数列的极限例题及详解
数列的极限与无穷练习题
数列的极限与无穷练习题题目一：计算数列极限1. 设数列 {an} 的通项公式为 an = n/(n+1)，求该数列的极限。
解析：要求数列的极限，可以通过递推、分式拆分等方法计算。
给定的数列通项公式为 an = n/(n+1)，将该式进行变形，得到：an = n/(n+1) = 1 - 1/(n+1)当 n 无限增大时，1/(n+1) 的值趋近于 0，因此数列的极限为：lim(n→∞) an = lim(n→∞) (1 - 1/(n+1)) = 1所以，数列 {an} 的极限为 1。
题目二：计算数列极限2. 设数列 {bn} 的通项公式为 bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4)，求该数列的极限。
解析：给定的数列通项公式为 bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4)，将该式进行较高次项分式除法，得到：bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4) = 2/3 + (7/9n) + O(1/n^2)当 n 无限增大时，1/n 的值趋近于 0，O(1/n^2) 可忽略不计。
因此，数列的极限为：lim(n→∞) bn = lim(n→∞) (2/3 + (7/9n)) = 2/3所以，数列 {bn} 的极限为 2/3。
题目三：计算数列极限3. 设数列 {cn} 的通项公式为 cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n)，求该数列的极限。
解析：给定的数列通项公式为 cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n)，将该式进行较高次项分式除法，得到：cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n) = (1 + (4/3)^n) / ( (1/2)^n + (5/2)^n )当 n 无限增大时，(4/3)^n 的值趋近于无穷大，而 (1/2)^n 和 (5/2)^n的值趋近于 0。
因此，数列的极限为：lim(n→∞) cn = lim(n→∞) (1 + (4/3)^n) / ( (1/2)^n + (5/2)^n ) = ∞所以，数列 {cn} 的极限为无穷大。
数列极限练习题计算数列的极限与相关性质
数列极限练习题计算数列的极限与相关性质数列极限练习题：计算数列的极限与相关性质数列是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
学习数列的极限与相关性质可以帮助我们更好地理解数列的发展趋势和规律。
在本文中，我们将通过一些练习题来计算数列的极限，并探讨与之相关的性质。
题目一：计算数列极限考虑以下数列：\[a_n = \frac{n+1}{n}\]我们需要计算该数列的极限。
解答：为了计算数列\[a_n = \frac{n+1}{n}\]的极限，我们可以采用极限的定义。
根据定义，当\[n\]趋近于无穷大时，数列的极限为极限项所在的值。
在本题中，当\[n\]趋近于无穷大时，数列的极限为\[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}\]我们可以将该极限进行求解：\[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty} \left(1 +\frac{1}{n}\right)\]根据极限的性质，我们知道当\[n\]趋近于无穷大时，\[\frac{1}{n}\]趋近于零。
因此，上式可以化简为：\[\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1\]所以，数列\[a_n = \frac{n+1}{n}\]的极限为1。
题目二：数列极限的性质证明以下性质：若数列\[\{a_n\}\]和数列\[\{b_n\}\]的极限分别为\[A\]和\[B\]，则数列\[\{a_n + b_n\}\]的极限为\[A + B\]。
证明：为了证明该性质，我们可以利用极限序列的定义和运算法则。
根据定义，当\[n\]趋近于无穷大时，数列\[\{a_n\}\]和\[\{b_n\}\]分别趋近于\[A\]和\[B\]，即：\[\lim_{n\to\infty} a_n = A\]\[\lim_{n\to\infty} b_n = B\]我们需要证明数列\[\{a_n + b_n\}\]的极限为\[A + B\]，即：\[\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = A + B\]根据极限的性质，我们知道当\[n\]趋近于无穷大时，\[\{a_n + b_n\}\]趋近于\[A + B\]，若且仅若\[\{a_n + b_n\} - (A + B)\]趋近于零。
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解数列收敛，换言之就是数列极限存在，此类问题历来都是高数考试的重点和难点，也是倍受命题老师青睐的“宠儿”。
数列收敛题型大致可分为两大类：第一类，数列的一般项（也称“通项”）已知；第二类，数列的一般项（通项）未知，尤其是由递推公式60道数列收敛典型例题，每道题都给出了详细的解题步骤。
网友们请注意，本文60个例题中如果用方括号标明年份的，均为当年考研真题。
第一类数列的一般项（通项）已知1.【2008真题】设解：原式. 具体求解过程如下（运用“两边夹”定理）：2.✧解法（一）原式✧解法（二）原式=3.✧解法（一）分子有理化（分母视为“1”）原式✧解法（二）利用等价无穷小替换原式【注：】4.✧解法（一）✧解法（二）原式【注：, 】5.解：本题求极限，推荐“两边夹定理”。
解题过程如下：令显然可知，当因此，根据“两边夹定理”得到6.解：本题求极限推荐“两边夹定理”.令7.解原式=8.解原式=】9.解法（一）利用公式原式】==１✧．原式=】==１10.解：原式。
正确的解法如下：原式==【注：】==11.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式=】==✧解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式【注：】=12.【2002真题】，✧解法（一）利用等无穷小替换✧原式===✧解法（二）利用“两边夹定理”，【注意：】原式=13.✧原式=【注：】=✧解法（二）利用等价无穷小替换原式=】14.解：此数列求极限推荐等价无穷小替换。
解法如下：原式==】=】15.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式【注：】=【注：归结原则】✧【注：】16.解：本题求极限，“两边夹”定理、单调有界准则、定积分定义等方法似乎均不太“给力”，需将变量连续化，也就是将离散变量n替换为连续变量x，再运用包括洛必达法则在内的求解函数极限的方法.详细过程如下：17.✧解法（一）利用导数定义原式===【注：的指数部分，正是按定义所求的函数在处的导数.】【】=✧解法（二）拉格郎日中值定理，注意求导公式原式=====【注：=【注：本题推荐中值定理。
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案关键信息项题目编号：＿___________________题目内容：＿___________________证明方法：＿___________________答案步骤：＿___________________相关定理应用：＿___________________11 题目一设数列｛an} 满足 an ＝（1 ＋ 1/n)＾n，证明数列｛an} 收敛，并求出其极限。
证明：首先，我们来分析数列｛an} 的单调性。
设 bn ＝（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＾（n ＋ 1)，则 bn ／ an ＝（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＾（n ＋ 1) ／（1 ＋ 1/n)＾n通过化简可得：bn ／ an ＝（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＾n ／（1 ＋1/n)＾n因为（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＞ 1，且（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＾n ／（1 ＋ 1/n)＾n ＞ 1 （可以通过二项式展开比较）所以 bn ／ an ＞ 1，即 bn ＞ an ，所以数列｛an} 单调递增。
接下来，证明数列｛an} 有上界。
因为 an ＝（1 ＋ 1/n)＾n ＝ 1 ＋ C(n, 1) （1/n) ＋ C(n, 2) （1/n)＾2 ＋＋ C(n, n) （1/n)＾n而 C(n, k) ＝ n! ／（k! （n k)！），当k ≥ 2 时，C(n, k) （1/n)＾k ≤ 1 ／ k!所以an ≤ 1 ＋ 1 ＋ 1/2! ＋ 1/3! ＋＋ 1/n!而 1 ＋ 1 ＋ 1/2! ＋ 1/3! ＋收敛于 e所以数列｛an} 有上界。
综上，数列｛an} 单调递增且有上界，所以数列｛an} 收敛。
其极限为 e 。
111 题目二证明数列｛an}，其中 an ＝ 1 ／ n ，当 n 趋于无穷时，极限为 0 。
证明：对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 0| ＜ε 。
高三数学数列极限试题答案及解析
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
数列与级数的极限计算练习题及解析
数列与级数的极限计算练习题及解析数列和级数是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域的计算与分析中。
本文将提供一些数列和级数的极限计算练习题，并给出详细的解析。
一、数列的极限计算练习题及解析1. 求数列{an}的极限，其中an = 2^n / n!。
解析：根据数列的定义，当n趋于无穷大时，数列{an}的极限即为极限值L。
计算数列的前几项可以发现：a1 = 2^1 / 1! = 2/1 = 2a2 = 2^2 / 2! = 4/2 = 2a3 = 2^3 / 3! = 8/6 = 4/3a4 = 2^4 / 4! = 16/24 = 2/3可以猜测当n趋于无穷大时，an的极限可能为0。
下面通过数学归纳法证明：首先，当n=1时，an = 2^1 / 1! = 2/1 = 2 > 0，假设当n=k时，an > 0成立。
当n=k+1时，an+1 = 2^(k+1) / (k+1)! = 2 * (2^k / k!) = 2 * an / (k+1)。
根据假设，an > 0，且k+1 > 0，所以an+1 > 0。
综上所述，an > 0对于任意正整数n成立。
再观察数列的变化：an+1 = 2 * an / (k+1) < an根据数列单调有界原理，an是一个单调递减有下界的数列，所以该数列必有极限。
设该数列的极限为L，则当n趋于无穷大时，an和an+1都趋于L，即：L = 2 * L / (k+1)解得L = 0。
因此，数列{an}的极限为0。
2. 求数列{bn}的极限，其中bn = n^n / (n!)^2。
解析：根据数列的定义，当n趋于无穷大时，数列{bn}的极限即为极限值L。
计算数列的前几项可以发现：b1 = 1^1 / (1!)^2 = 1/1 = 1b2 = 2^2 / (2!)^2 = 4/4 = 1b3 = 3^3 / (3!)^2 = 27/36 = 3/4b4 = 4^4 / (4!)^2 = 256/576 = 8/18 = 4/9可以猜测当n趋于无穷大时，bn的极限可能为0。
数列极限常见题型及解法
数列极限常见题型及解法汤原县鹤立高级中学 乔春华 数列极限是描述数列当项数n 无限增大时的变化趋势，是高考考点之一，多以选择题、填空题出现。
对于常见类型，应熟悉其解法和变形技巧。
注意向三个重要极限C C n =∞→lim （C 为常数），0lim =∞→n c n （c 为常数），0lim =∞→n n q （1<q ）转化，数列极限常见题型及解法如下： 一、分式型数列的极限1.若分子、分母上n 的最高次数相同，则极限等于它们的系数比。
例1.求极限243132lim 22+++-∞→n n n n n 解：原式=22243132lim nn n n n +++-∞→ =32 2.若分子上n 的最高次数低于分母的最高次数，则极限一般等于零。
例2.求极限nn n n n 3243lim 423++-∞→ 解：原式=34231243lim nn n n n ++-∞→ =03.若分子上n 的最高次数高于分母的最高次数，则极限不存在。
例3.2lim 223-+-∞→n n n n n 极限不存在综上：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++++----∞→）（极限不存在q p q p q p b a b n b n b n b a n a n a n a q q q q p p p p n )(0)(lim 0011101110二、无限项形式变为有限项形式再求极限因为极限的运算法则，只适用于有限个数列之和求极限，所以求项数不定的积式、和式的极限分两步①将积式、和式化为有限项的积或和；②求极限例4.求极限nn n n n n n n -+++-+-∞→2221374lim解：原式=nn n n n -++∞→22)134(lim 232253lim =-+=∞→n n n 例5.求极限)211()411()311(lim +--⨯-∞→n n n 解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯⨯⨯⨯⨯∞→21544332lim n n n n 222lim =+=∞→n n n 三、无理式求极限通常是将分子或分母有理化，使式子中的减号变为加号。
高数极限经典60题分步骤详解
高数极限经典60题分步骤详解1. 求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+→∞本题求解极限的关键是运用三角函数和差化积公式，将算式进行转化，进而求出极限，过程如下：n n sin 1sin -+＝21sin 21cos2nn n n -+++ ＝)1121sin(21cos2n n nn n n n n ++++⋅-+++ ＝)121sin(21cos2nn n n ++++)(0∞→→n ∴ )sin 1(sin lim n n n -+→∞＝0这是因为，当∞→n 时，0)1(21sin→++n n ，而21cos n n ++是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0。
2. 令Sn =∑=+nk k k1)!1( ，求数列极限Sn n ∞→lim 解：)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ∴∑=+nk k k 1)!1(＝))!1(1!1()!1)!1(1()!41!31()!31!21()!21!11(+-+--++-+-+-n n n n ＝1)(1)!1(1∞→→+-n n 所以， Sn n ∞→lim =[lim →∞n 1)!1(1+-n ]＝13. 求数列极限)4321(lim 132-→∞+++++n n nq q q q ，其中1<q 且0≠q 。
解：令Sn ＝1324321-+++++n nq q q q ，将等式两边同时乘以q ，得到Sn q ⋅＝n n nq q n q q q q +-+++++-1432)1(4321 将以上两式相减，可得（1－q ）·Sn ＝n n nq q q q q -+++++-)1(132 上面的算式两边同时除以1－q ，得到Sn ＝q nq q q q q q nn ---+++++-111132当1<q 且时∞→n ，0→n nq （注：证明附后）， 1321-+++++n q q q q →q-11， ∴ Sn n →∞lim ＝2)1(1q --q nq n n -→∞1lim ＝2)1(1q -即 )4321(lim 132-→∞+++++n n nqq q q ＝2)1(1q -附注：关于0lim =∞→nn nq 的证明 若1<q 且0≠q ，当∞→n 时，0→nq 。
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数列的极限例题及详解
极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了某种函数在某点附近的行为趋势，同时提供了有效的技术来解决数列的极限问题。
我们本文将讨论数列的极限问题，包括定义和几个例子。
一.定义
极限是一个抽象的概念，它指的是一个数列中的每一项都趋近一定的值，这个值称为数列的极限。
另外，数列的极限也称为极限点或极限值。
当然，数学家们对极限的定义更加严格，但这些都不重要，我们只需要理解数列的极限概念即可。
二.例题
1.设a_n=(-1)^n/n，求a_n的极限。
解：
首先，由于(-1)^n为一个交替变化的算子，它的值在n变大时无论n的奇偶性如何，(-1)^n的值都保持不变，因此极限就是
(-1)^n/n的值。
考虑n变大时，(-1)^n/n的值接近于0，所以a_n
的极限就是0.
2.设a_n=(1+1/n)^n，求a_n的极限。
解：
这个例题比较特殊，因为算子(1+1/n)^n这里n和指数相关，考虑当n变大时，(1+1/n)^n的值就接近于e，所以a_n的极限就是e.
3.设a_n=1/n，求a_n的极限。
解：
由于1/n的值是从1开始逐渐减小，当n变大时，1/n的值就逐渐接近于0，所以a_n的极限就是0.
三.总结
本文讨论了数列的极限问题，先介绍了数列极限的定义，然后举例说明了3种数列的极限问题，这其中包含了数列算子计算中比较常见的概念，如交替系数，和指数极限等。
希望本文对读者有所帮助。