数列极限例题
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。
接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。
因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。
数列的极限与无穷练习题
数列的极限与无穷练习题题目一：计算数列极限1. 设数列 {an} 的通项公式为 an = n/(n+1)，求该数列的极限。
解析：要求数列的极限，可以通过递推、分式拆分等方法计算。
给定的数列通项公式为 an = n/(n+1)，将该式进行变形，得到：an = n/(n+1) = 1 - 1/(n+1)当 n 无限增大时，1/(n+1) 的值趋近于 0，因此数列的极限为：lim(n→∞) an = lim(n→∞) (1 - 1/(n+1)) = 1所以，数列 {an} 的极限为 1。
题目二：计算数列极限2. 设数列 {bn} 的通项公式为 bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4)，求该数列的极限。
解析：给定的数列通项公式为 bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4)，将该式进行较高次项分式除法，得到：bn = (2n^2 + 5n + 3)/(3n^2 + 4) = 2/3 + (7/9n) + O(1/n^2)当 n 无限增大时，1/n 的值趋近于 0，O(1/n^2) 可忽略不计。
因此，数列的极限为：lim(n→∞) bn = lim(n→∞) (2/3 + (7/9n)) = 2/3所以，数列 {bn} 的极限为 2/3。
题目三：计算数列极限3. 设数列 {cn} 的通项公式为 cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n)，求该数列的极限。
解析：给定的数列通项公式为 cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n)，将该式进行较高次项分式除法，得到：cn = (3^n + 4^n)/(2^n + 5^n) = (1 + (4/3)^n) / ( (1/2)^n + (5/2)^n )当 n 无限增大时，(4/3)^n 的值趋近于无穷大，而 (1/2)^n 和 (5/2)^n的值趋近于 0。
因此，数列的极限为：lim(n→∞) cn = lim(n→∞) (1 + (4/3)^n) / ( (1/2)^n + (5/2)^n ) = ∞所以，数列 {cn} 的极限为无穷大。
高数数列极限经典例题
高数数列极限经典例题高数数列是数学中重要的概念，它定义了一个数列中每一项的表达式，以及每一项和前面项之间的关系。
极限是描述数列无限接近某个值的重要概念，也是高数中最重要的内容之一，比较经典的例题是必须要掌握的。
首先，让我们来看一个经典的极限例题：求函数y=x3-3x2+3的极限，当x趋近于1的时候。
这道题的步骤是，先求x接近1时，函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。
根据函数定义，当x取值接近1时，函数值的上限是x3-3x2+3+Δx，下限是x3-3x2+3-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。
接下来，我们可以利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于1时，函数值的极限就是x3-3x2+3。
通过这个例题，我们不仅学会了求函数极限的方法，还学会了求解其他类似例题的步骤。
再来看一道比较典型的极限例题：求函数y=2x2-2x+1的极限，当x趋近于0的时候。
这道题的步骤也是先求函数值的上限和下限，然后利用极限的定义求解极限。
根据函数定义，当x取值接近0时，函数值的上限是2x2-2x+1+Δx，下限是2x2-2x+1-Δx，Δx表示x变化量，这里可以看出上下限的差值为2Δx。
再利用极限的定义，得出结论：当x变化量趋于0时，上下限的差值也是趋于0，也就是说，当x趋于0时，函数值的极限就是2x2-2x+1。
可以看出，这两道极限例题，在步骤上有些类似，只是数值上的差别。
解决时只要注意函数的表达式，分析x趋于某个值时，函数值的上下限，从而利用极限定义求解极限。
当然，极限例题远不止上面两道，在解决这类例题的时候要更加熟悉解决的技巧，多练习解出一些类似的经典例题，以便应对考试中可能出现的问题。
以上就是关于高数数列极限经典例题的几个介绍，以帮助大家更好地理解极限和掌握求解极限的技巧。
当然，要想真正掌握极限知识，不能只依靠死记硬背，而要形成自己独立思考和解决问题的能力。
数列极限中的典型例题
于是有
作业
种子最后是果实；努力最后是成功；放弃最后是失败。 己欲立而立人，己欲达而达人。——《论语·雍也》 诚无悔，恕无怨，和无仇，忍无辱。——宋《省心录》 越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 如果你相信自己，你可以做任何事。 一棵小草，也许永远不能成为参天大树，但它可能做最绿最坚强的小草；一滴水，也许永远不能像长江大河一样奔腾，但它可以成为所有水中的最纯的那一滴 当你对自己诚实的时候，世界上没有人能够欺骗得了你。 心如镜，虽外景不断变化，镜面却不会转动，这就是一颗平常心，能够景转而心不转。 谁若想在困厄时得到援助，就应在平日待人以宽。——萨迪 书不仅是生活，而且是现在过去和未来文化生活的源泉。——库法耶夫 缺乏明确的目标，一生将庸庸碌碌。 宁可失败在你喜欢的事情上，也不要成功在你所憎恶的事情上。
斯铎兹定理(Stolz)(离散情形) 一滴水，也许永远不能像长江大河一样奔腾，但它可以成为所有水中的最纯的那一滴 一棵小草，也许永远不能成为参天大树，但它可能做最绿最坚强的小草；
于是
所以
于是
二. 利用递推关系求极限
因为
三. 利用数列的构造和性质求极限
例7 证明：从每个收敛的序列中，都可以选出一个子列，使得其 各项为一个绝对收敛级数的部分和序列。
斯铎兹定理(Stolz)(离散情形) 越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。 越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。 诚无悔，恕无怨，和无仇，忍无辱。 谁若想在困厄时得到援助，就应在平日待人以宽。 方法：罗比塔法则(L’Hospital)(连续情形)
斯铎兹定理(Stolz)(离散情形) 方法：罗比塔法则(L’Hospital)(连续情形)
数列极限中典型例 题
方法：罗比塔法则(L’Hospital)(连续情形) 斯铎兹定理(Stolz)(离散情形)
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解
高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解数列收敛，换言之就是数列极限存在，此类问题历来都是高数考试的重点和难点，也是倍受命题老师青睐的“宠儿”。
数列收敛题型大致可分为两大类：第一类，数列的一般项（也称“通项”）已知；第二类，数列的一般项（通项）未知，尤其是由递推公式60道数列收敛典型例题，每道题都给出了详细的解题步骤。
网友们请注意，本文60个例题中如果用方括号标明年份的，均为当年考研真题。
第一类数列的一般项（通项）已知1.【2008真题】设解：原式. 具体求解过程如下（运用“两边夹”定理）：2.✧解法（一）原式✧解法（二）原式=3.✧解法（一）分子有理化（分母视为“1”）原式✧解法（二）利用等价无穷小替换原式【注：】4.✧解法（一）✧解法（二）原式【注：, 】5.解：本题求极限，推荐“两边夹定理”。
解题过程如下：令显然可知，当因此，根据“两边夹定理”得到6.解：本题求极限推荐“两边夹定理”.令7.解原式=8.解原式=】9.解法（一）利用公式原式】==１✧．原式=】==１10.解：原式。
正确的解法如下：原式==【注：】==11.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式=】==✧解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式【注：】=12.【2002真题】，✧解法（一）利用等无穷小替换✧原式===✧解法（二）利用“两边夹定理”，【注意：】原式=13.✧原式=【注：】=✧解法（二）利用等价无穷小替换原式=】14.解：此数列求极限推荐等价无穷小替换。
解法如下：原式==】=】15.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式【注：】=【注：归结原则】✧【注：】16.解：本题求极限，“两边夹”定理、单调有界准则、定积分定义等方法似乎均不太“给力”，需将变量连续化，也就是将离散变量n替换为连续变量x，再运用包括洛必达法则在内的求解函数极限的方法.详细过程如下：17.✧解法（一）利用导数定义原式===【注：的指数部分，正是按定义所求的函数在处的导数.】【】=✧解法（二）拉格郎日中值定理，注意求导公式原式=====【注：=【注：本题推荐中值定理。
用极限的定义证明极限例题
用极限的定义证明极限例题
为了能够使用极限的定义证明极限例题，我们需要首先回顾一下极限的定义。
假设我们有一个数列(a_n)，如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N 时，满足|a_n - L| < ε，那么我们说数列(a_n)的极限为L。
现在，我们将使用这个定义来证明一个极限例题。
例题：证明极限lim(n->∞) (1/n) = 0.
证明：
根据极限的定义，我们需要证明对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，满足|(1/n) - 0| < ε。
注意到当n是任意正整数且不为0时，我们有1/n > 0。
因此，我们可以进一步改写不等式为1/n < ε。
现在，我们需要找到一个满足上述不等式的正整数N。
为了找到这个N，我们可以通过分析不等式1/n < ε，解出n关于ε的不等式形式。
从1/n < ε中，我们可以得到n > 1/ε。
由于n必须是正整数，我们可以取N = ceil(1/ε)，其中ceil(x)表示不小于x 的最小整数。
现在，我们需要证明当n>N时，满足|(1/n) - 0| < ε。
根据我们取得的N，当n>N时，我们有n > N = ceil(1/ε)。
因此，我们可以进一步得到：
1/n < 1/N = 1/ceil(1/ε) <= 1/(1/ε) = ε.
这说明当n>N时，满足|(1/n) - 0| < ε。
综上所述，根据极限的定义，我们证明了极限lim(n->∞) (1/n) = 0。
数列极限概念与性质例题和知识点总结
数列极限概念与性质例题和知识点总结一、数列极限的概念数列是按照一定顺序排列的一列数，例如1，2，3，4，…，n，… 。
数列极限则是描述当数列中的项数无限增大时，数列的取值趋近于某个确定的常数。
用数学语言来表示，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an A| ＜ε 恒成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A 。
通俗地说，就是当数列的项数变得非常大时，数列的项与某个常数A 的距离可以任意小。
二、数列极限的性质1、唯一性：如果数列｛an} 有极限，那么极限值是唯一的。
2、有界性：如果数列｛an} 有极限，那么数列｛an} 一定是有界的。
3、保号性：如果lim(n→∞） an ＝ A ，且 A ＞ 0 （或 A ＜ 0 ），那么存在正整数 N ，当 n ＞ N 时，an ＞ 0 （或 an ＜ 0 ）。
三、数列极限的例题例 1：求数列｛1 ／ n} 的极限。
解：对于任意给定的正数ε ，要使｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε ，即 1 ／ n＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。
取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 （其中 x 表示不超过 x 的最大整数），当 n ＞ N 时，｜ 1 ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。
所以lim(n→∞） 1 ／ n ＝ 0 。
例 2：证明数列｛（－1)＾n ／ n} 的极限为 0 。
解：对于任意给定的正数ε ，因为｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＝ 1 ／ n ，要使 1 ／ n ＜ε ，解得 n ＞ 1 ／ε 。
取 N ＝ 1 ／ε ＋ 1 ，当 n ＞ N 时，｜（－1)＾n ／ n 0 ｜＜ε 恒成立。
所以lim(n→∞）（－1)＾n ／ n ＝ 0 。
例 3：判断数列｛n ／（n ＋ 1)｝的极限。
解：lim(n→∞） n ／（n ＋ 1) ＝lim(n→∞） 1 ／（1 ＋ 1 ／ n)当n → ∞ 时，1 ／n → 0 ，所以 1 ／（1 ＋ 1 ／n) → 1 。
数列极限典型例题
数列极限典型例题字数限制为2500字的文章极为冗长，因此我会尝试为您写一篇约500字的短文，探讨数列中的极限典型例题。
数列是数学中非常重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
而数列的极限是数列中最为重要的概念之一。
本文将介绍数列极限的基本定义以及探讨一些典型的数列极限例题。
首先，什么是数列的极限呢？简单来说，数列的极限表示数列中的值在趋于无限接近某个确定的值，这个确定的值就被称为数列的极限。
我们用符号“lim”来表示数列的极限。
现在我们来看一个例题：求数列an = 2n的极限。
要求这个数列的极限，我们可以分别计算当n趋于正无穷和负无穷时这个数列的值，然后比较它们的值是否一致。
当n趋于正无穷时，数列的值变得越来越大，接近无穷大。
当n趋于负无穷时，数列的值变得越来越小，接近负无穷大。
根据这个分析，我们可以得出结论：数列an = 2n的极限不存在。
接下来我们看另一个例题：求数列bn = (-1)n的极限。
同样，我们可以计算当n趋于正无穷和负无穷时这个数列的值。
当n趋于正无穷时，数列的值交替变为1和-1，没有趋于特定的值。
同样地，当n趋于负无穷时，数列的值也交替变为1和-1，没有趋于特定的值。
所以数列bn = (-1)n的极限也不存在。
最后我们来看一个有界数列的极限例题：求数列cn = (-1)n/n的极限。
对于这个数列，我们同样可以计算当n趋于正无穷和负无穷时的值。
当n趋于正无穷时，数列的值交替变为-1/n和1/n，但是无论n取多大，这个数列的绝对值都小于1/n。
同样地，当n趋于负无穷时，数列的值也交替变为-1/n和1/n，但是无论n取多小，这个数列的绝对值都小于1/n。
综上所述，我们可以得出结论：数列cn = (-1)n/n的极限为0。
以上就是数列极限的基本定义以及一些典型例题的探讨。
通过这些例题的分析，我们可以更好地理解数列极限的概念，并学会如何计算数列的极限。
数列极限作为数学中的基础知识，在各个数学分支中有重要的应用，希望本文对您有所帮助。
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三、数列的极限 观察数列})1(1{1
n
n --+当∞→n 时的变化趋势. 问题: 当n 无限增大时, n x 是否无限接近于某一确定的数值？如果是, 如何确定？ 通过上面演示实验的观察：
当n 无限增大时， n
x n n 1
)1(1--+=无限接近于1. 问题： “无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划它.
=-1n x n n n 11)1(1
=-- 给定,1001 由,10011<n 只要100>n 时， 有,100
11<-n x 给定,10001只要1000>n 时， 有,1000
11<-n x 给定,100001只要10000>n 时, 有,10000
11<-n x 给定,0>ε只要])1[(ε
=>N n 时， 有ε<-1n x 成立. 定义 如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小）， 总存在正整数N , 使得对于N n >时的一切n x , 不等式ε<-a x n 都成立, 那末就称常数a 是数列n x 的极限， 或者称数列n x 收敛于a ， 记为
,lim a x n n =∞→ 或).(∞→→n a x n
如果数列没有极限， 就说数列是发散的。
注意：
N -ε定义,0,0lim :>∃>∀⇔=∞
→N a x n n ε 使N n >时, 恒有.ε<-a x n 其中记号:∀每一个或任给的； :∃至少有一个或存在。
数列收敛的几何解释:
当N n >时, 所有的点n x 都落在),(εε+-a a 内, 只有有限个(至多只有N 个）落在其外.
注意:数列极限的定义未给出求极限的方法.
121+N 3ε
2
例1 证明.1)1(lim 1
=-+-∞→n
n n n 证 注意到1-n x 1)1(1--+=-n n n n
1=. 任给,0>ε 若要,1ε<-n x 只要,1ε<n 或 ,1ε
>n 所以, 取 ],1
[ε
=N 则当N n >时, 就有 ε<--+-1)1(1
n
n n . 即.1)1(lim 1
=-+-∞→n
n n n 重要说明：(1）为了保证正整数N ,常常对任给的,0>ε给出限制10<<ε；
（2）逻辑“取 ],1
[ε=N 则当N n >时, 就有ε<--+-1)1(1
n n n ”的详细推理见下,以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.
由于111+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=N N ε
ε，所以当N n >时一定成立ε11>+≥N n ，即得ε<n 1
成立.
严格写法应该是：任给,0>ε 不妨取10<<ε， 若要1-n x =1)1(1--+=-n
n n n 1=<ε ，只要 ,1ε>n 所以, 取 ],1[ε=N 则当N n >时， 由于111+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=N N ε
ε，所以当N n >时一定成立ε11>+≥N n ，即得ε<n 1
成立。
也就是成立 1-n x =1(1)11n n n n
ε-+--=<. 即.1)1(lim 1
=-+-∞→n
n n n 小结: 用定义证数列极限存在时， 关键是任意给定,0>ε寻找N , 但不必要求最小的N 。
例3证明0lim =∞→n
n q , 其中1<q 。
证 任给0ε>(要求ε〈1) 若,0=q 则;00lim lim ==∞→∞→n n n q 若,10<<q ,0ε<=-n n q x ,ln ln ε<q n
,ln ln q n ε>∴ 取ln [](1),ln N q
ε=+ 则当N n >时， 就有,0ε<-n q .0lim =∴∞
→n n q 说明：当作公式利用： ⎝
⎛-==>∞<=∞→.1,1,1,1,,1,0lim q q q q q n n 不存在， 。