专题06 平面向量 (解析版)
专题06 平面向量
【真题感悟】
1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设，
则由得，
由得
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ，，，则
A．I１
【答案】C
【解析】因为，，，所以，
故选C． 3.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)ii取遍时，123456||ABBCCDDAACBD的最小值是________；最大值是_______.
【答案】(1)0 (2) 25
【解析】12345613562456ABBCCDDAACBDABAD
要使123456ABBCCDDAACBD的最小，只需要
135562460，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1
此时123456min0ABBCCDDAACBD
等号成立当且仅当1356,,均非负或者均非正，并且2456,,均非负或者均非正.
比如1234561,1,,1,1,11
则123456max2025ABBCCDDAACBD.
4.（2017年浙江卷）已知向量a,b满足1,2ab，则abab的最小值是___________，最大值是______.
【答案】
4
25
【解析】设向量,ab的夹角为，由余弦定理有： 2212212cos54cosab，
2212212cos54cosab，则：
54cos54cosabab， 令54cos54cosy，则221022516cos16,20y，
据此可得： maxmin2025,164abababab，
即abab的最小值是4，最大值是25．
5.（2016年浙江文）已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______.
【答案】7
【解析】由已知得,60ab，不妨取(1,0)a，(1,3)b，设(cos,sin)e，则coscos3sinaebecoscos3sin2cos3sin，取等号时cos与sin同号．
所以2cos3sin2cos3sin237cossin777sin()（其中23sin,cos77，取为锐角）．
显然7sin()7，
易知当2时，sin()取最大值1，此时为锐角，sin,cos同为正，因此上述不等式中等号能同时取到，故所求最大值为7．
6.（2016年浙江理）已知向量a，b，｜a｜ =1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜
6,则a·b的最大值是 ．
【答案】12
【解析】 2216|6|||262abeaebeabababab，即最大值为12.
7.（2015年浙江文）已知1e， 2e是平面单位向量，且1212ee．若平面向量b满足121bebe，则b ． 【答案】233
【解析】由题可知，不妨11,0e， 213,22e，设,bxy，则11bex，
213122bexy，所以31,3b，所以123133b.
8.（2015年浙江理）已知12,ee是空间单位向量，1212ee，若空间向量b满足1252,2bebe，且对于任意,xyR，12010200()()1(,)bxeyebxeyexyR，则0x
，0y
，b ．
【答案】1，2，22.
【解析】问题等价于12()bxeye当且仅当0xx，0yy时取到最小值1，两边平方即
xyyxyx|b|5422在0xx，0yy时，取到最小值1，2245|b|xyxyxy
22(4)5||xyxyb22243()(2)7||24yxyb，∴22||211||702024002000byxbyyx.
【考纲要求】
1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.
2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.
3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题.
4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.
6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系. 8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直.
9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
【考向分析】
1.平面向量的线性运算
2.平面向量的坐标运算
3.平面向量的数量积、模、夹角.
【高考预测】
平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年浙江卷主要考查平面向量的坐标运算、模的最值等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等或中等偏难.
【迎考策略】
1.向量线性运算的解题策略
（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
（2） 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
2. 准确理解共线向量定理
（1）a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．对于向量a(a≠0)，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a，b共线；若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔a∥b；
（2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具：解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ，使()1OPOOBAuuuruuuurur＝＋－成立”．
3. 基底的“唯一”与“不唯一”
“不唯一”：只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一；
“唯一”：平面内任意向量a都可被这个平面内的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
4.平面向量数量积的计算方法
①定义法求平面向量的数量积：已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；
②坐标法求平面向量的数量积：
(a)已知或可求两个向量的坐标；
(b)已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积．
③基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解．
(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．
5.向量数量积的性质
（1）如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
（2）a⊥ba·b＝0.
（3）a·a＝|a|2，||=aaa.
（4）cos θ＝||||abab.(θ为a与b的夹角)
（5）|a·b|≤|a||b|.
6.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意：
(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角． (2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
7.巧建坐标系系，妙解向量题：
坐标是向量代数化的媒介，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：
（1）利用图形中现成的垂直关系
若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系．
（2）利用图形中的对称关系
图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．
（3）三角形中有唯一一个特殊角(30°、45°、60°等)时，有以下两种建系方法
（4）圆(或半圆、扇形)与其他图形的综合图形通常以圆心为坐标原点建系．
（5）所给向量中任意两向量之间的夹角为特殊角，将所给向量平移为共起点，以该起点为坐标原点建系．
【强化演练】
1．(2019年高考北京卷理)设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||ABACBC”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
专题06 七选五(解析版)
1.【江西省九江市七校2016届高三第一次联考】根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。选项中有两项为多余选项。
Balance Self-Care and Caring for Others
How do I balance Self-Care and Caring for Others? If you are asking this question , you are one of those
people who tend to be selfless.36________ So, how do you strike a balance?
Avoid killing the goose . 37_____ In other words, you are going to kill the goose .If you work at a homeless
shelter 50 hours a week for two weeks and then quit because you are overwhelmed(累垮)，it won’t do nearly as
much good as if you work five hours a week all year around .Kind people usually fall into a trap—they try to do so
much good but they don’t realize that more is not always better .
38________ You don’t always have to sacrifice a lot to do something good .This doesn’t mean that personal
sacrifice is bad , but giving a friend the money that you and your family need to spend on food or rent isn’t a great
专题06 平面向量-2020年高考数学(文)二轮专项习题练 (解析版)
EDCBA专题06 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBuuur
A．3144ABACuuuruuur B．1344ABACuuuruuur
C．3144ABACuuuruuur D．1344ABACuuuruuur
A【解析】通解 如图所示，
11111()()22222uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurEBEDDBADCBABACABAC
3144uuuruuurABAC．故选A．
优解 111()222uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurEBABAEABADABABAC
3144uuuruuurABAC．故选A．
2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aab
A．4 B．3 C．2 D．0
B【解析】2(2)22(1)3aabaab，故选B
3．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM，2ON，120MONo，2BMMAuuuuruuur，
2CNNAuuuruuur，则·BCOMuuuruuuur的值为
NMOCBA
A．15 B．9 C．6 D．0
C【解析】由2BMMAuuuuruuur，可知||2||BMMAuuuuruuur，∴||3||BAMAuuuruuur．
由2CNNAuuuruuur，可知||2||CNNAuuuruuur，∴||3||CANAuuuruuur，故||||3||||BACAMANAuuuruuuruuuruuur， 连接MN，则BCMN∥，且||3||BAMNuuuruuuur，∴33()BCMNONOMuuuruuuuruuuruuuur，
2022年高考数学之平面向量专题突破专题八 平面向量的极化恒等式(解析版)
2022年高考数学之平面向量专题突破专题八平面向量的极化恒等
式
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量
的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几
何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平
移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．
1．极化恒等式：a·b＝1
4[(a＋b)2
－(a－b)2]
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方
差的1
4．
2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则：(1)AB→
·AD→
＝1
4[|AC|2
－|BD|2]．
3．三角形模式：如图(2)，在△ABC中，设D为BC的中点，则AB→
·AC→
＝|AD|2
－|BD|2
．
三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
考点一平面向量数量积的定值问题
【方法总结】
利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．
积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移
转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量
积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长
度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．
【例题选讲】
[例1](1)(2014·全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()
2022年高考数学之平面向量专题突破专题十 平面向量与三角形的四心(解析版)
2022年高考数学之平面向量专题突破专题十平面向量与三角形的
四心
三角形四心的向量式
三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)O为△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0．
(2)O为△ABC的外心⇔|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a
2sinA⇔sin2A·OA→＋sin2B·OB→＋sin2C·OC→＝0．
(3)O为△ABC的内心⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0⇔sinA·OA→＋sinB·OB→＋sinC·OC→＝0．
(4)O为△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→⇔tanA·OA→＋tanB·OB→＋tanC·OC→＝0．
关于四心的概念及性质：
(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，
y2)，C(x3，y3)，则
Gx1＋x2＋x3
3，y1＋y2＋y3
3．
④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．
(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．
性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形
外．
(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．
性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
②2=Srabc，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，=2abcr．
(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．
性质：外心到三角形各顶点的距离相等．
考点一三角形四心的判断
【例题选讲】
[例1](1)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足OP→＝1
3[(1－λ)OA→＋(1－
专题一 平面向量在解析几何中的应用
1 专题一 平面向量在解析几何中的应用 一、要点·考点
二、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
（1）0OCOBOAO是ABC的重心.
证法：如图OCOBOA02ODOA
ODAO2DOA、、三点共线，且O分AD
为2：1 O是ABC的重心
（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.
证明： O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOA
ACOB同理BCOA，ABOCO为ABC的垂心
（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心
OOCcOBbOAa0为ABC的内心.
（4）OCOBOAO为ABC的外心。
练习：
1．已知ABC三个顶点CBA、、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（ ）
A．2 B．23 C．3 D．6
2.O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0 ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3.（全国理4）O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0 ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，0OCOBOA，则OBOA( )
高考文数题型秘籍【26】平面向量的数量积及平面向量的应用(解析版)
专题二十六 平面向量的数量积及平面向量的应用
【高频考点解读】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义、了解平面向量的数量积与向量投影的关系、
2.掌握数量积的坐标表达式、会进行平面向量数量积的运算、
3.能运用数量积表示两个向量的夹角、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系、
4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题、
【热点题型】
题型一 平面向量的数量积
例1、已知向量a、b、满足|a|＝3、|b|＝23、且a⊥(a＋b)、则a与b的夹角为( )
A.π2 B.2π3 C.3π4 D.5π6
【提分秘籍】
1、两向量的夹角是指当两向量的起点相同时、表示两向量的有向线段所形成的角、若起点不同、应通过移动、使其起点相同、再观察夹角、
2、两向量的夹角为锐角⇔cos θ>0且cos θ≠1.
3、向量的投影是一个实数、其值可正、可负、可为零、
【举一反三】
已知向量a、b的夹角为120°、且|a|＝1、|b|＝2、则向量a－b在向量a＋b方向上的投影是________、
【热点题型】
题型二 数量积的性质及运算律
例2、如图、在平面四边形ABCD中、若AB＝2、CD＝1、则(AC→＋DB→)·(AB→＋CD→)＝( )
A、－5 B、0
C、3 D、5
【提分秘籍】
1、在实数运算中、若a、b∈R、则|ab|＝|a|·|b|、但对于向量a、b却有|a·b|≤|a|·|b|、当且仅当a∥b时等号成立、这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|、而|cos θ|≤1.
2、实数运算满足消去律：若bc＝ca、c≠0、则有b＝a.在向量数量积的运算中、若a·b＝a·c(a≠0)、则不一定得到b＝c.
3、实数运算满足乘法结合律、但向量数量积的运算不满足乘法结合律、即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)、这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量、而a·(b·c)表示一个与a共线的向量、而c与a不一定共线、
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题06平面向量文(含解析)
1 专题06平面向量
历年考题细目表
题型 年份 考点
试题位置
单选题
2019 平面向量的数量积 2019年新课标1文科08
单选题 2018 平面向量基本定理 2018年新课标1文科07
单选题 2015 平面向量的坐标运算 2015年新课标1文科02
单选题 2014 平面向量的几何运算 2014年新课标1文科06
单选题 2010 平面向量的数量积 2010年新课标1文科02
填空题 2017 平面向量的坐标运算 2017年新课标1文科13
填空题 2016 平面向量的数量积 2016年新课标1文科13
填空题 2013 平面向量的数量积 2013年新课标1文科13
填空题 2012 向量的模 2012年新课标1文科15
填空题 2011 平面向量的数量积 2011年新课标1文科13
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1文科08】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵（）⊥，
∴
，
∴ 2 ，
∵，
∴．
故选：B．
2．【2018年新课标1文科07】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
（）
，
故选：A．
3．【2015年新课标1文科02】已知点A（0，1），B（3，2），向量（﹣4，﹣3），则向量（ ）
A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）
【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到（3，1），向量（﹣4，﹣3），
则向量（﹣7，﹣4）；
故选：A．
4．【2014年新课标1文科06】设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则（ ） 3 A． B． C． D．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
平面向量的奔驰定理(解析版)
专题九 平面向量的奔驰定理
1．奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA→＋S△PAC·PB→＋S△PAB·PC→＝0．
证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，BDDC＝S△ABDS△ACD＝S△BPDS△CPD＝S△ABD－S△BPDS△ACD －S△CPD＝S△PABS△PAC，
∵PD→＝DCBCPB→＋BDBCPC→，∴PD→＝S△PACS△PAC ＋S△PABPB→＋S△PABS△PAC＋S△PABPC→，
∵PDPA＝S△BPDS△BPA＝S△CPDS△CPAS△BPD＋S△CPDS△BPA ＋S△CPA＝S△PBCS△PAC ＋S△PAB，∴PD→＝－S△PBCS△PAC ＋S△PABPA→，
即－S△PBCS△PAC ＋S△PABPA→＝S△PACS△PAC ＋S△PABPB→＋S△PABS△PAC＋S△PABPC→，∴S△PBC·PA→＋S△PAC·PB→＋S△PAB·PC→＝0．
ABCDP
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．
推论：已知P为△ABC内一点，且xPA→＋yPB→＋zPC→＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．
(2)S△PBCS△ABC＝|xx＋y＋z|，S△PACS△ABC＝|yx＋y＋z|，S△PABS△ABC＝|zx＋y＋z|．
【例题选讲】
[例1](1)设点O在△ABC的内部，且有OA→＋2OB→＋3OC→＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为( )
A．3 B．53 C．2 D．32
答案 A 解析 分别取AC、BC的中点D、 E，∵OA→＋2OB→＋3OC→＝0，∴OA→＋OC→＝－2(OB→＋OC→)，即2OD→＝－4OE→，∴O是DE的一个三等分点，∴S△ABCS△AOC＝3．
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题06 平面向量及其应用,复数(原卷版)
1
专题6
平面向量及其应用,复数
1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；
2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.
3.考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.
预测2020年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、几何意义及复数的运算考查，.
一、单选题
1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ）
A．2 B． C．5 D．
2．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）向量(2,1), (1,1), (, 2)abckrrr，若abcrrr，则k的值是(
)
A．4 B．-4 C．2 D．-2
3．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知向量(1,1),ar(1,3),br(2,1)cr，且()//abcrrr，则（ ）
A．3 B．-3 C．17 D．17
4．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC中，点,DE是线段BC上两个动点，且ADAEuuuruuur
xAByACuuuruuur，则14xy的最小值为（ ） 2
A．32
B．2
C．52
D．92
5．（2020届山东实验中学高三上期中）i是虚数单位，若复数21zi，则z的虚部为（ ）
A．1 B．0 C．i D．1
6．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知复数z满足11iiz，则z（ ）
A．22 B．2 C．2 D．1
7．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知向量(3,4)OAuuur，(6,3)OBuuur，(2,1)OCmmuuur．若ABOCuuuruuur∥，则实数m的值为（ ）
专题三 平面向量的等和线(含解析)
专题七 平面向量的等和线
根据平面向量基本定理，如果PA→，PB→为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC→都可以由PA→，PB→唯一线性表示：PC→＝xPA→＋yPB→．特殊地，如果点C正好在直线AB上，那么x＋y＝1，反之如果x＋y＝1，那么点C一定在直线AB上．于是有三点共线结论：已知PA→，PB→为平面内两个不共线的向量，设PC→＝xPA→＋yPB→，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1．
以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C不在直线AB上的情况．
如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设PC→＝xPA→＋yPB→(x，y∈R)．
1．平面向量等和线定义
(1)当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0．
(2)当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若PF→＝λPA→＋μPB→ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数k∈R，使得PC→＝kPF→(其中k＝|PC||PF|＝|PE||PA|＝|PD||PB|)，则PC→＝kPF→＝kλPA→＋kμPB→．又PC→＝xPA→＋yPB→ (x，y∈R)，所以x＋y＝kλ＋kμ＝k．以上过程可逆．
在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．
2．平面向量等和线定理
平面内一组基底PA→，PB→及任一向量PF→满足：PF→＝λPA→＋μPB→ (λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线．
3．平面向量等和线性质
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)；