无穷级数习题
第十二章 无穷级数习题课资料
丁金扣
一、本章主要内容
常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点
用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点
用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级
数收敛定理。 四、例题选讲
例1：判别级数()2
1ln 1ln ln 1n n n n ∞
=??+ ???+∑的敛散性。
（用定义）
解：原式=()()2
2ln 1ln 11
()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞
∞==+-=-++∑∑
级数的部分和1
11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ?
? ?+??????
111ln 2ln(1)ln 2
n =
-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于
1
ln 2
。 例2：证明级数
2
cos cos(1)
n n n n ∞
=-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1
cos cos(1)
n p
n p n m n m m S S m ++=+-+-=
∑ ()()()11cos 1cos 11
()cos 111n p m n n n p m n m
m n p +-=+++=--+-
+++∑ 得1
111112
()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑，
对任意的0ε>，取2N ε??=????
，则当n N >时，对所有p N ∈，都有
n p n S S ε
+-<，
故原级数收敛。
例3：判别下列级数的敛散性
（1）111ln n n n n ∞
=+??- ???∑ ， （2）2
11ln n n n ∞=-∑ ， （3）121n
n n n ∞
=??
?+??∑ （4）()1
1!2!!
2!n n n ∞
=+++∑ ，（5）()()()21111n n
n x x x x ∞
=+++∑ ，（0x ≥） （6）
ln 113
n
n ∞
=∑ 解：（1）因为ln(1)ln n n +<，所以
1111ln ln(1)0n n n n n
+-=-+>， 而 111ln
ln ln 1111n n n n n n +?
?-==-<- ?
+++??
， 有
2111111ln 1(1)n n n n n n n n
+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数
11
1ln n n n n ∞
=+??- ??
?∑收敛。 （2）因为 22
21ln lim lim n n n n n u n n →∞→∞==-，又211
n n
∞
=∑收敛，所以原级数收敛。
（3）用根值法
1121
2lim n n n n →∞→∞==<+ ，所以原级数收敛。 （4）()()()()1!2!!11!!211!n n n n n n +++<--+=--
()2!1!2!n n n =--<
所以 ()()()()12!21
2!122122
n n n u n n n n n -<
=<++- 有比较法知，原级数收敛。 （5）比值法：
111lim lim n n n n n u x
u x ++→∞→∞=+， 当01x ≤<时，
1
1lim n n n
u x u +→∞=<，级数收敛， 当1x =时，
11
12lim n n n
u u +→∞=<，级数收敛，
当1x >时，
1
01lim n n n
u u +→∞=<，级数收敛。 所以，当0x ≥时，级数收敛。 （6）1
01133ln 31
y
x y e dx dy ∞
∞==-?
?，所以原级数收敛。
例4：判断级数
2
1sin ln n n n π∞
=?
?+ ???∑的敛散性。
解：()11sin
ln n
n u n
=- 1sin ln n u n =，又11ln n n >，知级数21
ln n n ∞=∑发散，从而2
n n u ∞
=∑发散，即级数非绝对收敛。
因为
1
sin
0ln lim n n
→∞
=，且1sin ln x 在()2+∞，内单调减少，由莱布尼兹判别法知，原级数
条件收敛。
例5：证明级数
(
)
n-1
2
11n ∞
=??--- ?
∑收敛。 证：设(
)1f x =-，则原级数为()()n-1
2
1n f n ∞
=-∑， 又(
)3
2110,(0)2f x x x -??
'=-<> ? ???
，即()f x 在()0,+∞内单调下降， 从而()()1f n f n >+，且
()0lim n f n →∞
=，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。
例6：设数列{}n a 为单调增加的有界正数列，证明级数211n n n a a ∞
=+??- ???
∑收敛。
证明：因为数列{}n a 为单调增加有上界，所以极限存在。设
lim n
n a
a →∞
=，考虑
11111
01n n n n n n n n a a a a a
u a a a ++++--<=-
=< 而级数()()1
1112
lim n n n n n a
a a a a a ∞
++→∞
=-=-=-∑存在，由比较审敛法知，原级数收敛。
例7：求下列幂级数的收敛域
（1）12n n n x n ∞
=∑ ， （2）2112sin 22n
n x n x ∞
=+?
??? ???
-????∑ ，（3）()()
2
321n
n n
n x n ∞=+-+∑
解：（1）
()
11
212lim lim n n n n a n a n +→∞→∞==+，所以收敛半径为2R =，收敛区间()2,2-。 2x =时，级数11n n ∞
=∑发散；2x =-时，()11
1n n n ∞
=-∑收敛。所以收敛域为[)2,2-。
（2）令122x t x +=-，原级数为21sin 2n n t n ∞
=?
? ??
?∑
因为()11s i n 2111sin 2lim lim n n n n n a a n +→∞→∞
??
?
+?
?===?? ???
，所以收敛半径1R =。又1t =时级数21sin 2n n t n ∞
=?? ???∑发散，1t =-时级数21sin 2n n t n ∞
=?
? ???∑收敛，故其收敛域为[)1,1D =-：
再由12112x x +-≤
≤-，解得原级数的收敛域为13,3D ??
=-????
。 （3）()1
121331112333lim lim n n n
n n n
a n a n ++→∞→∞-??
+ ?
??==+-??+ ???
，所以收敛半径13R =，收敛区间为： 11133x -<+<，即4233
x -<<- 当43x =-时，原级数收敛，当2
3
x =-时，原级数发散。
得原级数的收敛域为4
2,33D ??=--????
。 例8：求下列级数的和函数
（1）21021!n n n x n ∞
+=+∑ ，（2）22
1
212n n
n n x ∞
-=-∑ ，（3）()()()201123!n
n n n x n ∞=-++∑ 解（1）
()()12(1)1!23
0(1)!21121lim lim lim n n n n n
a n n n a n n n n +→∞→∞→∞+++===++++ 所以收敛半径R =∞，收敛域为：(),-∞+∞。
2122120000212121!!!!n n n n n n n n n n n x x x x x x x n n n n ∞
∞
∞∞+-====++??
==+????
∑∑∑∑ ()
22222
222122(12)!n x x x x x n x x x xe x e x e xe xe x n ∞='??=+=++=+ ???
∑ 即和函数2
2()2(12)x s x xe x =+。
（2）()()11
2121
2122lim lim n n n n n n
n a a n ++→∞→∞+==-
，所以收敛半径R ==
又x =
(D =。 设级数的和函为()s x ，对幂级数逐项积分得，
()21
220
0112122
n x
x n n n n n n x s x dx x dx -∞
∞
-==-==∑∑?
?
21211()222
212
n n x x x
x
x x ∞-===
=--
∑ ，
(x ∈ 对上式两边求导得
()()
2222
222x x s x x x '
+??== ?-??-，
(x ∈。 （3）易求级数的收敛域为(),-∞+∞。记级数的和函为()s x ，
因为()
()()()1
2123
0011sin 21!23!
n n n n n n x x x x n n -∞
∞
++==--==-++∑∑，
所以
()
()1
23
1sin 23!n n n x
x x n -∞
+=-=-+∑， (),x ∈-∞+∞ 即
()
()1
22
01sin 123!n n n x
x
n x
-∞
+=-=-
+∑， ()0x ≠ 对上式两端求导得：
()()()()1
212
2111
cos sin 23!n n n n x x x x n x -∞
+=+-=-
-+∑
故有()()()
()()1
213
111
cos sin 23!2n n n n S x x x x x n x -∞
+=+-==-
-+∑
， ()0x ≠ 当0x =时，由所给级数知()1
06
S =
。因此 ()()3
1cos sin 02106
x x x x x S x x ?--≠??=??=??
例9 把级数 ()()1
21
22
1121!2
n n n n x n -∞
--=--∑的和函数展开成1x -的幂级数。 解：记级数的和函为()s x ，
即()()()()()1
1
2121
22
111122sin 21!221!22n n n n n n n x x s x x n n ---∞
∞
--==--??=== ?--??
∑∑ ，
()()()()()()221
01111111
sin 2(sin cos cos sin )
222221111112sin
12cos 122!2221!2n
n n n n n x x x s x x x n n -∞
∞
==+---==+--????=-+- ? ?-????
∑∑ (),x ∈-∞+∞
例10 求级数()22
1
12
n
n n
∞
=-∑的和。 解：设
()()()()()2222211
2221021111111112112121111212111ln 122121ln 1ln 12221ln 122n n n n
n n n n n n n n n n s x x x x x
n n n n n x x x n x n x x x x x x n x x x x x x x x ∞
∞∞∞====∞∞-+==∞+=??????==-=- ? ? ?--+-+????????=- ?-+????=----- ?+????=------- ?
??=--+∑∑∑∑∑∑∑()2ln 12
x x x x -++
1,0x x <≠
故级数
()22111111153ln ln ln 22422288412
n
n S n ∞
=??
==-+++=- ?-??∑。 例11 设()111
ln arctan 412
x f x x x x +=+--，试将()f x 展开成x 的幂级数。 解：
()24
440
1
1111111
1141412111n n
n n f x x x x x x x ∞
∞=='=
++-=-+-+-=-=∑∑
所以()()()4410
1
11
041
x
x n
n n n f x f f x dx x
dx x n ∞
∞
+=='=+
==+∑∑
?
?
， 1x <。
例12 设()0n
n n f x a x ∞
==∑，在[]0,1上收敛，试证：当010a a ==时，级数1
1n f n ∞
=??
???∑必定
收敛。
证明 由已知()0
n
n n f x a x
∞
==
∑收敛，所以
0lim n
n a
→∞
=，从而{}n a 有界。即存在0M >，使
得 n a M ≤ ，()1,2,n = ，所以
()12001223
2
1110
1111a a f a M a a n n n n n M
n M n n n
????
=+++≤++== ? ?????
≤=
--
右端对应的级数显然收敛，所以级数
1
1n f n ∞
=?? ???∑收敛，且为绝对收敛。 例13
5
10-。
解
19
910212??
==+ ???
29
9911111
111110101
0999992192
2!2!2n n n ????????
---+ ? ? ? ??????????? ?=+++++ ? ? ?????
??
?
因为
2
99
11011810
0.002170,0.000019 922!992
??
≈≈
?
??
()
210.0021700.000019 2.00430
≈+-=。
例14 求函数()
2
sin,0
2
0,0
2
T
x x
T
f x
T
x
π
?
≤≤
??
=?
?-≤<
??
的傅立叶展开式。
解：()
f x分段连续，满足展开定理条件
()
22
00
2
1222
sin
2
T T
T
a f x dx xdx
T T T
π
π
-
===
??，
()
()
()
()
()
22
2
2
2
12222
cos sin cos
2
2
,2
11
41
1
0,21
T T
T
n
n
n n
a f x xdx x xdx
T T T T
n k
k
n
n k
πππ
π
π
-
==
-
?
=
+-?
-
=-=?
-?
=+
?
??
，1,1,2,
n k
≠=
另求
1
a：2
2
10
22214
sin cos cos0
4
T
T x x x
a dx
T T T T
πππ
π
==-=
?，
()
22
2
12222
sin sin sin0,1 2
T T
T
n
nx x nx
b f x dx dx n
T T T T T
πππ
-
===≠
??
另求
1
b：2
10
2221
s i n s i n
2
T x x
b dx
T T T
ππ
==
?
所以函数()
f x的傅立叶级数为：
()()
2
1
112214
sin cos,,
241
n
x nx
f x x
T n T
ππ
ππ
∞
=
=+-∈-∞+∞
-
∑。
例15 已知函数()2,02
f x x xπ
=<<，是周期为2π的周期函数，
（1）求()
f x的傅立叶级数；
（2） 证明2
21
16n n π∞
==∑；
（3） 求积分
()
1
0ln 1x dx x +?的值。
解：（1）()()2
222
00
1
1
1
83
a f x dx f x dx x dx π
π
π
ππππ
π
-=
==
=???
22202201
4cos ,
14sin ,
1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n n π
ππππ=
=
==-=??
所以有()22
214114cos sin ,
0,23n x nx nx x n
n πππ∞=??
=+-∈ ???∑
由收敛定理，0,2x π=时，级数收敛于
()()
2002022
f f ππ++-=，
又x π=是连续点，所以22
2141
4cos ,
3n n n
πππ∞
==+∑即：
()
2
2
1
112
n
n n π∞
=-=
∑
。
（2）当0x =时，有22
2141423n n ππ∞=+=∑，亦即：221
16n n π∞
==
∑。 （3）积分
()
1
0ln 1x dx x +?是广义积分，0x =是瑕点，由广义积分的定义的
()()()
1
1
111
2
011000ln 1111lim lim n n
n n n n x x
x dx dx x x n n εεε+++
∞∞--==→→+=-=-∑∑??
()
2
1
2
1
1112
n n n π∞
-==-=∑
第十二章无穷级数练习题含答案知识分享
第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11 ! 21sin ;ln(1);;( )32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++-∑∑∑∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 211 (1)[3n n n n ∞ -=-+ ∑； 21 cos 3n n n n ∞ =∑； 1 (1)n n ∞ -=-∑。 3. 求幂级数0 n n ∞ =的收敛区间。 4.证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。 5.在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑∞ =-2 22)1(1 n n n 的和。 。
7.设1111 2,()2n n n a a a a +== + （1,2,n =L ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数 1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 1） 求211 ()n n n a a n ∞ +=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ∞ =∑收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知222111358π+++=L [参见教材246页]，计算1 011ln 1x dx x x +-???。 。
微积分习题之无穷级数共21页文档
[填空题] 1．数项级数∑ ∞ =+-1) 12)(12(1n n n 的和为 21 。 2．数项级数∑∞ =-0 )!2()1(n n n 的和为 1cos 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分 和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。 3．设1))1((lim ,1,01 =->>∞ →n n p n n a e n p a 且，若级数∑∞ =1 n n a 收敛，则p 的取值范 围是),2(+∞。 分析：因为在∞→n 时，)1(1-n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由1))1((lim 1=-∞ →n n p n a e n 可知，当∞→n 时，n a 与 1 1-p n 是等价无穷小量。由因为 级数∑∞=1 n n a 收敛，故∑ ∞ =-11 1 n p n 收敛，因此2>p 。 4．幂级数∑∞ =-0 2)1(n n n x a 在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 ]2,0[。 分析：根据收敛半径的定义，2=x 是收敛区间的端点，所以收敛半径 为1。由因为在0=x 时，级数∑∑∞ =∞ ==-0 2) 1(n n n n n a x a 条件收敛，因此应填]2,0[。 5．幂级数∑∞ =-+12) 3(2n n n n x n 的收敛半径为 3。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因 为
22)1(21131)3(2)3(21lim x nx x n n n n n n n n =-+-+++++∞→， 所以，根据比值判敛法，当3
无穷级数单元测试题答案知识分享
无穷级数单元测试题 答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、收敛 3、5 4、π 33--，π π12 48+ -， ???????±±=--±±==,...3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件，
故该交错级数条件收敛。 （2）∑∞ =?? ? ??+11n n n n 解：lim lim( )[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a 解：另设级数1 () n v n a b =+ 111111 1(1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4) ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++ （补充条件1x <，或求出R ）
无穷级数练习题word版
无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1 4 11、(0,4)
二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1 n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散.
无穷级数单元测试题
第十二章 无穷级数单元测试题 一、判断题 1、。收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u （ ） 2、若正项级数∑∞=1 n n u 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。 （ ） 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散，则。1lim 1>=+∞→r u u n n n （ ） 4、若∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则n n n v u ∑∞ =1绝对收敛。 （ ） 5、若幂级数n n n x a )23(1 -∑∞ =在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（ ） 6、已知n n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。 （ ） 7、n n n x a ∑∞=1和n n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞ =+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。 （ ） 8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数 ...! 2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。 （ ） 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。 （ ） 10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，
n a （n=0,1,2,...）, n b （n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则 必有)sin cos (2)(1 0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。 （ ） 二、选择题 1、下列级数中不收敛的是（ ） A ∑∞ =+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n 2、下列级数中，收敛的是（ ） A ∑∞ =--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ． 3、判断∑∞=+11 11n n n 的收敛性，下列说法正确的是（ ） A 因为 01 1>+n ，所以此级数收敛 B 因为01lim 11=+∞ →n n n ，所以此级数收敛 C 因为 n n n 111 1>+，所以此级数发散。 D 以上说法均不对。 4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A ∑∞=-1)1(n n n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-??? ??-1132)1(n n n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞ =--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4),则常数a=（ ）
无穷级数习题
第十二章 无穷级数习题课资料 丁金扣 一、本章主要内容 常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。 二、本章重点 用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。 三、本章难点 用定义判别级数的收敛，P-级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级 数收敛定理。 四、例题选讲 例1：判别级数()2 1ln 1ln ln 1n n n n ∞ =??+ ???+∑的敛散性。 （用定义） 解：原式=()()2 2ln 1ln 11 ()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞ ∞==+-=-++∑∑ 级数的部分和1 11111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ??????=-+-++- ? ? ?+?????? 111ln 2ln(1)ln 2 n = -→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于 1 ln 2 。 例2：证明级数 2 cos cos(1) n n n n ∞ =-+∑收敛。（利用柯西审敛原理） 证明：1 cos cos(1) n p n p n m n m m S S m ++=+-+-= ∑ ()()()11cos 1cos 11 ()cos 111n p m n n n p m n m m n p +-=+++=--+- +++∑ 得1 111112 ()111n p n p n m n S S n m m n p n +-+=+-≤+-+=++++∑， 对任意的0ε>，取2N ε??=???? ，则当n N >时，对所有p N ∈，都有 n p n S S ε +-<，
无穷级数 测试题
1. 填空3分一道（1）若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1 .n n n u v ∞ =+∑必 （2）若常数项级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim .n n u →∞ = 2.14分 下列级数中条件收敛的是（ ）绝对收敛的是（） (A)()11112n n n ∞ =-+∑ (B)( )11n ∞=-∑ (C)()111n n n ∞=-∑ (D)()2111n n n ∞=-∑ (E)( )11n n ∞=-∑ （F ）() 111n n ∞-=-∑ 下列题10分一道 3.判定级数112n n n ∞=?∑的敛散性（收敛或者发散） 4.判定级数13!n n n n n ∞=?∑的敛散性 5.判定级数()111001n n n ∞ =+∑的敛散性 6.判定级数211ln 1n n ∞=??+ ???∑的敛散性 7.求幂级数()131n n n n x n ∞=-∑的收敛半径及收敛区间（开） 8. 求幂级数11!n n x n ∞ =∑的收敛区间 9.求幂级数112n n nx ∞-=∑的收敛区间及和函数 10.将13 x +展开成()1x -的幂级数，并求其收敛区间。 知识点归纳： 一、正项级数：1.调和级数11n n ∞ =∑发散。 2.11p n n ∞=∑：当p>1时，收敛，p ≤1时发散（包括一系列等价无穷小） 3.比值审敛法（针对通项里出现了,!n a n ）：1lim n n n u u +→∞ 的值<1,收敛；>1则发散；等于1，方法用错了，该用第2条。 二.交错级数：()11n n n u ∞=-∑，判定lim 0n n u →∞≠则该级数发散；lim 0n n u →∞ =， 1n n u u +≤，则该级数收敛，此时该级数分条件收敛和绝对收敛，就是将该级数加绝对值()111n n n n n u u ∞∞ ==-=∑∑，去掉麻烦的()1n -， 此时判别法回到正项级数判别法：1）如果还收敛的话，则为绝对收敛，如果发散则为条件收敛。
无穷级数练习题
无穷级数练习题 无穷级数习题 一、填空题 ,,nn1，1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为。axnax(1),,,nnn0,n1, ,n2、幂级数的收敛域为。 (21)nx，,0n, ,n21n,R,3、幂级数的收敛半径。 x,nn(3)2,，n1, n,x4、幂级数的收敛域是。 ,，1n0n, 2n,(2)x,5、级数的收敛域为。 ,nn4n,1 n,(ln3)6、级数的和为。 ,n20n, ,1n1,7、。 n,(),2n1, 28、设函数fxxx(),，, 的傅里叶级数展开式为 (),,,,,x ,a0，，(cossin)，则其系数b的值为。 anxbnx,nn321n, ,,,,x0,,1,,2,9、设函数则其以为周期的傅里叶级数在点处的fx(),x,,,20,,,x1,，x,, 敛于。 ,110、级数的和。 ,nnn，，(1)(2)n1, 2n,(2)x,11、级数的收敛域为。 ,nn,4n,1 ,1,1)R,3参考答案:1、 2、 3、 4、 5、 (2,4),(1,1),(0,4), 21212,,46、 7、 8、 9、 10、 11、 (0,4)422ln3,3 二、选择题 1
,,an2n1、设常数，而级数收敛，则级数是( )。 ,,0a(1),,,n21n1n,,,，n(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛与,有关 aa，aa,nnnn，，n,1.2，则下列命题中正确的是( )。 2、设q,p,nn22 ,,, (A)若条件收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (B)若绝对收敛，则与都收敛。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (C)若条件收敛，则与的敛散性都不一定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,, (D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定。 apq,,,nnn,n1n1n1,, ,,n1,an,,0,1,23、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( )。 a(1),a,,nnnn1,n1, ,,,,(A)收敛，发散. (B)收敛，发散. aaaa,,,,21n2n2n21n,,N1,n1n1n1,,, ,, (C)收敛. (D)收敛. ()aa，()aa,,,212nn212nn,,n1n1,, ,sin()1n,4、设为常数，则级数,是( ) (),,2nnn1, (A)绝对收敛. (B)条件收敛. (C)发散. (D)收敛性与取值有关. , ,,n,05、级数(1)(1cos),,(常数)是( ) ,n1n, (A)发散. (B)条件收敛. (C) 绝对收敛. (D)收敛性与有关. , 1n6、设，则级数 u,,，(1)ln(1)nn
无穷级数单元测试题答案
第十二章 无穷级数单元测试题答案 一、判断题 1、对； 2、对； 3、错； 4、对； 5、对； 6、对； 7、对； 8、错； 9、错；10、错 二、选择题 1、A 2、A 3、D 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B 三、填空题 1、2ln 2、 收敛 3、5 4、π33--，ππ1248+-，???????±±=--±±==,... 3,1,2 1,...4,2,0,2 1 )(k k k S ππ 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞ =--1131 arcsin )1(n n n 解：这是一个交错级数， 1arcsin 31arcsin 13lim 13n n u n n n →∞==，所以n u 发散。 又由莱布尼茨判别法得 111arcsin arcsin 33(1) n n u u n n +=>=+ 并且1 lim lim arcsin 03n n n u n →∞→∞ ==，满足交错级数收敛条件， 故该交错级数条件收敛。
（2）∑∞ =??? ? ?+11n n n n 解：lim lim()[lim()]1011n n n n n n n n u n n →∞→∞ →∞===≠++ 不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。 (3) )0,(,31 211>++++++b a b a b a b a Λ 解：另设级数1 () n v n a b =+ 1111111 (1)() 23n n n v n a b a b n ∞ ∞ ====+++++++∑∑ L L 上式为1 a b +与一个调和级数相乘，故发散 又11 () n n u v na b n a b = >=++， 由比较审敛法可知，原级数发散。 (4)ΛΛ++++++ n n 134232 解：lim 10n n n u →∞==≠ 不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数 （1） Λ++++7 537 53x x x x 解：设357 ()357 x x x f x x =++++L （补充条件1x <，或求出R ） 逐项求导，得2462 1 ()11f x x x x x '=++++=-L （这是公比21q x =<的几何级数）
第8章 无穷级数练习题解析
第8章 无穷级数练习题 习题8.1 1．判断题（对的划“√”，错的划“×”） （1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ） （2）若级数 ∑∞ =±1 )(n n n v u 收敛，则级数∑∞=1 n n u 与级数∑∞ =1 n n v 都收敛． （ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞ →n n u 时，级数 ∑∞ =1 n n u 不一定收敛.（ ） 2．用级数的“∑”形式填空 （1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7 1 51311 +-+- 即 ． （3） +++4 ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,6 3 524101 ++++ +-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和 （1） -+-33227 47474． （2） +++πππ5 43ln ln ln ． （3） +?+?+?751531311． （4） ++++7 4 53321．
（5）∑∞ = -+ 1 ) 1 ( n n n． 4．级数∑∞ =+ 1 ) 3 1 2 1 ( n n n 是否收敛？若收敛，求其和. 5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？ 习题8.2 1．用“收敛”或“发散”填空 （1）∑∞ =13 1 n n ．（）（2）∑∞ =1 2 2 2 ln n n ．（） （3）∑∞ =1! n n．（）（4）∑∞ =1 2.1 1 n n ．（） 2．判断下列正项级数的收敛性
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第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1 ． n 2n 1 ； ． 1 ；3． 1 1 。 2 n 1 2n 2n2 n 1 3 n 5 n n 1 判断下列正项级数的敛散性 ． n! ；5． n e ； 6． n 1 ；7． 2n 3 ；8． n 4 ； 4 n 1 e n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n n n n 1 n 9． ；10． 3n n 1 2n 。 n 1 1 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 ． 1 n 1 n 1 ； 12． 1 n 1 ； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001； 11 2 n ln n n 1 n 2 14． 1 22 2 3 1 4 1 ； 2 1 3 2 4 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 ． 3n x n ；16． 1 n x n ； 17． n! x n ； ． 1 n ； 15 n n 18 n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n 1 19． 1 2n 1 ； 20． n 2 n ； 1 2 n 1 x n 1 3 n x n 求下列级数的和函数 21． n 1 nx n 1 ； 22． n 1 2 1 n 1 x 2n 1 ； 将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数 23． shx e x e x ， x 0 0 ；24． cos 2 x ， x 0 0 ； 2 25． 1 x ln 1 x ， x 0 0 ； 26． 1 ， x 0 3 ； x 将下列函数在区间 , 上展开为付里叶级数 27． A x cos x ， x 。28． f x 2t ， x 2
数项级数经典例题大全 (1)
第十二章 数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解 当1|| 4、 讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、 证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、 判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要 条件) 7、 证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、 考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解 有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、 判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n 无穷级数 1. 已知数列{}n na 收敛，求证级数 ∑∞ =--1 1)(n n n a a n 收敛的充要条件是级数∑∞ =1 n n a 收敛。 分析：考虑 ∑∞ =--1 1)(n n n a a n 与∑∞ =1 n n a 的部分和n S 与n σ，验证n S n n na a +--=-01σ。 2. 设{}n u 是单调增加的正数数列，试证当{}n u 有界时级数 ∑∞ =+??? ? ??-111n n n u u 收敛。 分析：11n 11n 0u u u u u u a n n n n -≤ -=≤+++，验证级数∑∞ =+-1 1)(n n n u u 收敛。 3. 设 ∑∞ =1 n n u 为正项级数，{}n v 为正实数列，记11 ++-= n n n n n v u v u a ，如果a a n n =∞→lim ，且a 为 正实数或正无穷，证明级数 ∑∞ =1 n n u 收敛。 分析：验证级数 ∑∞ =++-1 11)(n n n n n v u v u 收敛，使用比较判别法。 4. 设 3,2,1),1 (21,211=+==+n a a ? a a n n n ，证明：（1）n n a ∞→lim 存在；（2）级数∑∞ =+??? ? ??-111n n n a a 收敛。 5. 设n F 为斐波那契数列，10=F ，11=F ，n F 21--+=n n F F ，1>n 。（1）证明 1 1 2 23--≤≤?? ? ??n n n F ；（2）级数∑∞ =01n n F 收敛，级数∑∞ =2ln 1 n n F 发散。 6. 设{}n a 满足不等式n k a a 1000≤≤，其中 ,2,1,2=≤≤? n n k n ，又级数∑∞ =1 n n a 收敛， 证明：0lim =∞ →n n na 。 无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1(3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21(2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln 3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2 ()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、2 12 π 10、14 11、(0,4) 二、选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑是（ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1,2 n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. （C ） 1 n n u ∞ =∑收敛而 20 n n u ∞ =∑发散. （D ） 1 n n u ∞ =∑发散而 21 n n u ∞ =∑收敛. 第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1． ( ) ∑∞=+-+1 12n n n ；2．()∑ ∞ =+1 2221 n n n 判断下列正项级数的敛散性 1．∑∞ =1100!n n n 2．() ∑∞ =++133 2n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 1．() ∑∞ =---11 1 21n n n n ； 2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3． Λ++-+++-1 44 133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 1．∑ ∞ =13n n n x n ；2．∑∞ =1 !n n x n ；3．() ∑ ∞ =-1121 n n n x n ；4．∑ ∞ =+-11 21 2 1 n n n x ；5．∑∞ =123 n n n x n 求下列级数的和函数 1．∑∞ =-11 n n nx ；2．121 1 2 1+∞ =+∑ n n n x ； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数 1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3． x 1 ，30=x ； (B) 用定义判断下列级数的敛散性 ()() ∑∞ =++043131 n n n 判断下列正项级数的敛散性 1．∑ ∞ =+1n )1(1 n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞ =13 n n n ； 判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 1．() ∑∞ =-?-1 1 311n n n n ；2．()∑∞ =--1 n 121 1n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间 1．()∑∞ =-1 21n n n n x ； 求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞ =--11 ) 1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑ ∞ =-1 1 2 n n n 的和； 将下列函数展开成0x x -的幂的级数 1．()13212+-= x x x f ，00 =x ；2．()2 1 x x f =，10=x 第十二章 无穷级数 章主要内容小结 一、数项级数的审敛法 1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性； 2、正项级数的审敛法 若0lim ≠∞ →n n u ，则级数 ∑∞ =1 n n u 发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别； 对一般项出现阶乘、及n 次幂形式，多用比值法，?? ? ??=><=+∞→，失效，发散收敛 11,1lim 1ρρρρn n n u u ； 对一般项出现n 次幂形式，多用根值法，?? ? ??=><=∞ →，失效，发散收敛11,1lim ρρρρn n n u ； 对一般项可经缩小与放大处理后化成p 级数或几何级数形式，则用p 级数或几何级数作为比较标准，采用 比较法或极限形式，对比值法与根值法中1=ρ的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做； 注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当n n n u u 1 lim +∞→存在时，n n n u ∞→lim 也存在，且n n n n n n u u u 1 lim lim +∞→∞ →=，反之不一定成立。 3、任意项级数审敛法 ∑∞ =1 n n u 为收敛级数，若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛；若 ∑∞ =1n n u 发散，则 ∑∞ =1 n n u 条件收敛； 莱布尼兹判别法：01>≥+n n u u ，且0lim =∞ →n n u 则交错级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n u 收敛，且1+≤n n u r 。 （二）求幂级数收敛域的方法 1、标准形式的幂级数，先求收敛半径1 lim +∞→=n n n a a R ，再讨论R x ±=的敛散性； 2、?? ?直接用比值法或根值法 式通过换元转化为标准形非标准形式的幂级数。 （三）幂级数和函数的求法 1、求部分和式的极限； 2、初等变换法：分解、直接套用公式； 3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算； 无穷级数 P127-练习1 判别下列级数的敛散性： 1． 31 2 ln n n n ∞ =∑ ； 【解】 32 14 54 ln ln lim lim 01→∞ →∞ ==n n n n n n n ，而级数51 4 1∞ =∑ n n 收敛 （5 4 p = 的p -级数）， 则由正项级数的极限形式的比较判别法知 31 2 ln n n n ∞ =∑ 收敛. 2． 21 sin 2 n n n π ∞ =∑． 【解】因为2 2 sin 2 2 π π≤ n n n n ， 由于2 1 1 2(1)12 lim lim 122n n n n n n n u n u p p ++ +==<，故由正项级数的比值判别法知级数2 12π∞ =∑n n n 收敛. 再由正项级数的比较判别法知21 sin 2 n n n π ∞ =∑收敛，且为绝对收敛. P128-练习2 设常数0,a >试判别级数 1 (1)(1cos )n n a n ∞ =--∑是条件收敛还是绝对收敛． （1992） 【解】211 1(1)(1cos )(1cos )2sin 2n n n n a a a n n n ∞ ∞∞ ===--=-=∑∑∑， 因为正项级数212n a n ∞ =?? ?? ?∑收敛，而2 2sin 22a a n n ??≤ ???， 所以 正项级数211 (1cos )2sin 2n n a a n n ∞ ∞ ==-=∑∑收敛， 从而 级数 1 (1)(1cos )n n a n ∞ =--∑绝对收敛. P129-练习3 设正项级数 1 n n a ∞ =∑收敛，且常数(0,)2π λ∈，则21(1)(tan )n n n n a n λ ∞ =-∑（ ）． （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与λ有关 【解】因正项级数 1 n n a ∞ =∑收敛，所以 21 n n a ∞ =∑也收敛. 又22tan lim lim tan ,0n n n n n a n n a n l l l l ==>，故由正项级数的极限形式的比较判别法知 21 (1)(tan )n n n n a n λ ∞ =-∑是绝对收敛的. 选（A ） P130-练习4 设级数 1 n n a ∞ =∑与 1 n n b ∞ =∑均收敛，且n n n a c b ≤≤，证明：级数 1 n n c ∞ =∑收敛． 【证明】由0n n n n n n n a c b c a b a ≤≤?≤-≤-, 故级数 1 1 (), ()n n n n n n b a c a ∞ ∞ ==--∑∑均为正项级数. 因为级数1 n n a ∞ =∑与 1 n n b ∞ =∑均收敛， 则 1 ()n n n b a ∞ =-∑收敛，由正项级数的比较判别法知1 ()n n n c a ∞ =-∑收敛， 又由于级数()1 1 ()n n n n n n c a c a ∞∞ ===+-∑∑，则由性质知级数1 n n c ∞ =∑收敛． P133-练习5 求幂级数121(1)21 n n n x n -￥ =--?的收敛域及和函数． （2010） 【解】易求得级数的收敛半径1R =，且在1x =±时级数均收敛，故收敛域为[1,1]-； 当()1,1x ∈-时 ，设11221 111(1)(1)()()2121 n n n n n n S x x x x xS x n n --ゥ -==--===--邋， 其中121 11(1)()21 n n n S x x n -￥ -=-=-?， 而12112212 00 1 1 (1)1 ()(1)arctan 211n x x x n n n n n S x x dx x dx dx x n x -ゥ---==￠骣骣 -÷÷??÷==-==÷??÷÷??÷-+桫桫邋蝌 ， 故1()()arctan ,[1,1]S x xS x x x ==-q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0 n n q 当且仅当 1||
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