平面向量和解析几何专题复习探讨
思想方法，平面向量和解析几何都涉及坐标表示和坐标运算，坐标法可以将二者有机结合起
来。同时平面向量和解析几何包含着丰富的数学思想方法。因而，2006年高考数学命题必然会
抓住这一契机，以期在新一年的高考命题改革中有更大的突破性。
4．重视教学反思，帮助学生缩短悟的过程 在作业和教学测试中，我们常会发现这样的现象，虽然有些问题在 教学中已反复强化，但学生的解答情况不尽人意，这时，我们责怪学生 不用功或悟性差，一切将无济于事。只有冷静反思教学过程的科学性和 合理性，反思该问题学生遇到的困难及原因再做出教学调整，才能得到 预期的效果。 如在一次测试中有这样一道题，已知O为坐标原点，B（-1，0）， C（1，0），点A、P、Q运动时，满足|-|=2||, ∥,·=0, =。 （1）求运点P的轨迹E； （2）过点B作直线l动点P的轨迹E相交于M、N两点，且点B分向量的比 为2：1，求直线l的方程。 测试结果：该题的得分率不到20%，而本题的绝对难度并不太，运 算量也适中，那么，问题出在何处？从答卷来看，一部分学生不能从众 多的数学符号和式子中理出个头绪来，无力解答此题，还有一部分学生 过早地把向量符号坐标化，由于设“元”太多，而陷于复杂的运算，从而 迷失了方向。找到了问题的症结，评讲时即可对症下药，通过师生对 话，大家悟出了一个这样的道理：求解解析几何题首先要对几何图形的 性质作全面细致的分析，如度量、位置及对称性等。对图形的把握越透 彻，解题的目标就越清晰，运算量也就相应地得到控制，本题的叙述方 式以向量语言为主，这就要求解答者先把这些信息转化为图形语言，再 对几何图形作出整体的分析，然后通过坐标化思想求解。 另外，解题后一定要引导学生进行三思，一思解决“对”，二思解 决“优”，三思解决“通”。帮助学生总结解题规律。解答平面解析几何综 合题，其实还是有规可循的： 联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布定范围，曲线定义不 能忘，引参用参巧解题。分析关系思路畅，数形结合思路明，设而不求 方法好，结合向量运算简，选好选准突破口，一点破译全局活。学生掌 握了这些规律并加以实践，解答这类综合题也就不畏难了。
理（21）文 （22） 12分/14分
理（21）文 （22） 12分/14分
直线和椭
直线和
直线和
圆
椭圆
椭圆
已知：椭圆几何 已知：椭圆方 已知：直线的
性，直线斜率向 程，向量共线， 方向向量，椭
量共线
向量垂直
圆方程，向量
求：椭圆离心 求：四边形面积 的数量积，点
率，证明定值。 的最值。
至于直线对称
求：椭圆方
2．试题设计理念——突出知识的交汇和融合 基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平 面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载 体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重 考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力。近两年，这类 试题情境新颖，结合点的选取恰到好处，命题手法日趋成熟。 如（2003年新课程高考题）已知常数a＞0，向量 =（0，a）, =(1,0), 经过原点o以+λ为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以-2λ 为方向 向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使 得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E、F的坐标，若不存在说明理由。 本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程 和性质，利用方程判断曲线的性质。曲线和方程的关系等解析几何的基 本思想方法及综合解题能力，本题在2002年高考平面向量试题的基础上 又有新的突破和发展，它不再仅仅局限于平面向量的基本计算，它更需 要对平面向量知识的深入理解和运用，是一道融合平面向量与解析几何
[分析]应用向量知识，把角为钝角转化为向量的数量积为负值，通 过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2：已知一个圆的直径的端点是A（x1，y1），B（x2，y2）， 求证：圆的方程是（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝ 0（高二上P82/3） [解析]在圆上任取一点P（x，y），则⊥ =0，容易推出上述方程。
四、2006年平面向量和解析几何交汇命题趋势探讨
依据教育部关于2006年普通高校招生工作新要求“开展高考自主命题的省市要积极探索考试
内容改革，注重能力立意，加强对学生运用所学知识分的问题解决问题的综合素质考查”及考试
说明，我们分析：今年的高考数学命题依然会坚持并强化“四考能力”（在基础中考能力，在综
的好题。 又如：湖南理（19）文（21）如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任
一点P（0，m）（m＞0），作直线与抛物线交于A、B两点，点P是点Q 关于原点的对称点。
（1）设P分的比为λ，证明： ⊥（-λ ）。 （2）设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆与抛物 线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。 本题尽管第（1）（2）问没有任何联系，且排列顺序值得商榷，但 此题将直线和圆、抛物线、向量、线段定比分点等许多内容结合得天衣 无缝，方程思想、函数思想、化归思想和数形结合思想贯穿于问题分析 和解答的全过程，不失为一道综合考查学生理性思维的优美试题。 3．试题考查方向、题型及难度 由上述统计表便知，近两年平面向量与解析几何交汇试题考查方向 为： （1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积 及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥 曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 （3）试题主要涉及：轨迹问题，范围问题、最值定值问题、证明 问题、对称问题，试题有时也会是开放探究问题，是高考中的把关题或 压轴题，能力要求高、难度大、得分率不高。如2005年湖南该题理科平 均得分2.81分，零分率约为34.43%，难度系数0.2.；文科该题平均得分 0.82分，零分率约为60%，难度系数约为0.05。
求）、“怎样考”（命题者的思路、近三年高考命题的规律和难度）应了 如指掌，只有这样，才能对高考数学科的要求把握准确，复习到位，对 于平面向量和解析几何专题的复习，应把握好三条线。
第一条线：向量的相关知识——向量的概念及几何表示，向量的加 法和减法及几何意义、向量的数量积、向量的坐标运算、向量共线、向 量垂直、线段定比分点、向量平移、平面两点间的距离公式。
程，直线方
程。
辽宁卷
理（19）文 （19） 14分
全国卷（Ⅱ）
理（9）文 （14） 9分
江西卷
理（16） 4分
直线和椭 双曲线的标准方 圆锥曲线的定
圆
程，向量垂直。 义，动点的轨
已知：椭圆方
迹，向量的长
程，向量垂直
度，中点坐标
证明：恒等式，
公式。
求动点轨迹方
重庆卷
理（21） 文（22） 12分
直线与 椭圆与双 曲线 已知：椭 圆方程， 双曲线的 几何性 质，向量 的坐标运 算 求：双曲 线方程， 直线的斜 率K的范 围。
直线和椭圆 已知：椭圆的 几何性质，向 量垂直，共线 求：椭圆方 程，直线方 程，证明向量 共线。
直线和椭圆 直线和
已知：椭圆方 椭圆
程，向量的坐 已知：
标表示
椭圆的
求：动点的轨 几何性
迹方程，距离 质，向
的最值。 量的量
求：椭
圆方
程，直
线的斜
率。
卷 别 湖南卷
题 次 分 值
理 （19） 文 （21） 14分
第二条线：曲线方程、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及 几何性质。
第三条线：向量和平面解析几何整合，以平面向量作为工具，综合 处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范 围、最值、定值、对称等典型问题。 如:OA⊥OB,O在以AB为直径的圆上，可以转化为=0，将=λ转化为坐标 关系。
3．专题探讨，形成能力 直线和圆锥曲线的综合问题是高考必考内容，通常以解答的形式出 现，且题目有一定的广度和难度，因此复习备考时要把此作为重点内 容，且要达到必要的深度，可以设计相关专题进行深入系统地探讨，提 高学生解此题的能力。 专题包括以下内容： （1）利用向量知识处理共线、垂直、夹角问题。 （2）把向量作为工具去探讨直线和圆锥曲线的综合问题。
上海卷 理（3）文 （4） 6分/4分
向量的数 量积，求 轨迹方 程。
考 线的斜 点 率，向
量共线 求：抛 物线方 程，求 参数的 取值范 围。
程，角的正切 值。
二、考点分析 1．以平面向量为背景的解析几何命题趋势逐渐显现 回顾近几年来平面向量与解析几何交汇命题可以说经历了三个阶
段：2002年天津（21）题只是数学符号上的整合；2003年新课程卷 （20）题用平面向量的语言描述解析几何中元素的关系，可谓是知识点 层面上的整合；2004年有6份试卷，2005年有10份试卷涉及平面向量与 圆锥曲线交汇综合，考查方式上升到应用层面。由此可知，考查的综合 程度、难度逐年加大。
2004年
卷
别
湖南卷
全国卷 （Ⅰ）
全国卷（Ⅱ）
天津卷
辽宁卷
江苏 卷
理理
题 次 分 值
（21） 文
（22） 12 分/14
（21） 文
（22） 12 分/14
理（21）文 （22） 12分/14分
分分
理（21）文 （22） 14分
理（19） 12分
理 （21） 14分
直线与 直线和 直线和抛物线 抛物 双曲线 已知：抛物线 线，圆 已知： 方程，直线的 已知： 双曲线 斜率，向量共 抛物线 方程， 线 方程， 直线方 求：向量的夹 点关于 程，向 角，直线在y轴 考 点对 量共线 上截距的范 点 称，定 求：离 围。 比分点 心率e 证明： 的范围 向量垂 及双曲 直 线方 求：圆 程。 的方 程。
高考解析几何与立体几何复习的几点思考
高考解析几何与立体几何复习的几点思考北师大昆明附中 宋祖发第一部分解析几何解析几何是初等数学与高等数学的衔接点,是中学数学的重要内容.解析几何的核心思想是“ 坐标思想”,即通过坐标系,使点对应到数对,直线与曲线对应于方程,从而把几何问题转化为代数问题,通过代数方程来表示和研究曲线，从而使代数和几何之间建立实质性的联系，可以说，解析几何是各种数学思想方法的综合点，是主干知识的交汇点。
一、解析几何命题的特点题型相对稳定，一般考查三个小题，一 个大题，文理科差异主要体现在小题上。
三个小题着重考查基本概念与性质，一般会出现一个较难的题目，但入口较容易。
二、解析几何的命题趋势（从内容上来看）1．直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题，其中要重视“对称问题”的解答方法；2．与圆的位置有关的问题，一是研究方程组，二是充分利用平面几何知识，后者是常用方法；3．求曲线的方程或轨迹问题，涉及圆锥曲线的概念和几何性质问题；4．直线与圆椎曲线的位置关系问题，如参数的取值范围、最值问题等，这是高考的重点内容之一；（学科内的小综合）5．以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题，其目的是加强联系、注重应用，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力。
（大综合） 三、需要突破的几个难点： （一）直线与圆的位置关系问题取值范围是的倾斜角的则直线的交点位于第一象限，与直线若直线例l y x kx y l 06323:. 1=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6D. 2,3C. 2,6B. 3,6A.ππππππππ 得到由的两侧必在与点点线性规划的另用方法旋转得出结果绕点让的直线系看成过点把直线直线旋转法方法再求倾斜角的范围的范围由交点的坐标解出求交点方法0)32)(3(-3k .l (0,2)(3,0) .:3.G l ,)3(0,-l ,:2.,k , :1<++∴G”做考场上才能有“小题巧小题大作”只有平时的“并概括解法特点一题多解”在高考复习中要重视“启示 , ,,:)(,2 (-2,0), ) (05 2.22的取值范围是其斜率有两个交点时与圆直线当过点已知直线全国例x y x l l =+)81,81(- D. )42,42(- C. )2,2(- B. )22,22.(-A （数形结合法）：法解；〉利用代入圆的方程，方程的把：法解半径；距离小于：利用与圆心到直线的解法 3 0 2 1 ∆l 问题。
关注知识联系，探究解析策略——以向量与解析几何综合题为例
关注知识联系，探究解析策略
——— 以向量与解析几何综合题为例
? 甘肃省张掖市第二中学 白亚兰
平面向量是高中数学的重点知识，兼具代数与几 何的双重特 性，高 考 常 结 合 解 析 几 何 内 容 来 进 行 考 查，出 现 了 众 多 平 面 向 量 与 解 析 几 何 相 结 合 的 考 题． 该类综合题主要体现在角度、垂直、平行、共线等问题 中，处 理 的 难 点 主 要 集 中 在 平 面 向 量 的 转 化 上，最 终 目标是实现向量条件的坐标化和数量化，解析时可以 采用相应的策略，下面结合实例探究．
参谋
⊥ 犗犘，又有 犗犘
的斜率犽犗犘
狔０ ＝狓０
，则
直
线
犃犅
的斜率
犽犃犅
＝－狓０，所以直线 狔０
犃犅
的解析式可表示为２狓０狓
＋
２狔０狔－狓２ ０ －狔２ ０ ＝０．圆 心 到 直 线 犃犅 的 距 离犱 ＝
槡狓２ ０ ＋狔２ ０ ２
＜１，即狓２ ０ ＋狔２ ０ ＜４，又知３狓０＋２狔０－４＝
０，所以１３狓２ ０ －２４狓０ ＜０，可解得０＜狓０ ＜２ １４ ３，则狓０
量与几何的关系可知 犕犉→２ ⊥犗→犘，结合三角形中位线
（ ） 知识可知犗→犖
⊥犗→犘，即（狓，狔）·
狓 －犮，狔 ３３
＝０，整理
可得（狓－犮）２＋狔２＝犮２，所以点犘 的轨迹为以点（犮，０） 为圆心，以犮为半径的圆，要确保圆与椭圆犆 有交点，
则 需犪－犮＜犮，从而有犪犮
＞
１ ２
，所以椭圆犆
的离心率
的分析转化、运算简化能力．
策略三：利 用 向 量 间 的 夹 角 来 化 解 解 析 几何角度问题
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。
“平面向量”复习的思考与反思.doc
“平而向量”复习的思考与反思向量及其运算是高中教材的重点内容，向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机,。
向量融形、数于一•体，具有几何形式与代数形式的“双重身份〃，引入后大大拓宽了解题的思路和方法，在研究其它问题时得到了广泛的应用，成为了〃在知识网络交汇处设计试题〃的很好裁体.对平而向量的考查有以下儿点：（1）考查平而向嗣的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义, 并能正确地进行运算；（2）考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；（3）和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力.在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。
在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念用楚、运算准确,不必追求解难题。
热点主要体现在平面向最的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用。
1.考查平面向量的基本概念和运算律例1 （2010浙江理数）（16）已知平面向量0）满足|/?| = 1,且a与阡a的夹角为120°,则a的取值范围是解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。
例2. （2008宁夏、海南，8）平面向量Q、片共线的充要条件是（）A.a,占方向相同B.a,占两向量中至少有一个为零向量C. 3 A G /? J =D.存在不全为零的实数人，％ , +=0解析：根据向量共线的定理显然选（D）。
评注：本题考查的知识点是平面向景共线的条件,是“平血向量”单元中要求掌握的重点内容，也是最基本的内容。
例3. （2010天津理数）（15）如图，在ABC中，AD，AB* =币丽,|AD|= I,则京而=. L ―【答案】D ~七【解析】本题主要考杏平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
高考数学复习 平面向量在解析几何中的应用与求解策略
2008高考数学复习 平面向量在解析几何中的应用与求解策略（一）、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是： ①、直线的方向向量：直线L 的方向向量为→m =（a,b),则该直线的斜率为k= b a②、利用向量处理平行问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ∥→b 的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得→a = λ→b ；亦即a ∥b (b≠)的充要条件是⇔x 1y 2-x 2y 1=0；③、利用向量求角：设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2), 则两向量→a 、→b 的夹角：cos θ = cos<→a ,→b > =→a ²→b |→a ||→b= x 1x 2+y 1y 2x 12+y 12 ²x 22+y 22⇒ 其特殊情况即为垂直问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ⊥→b 的充要条件是→a ²→b =0⇔x 1x 2- y 1y 2=0；④、利用向量求距离：设→a =(x,y),则有|→a |=→a 2 =x 2+y 2；若),,(),,(2211y x B y x A 则|→（二）、典例分析：★【题1】、点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为→a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( )（A （B ）13 (C)2（D ）12●[解析]：如图,过点P （-3，1）的方向向量→a =(2,-5);所以)3(251;,25+-=--=x y l K PQ PQ 则；即1325;-=+y x L PQ ;联立：)2,59(21325--⎩⎨⎧-=-=+Q y y x 得， 由光线反射的对称性知：251=QF K 所以)59(252;1+=+x y L QF ，即0525:1=+-y x L Q F ;令y=0,得F 1（-1，0）;综上所述得： c=1，3,32==a c a 则;所以椭圆的离心率.3331===a c e 故选A 。
高考数学中的平面向量与空间向量几何问题解析技巧
高考数学中的平面向量与空间向量几何问题解析技巧在高考数学中，平面向量与空间向量是一个重要而且常见的考点。
理解和掌握平面向量与空间向量的几何问题解析技巧对于解题非常关键。
本文将通过实例和分析，介绍高考数学中平面向量与空间向量几何问题解析的技巧和方法。
一、平面向量的几何问题解析技巧1. 问题转化为向量求解在解决平面向量的几何问题时，可以将问题转化为向量求解的问题。
通过将图形和线段等几何信息表示成向量形式，可以简化问题的复杂度，从而更容易求解。
例如，给定平面中的三角形ABC，若已知点A、B、C的坐标，要求证明三角形ABC是等腰三角形。
我们可以将AB和BC两个向量相等，即AB = BC，然后通过向量的运算和坐标的计算来证明等腰性质。
2. 平面向量的投影问题在解决平面向量的投影问题时，我们可以运用向量的投影公式来求解。
向量的投影是一个较为常见的考点，多表现为线段或者阴影的长度。
例如，给定平面中的点P和直线L，要求求点P到直线L的距离。
我们可以先求点P到直线L的方向向量以及直线L上的点B坐标，然后使用向量的投影公式计算出点P到直线L的距离。
3. 平面向量的共线问题解决平面向量的共线问题时，我们可以运用向量共线的判断方法。
共线的判断一般通过向量的线性组合关系来实现。
例如，给定平面中的三个点A、B、C，要求判断三个点是否共线。
我们可以将AB和BC两个向量进行线性组合，若存在实数k使得AB+ kBC = 0，则可以判定三个点共线。
二、空间向量的几何问题解析技巧1. 空间向量的平行问题在解决空间向量的平行问题时，我们可以通过向量的夹角关系来判断。
例如，给定空间中的向量a和向量b，要求判断向量a和向量b是否平行。
我们可以计算向量a和向量b的夹角，若夹角为0度或180度，则可以判定向量a和向量b平行。
2. 空间向量的垂直问题在解决空间向量的垂直问题时，我们可以通过向量的数量积关系来判断。
例如，给定空间中的向量a和向量b，要求判断向量a和向量b是否垂直。
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结一、复习前的准备1. 了解考纲：仔细阅读高考数学的考纲，明确平面解析几何部分的重点和难点，有针对性地进行复习。
2. 整理知识框架：将平面解析几何的知识点进行整理和归纳，建立知识框架，便于全面复习和查漏补缺。
3. 完善笔记：对之前学过的平面解析几何知识进行复习，逐一检查自己的笔记是否完整，如有漏洞或不理解的地方，及时补充或向同学、老师请教。
4. 制定学习计划：合理分配复习时间，将平面解析几何的复习内容分成小块，按照计划逐一进行复习。
二、基础知识的复习1. 了解基础概念：回顾平面解析几何的基本概念，如点、直线、平面等，并熟悉它们之间的关系和性质。
2. 复习坐标系：重点复习直角坐标系和极坐标系的原理和使用方法，能够熟练转换坐标系和进行坐标计算。
3. 复习向量：回顾向量的定义、运算法则和性质，同时重点理解向量的几何意义和应用。
4. 复习直线与圆的方程：回顾直线的一般方程、斜截式方程和点斜式方程的互相转换，同时复习圆的标准方程和一般方程的建立方法。
三、常见题型的练习1. 直线与圆的方程的联立：熟练掌握直线与圆的方程的联立方法，能够灵活运用，解决实际问题。
2. 直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的切点、交点等性质，能够准确判断直线与圆的位置关系。
3. 三角形的性质：回顾三角形的基本性质，如三角形的内心、外心、重心、垂心等，并理解它们之间的联系，能够应用这些性质解决三角形相关问题。
4. 镜面对称与旋转：通过练习镜面对称和旋转的题目，理解镜面对称和旋转的概念，并能够快速判断图形的镜面对称性和旋转对称性。
5. 预习未学内容：对于一些未学过的内容（如圆锥曲线、二次函数等），可以进行简单的预习，了解基本概念和性质，为高考后的复习打下基础。
四、真题的训练与模拟考试1. 做高考真题：通过做历年高考真题，了解平面解析几何在高考中的考查点和形式，熟悉解题思路和答题技巧，查漏补缺，增强信心。
高中数学向量与平面解析几何的应用及解题技巧
高中数学向量与平面解析几何的应用及解题技巧数学中的向量与平面解析几何是高中数学中的重要内容，也是学生们常常感到困惑的部分。
在本文中，我将重点介绍向量与平面解析几何的应用及解题技巧，帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、向量的应用1. 向量的加法与减法向量的加法与减法是向量的基本运算，也是解决向量问题的基础。
在解题过程中，我们常常需要将问题转化为向量问题，并利用向量的加法与减法进行求解。
例如，已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i - 5j，求向量c = 2a - 3b的分量表示。
解题思路：首先，根据向量的加法与减法，我们可以得到c = 2a - 3b = 2(3i + 4j) - 3(2i - 5j) = (6i + 8j) - (6i - 15j) = 21j。
因此，向量c的分量表示为0i + 21j。
2. 向量的数量积与向量的夹角向量的数量积与向量的夹角是向量的重要性质，也是解决向量问题的关键。
在解题过程中，我们常常需要利用向量的数量积与向量的夹角进行计算。
例如，已知向量a = 3i + 4j，向量b = 2i - 5j，求向量a与向量b的数量积及夹角。
解题思路：首先，根据向量的数量积的定义，我们可以得到a·b = 3*2 + 4*(-5)= -14。
然后，根据向量的数量积与向量的夹角的关系，我们可以得到cosθ = (a·b)/(|a|*|b|) = -14/(√(3^2+4^2)*√(2^2+(-5)^2)) = -14/(√25*√29) = -14/(5*√29)。
因此，向量a与向量b的数量积为-14，夹角θ的cos值为-14/(5*√29)。
二、平面解析几何的应用1. 平面直线的方程平面直线的方程是平面解析几何的基本内容，也是解决平面直线问题的关键。
在解题过程中，我们常常需要根据已知条件建立平面直线的方程，并利用方程进行求解。
例如，已知平面直线l过点A(1, 2, 3)且与向量a = i + 2j + 3k垂直，求平面直线l的方程。
解析几何与平面向量相结合问题
16．（2020·江苏高考模拟）已知点 Q0,5 ，若 P、R 分别是 O : x2 y2 4 和直线 y 3 x 上的动点，则 4
QP QR 的最小值为_____.
17．（2020·湖南长沙一中高考模拟（理））设 F
15．（2020·北京高考模拟（理））如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O（0，0），M（-4，0），N（4，0），
P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．线段 OM 上的动点 A 满足 OA OM 0，1 ；线段 HN 上的动点 B
满足 HB HN ．直线 PA 与直线 QB 交于点 L，设直线 PA 的斜率记为 k，直线 QB 的斜率记为 k'，则 k•k'
近线的直线 ，若直线 交线段 于点 ，且
，则双曲线 的离心率 ( )
A．
B．
C．
D．
9．（2020 重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线 ：
，圆 ：
，过 焦点 的直
线从上至下依次交 ， 于点 ， ， ， .若
， 为坐标原点，则
（）
A．-2
B．1
C．4
D．
10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线 x2 a2
为直线 l
上一点，且满足 CB
5 CA ，若 2
M
为线段
AB
的中点， O
为坐标原点，则 OC OM
的值为（
）
A．3
B． 2 3
C．2
D．-3
6
杰 老师高考数学驿站
98 训练营
12（. 2020 桂林高三质检）已知
专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题
一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题 【例1】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【举一反三】 1.设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．2.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 32⎛ ⎝⎦C ． 32⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M ．直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．52 B ． 512+ C ． 5 D ． 15+【举一反三】 1.设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，满足，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点的轨迹是曲线222x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）A ． 1xy =-B ． 1xy =C ． 222y x -=D ． 221y x -= 【举一反三】直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化 【例4】已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【举一反三】已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ． 32y x =±B ． 3y x =±C ． 62y x =± D ． 6y x =± 类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例5】已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞【举一反三】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,1⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ B ． 520,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭类型六 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________． 【举一反三】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.三．强化训练一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=2．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12B ．C ．24D ．3．已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知直线与圆交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是 A ．B ．2C ．D ．26．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A．-2 B．1 C．4 D．9．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．10．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C．D．11.已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．二、填空题12．正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________13．已知直线与圆：相交于，两点，为圆周上一点，线段的中点在线段上，且，则______．14．已知分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为N，则的面积为__________.15．抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.16．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．则_______；若，则点A的横坐标为___．17．以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.。