数项级数经典例题大全 (1)
函数项级数典型例题
的收敛域为 (0,+ ∞) .
∞
∑ 例 3 设 a0 , a1, a2, "为等差数列， a0 ≠ 0 ，求级数 an xn 的收敛域. n=0
解
由于 an = a0 + nd ,
lim an+1 a n→∞
n
= 1，所以 R = 1 ，
∞
∞
∑ ∑ 当 x = ±1 时，级数成为 (±1)nan, n=0
,
x ∈(−1,1)
∑ 例 7 求幂级数 ∞ ( ) −1 n−1 x2n 的和函数.
n=1 n(2n −1)
3
∑ 解
设
y
=
x2
，则原级数化为
∞ n=1
(−1)n−1 yn
n(2n −1)
，记 an
=
( ) −1 n−1
n(2n −1)
，因
∑ ∑ ∑ ( ) ( ) lim n
n→∞
an
∞
= 1，故
⋅
(2n +1)3n (−1)n−1 x2n−1
=1 3
x 2 ，故收敛半径
R=
3.
∑ 当 x =
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n−1 2n +1
3
，收敛；
∑ 当 x = −
3
时，级数为
∞ n=1
(−1)n 3 2n +1
，收敛，故所求收敛域为
⎡⎣−
3,
3⎤⎦ .
∑ (2)
设
y
=
1− 1+
x x
，则级数成为
1
+
⎛ ⎜⎝
b a
⎞n ⎟⎠
有关级数的典型例题
n > N 1 时， x n ↘． 现证 n ® ¥ 时， x n ® 0 ．取 0 < k < a ， $N 2 > N 1 ，当 n > N 2 时有
k æ 1 ö a æ 1 ö ç1 + ÷ = 1 + + oç ÷ < 1 + ． n è n ø n è n ø
¥
例 5 设正项级数 å x 且数列 { x 单调减少． 利用 Cauchy 收敛原理证明： n 收敛， n }
n =1
lim nx n = 0 ．
n ® ¥
¥
证
由 å x { x 单调减少，有 x u n < +¥ 和 "e > 0 ，由 å n 收敛及 n } n ↘ 0 ．对
另一方面，注意 z n = cos nx + i sin nx ，又有
¥
å ( qz )
n =1
n
n =qz + ( qz )2 + ( qz )3 + L + ( qz ) +L
= qz + q 2 z 2 + q 3 z 3 + L + q n z n + L = q cos x + qi sin x + q 2 cos 2 x + q 2 i sin 2 x + L + q n cos nx + q n i sin nx
e
，因而 0 £ 2 kx 2 k < e ； 2
e
2
， ( 2 k + 1 ) u 2 k +1 2 k + 2 ) u 2 k +1 < e ． £ (
典型例题一数项级数
(a2 n1 a2 n )
n 1
(a1 a2 ) (a3 a4 )
而收敛的级数加上括号仍收敛; A,B中的 a2n1 ,
a
n 1
2n
均发散;
C.发散级数加上括号不一定收敛。
例3（04 ，三）设有以下命题： ① 若 (u2 n1 u2 n )收敛，则 un 收敛。
散，而 (un vn ) 收敛。
n 1
故选B。
例4（04，一）设为正项级数,下列结论中正确的是
an 收敛。 A.若 lim nan 0，则级数 n 1
n
nan ,则级数发散。 B.若存在非零常数 ，使得 lim n
2 a lim n an C.若级数 n 收敛，则
n 1
n 1
② 若 un 收敛，则
n 1
u
n 1
n 1000
收敛。
un1 1 ，则 un 发散。 ③ 若 lim n u n 1 n
(un vn ) 收敛，则 un, vn 都收敛。则以上命 ④ 若 n 1 n 1 n 1 题中正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④
n
1 1 ) 则级数 (1) ( un un1 n 1
n 1
A.发散；
B.绝对收敛；
C.条件收敛；
D.收敛性根据所给条件不能判断。
n 解答：选C. 由un 0 ，且 lim 1 ，知 n u n 1 n 1
lim lim(
)0 n u n u n n n 令 S n (1)k 1 ( 1 1 ) 1 (1)n1 1 n uk uk 1 u1 un1 k 1 1 1 n 1 1 lim S ( 1) ( ) 收敛,但 则 n n 从而 un un1 u1 n 1
典型例题一数项级数共53页文档
典型例题一数项级数
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
数项级数经典例题大全
第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n . ⇒n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =, 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11sinn n n 的敛散性.(验证0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、判断级数()() +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
数学分析12数项级数总练习题
第十二章 数项级数总练习题1、证明：若正项级数∑n u 收敛，且数列{u n }单调，则n ∞n nu lim +→=0.证：∵级数∑n u 收敛，∴n ∞n u lim +→=0，∴单调数列{u n }必递减.由柯西准则知，任给正数ε，存在N ，对n>N ，有0<u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 又当n>N 时，u N+i ≥u n , i=1,2,…,n-N ，从而当n>N 时，0<(n-N)u n ≤u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 取n>2N ，则0<2n u n ≤(n-N)u n <2ε， 即0<nu n <ε (n>2N)，故n ∞n nu lim +→=0.2、若级数∑n a 与∑n c 都收敛，且不等式a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)成立. 证明级数∑n b 也收敛. 若∑n a 与∑n c 都发散，问∑n b 一定发散吗？ 证：∵a n ≤b n ≤c n ，∴ 0≤b n -a n ≤c n -a n ，又级数∑n a 与∑n c 都收敛， ∴正项级数∑)a -(c n n 收敛，根据比较原则，正项级数∑)a -(b n n 收敛， ∴∑n b =∑)a -(b n n +∑n a 收敛.若∑n a 与∑n c 都发散，∑n b 不一定发散，如：当∑n a =∑)n1(-,∑n c =∑n 1时，∑n a 与∑n c 都发散， 而∑n b =∑2n1满足a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)，但∑n b 收敛.3、若nn∞n b a lim+→=k ≠0, 且级数∑n b 绝对收敛，证明∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，能推得∑n a 收敛吗？证：∵n n ∞n b a lim+→=k ≠0, ∴nn∞n b a lim +→=|k|>0, 又∑|b |n 收敛， 根据比较原则知∑|a |n 收敛，∴∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，则∑n a 不一定收敛. 如：取a n =n (-1)n+n 1，b n =n (-1)n ，则nn ∞n b a lim +→=n(-1)n1n (-1)lim n n∞n ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→n (-1)1lim n ∞n =1≠0, 且∑n b =∑n (-1)n收敛，但∑n a =∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n 1n(-1)n 却发散.4、(1)设∑n u 为正项级数，且n1n u u +<1，能否断定∑n u 收敛？ (2)对于级数∑n u ，有n1n u u +≥1，能否断定级数∑n u 不绝对收敛，但可能条件收敛?(3)设∑n u 为收敛的正项级数，能否存在一个正数ε，使得ε1n∞n n 1u lim++→=c>0. 解：(1)不能. 如取u n =n1，则n 1n u u +=1n n +<1，但∑n u =∑n1却发散. (2)不能. ∵n1n u u +≥1，∴|u n+1|≥|u n |≥|u 1|>0. ∴|u |lim n ∞n +→≠0，从而n ∞n u lim +→≠0，∴级数∑n u 发散.(3)不一定. 如：对收敛的正项级数∑p n1(p>1)，则总存在ε=p-1>0，有1)-p (1p ∞n n 1n 1lim ++→=1>0.但对收敛的正项级数∑n n1，却对任何正数ε，有ε1n ∞n n 1n 1l i m ++→=ε-1-n ∞n n 1lim +→=0.5、证明：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则级数∑n n b a 也收敛.证：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则任给正数ε， 存在N 1，使当n>N 1时，对任何自然数p ，都有∑+=pn n k k a <ε，且存在N 2，使当n>N 2时，对任何自然数p ，都有|b b |k pn nk 1k ∑+=+-<ε.由)b (b n 1n ∑-+收敛知：其部分和数列)b (b k n1k 1k ∑=+-=b n+1-b 1有界，即|b n |<M(n=1,2,…).由阿贝尔变换知：当n>N=max{N 1,N 2}时，对任何自然数p 有：∑+=pn nk k kb a=∑∑∑+=+-+=+-++=++++-+⋯+-+-pn nk kp n 1p n nk k p n 1p n 1n nk k 2n 1n n 1n n a b a )b b (a )b b (a )b b (≤|b n -b n+1||a n |+|b n+1-b n+2|∑+=1n nk k a +…+|b n+p-1-b n+p |∑-+=1p n nk ka+|b n+p |∑+=pn nk ka≤ε∑-+=+-1p n nk k 1k b b+εM ≤ε(ε+M). 根据柯西准则，级数∑n n b a 收敛.6、设a n >0，证明级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是收敛的.证：∵a n >0，∴级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是正项级数，其部分和S n =∑=+⋯++n1k k 21k )a 1()a 1)(a 1(a =∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯++-+⋯+n 1k k 211-k 1)a 1()a 1)(a 1(1)a 1()a 1(1 =1-)a 1()a 1)(a 1(1n 21+⋯++<1，即{S n }有界，∴该级数收敛.7、证明：若级数∑2n a 与∑2n b 收敛，则级数∑n n b a 和级数∑+2n n )b (a 也收敛，且(∑n n b a )2≤∑2n a ·∑2n b ，∑+2n n)b (a≤∑2na+∑2nb.证：∵|a n b n |≤2b a 2n2n +，且∑2n a 与∑2n b 收敛，∴∑n n b a 绝对收敛. 从而∑+2n n )b (a =)b b a 2(a 2n n n 2n ∑++也收敛.由柯西—旋瓦兹不等式：(∑=n1k k k b a )2≤∑=n 1k 2ka ·∑=n1k 2k b ，及明可夫斯基不等式：∑=+n1k 2k k)b (a≤∑=n1k 2ka+∑=n1k 2kb，令n →∞取极限，得证！。
1数项级数(成贤)
则 级数
( A). 3
n 1
un
(B ). 7 (D ). 9
(C ). 8
3.若 un 发散, 则下列结论正确的是
n 1
1 ( A). 收敛 n 1 un
( B). ( un 0.0001)发散
n 1
Hale Waihona Puke (C ). un1000 发散
( D). k un 发散
2
收敛
ln3 n 6. lim 0, n n ln3 x ln2 x ( 3 ln x ) f ( x ) ( ) 0( x 27), 2 x x ln3 n 1 又 , n n
条件收敛
三. 1.设 limn (e 1)un 1( p 0),
发散
u n 1 4. lim n u n
(n 1) n 1 1 n (1 ) n 1 a (n 1)! n e lim lim n n n n a a a n n!
e a 时, 收敛; e a 时, 发散.
n (n 2) cos 3 (n 2) , 5. 3n 3n (n 2) 1 3n 收敛, n
( A). 发散
(C ). 条件收敛
(B ). 绝对收敛
( D). 敛散性与a 有关
a 7.设 a 0, 则级数 (1) (1 cos ) n n 1
n
( A). 发散
(B ). 绝对收敛
(C ). 条件收敛
( D). 敛散性与a 有关
8.设 0, an 收 敛 ，
1
收敛
un 1 2. lim n u n
第十二章数项级数
第十二章 数项级数一、单选题（每题2分） 1、 设常数0k >,则级数21(1)nn k nn +∞=+-∑( ) A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛与发散与k 有关 2、 设a 是常数，则级数()21sin n na n +∞=⎡⎤⎢⎣∑（ ） A ．绝对收敛 B.条件收敛 C. 发散 D.收敛性与a 的取值有关 3、 级数()1(1)1cos 0n n a a n +∞=⎛⎫--> ⎪⎝⎭∑常数（ ）A . 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与a 有关 4、 设常数0λ>，且级数21n n a +∞=∑收敛，则级数1(1)nn +∞=-∑ ）A . 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与λ有关 5、 设0(1,2,3,)n a n >=，且级数1n n a +∞=∑收敛，常数0,2πλ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则级数21(1)tan n n n n a n λ+∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑（ ）A . 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 敛散性与λ有关 6、 设()1ln 1nn u ⎛=- ⎝，则级数（ ） A .1nn u+∞=∑与21nn u+∞=∑都收敛 B.1nn u+∞=∑与21nn u+∞=∑都发散C.1nn u+∞=∑收敛而21nn u+∞=∑发散 D.1nn u+∞=∑发散而21nn u+∞=∑收敛7、 设10(1,2,)n a n n≤<=，则下列级数中肯定收敛的是（ ） A .1n n a +∞=∑ B.()11nn n a +∞=-∑C.1n +∞= D.()211nn n a +∞=-∑8、 下列各选项正确的是（ ）A. 若21nn u+∞=∑和21nn v+∞=∑都收敛，则()21nn n uv +∞=+∑ 收敛B. 若1n nn u v=∑ 收敛，则21nn u=∑和21nn v=∑都收敛C. 若正项级数1n n u +∞=∑发散，则1n u n≥D. 若级数1nn u+∞=∑收敛，且()1,2,n n u v n ≥=，则级数1n n v +∞=∑也收敛9、 若级数1nn a+∞=∑和1nn b+∞=∑都发散，则（ ）A .()1nn n ab +∞=+∑ 发散 B. 1n nn a b+∞=∑发散C.()1nn n ab +∞=+∑发散 D.()221nn n ab +∞=+∑发散10、n a 和n b 符合（ ）条件，可由1nn a+∞=∑发散推出1nn b+∞=∑发散。
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第十二章 数项级数1 讨论几何级数 ∑∞=0n n q 的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解 用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 ,=n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n ,) (∞→n . ⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、 证明2-p 级数∑∞=121n n收敛 .证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11s i n n n n 的敛散性.(验证 0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、 考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、 判断级数()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、 讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、 研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、 讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、 设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21sin() 21sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
证明：由于∑∞=1n n a 收敛，因而，{}n a 收敛于0，故，存在N ，使得n>N 时，||1n a £，因而，n>N 时，221nn a n ≤， 故，由比较判别法得：∑∞=12n nna 收敛。
18、证明：若∑∞=--11||n n n a a 收敛，则}{n a 收敛。
证明：由于∑∞=--11||n n n a a 收敛，则由Cauchy 收敛准则，对0e >，存在N ，当n>N 时，对任意的正整数p ，成立11||||n n n p n p a a a a e +++--++-<L ，因而，11||||||n p n n n n p n p a a a a a a e ++++--?++-<L ，再次用数列收敛的Cauchy 收敛准则得：}{n a 收敛。
19、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=+1||11n n a 发散。
分析 证明级数的发散性，首选工具是级数收敛的必要条件。
证明：由于∑∞=1n n a 收敛，故lim 0n n a ??=，因而， l i m (1||)n n a ??+=，故，∑∞=+1||11n n a 发散。
20、判断下列具体级数的敛散性1、0 , 111>+∑∞=a a n n ； 2、0, ][ln 11>∑∞=p n n p； 3、∑∞=-1!!)!12(n n n ； 4、∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n nn n ；5、∑∞=+110)!1(n nn ； 6、∑∞=122n n n 。
分析 对具体的级数，按照判别敛散性的一般程序，先考察通项的极限，在通项极限为0的情形下，考虑比较判别法，常用的作为比较的级数的形式为11p n n ¥=å、1nn q ¥=å，通过对通项的结构分析，选择合适的对比级数，此时，已经学习过的数列的速度关系或阶的关系，有利于我们确定对比级数；对通项中含有n 幂次或n ！形式的级数常用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法，更复杂的题目则需选用更精细的判别法。
解、1）、]1,0(∈a ， }11{na +不收敛于0，此时，级数发散；1>a 时，nn a a 111<+ ，由比较判别法得收敛。
2、分析结构，发现对比级数为11kn n ¥=å的形式，只需比较通项收敛于0的速度。
由于对任意的p >0,(ln )lim 0pn n n??=, 故 ，由比较判别法可知：11[ln ]pn n ¥=å发散。
3）、通项含有阶层形式，故采用比值判别法。
记(21)!!!n n u n -=，则121lim lim 211n n n nu n u n +?ギ+?+==>+，故，该级数发散。
4）、由通项结构为n 幂次形式，采用Cauchy 判别法。
记()21nnn u n =+，则1l i l i m 1212n nn n ?+?==<+，故，由Cauchy 判别法知该级数收敛。
5）、由通项结构可知用D ’Alembert 判别法。
记(1)!10n nn u +=，则12l i m l i m 10n n nnu n u +?ギ+?+==+?，故，该级数发散。
6）、用Cauchy 判别法。
记22n n n u =，则1l i 2n ??=， 故，该级数收敛。
21、判断下列具体级数的敛散性。
1）、2(1)21s i n n n n xdx xpp¥+=åò2）、∑⎰∞=-111n n dx xx3）、∑⎰∞=+11)1l n (n n dx x分析 通项为积分形式的级数敛散性的判别，通常有3种方法：1、利用积分判别法，转化为广义积分的敛散性，此时通项常具有形式} { , 0)( , )(1n a a n a x f dx x f u n n>=⎰+递增趋于∞+。
2、直接计算积分转化为一般形式的数项级数。
3、通过对积分进行估计，用比较判别法判断，此时通项常具有形式⎰=na n dx x f u 0)(，其中}{n a 单减趋于0。
在上述3种方法中，常用1、3两种方法，这是考点。
解：1）、从类型看，适用于第一种方法。
此级数与广义积分⎰∞+πdx x x22sin 具相同的敛散性，由于21dx xp+?ò收敛，因而由比较方法，⎰∞+πdx x x22sin 收敛，故，该级数也收敛。
2）、典型的第3种方法处理的题型。
由于积分上限趋于0，考察被积函数在0点附近的性质，由于0→x 时，x xx ~1-，因而，⎰⎰-=n n n ndx x dx xx u 123101~~1，故此级数应收敛。
上述可以视为结构特征分析，知道了结构特征，具体的验证方法可以灵活选 择，下面的方法属于直接比较法。
对充分大的n ，当n x 10<<时，211≤-x，故 231013420ndx x u n n =≤≤⎰， 且级数3121n n+?=å收敛，因而，原级数收敛。