正态分布图
正态分布(4)
2.正态分布密度函数： 正态分布密度函数： 正态分布密度函数
正态曲线（ 正态曲线（normal curve）是一条高峰位于中 ） 央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不 两端逐渐下降并完全对称， 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为： 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：
−( X −µ)2 2σ 2
1 f ( z) = 2π
e
−
z 2
2
− ∞ < z < +∞
经标准化变换后，原变量X变为 ，Z服从总体 经标准化变换后，原变量 变为Z， 服从总体 变为 均数为0，总体标准差为 的正态分布 的正态分布， 均数为 ，总体标准差为1的正态分布，即标准 正态分布（ 正态分布（standard normal distribution）。 ） 记作： 记作：
习惯上用N 表示均数为µ 标准差为σ 习惯上用 (µ ，σ2)表示均数为 、标准差为 表示均数为 的正态分布。记作： 的正态分布。记作：
X ~ N(µ,σ )
2
二、正态曲线下面积的分布规律 （一）正态分布曲线下面积 正态曲线下面积的分布规律由µ 所决定。 正态曲线下面积的分布规律由 及σ所决定。 所决定 一般正态分布曲线下面积分布状况： 一般正态分布曲线下面积分布状况： µ± σ µ±1.64 σ µ±1.96 σ µ±2.58 σ 0.6827 0.9090 0.9500 0.9900
Z ~ N ( 0 ，) 1
统计学家编制了标准正态分 布曲线下面积分布表， 布曲线下面积分布表，正态 分布两边对称， 分布两边对称，表中只给出 取负值的情况。 了Z取负值的情况。表内所 取负值的情况 列数相当于Z值左侧标准正 列数相当于 值左侧标准正 态分布曲线下面积， 态分布曲线下面积，记作 Φ(z)。 。
正态分布图
正态曲线 0.007767 0.241498 3.507765 23.80063 75.43755 111.6935 77.25189 24.95925 3.766995 0.265583 0.008747 0.000135 9.67E-07 3.25E-09 5.09E-12 3.73E-15 1.28E-18 2.04E-22 1.52E-26 5.32E-31 8.66E-36
清除
重新
AS_angle
280 1 141 80 382 -100 280 0.013 -1.195 0.00%
组界上限 381.7989 组界下限 -99.6132 481.4121 极差 2.683 数据精度 每组宽幅 70
目标 下限 上限
122.8628 116.7197 116.7197 -99.6132 81.70378 381.7989 81.70378 280 1 141.0929 80.23535 381.7989 -99.6132
组界 -245 -175 -105 -35 35 105 175 245 315 385 455 525 595 665 735 805 875 945 1015 1085 1155 1225 1295 1365 1435 1505 1575
数据个数 0 0 0 32 73 70 70 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.00
重新
生成相关图片；
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
组名 -210 -140 -70 0 70 140 210 280 350 420 490 560 630 700 770 840 910 980 1050 1120 1190 1260 1330 1400 1470 1540 1610
直方图和正态分布图
直方图和正态分布图
直方图（Historgram）是将某期间所收集的计量值数据经分组整理成次数统计表，并使用柱形予以图形化，以掌握这些数据的分布状况。
直方图的应用
制造---加工尺寸的分布
经济---收入支出的分布
教育---考试成绩的分布……
●直方图是反映分组数据频数的柱形图
●正态分布图是一条单峰、对称成钟形的曲线。
Frequency函数
●以一个垂直数组返回某个区域中数据的频率分布
●由于函数frequency返回返回一个数组，所以必须以数组公式的形式输入
Frequency（data_array，bins_array）:
data_array为一数组或对一组数值的引用，用来计算频率。
Bins_array 为间隔的数组或对间隔的引用，该间隔用于对data_array中的数值进行分组
Normdist函数
返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数
Normdist (x，mean，standard_dev，cumulative)
其中x为需要计算其分布的数值
Mean 分布的算术平均数
Standard_dev 分布的标准偏差
Cumulative 如果为false，则返回概率密度函数
正态分布图的差异：中心偏移，分布不同
分析工具库-安装加载宏：制作直方图
VBA：全称Visual Basic for Application, 它是Visual Basic 的应用程序版本，是面向对象的编程语言。
VBA也可应用于AutoCAD
VBA的应用
●自动执行重复的操作
●进行“智能化”处理
●Office二次开发的平台。
正态分布图0321版
图形设定TRUE起点0操作步骤及说明：1. 在Excel、Word等电子文档的表格内复制源数据，不限排列方式，但不得含有其它无关数据；然后点击本页面的“更新数据”按钮，源数据即被调入本文件；2. 在本页面黄色区域内填写相关信息和测试标准，然后点击“重新绘图”按钮，则生成相关图片；3. 当复制的所有数据完全相等，或者所复制的内容、数据为文字格式时，本程式无法绘图。
4. 本图表可以自定义图形的组距和组界，其中组界是通过设定 X 起点的方式实现；图形实际显示的范围比 X 起点和 X 终点都要多出半个组距，如例图，如果起点设定为2.72，组距设定为 0.04，那么当把下限设定为2.7时，红色的规格线2.7也将出现在图形上。
5. 图形的复制和保存的默认路径在本程序所在的文件夹下，如果点击“另存打开”，则复制后得到的图形文件呈打开状态，点击“另存关闭”，则所复制得到图形文件直接保存并关闭。
6. 首次使用VBA程序时，应首先将EXCEL中的安全性设定为“中” (具体设定位置在“工具” → “宏” →“安全性”)，然后关闭本文件，再次打开这个文件，在打开文件时遇到的第一个对话框上选择“启用宏”。
如果您觉得这个小程序非常好用，别忘了转发给需要的朋友，谢谢！可到以下链接下载最新版本：下载地址：http://58.211.3.23/downloads/download.asp Lijiuqinn@ 版 本 号：V070321A 2007-3-21(excellent)软件感谢感谢您使用这个小程序，同时，为向您发布下面的小广告而诚挚道歉，并期待您的谅解。
也许您比较讨厌这个小广告，那么，您只要点击上面的“清除广告”按钮，或者在您电C:\Documents and Settings\All users\Application Data\”文件夹，并在其下建立一个文Normalschoolchart”的文本文件，那么这些文字和小广告将不再出现。
正态分布
例3： 正态总体为 ： 正态总体为µ=0， ， x2 1 −2 σ=1时的概率密度函数是 f ( x) = 2π e , x∈R 时的概率密度函数是 (1)求证：f(x)是偶函数； 求证： 是偶函数 是偶函数； 求证 (2)求f(x)的最大值； 求 的最大值； 的最大值 (3)利用指数函数的性质说明 的增减性． 利用指数函数的性质说明f(x)的增减性 利用指数函数的性质说明 的增减性．
1 2 π
5 10 15 20 25 30 35 x
练习3: 练习
已知函数f ( x ) =
1
2p X轴上方 轴上方 a、它的图象在__________
1
e
x2 2
，则
b、它的最大值是________ 2p 直线x=0 直线x=0 ________对 c、它的图象关于________对称
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布： 从正态分布：
以及降雨量等，水文中的水位； 以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、 总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质 、
①曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线在坐标平面的什么位置？ 曲线的变化趋势如何？ ③ 曲线的变化趋势如何？
一般正态分布为一个分布族:N(µ,σ2) ；标准 µσ 正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应
用
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于 。 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 轴与正态曲线所夹面积恒等于 • 对称区域面积相等。 对称区域面积相等。
S(-∞,-X)
正态分布 参考值
2
(e表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞)
则称X服从正态分布,记作X～N(,2),其中， 为总体均数， 为总体标准差。
5
正态分布图示
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
x
6
方差相等、均数不等的正态分布图示
3 1 2
7
均数相等、方差不等的正态分布图示
2
1 3
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
1
正态分布
德国数学家Gauss发现 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。
8
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置 参数(均数)和变异度参数(标准差)。
高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
9
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
21
估计频数分布
☆ 正态变量x转化为标准正态变量u，（公式
u
X
）再用u值查表，得所求区间面积
占总面积的比例。
22
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布， 其 均 数 为 3150g ， 标 准 差 为 350g 。 若 以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
正态分布
高斯与正态分布1809年，高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)发表了其数学和天体力学的名著《绕日天体运动的理论》。
在此书末尾，他写了一节有关“数据结合”（data combination）的问题，实际涉及的就是这个误差分布的确定问题。
他的做法与拉普拉斯相同。
但在往下进行时，他提出了两个创新的想法。
一是他不采取贝叶斯式的推理方式，测量误差是由诸多因素形成，每种因素影响都不大。
按中心极限定理，其分布近似于正态分布是势所必然。
其实，早在1780年左右，拉普拉斯就推广了狄莫佛的结果，得到了中心极限定理的比较一般的形式。
可惜的是，他未能把这一成果用到确定误差分布的问题上来。
高斯的第二点创新的想法是：他把问题倒过来，先承认算术平均是应取的估计，然后去找误差密度函数条件下才能成立，这就是正态分布。
一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
遵从正态分布的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
正态分布直方图
正态分布直方图是一个常见的统计图形，它可以帮助我们更好的了解
一组数据的分布。
正态分布图表可以帮助科学家了解数据的分布情况，更好的进行研究。
正态分布直方图利用数据的频率分布，将一组数据在横坐标上按照数
值大小进行分类，在纵坐标上表示同一分类所含数据量。
可以从正态
分布图上看出，数据是如何分布的。
正态分布图可以帮助我们测算数据的中心位置和离散程度，帮助我们
分析数据间的关系和变化。
正态分布图也可以当做风险分析和投资分
析时重要的参考。
正态分布直方图是统计学家们最重要，最常用也是最有价值的工具。
它对科学家们分析数据和做决策的时候都会起到重要的作用，是非常
值得重视的。
总之，正态分布直方图是统计学中最重要的工具之一，可以分析数据
的分布情况，帮助我们更好的进行研究总结，是非常实用的工具。