椭圆常见题型与典型方法归纳

椭圆常见题型与典型方法归纳

椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。

椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都

是正数。

在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

1.椭圆的基本性质

椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。

椭圆的顶点分别为(a,0)。(-a,0)。(0,b)。(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。

椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。

椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。

椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。

椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。

2.典型练

1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。

解题思路：根据椭圆方程，可得a=4，b=3，c=5，

e=c/a=5/4.由长轴位于x轴上可得左顶点坐标为(-4,0)，下顶点坐标为(0,-3)。由椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长可得横坐标的范围为-4 ≤ x ≤ 4，纵坐标的范围为-3 ≤ y ≤ 3.由x+y的取值范围可得-7 ≤ x+y ≤ 7.

2) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍，求椭圆的离心率。

解题思路：设短轴长为2c，短轴一端点为(-c,0)，椭圆一焦点为(c,0)，同侧长轴一端点为(a,0)，则有c/a=1/3，代入离心率公式可得e=√(a2-c2)/a=√(8/9)。

3) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴长不大于短轴长的2倍，且短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率。

解题思路：设短轴长为2c，短轴三等分点分别为(-c/3,0)和(c/3,0)，椭圆焦点分别为(c,0)和(-c,0)，则有2c ≤ a ≤ 4c/3，且c2 = a2 - b2 = a2 - (a2/9)，代入离心率公式可得e=√(8/9)。

3.直线与椭圆的位置关系

1) 判断直线与椭圆相交、相切或相离的方法是求解二元二次方程组，其中Δ=b2-4ac，若Δ>0，则相交；若Δ=0，则相切；若Δ<0，则相离。

2) 求解直线与椭圆的交点时，可先将直线方程代入椭圆方程，得到一元二次方程，然后求解该方程得到交点坐标。

3) 求解直线与椭圆的弦长时，可先求出交点坐标，然后代入弦长公式计算。

1.求椭圆上线XXX的中点坐标和长度

已知椭圆方程为$x^2+2y^2=1$，设直线$y=-x+k$与椭圆相交于点$A,B$，求线段$AB$的中点坐标和长度。

解：将直线代入椭圆方程得到$x^2+2(-x+k)^2=1$，化简得$3x^2-4kx+2k^2-1=0$，由于直线与椭圆有两个交点，因此判别式必须大于0，即$16k^2-24(2k^2-1)\geq 0$，解得$k\leq \frac{1}{2}$或$k\geq \frac{1}{2}$。

当$k\leq \frac{1}{2}$时，解方程得到

$x=\frac{2k\pm\sqrt{8k^2-6}}{3}$，由于$x_1+x_2=0$，因此$x_1=-x_2$，代入得到$k=\frac{1}{2\sqrt{3}}$，此时

$A(\frac{1}{2\sqrt{3}},-\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2})$，$B(-\frac{1}{2\sqrt{3}},\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2})$，$AB$的中点坐标为$(0,\frac{1}{2})$，$AB$的长度为

$\sqrt{3}$。

当$k\geq \frac{1}{2}$时，同样解方程得到

$k=\frac{1}{2\sqrt{3}}$，此时$A(-

\frac{1}{2\sqrt{3}},\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2})$，

$B(\frac{1}{2\sqrt{3}},-\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2})$，$AB$的中点坐标为$(0,\frac{1}{2})$，$AB$的长度为

$\sqrt{3}$。

因此，线段$AB$的中点坐标为$(0,\frac{1}{2})$，长度为$\sqrt{3}$。

2.求椭圆上斜率为2的平行弦的中点轨迹方程

已知椭圆方程为$x^2+2y^2=1$，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。

解：设平行弦的方程为$y=2x+b$，代入椭圆方程得到$5x^2+8bx+4b^2-4=0$，由于平行弦存在，因此判别式必须大于等于0，即$16b^2-20\times 4b^2+20\geq 0$，解得$-

\frac{1}{2}\leq b\leq \frac{1}{2}$。

解方程得到$x=\frac{-4b\pm\sqrt{20-3b^2}}{5}$，由于平行弦的斜率为2，因此$b=1$或$b=-1$，代入得到

$x=\frac{2}{5}$或$x=-\frac{2}{5}$，此时平行弦的中点坐标为$(\frac{2}{5},\frac{4}{5}b)$或$(-\frac{2}{5},-\frac{4}{5}b)$。

因此，斜率为2的平行弦的中点轨迹方程为

$y=\pm\frac{4}{5}x$。

3.求椭圆上过点(4,2)且斜率为-1的直线与椭圆的交点坐标

已知椭圆方程为$x^2+2y^2=1$，求过点(4,2)且斜率为-1

的直线与椭圆的交点坐标。

解：设直线方程为$y=-x+b$，代入椭圆方程得到$x^2+2(-

x+b)^2=1$，化简得到$3x^2-4bx+2b^2-1=0$，解得

$x=\frac{2b\pm\sqrt{8b^2-6}}{3}$。

由于直线与椭圆有交点，因此判别式必须大于等于0，即$16b^2-24(2b^2-1)\geq 0$，解得$b\leq \frac{1}{2}$或$b\geq

\frac{1}{2}$。

当$b\leq \frac{1}{2}$时，解方程得到

$x=\frac{2b+\sqrt{8b^2-6}}{3}$，代入得到$b=\frac{1}{6}$，

此时交点坐标为$(\frac{1}{3},-\frac{1}{6})$。

当$b\geq \frac{1}{2}$时，同样解方程得到

$b=\frac{1}{6}$，此时交点坐标为$(-\frac{1}{3},\frac{1}{6})$。

因此，直线与椭圆的交点坐标为$(\frac{1}{3},-

\frac{1}{6})$或$(-\frac{1}{3},\frac{1}{6})$。

4.求椭圆上斜率为2的平行切线的方程

已知椭圆方程为$x^2+2y^2=1$，求斜率为2的平行切线的方程。

解：设切线方程为$y=2x+b$，代入椭圆方程得到

$x^2+2(2x+b)^2=1$，化简得到$9x^2+8bx+8b^2-1=0$，由于切线存在，因此判别式必须等于0，即$64b^2-36(8b^2-1)=0$，解得$b=\pm\frac{1}{2\sqrt{5}}$。

解方程得到$x=\frac{-4b\pm\sqrt{36b^2-5}}{9}$，代入得到$x=\frac{2}{3\sqrt{5}}$或$x=-\frac{2}{3\sqrt{5}}$，此时切线的斜率为$2$，代入得到$b=\pm\frac{1}{2\sqrt{5}}$，因此切线方程为$y=2x\pm\frac{1}{2\sqrt{5}}$。

5.求椭圆上过点(4,2)的切线方程

已知椭圆方程为$x^2+2y^2=1$，求过点(4,2)的切线方程。

解：设切线方程为$y=kx+b$，代入椭圆方程得到

$x^2+2(kx+b)^2=1$，化简得到$2k^2x^2+4kbx+(2b^2-1)=0$，由于切线存在，因此判别式必须等于0，即$(4kb)^2-4\times 2k^2\times (2b^2-1)=0$，解得$k=\frac{2}{\sqrt{15}}$或$k=-\frac{2}{\sqrt{15}}$，代入得到$b=\frac{1}{\sqrt{15}}$或$b=-\frac{1}{\sqrt{15}}$。

因此，过点(4,2)的切线方程为

$y=\frac{2}{\sqrt{15}}x+\frac{1}{\sqrt{15}}$或$y=-

\frac{2}{\sqrt{15}}x-\frac{1}{\sqrt{15}}$。

考点六：椭圆标准方程的求法

常用方法：

一、定义法

1.确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上；

2.根据焦点位置设出相应方程；

3.根据题目条件确定相关系数。

二、待定系数法

当椭圆过两定点时，其标准方程可设为 mx + ny = 1 (m。

0.n。0)。

应用示例：

1.定义法

例1：已知△ABC 的顶点 B，C 的坐标分别为 (-3,0) 和(3,0)，AB 边上的中线 CE 与 AC 边上的中线 BF 交于点 G，且GF + GE = 5，求点 G 的轨迹方程。

例2：求到两定点 F1(-3,0) 和 F2(3,0) 的距离和等于 10 的点的轨迹方程。

练1：已知 B，C 是两个定点，BC 长等于 8，且△ABC 的周长等于 20，求顶点 A 的轨迹方程。

练2：已知△ABC 三边 AB，BC，CA 的长成等差数列，且 AB 长大于 CA 长，点 B，C 的坐标为 (-2,0) 和 (2,0)，求顶点 A 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

3.已知椭圆 22x^2 + y^2/a^2 = 1 (a。5) 的两个焦点为 F1，F2，且 F1F2 = 8，弦 AB 过点 F1，则△ABF2 的周长。

4.已知椭圆 2x^2 + 22y^2/a^2 = 1 的两个焦点是 (-6,0) 和(6,0)，过点 (6,1)，求椭圆的方程。

5.待定系数法

例：已知椭圆的焦距离为 26，且过点 (3,2)，求焦点在 x 轴上时的标准方程。

6.轨迹法

例：△ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 (-4,0) 和 (4,0)，边 AC，BC 所在直线的斜率之积等于 -1，并说明其轨迹是什么曲线。

三典型练：

练1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

1) 两个焦点的坐标分别是 (-4,0) 和 (4,0)，椭圆上一点 P 到两焦点距离之和等于 10；

2) 两个焦点的坐标分别是 (0,-2) 和 (0,2)，并且椭圆经过点(-1,1)；

3) 长轴长是短轴长的 3 倍，并且椭圆经过点 A(-3,3)。

练2：已知点 P(3,4) 是椭圆 16x^2/35 + y^2/25 = 1 上的一点，F1，F2 是它的两焦点，若 PF1 ⊥ PF2，求 (1) 椭圆的方程 (2) △F2PF1 的面积。

练3：根据下列条件求椭圆的标准方程：

1) 椭圆 x^2/3 + y^2/4 = 1 与 x + y = 2x + y 的共准线，且离心率为 1/2；

2) 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆 x^2/4 + y^2/9 = 1 上，点 P 到两焦点的距离分别为 4/5 和 5，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

二椭圆的几何性质应用

给定椭圆方程 $x^2+y^2=1$，求：

1）画出草图；

2）焦点、焦距；

3）顶点、长轴的长、短轴的长；

4）离心率；

5）左右准线方程；

6）设 $P$ 是椭圆上动点，则 $P$ 到左焦点的距离最值。

练

求椭圆的标准方程：

1）长轴是短轴的 $2$ 倍，经过点 $(4,0)$；

2）一个焦点为 $(2,0)$，经过点 $(-3,0)$；

3）一个焦点为 $(2,0)$，一条准线方程为 $x=-4$；

4）长轴在 $x$ 轴上，一条准线方程是 $x=3$，离心率为$\frac{5}{32}$。

方法：求椭圆离心率 $e$ 时，只要求出 $a,b,c$ 的一个齐次方程，再结合 $a=b+c$ 就可求得 $e(0

例：若椭圆 $x^2+2y^2=1$ 的离心率是

$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $m$ 等于 $\frac{1}{2}$。

若 $A,B$ 是椭圆

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上的两个顶点，$F$ 是右焦点，若 $AB\perp BF$，求椭圆的离心率。

练

1.设已知椭圆

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为$F$，右准线为 $l$。若过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的弦长等于点 $F$ 到$l$ 的距离，求此椭圆的离心率。

2.已知长方形 $ABCD$，$AB=4$，$BC=3$，则以

$A,B$ 为焦点，且过 $C,D$ 两点的椭圆的离心率为 $3$。

3.设椭圆的两个焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 作椭圆

长轴的垂线交椭圆于点 $P$，若 $\triangle F_1PF_2$ 为等腰直

角三角形，则椭圆的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

4.已知椭圆 $x^2+(m+3)y^2=m(m>0)$ 的离心率

$e=\frac{3}{\sqrt{10}}$，求 $m$ 的值。若 $PF_1F_2$ 的面积不存在，说明理由。