2018届二轮(理)12+4分项练12专题卷(全国通用)

12＋4分项练12 概 率1．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48答案 B解析 设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.80×P (B )＝0.60，故P (B )＝0.75.故选B.2．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.512 B.712 C.13 D.12 答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)． ∴P ＝1536＝512，故选A.3．某个路口交通指示灯，红灯时间为40秒，黄灯时间为10秒，绿灯时间为30秒，绿灯和黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过10秒就可以通行的概率为( ) A.34 B.47 C.57 D.58 答案 D解析 这是一个几何概型，试验人随机到达路口对应的几何区域看作一条长80的线段，到达路口时因为绿灯和黄灯时间可以通行，所以等待不超过10秒可看作一条长为50的线段，所以通行概率为58.4．已知随机变量X ～N (2,4)，随机变量Y ＝3X ＋1，则( ) A ．Y ～N (6,12) B ．Y ～N (6,37) C ．Y ～N (7,36) D ．Y ～N (7,12) 答案 C解析 X ＝2⇒Y ＝7，σ2(X )＝4⇒σ2(Y )＝9×4＝36，因此Y ～N (7,36)．故选C.5．(2017·辽宁省实验中学模拟)已知在椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)中，参数a ，b 都通过随机程序在区间(0，t )上随机选取，其中t >0，则椭圆的离心率在⎝⎛⎭⎫32，1内的概率为( )A.12B.13C.14D.23答案 A解析 ∵e ＝c a ∈⎝⎛⎭⎫32，1，∴34<c 2a 2<1，34<a 2－b 2a 2<1，－14<－b 2a2<0， 0<b 2a 2<14，0<b a <12，本题可视为二维几何概型，由于⎩⎪⎨⎪⎧0<a <t ，0<b <t 且a >b >0，满足b <12a 的概率为P ＝12×t ×t 212t 2＝12.故选A.6．(2017·河北省石家庄二中模拟)在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是 ( ) A ．3 B ．4 C ．1 D.1516答案 A解析 抛掷4枚均匀的硬币1次，正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率为C 34⎝⎛⎭⎫124＝14，因为ξ～B ⎝⎛⎭⎫16，14， 所以ξ的方差是16×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝3，故选A. 7．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为12.构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，第n 次正面向上，－1，第n 次反面向上，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2≠0且S 8＝2时的概率为( ) A.43128 B.4364 C.13128 D.1364答案 C解析 由题意知，当S 8＝2时，说明抛掷8次，其中有5次正面向上，3次反面向上，又因为S 2≠0，所以有两种情况：①前2次都正面向上，后6次中有3次正面向上，3次反面向上；②前2次都反面向上，后6次中有5次正面向上，1次反面向上，所以S 2≠0且S 8＝2时的概率为P ＝⎝⎛⎭⎫122C 36·⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫122C 56⎝⎛⎭⎫125⎝⎛⎭⎫121＝13128， 故选C.8.(2017届辽宁省锦州市质检)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明. 下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2. 设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( ) A ．134 B ．866 C ．300 D ．500答案 A解析 勾为a ，则股为3a ，则弦为2a ，则图中大四边形的面积为4a 2，小四边形的面积为(3－1)2a 2＝(4－23)a 2，由几何概型知，图钉落在黄色图形内的概率为(4－23)a 24a 2＝1－32，所以落在黄色图形内的图钉数大约为 1 000⎝⎛⎭⎫1－32≈134.故选A. 9．(2017届青海省西宁市一模)盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( ) A.35 B.59 C.25 D.110答案 B解析 设“第一次摸出新球”为事件A ，“第二次摸出新球”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59，故选B.10．(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 p ＝1－16－13＝12，E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2⇒a ＝3.D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，∴D (2X －3)＝22D (X )＝4.11．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为() A.34 B.916 C.32D.23答案 B解析 如图，原正六边形为ABCDEF ，最小的正六边形为A 1B 1C 1D 1E 1F 1.设AB ＝a ，由已知得∠AOB ＝60°，则OA ＝a ，∠AOM ＝30°，则OM ＝OA cos ∠AOM ＝a ·cos 30°＝3a2，即中间的正六边形的边长为3a 2；以此类推，最小的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为OB 1＝32OM ＝32·3a 2＝3a 4，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为P ＝111111A B C D E F ABCDEFS S 边边正六形正六形＝12·3a 4·3a 4·32·612·a ·a ·32·6＝916，故选B. 12．甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次；当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏．已知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是12，则下列结论中正确的是( )①第一局甲就出局的概率是13；②第一局有人出局的概率是12；③第三局才有人出局的概率是364；④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是13；⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于11 000.A ．①②B ．②④⑤C ．③D ．④答案 C解析 三人各掷硬币一次，每一次掷硬币都有2种结果，所有的结果共有23＝8(种)．由于当有一人掷得的结果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止．①当甲掷得的结果与其他二人不同时，有正反反，反正正，共有2种结果，故第一局甲就出局的概率是14，①错误；②第一局有人出局时，有正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，6种结果，故第一局有人出局的概率是34，②错误；③由于第三局才有人出局，则前两局无人出局，故第三局才有人出局的概率是28×28×68＝364，③正确；④由于直到第九局才有人出局，则前八局无人出局，则甲出局的概率是⎝⎛⎭⎫288×68×13＝149，④错误；⑤若该游戏在终止前，至少玩了六局，则前5局无人出局，故该游戏在终止前，至少玩了六局的概率为1－68－28×68－⎝⎛⎭⎫282×68－⎝⎛⎭⎫283×68－⎝⎛⎭⎫284×68＝145<11 000，⑤错误．13．(2017届江苏省盐城市三模)甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________． 答案 89解析 只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知，这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率P ＝1－13×3＝89. 14．公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机率不高于0.022 8来设计的．设男子身高X 服从正态分布N (170,72)(单位：cm)，参考以下概率P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4，则车门的高度(单位：cm)至少应设计为________ cm. 答案 184解析 由题意知，利用P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，男子身高X 服从正态分布N (170,72)，可得车门的高度至少为170＋2×7＝184(cm)．15．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞(如图)，则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是________． 答案 78解析 四枚硬币的全部的摆法有24＝16(种)，相邻两枚硬币同一面相对的情况有2种，摆法分别是正反正反，反正反正，所以相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的摆法共有16－2＝14(种)，所以概率为P ＝1416＝78.16．(2017·湖北省黄冈市质检)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(x ，y )，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值，假如统计结果是m ＝56，那么可以估计π≈________.(用分数表示) 答案7825解析 由题意得200对都小于1的正实数对(x ，y )，满足⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<1，x ＋y >1，0<x ，y <1，因为统计两数能与l 构成钝角三角形的数对(x ，y )的个数m ＝56， 所以m 200＝14π·12－12×121×1，即56200＝14π－12，π＝7825.。