(完整版)高考椭圆题型总结
椭圆题型总结
一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c
1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点
的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( )
A 。充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。充要条件 D.既不充分又不必要条件
2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ）
A 。椭圆 B.圆 C.直线 D.线段
3. 已知1F 、2F
是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动
点
Q
的轨迹是( ）
A.椭圆
B.圆
C.直线
D.点
4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断
动点M 的轨迹。
5. 椭圆
19
252
2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。
(二) 标准方程求参数范围
1. 若方程13
52
2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。（3，4）U(4，5） 2.
轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102
2=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。必要不充分条件 C 。充要条件 D 。既不充分又不必要条件
3. 已知方程11
252
2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 。
4. 已知方程22
2=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2
31y x -=所表示的曲线是 .
6. 如果方程22
2
=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆0632
2
=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。
8. 已知方程222
=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 .
(三) 待定系数法求椭圆的标准方程
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程:
（1）两个焦点的坐标分别为（0,5)和（0，－5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；
(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程。 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为 。 3. 如果椭圆:k y x =+224上两点间的最大距离为8,则k 的值为 .
4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点,且椭
圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。
5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为
354和3
5
2，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。
6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-;
（2） 在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6。
(四) 与椭圆相关的轨迹方程
1. 已知动圆P 过定点)0,3(-A ,并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方
程。
2. 一动圆与定圆032422=-++y y x 内切且过定点)2,0(A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.
3. 已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P 的轨
迹方程.
4.
已知)0,21(-A ，B 是圆4)2
1(:2
2=+-y x F (F 为圆心）上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则
动点P 的轨迹方程为
5. 已知ABC ∆三边AB 、BC 、AC 的长成等差数列，且,CA AB >点B 、C 的坐标)0,1(-、)0,1(，求点A 的
轨迹方程.
6. 一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动 ，点M 在线段AB 上，且2:1:=MB AM ，
求点M 的轨迹方程。
7. 已知椭圆的焦点坐标是)25,0(±，直线023:=--y x l 被椭圆截得线段中点的横坐标为
21
，求椭圆方程. 8. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是9
4
-，顶点A 的轨
迹方程为 .
9. P 是椭圆122
22=+b
y a x 上的任意一点,1F 、2F 是它的两个焦点，O 为坐标原点，
,求动点的
轨迹方程。
10. 已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M 在'PP 上，
并且，求点的轨迹.
11. 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点向轴引垂线段
,则线段
的中点的轨迹方程
是 。
12. 已知
，，的周长为6，则的顶点C 的轨迹方程是
。
13. 已知椭圆14
522
22=+y x ，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP 中点的轨迹方程。
14.
(五) 焦点三角形4a
1. 已知1F 、2F 为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。若1222=+B F A F ，则
=AB .
2. 已知1F 、2F 为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点,过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的
周长是 。
3. 已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆13
22
=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC
边上，则C AB ∆的周长为 。
(六) 焦点三角形的面积：
1. 设M 是椭圆116
252
2=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面积.
2. 已知点P 是椭圆14
22
=+y x 上的一点,1F 、2F 为焦点，021=•PF PF ,求点P 到x 轴的距离。 3. 已知点P 是椭圆1
92522=+y x 上的一点，1F 、2F 21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 .
4. 椭圆14
22=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则
= .
5. 已知AB 为经过椭圆
的中心的弦，为椭圆的右焦点，则的面积的最大值
为 。
(七) 焦点三角形
1. 设椭圆14
92
2=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF •的最大值，
并求此时P 点的坐标。
2. 椭圆12
92
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，则=2PF
；=∠21PF F 。
3. 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围
为 .
4. P 为椭圆116
252
2=+y x 上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点.（1）若1PF 的中点是M ,求证：
12
1
5PF MO -
=；（2）若︒=∠6021PF F ,求21PF PF •的值。 (八) 中心不在原点的椭圆
1. 椭圆的中心为点)0,1(-E ，它的一个焦点为)0,3(-F ,相应于焦点F 的准线方程为2
7
-
=x ，则这个椭圆的方程是 。
二、 椭圆的简单几何性质
（一） 已知a
、b
、c 、e
、
c
a 2求椭圆方程
1． 求下列椭圆的标准方程
（1）3
2,8=
=e c ; （2)35=e ，一条准线方程为3=x .
2． 椭圆过（3，0）点,离心率为3
6
=
e ，求椭圆的标准方程。 3． 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程为？ 4． 椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为
2
2
，两准线间的距离为4，则此椭圆的方程为？ 5． 根据下列条件，写出椭圆的标准方程:
（1） 椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，其中一条准线方程是4-=x ;
（2） 椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上,焦距为34，并且椭圆和直线016372=-+y x 恰有一个公共点; （3） 椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是
3。
6． 已知椭圆)0(12
2
22
>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、,离心率为
2
2
，右准线方程为2=x 。求椭圆的方程.答案:12
22
=+y x 7． 根据下列条件求椭圆的方程:
（1） 两准线间的距离为55
18,焦距为52;答案：
14922=+y x 或19
422=+y x （2） 和椭圆
1202422=+y x 共准线，且离心率为2
1
； （3） 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点煌距离分别为
354和3
5
2,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。
（二） 根据椭圆方程研究其性质
1． 已知椭圆)0()3(2
2
>=++m m y m x 的离心率为2
3
=
e ，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、
顶点坐标。
2． 已知椭圆的长轴长是6，焦距是24，那么中心在原点，长轴所在直线与y 轴重合的椭圆的准线方程
是 .
3． 椭圆8192
2
=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标
为 ,离心率为 ,准线方程为 。
（三） 求离心率
1． 过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F2为右焦点，若︒=∠6021PF F ，
则椭圆的离心率为（ ）
2． 在平面直角坐标系中,椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的焦距为2，以O 圆心，a 为半径作圆，过点)0,(2
c a 作
圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝ .
3． 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为？
4． 椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F1,则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是？
5． 设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的
距离，则椭圆的离心率是 。答案：
2
1
6． 已知点),0(b A ，B 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左准线与x 轴的交点，若线段AB 的中点C 在椭圆上，
则该椭圆的离心率为 。答案:
3
3
（四） 第二定义
1． 设椭圆)1(11
2
2
22>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1,则P 点到右准线的距离为 2 .
（五） 参数方程 （六） 椭圆系
1．
椭圆
19
252
2=+y x 与
)90(12592
2<<=-+-k k
y k x 的关系为（ ） A ．相同的焦点 B 。
有相同的准线 C 。有相等的长、短轴 D 。有相等的焦距
三、 直线和椭圆的位置关系
(一)判断位置关系
1． 当m 为何值时，直线m x y l +=:和椭圆14416922=+y x （1)相交；(2）相切；（3）相离。 2． 若直线2+=kx y 与椭圆63222=+y x 有两个公共点，则实数k 的取值范围为 。
(二）弦长问题
1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点,交椭圆于A 、B 两点，求AB 的弦长
2. .
3． 设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的左右两个焦点分别为1F 、2F ,过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭
圆C 相交，其中一个交点为)1,2(M 。
（1） 求椭圆的方程；
（2）
设椭圆C 的一个顶点为B(0，-b)，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求BN F 1∆的面积。
（三)点差法
1. 已知一直线与椭圆 36942
2
=+y x 相交于A 、B 两点,弦AB 的中点坐标为)1,1(，求直线AB 的方程.
2. 椭圆C 以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P 、Q 两点，点R 的坐标为（2，5）,若PQR ∆为
等腰三角形，︒=∠90PQR ，求椭圆C 的方程.
（四)向量结合 (五）对称问题
1. 已知椭圆
1
3
4:22=+y x C ，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线
m
x y +=4对称。
(完整版)高考椭圆题型总结
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点 的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A 。充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ） A 。椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动 点 Q 的轨迹是( ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断 动点M 的轨迹。 5. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。 (二) 标准方程求参数范围 1. 若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。（3，4）U(4，5） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。必要不充分条件 C 。充要条件 D 。既不充分又不必要条件
3. 已知方程11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 。 4. 已知方程22 2=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 . 6. 如果方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 8. 已知方程222 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 . (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程: （1）两个焦点的坐标分别为（0,5)和（0，－5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程。 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程为 。 3. 如果椭圆:k y x =+224上两点间的最大距离为8,则k 的值为 . 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点,且椭 圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为 354和3 5 2，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-; （2） 在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6。
(完整版)椭圆常见题型总结
椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=；
椭圆题型总结较难
椭圆题型总结 一、焦点三角形 1. 设F 1、F 2是椭圆12 322 =+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。 （法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，， 根据椭圆的定义，1||AF m = ，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得 22 22)44cos )44cos m m m n n n αα ⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩， ∴m = n = ∴1 1211 ||||2()sin 22 F AB B A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+ α= =令sin t α=，所以01t <≤，∴2 1()22t g t t t t = =++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2 πα= 时，max 1()3 g t =，故1ABF △ （法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2 +3y 2 =6联立，消x 得 (2m 2 +3)y 2 +4my-4=0 ∵ AB 过椭圆定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则 Δ=48(m 2 +1) 1ABF S ∆=|y 1-y 2 |= 2 23 m + = 令 t=m 2 +1≥1，m 2 =t-1， 则1ABF S ∆ = t ∈[1,+∞) f(t)=144t t ++在t ∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1 。 注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，
高考椭圆题型总结有答案
高考椭圆题型总结有答案 椭圆题型总结 一、椭圆的定义和方程问题 一)定义: 命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。 命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。 已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足 PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。 已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。
x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的 中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左 焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。 选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。 二)标准方程求参数范围 试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。 m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充 要条件。 若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在 的象限是第二象限。 方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。
已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1. 1.根据下列条件求椭圆的标准方程： 1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； 2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)； 3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。 二、简单几何性质 椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。 椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
高中数学椭圆,知识题型总结
陈氏优学 教学课题 椭圆 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、 的距离之和等于常数( )，这个动 点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：假设，那么动点的轨迹为线段； 假设 ，那么动点 的轨迹无图形. 讲练结合一.椭圆的定义 1．假设ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，那么顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， ；当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， 。 讲练结合二．利用标准方程确定参数 1．椭圆22 14x y m + =的焦距为2，那么m = 。 2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 〔1〕对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y， 方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 〔2〕范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。 〔3〕顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆〔a＞b＞0〕与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A 1 〔―a，0〕， A 2〔a，0〕，B 1 〔0，―b〕，B 2 〔0，b〕。 ③线段A 1A 2 ，B 1 B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1 A 2 |=2a，|B 1 B 2 |=2b。a和b分别叫做椭圆的 长半轴长 和短半轴长。 〔4〕离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。 ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，那么c就越接近a，从而 越小，因 此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
9.2椭圆-高考数学总复习历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)
第9章 解析几何 9.2 椭圆 从近三年高考情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择题、填空题中出现，考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养． 1．（2022•新高考2）已知直线l 与椭圆 x 26 + y 23 =1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、 y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2√3，则l 的方程为 ． 2．（2022•甲卷）椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关 于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14 ，则C 的离心率为（ ） A ． √3 2 B ． √22 C ．1 2 D ．1 3 3．（2022•甲卷）已知椭圆C ：x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C 的左、 右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→ •BA 2→ =−1，则C 的方程为（ ） A ．x 218+y 216=1 B ． x 29+ y 28 =1 C ． x 2 3 + y 22 =1 D ． x 22 +y 2＝1 题型一.椭圆的标准方程与几何性质 1．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2 a 2+ y 24 =1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ） A ．1 3 B ．1 2 C ． √2 2 D ． 2√23
高中数学椭圆总结(全)
椭圆 一．知识清单 1.椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）. 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个Rt 三角形） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2 +By 2 =1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3 参数方程：焦点在x 轴，? ? ?==θθ sin cos b y a x （θ为参数） 4 一般方程：)0,0(12 2 >>=+B A By Ax 5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④椭圆的准线方程：对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2 1:-=；右准线c x l 22:= 对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 2 1:-=；上准线c y l 22:=
高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案
高中数学椭圆专题 一．相关知识点 1．椭圆的概念 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。 (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集。 2．椭圆的标准方程和几何性质 3．椭圆中常用的4个结论
(1)设椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P 在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。 (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。 (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。 (4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。 一、细品教材 1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是() A.x2 25＋ y2 16＝1 B. x2 100＋ y2 9＝1 C. y2 25＋ x2 16＝1 D. x2 25＋ y2 16＝1或 y2 25＋ x2 16＝1 2．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是() A. 2 2 B. 2－1 2C．2－ 2 D.2－1 走进教材答案 1．A; 2．D 二、双基查验 1．设P是椭圆x2 4＋ y2 9＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．4B．8 C．6 D．18 2．方程x2 5－m＋ y2 m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是() A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)
第4讲 第三定义(解析版)-2021年新高考数学椭圆小题全归纳
第4讲 第三定义 一、单选题 1．椭圆C ：22 143 x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那 么直线1PA 斜率的取值范围是 A ．13[,]24 B ．33[,]84 C ．1[,1]2 D ．3[,1]4 【答案】B 【详解】 设P 点坐标为00(,)x y ，则22 00143x y +=，2002PA y k x =-，1 00 2PA y k x =+， 于是1 2 2 2 222003334•244 PA PA x y k k x x - ===---，故1 2 314PA PA k k =-. ∵2[2,1]PA k ∈-- ∴133[,]84 PA k ∈.故选B. 【考点定位】直线与椭圆的位置关系 2．双曲线C ：22 153 x y -=的左、 右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线1PA 斜率的取值范围是 A ．3[1,]10 -- B ．33[,]84 C ．33[,]1020 - - D ．33[ ,]2010 【答案】C 【详解】 试题分析：根据双曲线的方程可知1A ，2A 的坐标分别为 ， ，设点 的坐标为 ，则 ，．不难发现，且因为点在双 曲线上，所以22 00153 x y -=，再结合 ，解得，故选C ． 考点：双曲线的简单性质．
【思路点睛】本题中我们可以看到给出的两条直线具有相关性，即具有公共点，且它们各自所经过的定 点1A ，2A 是关于原点对称的，此时不难想到两条直线的斜率之间必然会有某种关系．那么解题的关键是找出两条直线斜率之间的等式关系，再根据已知直线的斜率的取值范围，求解未知直线的斜率． 3．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()22 22:10x y a b a b Ω+=>>，且AB ，AD 斜率之积的范围为 32,43⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ，则椭圆Ω离心率的取值范围是 A ．1 2⎛ ⎝⎭ B ．⎝⎭ C ．41⎛ ⎝⎭ D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【分析】 由题意，,D B 关于原点对称，设()()()0000,,,,,D x y B x y A x y --，AD AB k k ∴⋅= 222 202222 2 0002 222 000011x x b b a a y y y y y y b x x x x x x x x a ⎛⎫ ⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⨯===--+--，2222 321,,43b c a a ⎛⎫∴-=-∈-- ⎪⎝⎭ 22111,,,4323c e a ⎛⎫⎛⎫ ∴∈∴∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选A. 【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质与离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.本题是利用AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ，得到2223,34b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，进而构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围. 4．设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左,右顶点为,,A B P 是椭圆上不同于,A B 的一点,设直线,AP BP 的 斜率分别为,m n ,则当 ln ln a m n b ++取得最小值时,椭圆C 的离心率为 A ． 15 B ． 2 C ． 45 D
高考椭圆几种题型
高考椭圆几种题型 ― 引言 在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆的题。所以我们对知识必须系统的掌握。对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。 二 椭圆的知识 （一）、定义 1 平面内与与定点F 1、F 2的距离之和等于定长2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，其中F 1、F 2称为椭圆的焦点，|F 1F 2|称为焦距。其复数形式的方程为|Z-Z 1|+| Z-Z 2|=2a(2a>|Z 1-Z 2|) 2一动点到一个定点F 的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于0小于1的常数，则这个动点的轨迹叫椭圆，其中F 称为椭圆的焦点，l 称为椭圆的准线。 （二）、方程 1中心在原点，焦点在x 轴上：)0(122 22>>=+b a b y a x 2中心在原点，焦点在y 轴上：)0(122 22>>=+b a b x a y 3 参数方程：⎩⎨ ⎧==θ θsin cos b y a x 4 一般方程：)0,0(12 2 >>=+B A By Ax （三）、性质 1 顶点：),0(),0,(b a ±±或)0,(),0(b a ±± 2 对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称。 3 离心率：)1,0(∈= a c e 4 准线c a y c a x 2 2=±=或 5 焦半径：设),(00y x P 为)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，F 1、F 2为左、右焦点，则01ex a PF +=，02ex a PF -=； 设),(00y x P 为)0(122 22>>=+b a b x a y 上一点，F 1、F 2为下、上焦点，则01ex a PF +=，02ex a PF -=。
椭圆高考典型题型整理
椭圆高考典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2 2 :(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程2x =+所表示的曲线是 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.10=成立的充要条件是（ ） A. 2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22 1925 x y += 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆2 2 941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ； 6.设圆2 2 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 22 21()x y k b a k b k +=>-++；
高考数学复习考点题型归类解析41椭圆
高考数学复习考点题型归类解析 专题41椭圆 一、关键能力 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3.了解椭圆的简单应用． 4.理解数形结合的思想. 二、教学建议 教学中要让学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，进而再了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。 三、自主梳理 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于||F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P ＝{M |||MF 1＋||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
－a≤x≤a，－b≤x≤b， 1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)y2 a2＋ x2 b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． 2．焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大． (2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a . 4．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0 a 2y 0. 四、高频考点+重点题型 考点一.椭圆的定义及其应用 题组一（定义法求轨迹方程） 1.如图所示,圆O 的半径为定长r ,A 是圆O 内一 个定点,P 是圆上任意一点,线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ,当点P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆
最全最新高考数学真题总结——椭圆全题型(珍藏版)
最全最新高考真题总结——椭圆全题型（珍藏版） 一、椭圆的结论 （1）椭圆的性质（基础题） 1. (2018上海13)设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 A ． B ． C ． D ． 2. （2009广东11）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________. 3. （2011新课标14） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2 .过1F 的直线交于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为________. 4. （2008浙江13）已知12,F F 为椭圆22 1259 x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若22||||12,F A F B +=则||AB =________. 5. （2006全国二5）已知ABC ∆的顶点,B C 在椭圆2 213 x y +=上，顶点A 是椭圆的一焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，在ABC ∆的周长是（ ） A. B. 6 C. D.12 6. （2010新课标20）设12,F F 是椭圆()2 2 2:101y E x b b +=<<的左右焦点，过1F 的直线 l 与E 相较于,A B 两点，且22||,||,||AF AB BF 成等差数列，则||AB =________.
7. （2009北京13）椭圆22 192 x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4,PF =则2||PF =________.12F PF ∠的大小为________. 8. （2021全国甲16）已知12,F F 为椭圆22 : 1164 x y C +=的两个焦点，,P Q 为C 关于坐标原点对称的两个点，且12||||,PQ F F =则四边形12PF QF 的面积为________. 9. （2021新高考一5）已知12,F F 是椭圆:C 22 194 x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6 10. （2014辽宁15）已知椭圆C ：22 194 x y + =，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ． 11. （2006四川15）如图把椭圆 2212516 x y +=的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127,,,P P P ⋅⋅⋅七个点，F 是椭圆的一个焦点，则 1 27||||||PF P F P F ++⋅⋅⋅+=________. （2）椭圆的通径（基础题） 12. （2004全国一7）椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为,P 则2||PF =（ ）
高考数学一轮复习--椭圆知识点与题型复习
椭圆知识点与题型复习 一、基础知识 1．椭圆的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a (2a ＞|F 1F 2|)的动点P 的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点. 2．椭圆的标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． (2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． 3．椭圆的几何性质 注：长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心． 离心率表示椭圆的扁平程度．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此椭圆越扁． 二、常用结论 (1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2 a ，过焦点最长弦为长轴． (2)过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b . (3)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2 b 2＋λ ＝1(λ＞－b 2)． (4)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)中：
①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大； ②S ＝1 2|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ； ③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )． 三、考点解析 考点一 椭圆的标准方程 例、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( ) A.x 26＋y 24＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 249＋y 2 9＝1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝ 5 3 ，则椭圆的标准方程为________． 跟踪训练 1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程 为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 2 12 ＝1 2．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83 y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为______________． 3．已知椭圆中心在原点，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点，则椭圆的标准方程为________． 考点二 椭圆的定义及其应用 例、(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2 3，过F 2的直线l 交C 于A ， B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆 C 的标准方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 2 5 ＝1 (2)已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2 100＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为18，则∠F 1PF 2 的余弦值为________． 变式练习
高中数学椭圆的经典知识总结
高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （222a b c =+）⇔{ cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为 参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 如:直线y ―kx ―1=0与椭圆22 15x y m + =恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））； 4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。 如（1）已知椭圆1 16 25 22 =+ y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答： 10/3）； （2）椭圆13 42 2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值 最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3 6 2(-） ； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan ||2 S b c y θ ==， 当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；
高考数学椭圆的知识总结
高中数学椭圆的知识总结 1.椭圆的定义： 平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形. （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222 a b c =+）⇔ { cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦 点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶 点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ； ④离心率：c e a =， 椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥ （2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200 221x y a b +>； ②点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 如:直线y ―kx ―1=0与椭圆 22 15x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是_______； 4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形） 5.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐 标，则AB 12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝212 1 1y y k -+ ， 若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y y -。 6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 如（1）如果椭圆22 1369 x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中 点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；
椭圆高考题汇编
椭圆高考题汇编 1．（2019全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若 22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22 132x y += C ．22 143x y += D ．22 154 x y += 2.（2019全国II 理21（1））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−1 2 . 记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线； 3.（2019北京理4）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为12 ，则 （A ）2 2.2a b = （B ）2 2.34a b = （C ）2a b = （D ）34a b = 4.（2019全国III 理15）设12F F ，为椭圆C :22 +13620 x y =的两个焦点， M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)+=>>：x y C a b a b 的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为6 的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为 A ． 23 B ． 12 C ． 1 3 D ． 14 2．(2018上海)设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A ． B ． C ． D ．3．（2017浙江）椭圆22194 x y +=的离心率是 A ． B C ．23 D ．59
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
. . 椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直〔两直线的斜率之积为-1〕和平分〔中点坐标公式〕。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等 边三角形，假设存在，求出0x ；假设不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点，那么直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂 直平分线的方程，得出E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的 2 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+⎧⎨ =⎩消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+=① 由直线和抛物线交于两点，得2 2 4 2 (21)4410k k k ∆=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。那么线段AB 的中点为22211 (,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 21112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k = -，那么2 11 (,0)22 E k -ABE ∆为正三角形， ∴2 11 (,0)22 E k -到直线AB 的距离d 。 AB =22 1k k = +2d k =2 2 122k k k += 解得k =满足②式此时05 3 x =。思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边 长的 2 倍，将k 确定，进而求出0x 的坐标。 例题2、椭圆12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 〔Ⅰ〕求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；