无穷级数_习题课
无穷级数习题课
(2) ∵ an = ∫ 4 tan n xdx
0
π
tan x = t
t ∫0 1 + t 2 dt <
1
n
1 ∫0 t dt = n + 1
1 n
an 1 1 ∴ λ < λ < λ +1 n n ( n + 1) n
由λ +1 > 1，所以级数收敛。
⎧1 + x2 arctan x , x ≠ 0 ⎪ ,将 f ( x ) 3 设 f ( x) = ⎨ x ⎪1, x=0 ⎩ ∞ ( −1)n 展开成x的幂级数，并求 ∑ 的和。 2 n =1 1 − 4n
一、习题赏析 二、试题分析
1 ⎧ 0≤ x≤ ⎪ x, ⎪ 2 1 设 f ( x) = ⎨ ⎪2 − 2 x, 1 < x < 1 ⎪ ⎩ 2 ∞ a0 S( x) = + ∑ an cos nπ x ,( −∞ < x < +∞ ) 2 n =1 其中an = 2 ∫ f ( x )cos nπ xdx ,( n = 0,1, 2,
解1：将f ( x )以2π 为周期进行周期延拓， 1 π a0 = ∫ f ( x )dx
π
−π
=
1
π
[ ∫ ( x + 2π )dx + ∫ xdx ]
−π 0 0
0
π
y
2π
1 1 2 1 2 = [( x + 2π x ) + x ] 2 0 π 2 −π −2π = 2π
ห้องสมุดไป่ตู้
π
π
−π O
π
2π
x
x ∈ [−1,1].
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
高数 第六章
1 2 1 3 n 1 x ln(1 + x ) = x x + x L + ( 1) +L 2 3 n x ∈ (1,1]
(1 + x)α = 1 +αx +
n
α(α 1)
2!
x +L+
2
α(α 1)L(α n + 1)
n!
xn +L
x ∈(1,1)
二、典型例题
例1
判断级数敛散性: (1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
1 n
;
1 n
解
n nn n , un = = 1 n 1 n (1 + 2 ) (n + ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
6、幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数 幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
an xn ∑
n=0
∞
为幂级数系数. 其中a n 为幂级数系数
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径 定义: 正数 称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
n→∞
收 , 其 数 敛 且 和s ≤ u1 ,其 项n 的 对 rn ≤ un+1. 余 r 绝 值
无穷级数习题课
无穷级数
习 题 课
主要内容 典型例题
一、主要内容
un为常数
∑un
取 x = x0
n=1
∞
un为函数 un (x)
常数项级数 一 般 项 级 数
级数与数 相互转化
函数项级数
正 项 级 数
在收敛 条件下
交 错 级 数
收 敛 半 径 R
幂级数 泰勒展开式
Rn ( x ) → 0
泰勒级数
函 数
数
数或函数
1 = exp{lim } = e 0 = 1; x →∞ x
∴ lim un = 1 ≠ 0, n→ ∞
根据级数收敛的必要条件，原级数发散． 根据级数收敛的必要条件，原级数发散．
nπ ∞ ncos 3; (2) ∑ 2n < n, un = 2n 2n
2
n 令 vn = n , 2
∞
( −1 ≤ x ≤ 1)
测 验 题
一 、 选择题: 选择题 : 下列级数中, 收敛的是( 1 、 下列级数中 , 收敛的是 ( ). ∞ ∞ 1 1 (A) ∑ ； (B) ∑ ； n =1 n n=1 n n ∞ ∞ 1 (C) ∑ 3 2 ； (D) ∑ ( − 1) n . n n =1 n =1 下列级数中, 收敛的是( 2 、 下列级数中 , 收敛的是 ( ). ∞ ∞ 5 n −1 4 n −1 (A) ∑ ( ) ； (B) ∑ ( ) ； n=1 4 n=1 5 ∞ ∞ 5 4 n −1 5 n −1 (C) ∑ ( − 1 ) ( ) ； ( D) ∑ ( + ) n − 1 . 4 5 n =1 n =1 4
(A) R1 + R2 ； (B) R1 ⋅ R2 ； (C)max{R1 , R2 }； (D)min{R1 , R2 } . 8、当 k > 0 时,级数 ∑ ( −1) n
无穷级数习题课(1)
故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。
5
解法2：由比值审敛法
6n1
lim an1 a n
n
lim
n
7n1 5n1 6n
6(7n 5n )
lim
n
7n1
5n1
7n 5n
lim
n
6(1 ( 5)n ) 7
1 ( 5)n1
6 7
1
7
故由比值审敛法知原级数收敛。
6
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
e e x x
x x
e0
1
n
x
x
lim
n
an
1
0
由级数收敛的必要条件，原级数发散。
4
【例3】判别级数
n1
6n 7n 5n
的收敛性。
解法1：此级数为正项级数，
an
6n 7n 5n
6n
lim 7n 5n lim 1 1
n ( 6 )n
n 1 ( 5)n
7
7
而级数 ( 6 )n 为等比级数收敛， n1 7
n1
2
三、典型例题
【例1】判别级数 n1
2n 3n
1
的收敛性，并求级数的和。
解：
由于
an
2n 3n
1
3n 3n
n1 3n
n 3n1
n1 3n
，由定义
2 23 3 4
Sn
(1
) 3
( 3
32
)
( 32
33
)
n ( 3n1
n1 3n )
word版习题课无穷级数
第十二章 无穷级数章主要内容小结一、数项级数的审敛法1、利用部分和数列的极限判别级数的敛散性；2、正项级数的审敛法 若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散；否则由比值法、根值法、比较法及其极限形式判别；对一般项出现阶乘、及n 次幂形式，多用比值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=+∞→，失效，发散收敛11,1lim1ρρρρnn n u u ；对一般项出现n 次幂形式，多用根值法，⎪⎩⎪⎨⎧=><=∞→，失效，发散收敛11,1lim ρρρρn n n u ；对一般项可经缩小与放大处理后化成p 级数或几何级数形式，则用p 级数或几何级数作为比较标准，采用比较法或极限形式，对比值法与根值法中1=ρ的情况，也可用比较法、求部分和法、积分判别法做； 注意：能用比值法判别收敛的级数一定可用根值法判别收敛，因为可以证明当nn n u u 1lim+∞→存在时，n nn u ∞→lim 也存在，且nn n nn n u u u 1limlim+∞→∞→=，反之不一定成立。
3、任意项级数审敛法∑∞=1n nu为收敛级数，若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nu条件收敛；莱布尼兹判别法：01>≥+n n u u ，且0lim =∞→n n u 则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且1+≤n n u r 。
（二）求幂级数收敛域的方法1、标准形式的幂级数，先求收敛半径1lim+∞→=n nn a a R ，再讨论R x ±=的敛散性；2、⎩⎨⎧直接用比值法或根值法式通过换元转化为标准形非标准形式的幂级数。
（三）幂级数和函数的求法1、求部分和式的极限；2、初等变换法：分解、直接套用公式；3、在收敛区间内，采用逐项求导与逐项积分的方法，套用公式，再对所求的和作逆运算；4、⎩⎨⎧数，再代值；间接求和：转化成幂级求部分和；直接求和：直接变换，数项级数求和 （四）函数的幂级数和傅立叶级数展开式1、函数的幂级数展开直接展开法：利用泰勒级数；间接展开法：利用已知展式的函数及幂级数的性质；2、函数的傅立叶展开式：系数公式、收敛定理、延拓方法。
无穷级数习题课有答案
第十二章 无穷级数习题课一、本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。
幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。
二、本章重点用定义判别级数的收敛，P-级数、正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。
三、例题选讲例1：判别级数()21ln 1ln ln 1n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭+∑的敛散性。
（用定义）解：原式=()()22ln 1ln 11()ln ln 1ln ln(1)n n n n n n n n ∞∞==+-=-++∑∑级数的部分和111111ln 2ln3ln3ln 4ln ln(1)n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 2ln(1)ln 2n =-→+， ()n →∞ 所以原级数收敛，且收敛于1ln 2。
例2：判别下列级数的敛散性（1）111ln n n n n ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ ， （2）211ln n n n ∞=-∑ ， （3）121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ （4）()11!2!!2!n n n ∞=+++∑ ，（5）()()()21111n nn x x x x ∞=+++∑，（0x ≥）（6）ln 113nn ∞=∑ 解：（1）因为ln(1)ln n n +<，所以1111ln ln(1)0n n n n n+-=-+>， 而 111lnln ln 1111n n n n n n +⎛⎫-==-<- ⎪+++⎝⎭，有2111111ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 由比较审敛法知，级数111ln n n nn ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。
无穷级数习题课
∞ 2 ∞a 收敛， （4）若 ∑an 收敛，则 ∑ n ） 绝对收敛） （绝对收敛） n n= 1 n= 1 ∞ ∞ ∞ 收敛， n发散， （5）若 ∑an 收敛， ∑b 发散，则 ∑(an ±b ) （发散） ） 发散） n n= 1 n= 1 n= 1
an 收敛且a ≠1时 若正项级数 ∑an收敛且an≠1时，则级数 ∑ 收敛） 1−an （收敛） n= 1 n= 1
n=1 n=1
判别下列级数的敛散性: 例2 .判别下列级数的敛散性 判别下列级数的敛散性
讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 例3.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 π ∞ sin n+1 (2) ∑ −1 n+1 n+1 ; ( )
n= 1
π
n+1 (3) ∑ −1 ln ( ) ; n n= 1
(− )n+ 1 1 1 n + ∞ (− ) 1 1 + ] ， un+1 = lim n+1 n+1 ∑[ lim 又如 n n n→ un n→ ∞ ∞ (− )n 1 1 n= 1 + n n − n (− )n n 1 + 同 (− )n n 乘 1 n+1 = − ，但该级数发散。 lim n+1 1 但该级数发散。 n n→ ∞ (− ) 1 1+ n
n= 1 ∞
n= 1+an 1
∞
（6）若 ∑an、∑b 都发散，则 ∑(an ±b ) ） n n都发散， n= 1 n= n= （可能发散也可能收敛） 1 可能发散也可能收敛） 1
∞ 1 1n 可能收敛也可能发散） （7）若 0 ≤ an < ，则 ∑(− ) an （可能收敛也可能发散） ） n n= 1 1 ∞ an = , ∑(−1 nan 收敛， ) 收敛， 例如 2n n= 1
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数或函数
函数
一 基本要求
1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基 本性质,熟悉级数收敛的必要条件. 2.掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌 握正项级数收敛的比值判别法. 3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理 解绝对收敛和条件收敛的概念.
4.掌握幂级数的收敛半径, 收敛区间和收敛 域的求法.了解幂级数的主要性质. 5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数.
收敛区间为 R, R 或 x0 R, x0 R
收敛域：
( R, R) 或[ R, R) 或 ( R, R]或[ R, R].
对于缺项的幂级数 un x, 可按下式
n0
lim
n0
un1 x un x
1,求出
x
的范围 x1, x2 ,
从而得收敛区间为 x1, x2
2.幂级数的重要性质
第十一章 习题课
无穷级数
主要内容
un为常数
常数项级数
un
un为函数 un( x)
n1
取 x x0
函数项级数
一 般 项 级 数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
在收敛 条件下
数
级数与数 相互转化
收
幂级数
三角级数
敛
半 泰勒展开式 傅氏展开式
径 R
Rn ( x) 0 满足狄 氏条件
泰勒级数 傅氏级数
lim
n
un
0,则 un发散.
n0
(2)反例,考虑
un
1 n2
,vn
1 n
.
• 正项级数比较判别法的极限形式
设 un,vn 为正项级数,
n1 n1
若 lim un l, (l 0) v n
n
则 un, vn 同敛散.
n1
n1
2.下列运算是否正确?
若 an,bn 均收敛,且对一切自然数 n
几个常用初等函数的马克劳林展开
1
xn 1 x x2 L xn L 1 x 1;
1 x n0
e x
xn
x2
1 x L
xn L x ;
n0 n!
2!
n!
sin
x
n0
1 n x2n1 2n 1!
x
x3 3!
x5 5!
L
x
;
ln1 x
1 n1 xn
根据正项级数的比较判别法可知
anbn 收敛，从而 anbn绝对收敛.
已知的正项级数作为“参照”级数,如
等比级数 aqn n1
p-级数
1 np
n1
调和级数 1
n1 n
判定一个正项级数的敛散性,常按下列顺序:
(1)
lim
n
un
0,
则发散.
(2)用比值或根值判别法,若失效.
(3)用比较判别法. (4)级数收敛的定义:
部分和数列极限是否存在. 同时考虑到级数的基本性质.
证明：由an cn bn(n 1, 2,L )，可得
bn
an
cn
an
0,
故bn an 与cn an 均为正项级数，
n1
n1
an与 bn收敛，从而 (bn an )收敛
n1
n1n1由Fra bibliotek项级数的比较判别法
cn an 也收敛， 而cn cn an an ,
n1
故 cn (cn an ) an 收敛.
(1)在收敛区间R, R内和函数S x 连续.
(2)可逐项求导. (3)可逐项积分.
逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂 级数有相同的收敛半径, 但在收敛域可能 改变.
3.幂级数在其收敛区间内的和函数的求法
在熟记几个常用的幂级数的和函数的 基础上, 对照已知级数的特点,可通过恒等 变形,变量代换及逐项求导或积分的方法来 求和函数.
4.函数展开成幂级数
(1)直接展开法:
按公式f
x
an
n0
x x0
n，an =
f n x0 n!
展开,但必须证明余项的极限
lim
n
Rn
x
0，
这通常是较困难的.
(2)间接展开法： 利用已知函数的展开式, 通过恒等变形,变量代换, 级数的代数运算 及逐项求导或积分,把函数展开成幂级数. 注意两点: 1.熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式. 2.根据已知展开式写出所求展开式相应的 收敛区间. •逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变, 但收敛域可能会变.
6.理解傅里叶级数的收敛定理. 7.掌握函数展开成傅里叶级数的方法.
二 要点提示
(一)常数项级数
1.级数收敛的必要条件:
若
n1
un收敛,则
lim
n
un
0.
由此可得:若
lim
n
un
0,则级数 un必发散.
n1
常用来判定级数是发散的.切不可用来判定
级数是收敛的,例如调和级数 n1
1就是发散的.
n
2.正项级数的审敛法 •使用比较判别法时,必须熟记一些敛散性
x2 x3 x L
1 x 1.
n1
n
23
三 思考与分析
1.试判断下列命题是否正确?
(1)若
lim
n
un
0,则 un
n1
必定收敛.
(2)设 un, vn 是正项级数,
n1
n1
un cvn(n 1, 2,L ), c为大于零的常数,
则 un, vn 同敛散.
n1
n1
答：均不正确.
(1)
3.任意项级数 莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛
的充分条件而不是必要条件. 当不满足条件时,不能判定级数必发散.
对于任意项级数 un，绝对收敛的级数必收敛.
n1
若 un 收敛,则称 un 绝对收敛.
n1
n1
若 un 发散而 un 收敛,则称 un 条件收敛.
n1
n1
n1
注意
1. 可先考查任意项级数是否绝对收敛；
n1
n1
有 an cn bn , 证明: cn 也收敛.
n1
证明: Q an cn bn(n 1, 2,L ),且 an , bn
n1
n1
均收敛,由比较判别法知 cn 收敛. n1
答：不正确.
因为证明中使用了比较判别法, 而比较 判别法只适用于正项级数, 题目中并未指 出级数是正项级数.正确方法如下:
n1
n1
3.若级数 an2和 bn2 都收敛, 则 anbn
n1
n1
绝对收敛.
n1
证明：Q
an bn
2
an 2 2 an
bn
bn 2
an2 bn2 2 anbn
0， anbn
1 2
an2 bn2
由题意知, an2和 bn2 收敛,
故
n1
1 2
(an2
n1
n1
bn2 ) 也收敛,
2.若用正项级数的比值判别法判定 un 发散,
n1
则级数 un也发散.
n1
(二)幂级数
1.收敛半径和收敛区间
对于 an xn或 an x x0 n ,(an 0, n 0,1, 2,L )
n0
n0
若 lim an1 l，
a n n
则收敛半径为
1 ,
l
R ,
0,
0 l
l0 l