p n S S ε+-<，故原级数收敛。
例3：判别下列级数的敛散性（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）211ln n n n ∞=-∑ ， （3）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ （4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑ ，（5）()()()21111n nn x x x x ∞=+++∑ ，（0x ≥） （6）ln 113nn ∞=∑ 解：（1）因为ln(1)ln n n +<，所以1111ln ln(1)0n n n n n+-=-+>， 而 111lnln ln 1111n n n n n n +⎛⎫-==-<- ⎪+++⎝⎭， 有2111111ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。
（2）因为 2221ln lim lim n n n n n u n n →∞→∞==-，又211n n∞=∑收敛，所以原级数收敛。
（3）用根值法11212lim n n n n →∞→∞==<+ ，所以原级数收敛。
（4）()()()()1!2!!11!!211!n n n n n n +++<--+=--()2!1!2!n n n =--<所以 ()()()()12!212!122122n n n u n n n n n -<=<++- 有比较法知，原级数收敛。
（5）比值法：111lim lim n n n n n u xu x ++→∞→∞=+， 当01x ≤<时，11lim n n nu x u +→∞=<，级数收敛， 当1x =时，1112lim n n nu u +→∞=<，级数收敛，当1x >时，101lim n n nu u +→∞=<，级数收敛。
所以，当0x ≥时，级数收敛。
（6）101133ln 31yx y e dx dy ∞∞==-⎰⎰，所以原级数收敛。
例4：判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性。
解：()11sinln nn u n=- 1sin ln n u n =，又11ln n n >，知级数21ln n n ∞=∑发散，从而2n n u ∞=∑发散，即级数非绝对收敛。
因为1sin0ln lim n n→∞=，且1sin ln x 在()2+∞，内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。
例5：证明级数()n-1211n ∞=⎛⎫--- ⎝∑收敛。
证：设()1f x =-，则原级数为()()n-121n f n ∞=-∑， 又()32110,(0)2f x x x -⎛⎫'=-<> ⎪ ⎪⎝⎭，即()f x 在()0,+∞内单调下降， 从而()()1f n f n >+，且()0lim n f n →∞=，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。
例6：设数列{}n a 为单调增加的有界正数列，证明级数211n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。
证明：因为数列{}n a 为单调增加有上界，所以极限存在。
设lim nn aa →∞=，考虑1111101n n n n n n n n a a a a au a a a ++++--<=-=< 而级数()()11112lim n n n n n aa a a a a ∞++→∞=-=-=-∑存在，由比较审敛法知，原级数收敛。
例7：求下列幂级数的收敛域（1）12n n n x n ∞=∑ ， （2）2112sin 22nn x n x ∞=+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∑ ，（3）()()2321nn nn x n ∞=+-+∑解：（1）()11212lim lim n n n n a n a n +→∞→∞==+，所以收敛半径为2R =，收敛区间()2,2-。
2x =时，级数11n n ∞=∑发散；2x =-时，()111n n n ∞=-∑收敛。
所以收敛域为[)2,2-。
（2）令122x t x +=-，原级数为21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑因为()11s i n 2111sin 2lim lim n n n n n a a n +→∞→∞⎛⎫⎪+⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以收敛半径1R =。
又1t =时级数21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，1t =-时级数21sin 2n n t n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故其收敛域为[)1,1D =-：再由12112x x +-≤≤-，解得原级数的收敛域为13,3D ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭。
（3）()1121331112333lim lim n n nn n na n a n ++→∞→∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以收敛半径13R =，收敛区间为： 11133x -<+<，即4233x -<<- 当43x =-时，原级数收敛，当23x =-时，原级数发散。
得原级数的收敛域为42,33D ⎡⎫=--⎪⎢⎣⎭。
例8：求下列级数的和函数（1）21021!n n n x n ∞+=+∑ ，（2）221212n nn n x ∞-=-∑ ，（3）()()()201123!nn n n x n ∞=-++∑ 解（1）()()12(1)1!230(1)!21121lim lim lim n n n n na n n n a n n n n +→∞→∞→∞+++===++++ 所以收敛半径R =∞，收敛域为：(),-∞+∞。
2122120000212121!!!!n n n n n n n n n n n x x x x x x x n n n n ∞∞∞∞+-====++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ ()22222222122(12)!n x x x x x n x x x xe x e x e xe xe x n ∞='⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭∑ 即和函数22()2(12)x s x xe x =+。
（2）()()1121212122lim lim n n n n n nn a a n ++→∞→∞+==-，所以收敛半径R ==又x =(D =。
设级数的和函为()s x ，对幂级数逐项积分得，()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -∞∞-==-==∑∑⎰⎰21211()222212n n x x xxx x ∞-====--∑ ，(x ∈ 对上式两边求导得()()2222222x x s x x x '+⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，(x ∈。
（3）易求级数的收敛域为(),-∞+∞。
记级数的和函为()s x ，因为()()()()121230011sin 21!23!n n n n n n x x x x n n -∞∞++==--==-++∑∑，所以()()1231sin 23!n n n xx x n -∞+=-=-+∑， (),x ∈-∞+∞ 即()()12201sin 123!n n n xxn x-∞+=-=-+∑， ()0x ≠ 对上式两端求导得：()()()()12122111cos sin 23!n n n n x x x x n x -∞+=+-=--+∑故有()()()()()1213111cos sin 23!2n n n n S x x x x x n x -∞+=+-==--+∑， ()0x ≠ 当0x =时，由所给级数知()106S =。
因此 ()()31cos sin 02106x x x x x S x x ⎧--≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩例9 把级数 ()()121221121!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展开成1x -的幂级数。
解：记级数的和函为()s x ，即()()()()()11212122111122sin 21!221!22n n n n n n n x x s x x n n ---∞∞--==--⎛⎫=== ⎪--⎝⎭∑∑ ，()()()()()()22101111111sin 2(sin cos cos sin )222221111112sin12cos 122!2221!2nn n n n n x x x s x x x n n -∞∞==+---==+--⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑ (),x ∈-∞+∞例10 求级数()22112nn n∞=-∑的和。
解：设()()()()()22222112221021111111112112121111212111ln 122121ln 1ln 12221ln 122n n n nn n n n n n n n n n s x x x x xn n n n n x x x n x n x x x x x x n x x x x x x x x ∞∞∞∞====∞∞-+==∞+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=----- ⎪+⎝⎭⎛⎫=------- ⎪⎝⎭=--+∑∑∑∑∑∑∑()2ln 12x x x x -++1,0x x <≠故级数()22111111153ln ln ln 22422288412nn S n ∞=⎛⎫==-+++=- ⎪-⎝⎭∑。