高中数学 三角函数三角函数的应用讲义 新人教A版必修一第一册
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
高中数学 三角函数正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性讲义 新人教A版必修一第一册
第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一周期函数1．周期函数状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B，y＝A cos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[教材解难]1．教材P202思考函数的周期性与解析式中x的系数有关．2．教材P202思考知道了一个函数的周期性和奇偶性能更容易画出函数的图象，从而得到函数的性质． [基础自测]1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A ，T ＝2π12＝4π，对于B ，T ＝2π2＝π，对于C ，T ＝2π14＝8π，对于D ，T ＝2π4＝π2.答案：D2．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故选A.答案：A3．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数．答案：C 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ， 又因为cos(－x )＝cos x ，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y 轴对称． 答案：B题型一 求三角函数的周期[教材P 201例2] 例1 求下列函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .【解析】 (1)∀x ∈R ，有3sin(x ＋2π)＝3sin x . 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)令z ＝2x ，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝cos z 的周期为2π，即cos(z ＋2π)＝cos z ，于是cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，所以cos 2(x ＋π)＝cos 2x ，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)令z ＝12x －π6，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝2sin z 的周期为2π，即2sin(z ＋2π)＝2sinz ，于是2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋4π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.状元随笔 通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x ＋T)＝f(x)而求出相应的周期．对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x ＋T)＝cos 2x ，x∈R ； 对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋T )－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .教材反思求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω>0)，可利用T ＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的周期为________． 解析：(1)画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数．(2)方法一 因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x ＋6π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二 函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.答案：(1)D (2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．题型二 正、余弦函数的奇偶性问题[经典例题] 例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f (x )＝sin(cos x )．【解析】 (1)函数的定义域为R .且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x .因为f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R .且f (－x )＝sin[cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f (x )的定义域不关于原点对称，无论f (－x )与f (x )有何关系，f (x )仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解析：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x 的值以及x 的值，最后判断函数的奇偶性．题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[经典例题]例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．【解析】 因为f (x )的最小正周期是π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3， 因为f (x )是R 上的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.利用周期性 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，再利用奇偶性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (A ω≠0)或y ＝A cos ωx (A ω≠0)其中的一个．跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值．解析：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．课时作业 34一、选择题1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3π C.2π3 D.3π2解析：该函数的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：因为f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数． 答案：A3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x ， f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－cos(－2 010x )＝－cos 2010x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数． 答案：B4．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝x cosx ，所以f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．答案：A 二、填空题5．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数．答案：奇6．函数y ＝cos (1－x )π2的最小正周期是________．解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：47．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (8)＝________. 解析：∵f (x )的周期为2， ∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (8)＝f (2＋3×2)＝f (2)＝3.答案：3 三、解答题8．求下列函数的最小正周期： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6；(2)y ＝|sin x 2|. 解析：(1)利用公式T ＝2π|ω|，可得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π. (2)易知函数y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝2π12＝4π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是由函数y ＝sin x 2的图象将在x 轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为2π.9．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f (x )＝x ·cos x . 解析：(1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )，所以f (x )＝3cos 2x 是偶函数． (2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos 3(－x )4＝－cos 3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )， 所以f (x )＝x cos x 是奇函数． [尖子生题库]10．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.。
高中数学第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图象讲义新人教A版必修第一册
5.4 三角函数的图象与性质最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y＝sin x y＝cos x 图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)状元随笔 1.关于正弦函数y＝sin x的图象(1)正弦函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sin x，x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[教材解难]1．教材P 196思考如图，在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆，⊙O 与x 轴正半轴的交点为A (1,0)．在单位圆上，将点A 绕着点O 旋转x 0弧度至点B ，根据正弦函数的定义，点B 的纵坐标y 0＝sin x 0.由此，以x 0为横坐标，y 0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T (x 0，sinx 0)．2．教材P 197思考由诱导公式一可知，函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．3．教材P 198思考在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)4．教材P 198思考对于函数y ＝cos x ，由诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2得，y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R .而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 的图象可以通过正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象．5．教材P 200思考能．以函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度，所得图象即函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．能．以函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，作它关于x 轴对称的图象，所得图象即函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图象．[基础自测]1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C2．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π题型一 用“五点法”作三角函数图象[教材P 199例1] 例1 画出下列函数的简图： (1)y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]． 解析：(1)按五个关键点列表：x 0π2π3π22πsin x 010－101＋sin x 1210 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(2)按五个关键点列表：x 0π2π3π22πcos x 10－10 1－cos x －1010－1用五点法作图关键先找出5个关键点，再用平滑的曲线连接．教材反思作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．解析：(1)列表，如下表所示x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 0 1 y ＝3＋2cos x53135(2)描点，连线，如图所示：利用五点作图法画简图．题型二 正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题] 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.(或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π)在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值．(3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.课时作业 33 一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1. 答案：C4．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B 二、填空题5．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)6．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)7．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又∵x ∈[0,2π]，故x＝π6或56π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的简图，再作出y ＝cos x ，x∈[0,2π]关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈ [0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图2所示．。
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第5章三角函数 第2课时函数y=Asin(ω+φ)的图象及其应用
代入可得-3=6sin φ.由|φ|<,
知 φ=-.故选项 A 正确;
由 f(t)=6sin
,
当 t∈[35,55]时,t- ∈ ,
,
可知点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6,故选项 B 正确;
当 t∈[10,25]时,t- ∈
坐标代入求得函数的解析式.
解:(方法一)由题中图象可知 A=3,
又周期
T= −
-
=π,所以
ω=
=
=2.
由题中图象可得最高点为
, ,
故 3sin × + =3,即+φ=+2kπ(k∈Z).
又|φ|<π,所以 φ=.
故所求函数的解析式是 y=3sin + .
π
√
-
答题模板:第1步,利用已知条件求出函数f(x)的解析式;
↓
第2步,运用整体思想求函数y=f(x)的单调增区间;
↓
第3步,用“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.
失误警示
造成失分的主要原因如下:
(1)忽视φ的取值范围将函数f(x)的解析式求错;
(2)整体法求单调递增区间时计算错误;
(3)列表取点时,将[0,π]误认为 2x- 的范围,导致取点错误.
【变式训练】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,
一个周期的图象如图所示.
人教高中数学必修一A版《三角函数的应用》三角函数PPT教学课件
高中数学人教A版必修第一册单元教学设计
三角函数的应用
第2课时
整体感知
问题1 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象， 可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律，其中分别是通过什么 方法构建得到其中的函数模型？
答案：匀速圆周运动是依据三角函数定义，直接推理得出变量之间的关系 ，得到函数模型；简谐运动和交变电流是通过收集数据——画散点图——选择 函数模型——求解函数模型的方法建立函数模型．
因此为了安全，货船最好在6.6时停止卸货，将船驶向较深的水域．
新知探究
5．模型应用
新知探究
3．问题研究2——港口水深
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至 少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口 能呆多久？
（3）若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在两点开始卸货，吃 水深度以0.3m/
新知探究
4．建模解模
1 2
(ymax+ymin).
总之， 1
1
2
2
ω可以利用周期公式T 2π 求得结果；φ可以利用代入特殊点的坐标求得．
| |
新知探究
2．求解模型
追问 例1中A与ω的正负未知，那么所求的函数解析式是不是不唯一？（经过
分类讨论，完成例1解答后回答这个问题）
解：由图可以看出，从6～14时的图象是函数的半个周期
答案： 振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化 ；振子所受的回复力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子 离开中心位置的位移
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数-两角和与差的正弦、余弦公式讲义新人教A版必修第一册
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称 简记符号 公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45， 所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式． 提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。
高中数学第五章三角函数5.1.1任意角讲义新人教A版必修第一册
5.1 任意角和弧度制最新课程标准：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．5.1.1 任意角知识点一角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”知识点二角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．知识点三角的分类在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点五终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．[教材解难]象限角的集合表示.[基础自测]1．下列说法中正确的是( )A．终边相同的角都相等B．钝角是第二象限的角C．第一象限的角是锐角 D．第四象限的角是负角解析：终边相同的角不一定相等，第一象限角不一定是锐角，第四象限角可能为正角，也可能为负角，故选B.答案：B2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.答案：B3．与30°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈ Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A4．2 019°是第________象限角．解析：2 019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.∴2 019°是第三象限角．答案：三题型一 任意角的概念及应用[经典例题]例1 (1)若角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．【解析】 (1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×223＝－960°. 【答案】 (1)C (2)－960°按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的． 分针1个小时转过的角度的绝对值是360 °.方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1 在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确． ②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确． ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．答案：①②④题型二 终边相同的角[经典例题]例2 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．【解析】 与75°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z }．当360°≤β<1 080°，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°时，解得1924≤k <21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角． 状元随笔 根据与角α终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k·360 °＋α，k∈Z }，写出与75 °角终边相同的角的集合，再取适当的k 值，求出360 °～1 080 °范围内的角．方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．跟踪训练2 写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中满足－360°≤α<720°的元素写出来．(1)60°；(2)－210°；(3)364°13′.解析：(1)S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－300°；当k ＝0时，α＝60°；当k ＝1时，α＝420°.∴S 中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.(2)S ＝{α|α＝－210°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝0时，α＝－210°；当k ＝1时，α＝150°；当k ＝2时，α＝510°.∴S 中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.(3)S ＝{α|α＝364°13′＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－2时，α＝－355°47′；当k ＝－1时，α＝4°13′；当k ＝0时，α＝364°13′.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.求与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360 °＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解相应不等式，确定k的值，求出满足条件的角．题型三象限角与区间角的表示[教材P170例1]例3 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．【解析】－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.先求出与－950 °12 ′终边相同的角，再判断是第几象限角．教材反思象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．跟踪训练3 (1)若α是第四象限角，则－α一定在( )A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．解析：(1)因为α是第四象限角，所以k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z.所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．依题意写出α的范围，再求－α的范围．(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z.所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．由图写出终边OA表示的角，终边OB表示的角，再求阴影的范围.答案：(1)A (2)见解析一、选择题1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )A．45° B．90°C．180° D．270°解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．答案：B2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120° B．－120°C．240° D．－240°解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.答案：D3．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.答案：C4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.答案：C二、填空题5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390° －150° 60°6．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.解析：由条件知，2α＝α＋k ·360°，所以α＝k ·360°(k ∈Z )，因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.答案：0°7．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }．答案：{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }三、解答题8．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．9．已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角． 解析：由α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，得α2＝120°＋k ·180°，k ∈Z . 若k 为偶数，设k ＝2n ，n ∈Z ，则α2＝120°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与120°角的终边相同，是第二象限角； 若k 为奇数，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则α2＝300°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与300°角的终边相同，是第四象限角． 所以，α2是第二象限角或第四象限角．[尖子生题库]10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)终边落在直线ON上的角的集合为C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．。
5.7三角函数的应用(教学课件)高一数学(人教A版必修第一册)
ωx+φ称为相位；x＝０时的相位φ 称为初相．
问题2 图5.7 2(1)是某次实验测得的交变电流i (单位：A)随时间t (时间：s )
变化的图象. 将测得的图象放大, 得到图5.7 2(2).
(1) 求电流i随时间t 变化的函数解析式;
由交变电流的产生原理可知, 电流i随时间t的变化规律可用i A sin( t )
【解析】
【答案】 B
由题图可知，该质点的振幅为 5 cm.
)
2．与图中曲线对应的函数解析式是(
)
A．y＝|sin x|
B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x|
D．y＝－|sin x|
【解析】
注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项 A，D.
当 x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项
来刻画, 其中
表示频率, A表示振幅 , 表示初相.
2
由图5.7 2(2)可知, 电流最大值为5 A, 因此A 5; 电流变化的周期为
频率为50 Hz , 即
50, 解得 100
2
再由初始状态 ( t 0)的电流约为4.33 A,
可得 sin 0.866,因此 约为
31
5
5
交点A, B , 因此 sin
x 0.2014或
x 0.2014
31
31
如图, 在区间[0,12]内, 函数y 2.5sin
解得x A 0.3975, xB 5.8025
由函数的周期性易得 :
xC 12.4 0.3975 12.7975,
x D 12.4 5.8025 18.2025
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5.7 三角函数的应用最新课程标准：会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.知识点一函数y＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义知识点二三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．知识点三三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．[教材解难]教材P 248思考不对．因为这条船停止后还需0.4 h ，若在P 点停止，再经0.4 h 后船驶出安全水深． [基础自测]1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.答案：C2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2t －π3. 则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是( )A ．s 1>s 2B ．s 1<s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，所以s 1＝s 2.答案：C3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.答案：C4．简谐振动y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的频率和相位分别是________． 解析：简谐振动y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的周期是T ＝2π4＝π2，相位是4x ＋π6，频率f ＝1T ＝2π.答案：2π，4x ＋π6题型一 三角函数在物理中的应用例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)与时间t (s)的函数关系式为：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？【解析】 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm 处．(2)由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8 s.当h ＝－3时，t 的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s. (3)T ＝2π2＝π，即经过约π s 小球往返振动一次．(4)f ＝1T ＝1π，即每秒内小球往返振动1π次.令t ＝0解(1)→令h ＝±3解(2)→问题(3)即求周期T →问题(4)即求频率f (T 的倒数) 方法归纳处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解析：列表如下，(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．题型二 三角函数在实际生活中的应用[教材P 245例2]例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.(1)似数值(精确0.001 m)．(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m ，安全条例规定至少要有1.5 m 的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？(3)某船的吃水深度为4 m ，安全间隙为1.5 m ，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3 m/h 的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4 h 才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？【解析】 (1)以时间x (单位：h)为横坐标，水深y (单位：m)为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图1)．根据图象，可以考虑用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A ＝2.5，h ＝5，T ＝12.4，φ＝0；由T ＝2πω＝12.4，得ω＝5π31.所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y ＝2.5sin 5π31x ＋5近似描述．由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值(表)：2．5sin 5π31x ＋5＝5.5，sin 5π31x ＝0.2.由计算器可得0.201 357 920 8≈0.201 4.如图2，在区间[0,12]内，函数y ＝2.5sin 5π31x ＋5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A ，B ，因此5π31x ≈0.201 4，或π－5π31x ≈0.201 4.解得x A ≈0.397 5，x B ≈5.802 5. 由函数的周期性易得：x C ≈12.4＋0.397 5＝12.797 5， x D ≈12.4＋5.802 5＝18.202 5.因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．(3)设在x h 时货船的安全水深为y m ，那么y ＝5.5－0.3(x －2)(x ≥2)．在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点(图3)．借助计算工具，用二分法可以求得点P 的坐标约为(7.016,3.995)，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.状元随笔 观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据画出散点图，如图1.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y ＝A sin (ωx ＋φ)＋h 的函数来刻画，其中x 是时间，y 是水深．根据数据可以确定A ，ω，φ，h 的值．教材反思解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解析：(1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt (t ≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5，得cos π6t ＝－12，所以π6t ＝23π或π6t ＝43π，解得t ＝4或t ＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．(1)由已知可得解析式． (2)利用y ＝60.5解t.题型三 根据数据拟合函数例3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据.(1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似解析式．(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?【解析】 (1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10.(0≤t ≤24)(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米， 由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5，∴si n π6t ≥12.①∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π.②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6.化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时. 由表格画出曲线图，由图可求A ，b ，由周期T 可求ω，即求y ＝A sin ωt ＋b. 方法归纳在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (x )的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：(1)由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅A 为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)因为y >1时，才对冲浪爱好者开放，所以y ＝12cos π6t ＋1>1，cos π6t >0,2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3<t <12k＋3(k ∈Z )．又0≤t ≤24.所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t <15.根据表格，确立y ＝A cos ωt ＋b 的模型，求出A ，T ，b ，推出ω，利用t ＝0时，y 为1.5，t ＝3，y ＝1.0，求出b ，即可求出拟合模型的解析式．课时作业 42一、选择题1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A.150B ．50 C.1100D ．100 解析：T ＝2π100π＝150.答案：A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由图可知－3＋k ＝2，则k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8.答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.则此楼群在第3A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元 D ．8 500元解析：因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10 000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，即⎩⎪⎨⎪⎧sin (2ω＋φ)＝0，sin (ω＋φ)＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z .易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z .又当x ＝3时，y ＝500sin(3ω＋φ)＋9 500，所以y ＝9 000. 答案：C4．如图，单摆离开平衡位置O 的位移s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( ) A ．2 s B ．1 s C.12 s D.14s 解析：由题意，知周期T ＝2π2π＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s. 答案：C 二、填空题5．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T ＝80(次/分)．答案：806．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)关于时间t (单位：s)的函数解析式是s ＝A sin(ωt ＋φ)，0<φ<π2，函数图象如图所示，则φ＝________.解析：根据图象，知⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1112，0两点的距离刚好是34个周期，所以34T ＝1112－16＝34. 所以T ＝1，则ω＝2πT＝2π.因为当t ＝16时，函数取得最大值，所以2π×16＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π6.答案：π67．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6，周期T ＝2×(7－3)＝8，所以ω＝2πT ＝π4. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4＋φ＋6.又当x ＝3时，y ＝8， 所以8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，结合|φ|<π2可得φ＝－π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6.答案：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π4＋6 三、解答题8．弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次到达C 点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s 内通过的路程及位移． 解析：(1)设振幅为A ，则2A ＝20 cm ， 所以A ＝10 cm.设周期为T ，则T2＝0.5 s ，所以T ＝1 s ，所以f ＝1 Hz.(2)振子在1 s 内通过的距离为4A ，故在5 s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200(cm)．5 s 末物体处在B 点，所以它的位移为0 cm.9．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin (100πt ＋π6)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解析：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为1103V.(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为2203V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300 s 时第一次取得最大值．[尖子生题库]10．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值，设某人的血压满足方程式P (t )＝115＋25sin(160πt )，其中P (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数P (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T ＝2πω，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数P (t )的周期为180min.(2)函数P (t )的频率f ＝1T＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．。