专题6 平面向量及其应用,复数(原卷版+解析版)
专题1：6.1平面向量的概念课时作业(解析版)高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量
专题1:6.1平面向量的概念课时作业（解析版） 一、单选题 1．以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若a和b都是单位向量，则
ab
【答案】C 【分析】 根据向量的基本概念逐一判断即可. 【详解】 只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误， 零向量是没有方向的向量，B错误； 共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确； 若a，b都是单位向量，两向量的方向不定，D错误； 故选：C. 2．下列说法中正确的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．平行向量不一定是共线向量
C．若向量a与b同向且ab，则
ab
D．若向量a，b满足ab且a与b同向，则
ab
【答案】C 【分析】 由零向量，平行向量，相等向量的定义逐一判断可得选项. 【详解】 对于A，零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B，平行向量就是共线向量，故B错误； 对于C，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C正确； 对于D，两个向量不能比较大小，故D错误． 故选：C． 试卷第2页，总11页
【点睛】 本题考查向量的基本定义，在判断关于向量的命题时注意向量的方向，属于基础题. 3．给出下列结论：
①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应； ③数轴上向量AB的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终
点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数； ④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 ①向量的坐标表示，向量的坐标即可决定向量的大小和方向； ②实数和数轴上的点一一对应； ③用数轴上向量AB的坐标的概念来判断； ④利用零向量的概念来判断. 【详解】 ①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确； ②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点
人教A版数学必修第二册第六章【平面向量及其应用(解三角形篇)典型例题讲解】
平面向量及其应用（解三角形篇）典型例题讲解一、基本概念回归1、正弦定理①asin A=bsin B=csin C=2R（为外接圆半径）②边角互化：；；③比值：④应用：；；2、余弦定理3、余弦定理变形：4、三角形面积公式（为内切圆半径）5、三角形中常用角的变换注意这两个公式的正向，逆向应用6、三角形中，中线问题核心技巧①：向量形式，进一步可通过两边平方法求解核心技巧②：7、三角形中角平分线常用结论①倍角：②内角平分线定理：或③面积关系式：高频考点一：利用正余弦定理解三角形角度1：利用正弦定理解三角形1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（）A．B．或C．D．或2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（）A．B．C．或D．或3．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南湘潭·高二统考期末）在中，，则______.5．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，角，，的对边分别为，，，且，求的面积.角度2：利用余弦定理解三角形1．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，已知，，，则（）A．1B．C．2D．2．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（）A．2B．C．4D．163．（2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，，且，则______.4．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足.(1)求；(2)若，求面积的最小值.5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，，．(1)求角C的大小；(2)若，求边c．高频考点二：三角形解的个数问题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，2．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个3．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（）A．B．C．D．4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（）A．B．C．D．高频考点三：判断三角形形状1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（）．A．钝角三角形；B．锐角三角形；C．直角三角形；D．不能确定．3．（2023·高一课时练习）在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（）A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．以上都有可能．4．（2023·高一课时练习）在中，已知，则是（）A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为，，B．则△ABC是（ ）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形高频考点四：边角互化角度1：正弦定理边角互化1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.2．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）在中，角的对边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若的面积为，，求的周长.3．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，且的面积为，求边长4．（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求证：；(2)若，，求△ABC的面积．5．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.(1)求的值；(2)若，，求的周长.角度2：余弦定理边角互化1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（）A．4B．5C．6D．72．（2023·全国·高三专题练习）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（）A．B．C．D．3．（多选）（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（）A．B．C．D．4．（2023·全国·模拟预测）在中，角的对边分别是，．(1)求C；(2)若，的面积是，求的周长．5．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，．已知，．(1)证明：；(2)求面积的最大值．高频考点五：三角形外接圆问题1．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．3．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C；(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.4．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）在锐角中，BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R．(1)求的值；(2)若，且，求R．5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若3a＝b+c，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的面积．高频考点六：三角形周长（边长）问题角度1：三角形周长（边长）定值问题1．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知在锐角中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求的周长.①；②.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2．（2023·高一课时练习）在中，所对的边为，满足．(1)求A的值；(2)若，求的周长．3．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）在中，角的对边长分别为，且.(1)求；(2)若，求的周长.4．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）已知分别为的三个内角的对边，.(1)求B；(2)若的面积为4，求.角度2：三角形周长（边长）最值问题1．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（）A．B．C．D．2．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（）A．7B．C．D．43．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形中，，若，的面积为．(1)求的长；(2)求四边形周长的最大值．4．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.(1)求的长度；(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①，② ，③ 中任选一个，(1)求角C的大小；(2)若，求周长的最大值．7．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC周长的最大值．角度3：三角形周长（边长）取值范围问题1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.2．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在平面四边形中，.(1)求的长；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.3．（2023·广东茂名·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）当时，求的取值范围．6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．答案解析高频考点一：利用正余弦定理解三角形角度1：利用正弦定理解三角形1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（）A．B．或C．D．或【答案】D【详解】解：在中，，由正弦定理得，所以，所以或，故选：D2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（）A．B．C．或D．或【答案】A【详解】在中由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以，所以，故选：A3．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，所以.因为，所以.故选：.4．（2023春·湖南湘潭·高二统考期末）在中，，则______.【答案】【详解】根据正弦定理可知，代入题中数据，可知，所以故答案为：5．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，角，，的对边分别为，，，且，求的面积.【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：，即，令，，解得，，故的单调递减区间为，．（2）解：因为，则，因为，所以，所以，即，由正弦定理得，即，解得，又，所以，故，所以．角度2：利用余弦定理解三角形1．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，已知，，，则（）A．1B．C．2D．【答案】C【详解】解：在中，因为，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.故选：C2．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（）A．2B．C．4D．16【答案】B【详解】由题意，，所以，，所以，解得或（舍去）．故选：B3．（2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，，且，则______.【答案】5【详解】由得,由正弦定理以及得，故由余弦定理得，故答案为：54．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足.(1)求；(2)若，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由可得，由正弦定理可得，整理得，又，即可得，所以；又，所以（2）利用正弦定理由可得，即；所以的面积利用余弦定理可得，当且仅当时等号成立；解得，所以，即面积的最小值为.5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，，．(1)求角C的大小；(2)若，求边c．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以；因为，所以.（2）因为，所以；因为，所以，即；因为，所以，所以.高频考点二：三角形解的个数问题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【详解】对于A项，方法1：∵，，∴，∴由正弦定理得：∴a、c值唯一确定，∴只有一解.方法2：如图所示，∴只有一解.故选项A错误；对于B项，方法1：由余弦定理得：，∴只有一解.方法2：如图所示，∴只有一解. 故选项B错误；对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：又∵∴角B有两个解.方法2：如图所示，∵，∴，∴角B有两个解.故选项C正确；对于D项，方法1：∵，∴，又∵，∴，∴不存在这样的三角形.方法2：如图所示，∵，∴∴此时A、B、C三点不能构成三角形.故选项D错误；故选：C.2．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【答案】C【详解】因为在中，，，，由余弦定理可得：，所以，也即，解得：，所以满足条件的三角形的个数有2个，故选：.3．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】选项A. 由余弦定理可得的三边分别为，所以满足条件的三角形只有一个.选项B. ，则, 由正弦定理可得所以，的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.选项C. 由，则由正弦定理可得所以, 由则，所以角为一确定的角，且，则角角为一确定的角，从而边也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.选项D. 作,在的一条边上取，过点作垂直于的另一边，垂足为.则,以点为圆心，4为半径画圆弧，因为，所以圆弧与的另一边有两个交点所以均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.故选：D4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】对于A，由余弦定理可得，解得，故A正确；对于B，根据正弦定理：，可得，又因为，所以，所以或，故B不正确；对于C，由三角形的内角和可知，又，利用正弦定理，可知均有唯一值，故C正确；对于D，根据正弦定理：，可得，又因为，所以，所以只能是锐角，故D正确；故选：ACD高频考点三：判断三角形形状1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【详解】，由正弦定理，得，即∴，可得，又，∴，则的形状为等腰三角形.故选：A.2．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（）．A．钝角三角形；B．锐角三角形；C．直角三角形；D．不能确定．【答案】B【详解】解：设三角形两边a，b之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，则，，，由，得，解得，由余弦定理得，则，所以，所以三角形是锐角三角形，故选：B3．（2023·高一课时练习）在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（）A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．以上都有可能．【答案】B【详解】由题可知, 方程有两个相等的实数根，，，再由正弦定理可得，是直角三角形.故选：B.4．（2023·高一课时练习）在中，已知，则是（）A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．【答案】A【详解】解：由已知，所以，因为，所以，即三角形为直角三角形．故选：A．5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为，，B．则△ABC是（ ）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】C【详解】∵△ABC面积为，b＝3，B，∴ac sin B，即，整理得：ac ＝3，①由余弦定理得：b 2＝a 2+c 22﹣ac cos B ，即9＝a 2+c 2+ac ＝（a +c ）2﹣ac ＝（a +c ）23﹣，整理得：a +c ＝2，②联立①②，解得：a ＝c ，则△ABC 为等腰三角形，故选：C ．高频考点四：边角互化角度1：正弦定理边角互化1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.【答案】【详解】由题意在中，满足，即,即，而，故，又,则，同理，故，又,故，则，故答案为：2．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）在中，角的对边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若的面积为，，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得：，，，，，则.（2），，由余弦定理得：，解得：，的周长.3．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，且的面积为，求边长【答案】(1)(2)或.【详解】（1），由正弦定理可得，即，因为，则，，所以，，因此，；（2）∵的面积为，则∴根据题意得，则或若，则△ABC为等边三角形，；若，则，即∴或.4．（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求证：；(2)若，，求△ABC的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由及正弦定理可得．因为，所以，即．因为A，B为三角形的内角，所以或，得（舍去）或．故．由正弦定理可得，故．（2）由（1）得：，又，所以，，则．因为，，所以，得，则，所以△ABC的面积为．5．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.(1)求的值；(2)若，，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，即，根据正弦定理，，在锐角中，，则，即，由，则，整理可得，解得.（2）由，根据正弦定理，可得，在中，，则，，，由（1）可知，，则，由，则，解得，，根据正弦定理，可得，则，，故的周长.角度2：余弦定理边角互化1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【详解】由已知及正弦定理得，所以，所以＝.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，则，整理得，所以即，则，∵，所以.故选：B.3．（多选）（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或，故选：BD.4．（2023·全国·模拟预测）在中，角的对边分别是，．(1)求C；(2)若，的面积是，求的周长．【答案】(1).(2).【详解】（1）由题意在中，，即，故，由于，所以.（2）由题意的面积是，，即，由，得，故的周长为.5．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，．已知，．(1)证明：；(2)求面积的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）由正弦定理及已知可得，整理可得．由余弦定理可得，整理可得，所以．（2）由（1）可知．由余弦定理可得，化简可得．记的面积为，则．注意到，所以，等号成立当且仅当．此时回代有，可反解出，，，易知符合题意．所以面积的最大值为．高频考点五：三角形外接圆问题1．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由正弦定理可知,,即，因为,，，根据正弦定理可知，得，则的外接圆面积.故选：D2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．【答案】【详解】根据余弦定理由，因为，所以，由正弦定理可知的外接圆半径为，故答案为：3．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C；(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2)．【详解】（1）中，，，由正弦定理得，即，显然，∴，，，；（2）由（1），，由正弦定理，，，，其中，又，若有最大值，则在上有解，∴，解得，∴的取值范围是．4．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）在锐角中，BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R．(1)求的值；(2)若，且，求R．【答案】(1)(2)2【详解】（1）因为是锐角三角形，所以，又，所以，（2）由得，与已知条件，相加得，，即，，所以．于是，故．5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若3a＝b+c，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的面积．【答案】(1)(2)（1），化简得：，由正弦定理得：，因为，所以，因为，所以，所以因为所以；（2）设△ABC外接圆的半径为R，则R＝1，由正弦定理得，由余弦定理得，﹣bc，即3＝273∴bc＝8，∴△ABC的面积．高频考点六：三角形周长（边长）问题角度1：三角形周长（边长）定值问题1．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知在锐角中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求的周长.①；②.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理得，整理得,因为，所以，因为在锐角中,，所以.（2）若选①：由的面积为1，得，所以，在锐角中，由，得，由余弦定理得，所以，所以，即的周长为.若选②：由的面积为1，得，所以，在锐角中，由，得，由余弦定理得，即，由,解得，所以，所以的周长为.2．（2023·高一课时练习）在中，所对的边为，满足．(1)求A的值；(2)若，求的周长．【答案】(1).(2).【详解】（1）∵，,可得∶，可得∶，,∵，.（2）在中,∵,,∴,∴由正弦定理可得：,即，所以的周长为.3．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）在中，角的对边长分别为，且.(1)求；(2)若，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由条件，得，由正弦定理得：,由于，，代入上式得：，，由于，；（2）由余弦定理：，将代入得：，（舍）；的周长为；综上，，的周长为.4．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）已知分别为的三个内角的对边，.(1)求B；(2)若的面积为4，求.【答案】(1);(2)8【详解】（1）由，得，即，由余弦定理，得，由于，所以;（2）因为的面积为，所以，即，因为，,则，所以，所以.角度2：三角形周长（边长）最值问题1．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，根据正弦定理及诱导公式得，，，，即，，则，则解得,所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，根据余弦定理得，即，设的周长为，所以，设，则，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：在上为单调增函数，故，故，当且仅当时取等.故选：C.2．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（）A．7B．C．D．4【答案】C【详解】由题可得，，即，又，所以，则，因为，所以，则，所以，即，又因为，，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时，等号成立，则，故周长的最小值为.故选：C..3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形中，，若，的面积为．(1)求的长；(2)求四边形周长的最大值．【答案】(1)(2)周长的最大值为【详解】（1）在中，由题意有，解得，又由余弦定理得， 所以 ．（2），，设，四边形周长设为，则，由题可知，，在中，由余弦定理得( ，则所以，即，当且仅当时等号成立，所以 ，即四边形周长的最大值为4．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)选①，的最大值是8；选②，的最大值是【详解】（1）因为，所以，所以，则．因为，所以．（2）选①,由余弦定理可得，即，则．因为，所以．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是8．选②,因为D是边的中点，所以，所以，因为，且，所以，即．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是．5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.(1)求的长度；(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设，，则.在与中，由余弦定理知：，即，，即.，，可得.，，即.解得，..（2）由（1）知：中，，，为外接圆的直径.为外接圆上任意一点，当在点时，.当在点时，.当在优弧上时，，设，则.中，由正弦定理知，.，当时，的最大值为.当在劣弧上时，，设，则.中，由正弦定理知，..当时，的最大值为.综上，的最大值为.6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①，② ，③ 中任选一个，(1)求角C的大小；(2)若，求周长的最大值．【答案】(1)(2)6(1)选①，得∴∵∴∴选②∵∴选③又所以，所以(2)由余弦定理知：由基本不等式知：所以所以：(当且仅当时，等号成立)，所以综上：△ABC的周长的最大值为6．7．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC周长的最大值．【答案】(1);(2)（1）因为所以由正弦定理可得，即，由余弦定理知，，因为， 所以.（2）由和（1）可知，则，得，即，所以（当且仅当时，取得等号），所以周长的最大值为.角度3：三角形周长（边长）取值范围问题1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.【答案】【详解】由题意在中，满足，即,即，而，故，又,则，同理，故，又,故，则，故答案为：2．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在平面四边形中，.(1)求的长；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【详解】（1）在中，，由余弦定理可得，即，解得或；（2）因为，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，在中，因为，所以，由，得，所以，所以.3．（2023·广东茂名·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，由及正弦定理得：又∵，∴即，∵，∴.∵，∴，（2）得：得，∴，∴，由题意，及正弦定理得：∵，∴，即故的取值范围为方法二：由正弦定理得：∵，∴，由（1）得：，故由（1）得：得，∴，∴，∴，即，故的取值范围为4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理，得即.所以，由为锐角， 得，所以.（2）由得.∴得周长.，因为，，所以，，所以，即.所以周长的取值范围为.5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）由及正弦定理得，所以，所以，所以，由，可得；（2），，所以，所以：，因为为锐角三角形，则，解得，所以，，则，所以，.6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【详解】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴．（2）由余弦定理可知，代入可得，当且仅当时取等号，∴，又，∴的取值范围是．。
2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用课件
定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|
与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复 数第3节平面向量的数量积及其应用课件
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2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的 夹角．
2021/4/17
2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复 数第3节平面向量的数量积及其应用课件
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考点 2 平面向量数量积的性质(多维探究) 角度 长度问题
[典例 1] 已知向量O→A，O→B满足|O→A|＝|O→B|＝2， O→A·O→B＝2，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，且 λ＋μ＝1， 则|O→C|的最小值为( )
2021/4/17
2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复 数第3节平面向量的数量积及其应用课件
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[典题体验]
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知A→B＝(2，3)，A→C＝(3，t)，
|B→C|＝1，则A→B·B→C＝( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
解析：因为B→C＝A→C－A→B＝(1，t－3)，且|B→C|＝1，
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝ a·a＝ x12＋y12.
(3)夹角：cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
.
(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2
＝0.
2021/4/17
2023年新高考数学一轮复习6-2 平面向量的基本定理及坐标表示(知识点讲解)解析版
专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养． 3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.（三）平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. （四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉． 结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__12211212（六）常用结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.例2．（2017·天津·高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】 【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二：平面向量的坐标运算例3.（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D例4.（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例5.（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),Px y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.例6.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.例8．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】 【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -， 所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--， 因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -. (2)由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =， 所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=， 因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便． 题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC例10.（2019·天津·高考真题（文）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AEBE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D ． 因为AD∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BEy x=-，直线AE的斜率为y =．由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-， 所以1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．例11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解． 题型五：平面向量的模、夹角例12．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量()1,2a =，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】 【分析】先求出||a ，再将8a b +=两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得：2||12a =+，由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=， 即得249,||7b b ==，故选：D例13.（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．√3−1 B ．√3+1 C ．2 D ．2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ， 由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】()21,3a b +=，所以2213a b +=+=例15.（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+．例16.（2017·山东·高考真题（理））已知1e ，2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是_ _．【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1），12e -=1）， 1e +λ2e =（1，λ）；又夹角为60°，12e -）•（1e +λ2e ）=λ＝2cos60°，λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．（2016·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =（ ） A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．例18．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-. 故答案为：34-. 例19．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是_________．【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标，设(,)c x y =，利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)a b ==，设(,)c x y =，由()()20a c b c -⋅-=得：(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=，即2(1)(12)0x x y y ----=，即22115()()2416x y -+-=，则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】 由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.． 【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．。
高中数学第六章平面向量及其应用知识汇总大全(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用知识汇总大全单选题1、下列命题中假命题是（ ）A ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案：D分析：利用相反向量的概念可判断A 选项的正误；利用相等向量的定义可判断B 选项的正误；利用零向量的定义可判断C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 互为相反向量，这两个向量的长度相等，A 选项正确； 对于B 选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B 选项正确；对于C 选项，只有零向量的模等于0，C 选项正确；对于D 选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D 选项错误.故选：D.小提示：本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.2、已知向量a =(1,−√7)，|b ⃗ |=3，a ⋅b ⃗ =3√6，则a 与b⃗ 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3答案：A分析：先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将a ⋅b⃗ =3√6展开，即可求得答案. 因为a =(1,−√7)，所以|a |=√12+(−√7)2=2√2，又因为a ⋅b ⃗ =3√6，设a 与b ⃗ 的夹角为θ ，θ∈[0,π] ，所以|a ||b ⃗ |cosθ=3√6 ，即2√2×3×cosθ=3√6 ，解得cosθ=√32 ，故θ=π6 ，故选：A.3、已知非零平面向量a →，b →，c →，下列结论中正确的是（ ）（1）若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →；（2）若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →//b →（3）若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →（4）若(a →+b →)⋅(a →−b →)=0，则a →=b →或a →=−b →A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a →，b →，c →，（1）若a →⋅c →=b →⋅c →，则(a →−b →)⋅c →=0，所以a →=b →或(a →−b →)⊥c →，即（1）错；（2）若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →与b →同向，所以a →//b →，即（2）正确；（3）若|a →+b →|=|a →−b →|，则|a →|2+|b →|2+2a →⋅b →=|a →|2+|b →|2−2a →⋅b →，所以2a →⋅b →=0，则a →⊥b →；即（3）正确；（4）若(a →+b →)⋅(a →−b →)=0，则|a →|2−|b →|2=0，所以|a →|=|b →|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ， 若bcosC +ccosB =asinA ， 则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解. 2sin sin A A因为，由正弦定理可得，即sin (B +C )=sin 2A ，即，所以sinA =1，又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形.故选：A.5、已知在△ABC 中，a =x ，b =2，B =30°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）A ．x >2B ．0<x <2C ．2<x <3D ．2<x <4答案：D分析：根据三角形有两个解，转化为以C 为圆心，以2为半径的圆与BA 有两个交点，再结合正弦定理求解. 如图所示：因为AC =b =2，若三角形有两个解，则以C 为圆心，以2为半径的圆与BA 有两个交点，当∠A =90∘时，圆与BA 相切，不合题意；当∠A =30∘时，圆与BA 交于B 点，不合题意；所以30∘<∠A <150∘，且∠A ≠90∘，所以12<sinA <1由正弦定理得：sinA =asinB b =14x ，则12<14x <1， 解得2<x <4，故选：D6、在△ABC 中，已知AB =4，AC =3，∠BAC =120°，点E 在线段BC 上，且满足2BE =EC ，则的长度cos cos sin b C c B a A +=2sin cos sin cos sin B C C B A +=2sin sin A A=AEA ．52B ．73C ．2√73D ．2√2 答案：B分析：在△ABC 中，利用余弦定理先求得BC ，再在△ABC 中利用余弦定理求得cosB ，再在△ABE 中利用余弦定理求得的长．在△ABC 中，由余弦定理有BC 2=AB 2+AC 2−2AB ×ACcos∠BAC =37，所以BC =√37，在△ABC 中，由余弦定理有cosB =AB 2+BC 2−AC 22×AB×BC =11√3774，又2BE =EC ，所以BE =√373， 在△ABE 中，由余弦定理有AE 2=AB 2+BE 2−2AB ×BE ×cosB=16+379−2×4×√373×11√3774=499， 所以AE =73．故选：B7、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ．D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . AE CB u u u r8、已知非零向量a →与b →共线，下列说法不正确的是（ ）A ．a →=b →或a →=−b →B ．a →与b →平行C ．a →与b →方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a →=λb →答案：A分析：根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果．非零向量a →与b →共线，对于A ，a →=λb →，λ≠0，故A 错误；对于B ，∵向量a →与b →共线，∴向量a →与b →平行，故B 正确；对于C ，∵向量a →与b →共线，∴a →与b →方向相同或相反，故C 正确；对于D ，∵a →与b →共线，∴存在实数λ，使得a →=λb →，故D 正确.故选：A.多选题9、下列说法中错误．．的为（ ）． A ．已知a →=(1,2)，b →=(1,1)且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)B ．向量e →1=(2,−3)，e →2=(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底C ．非零向量a →，b →，满足|a →|>|b →|且a →与b →同向，则a →>b →D ．非零向量a →和b →，满足|a →|=|b →|=|a →−b →|，则a →与a →+b →的夹角为30°答案：AC分析：由向量的数量积，向量的夹角，判断A ；向量的基本定理判断B ；向量的定义判断C ；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断D ．解：对于A ，∵a →=(1,2),b →=(1,1),a →与a →+λb →的夹角为锐角，∴a →(a →+λb →)=(1,2)(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0，且λ≠0(λ=0时a →与a →+λb →的夹角为0)，所以λ>−53且λ≠0，故A 错误；对于B ，向量e →1=4e →2，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误；对于D ．因为|a →|=|a →−b →|，两边平方得，|b →|2=2a →·b →，则a →(a →+b →)=|a →|2+a →b →=32|a →|2，|a →+b →|=√(a →+b →)2=√|a →|2+2a →b →+|b →|2=√3|a →|， 故cos <a →,a →+b →>=a →(a →+b →)|a →||a →+b →|=32|a →|2|a →|√3|a →|=√32， 而向量的夹角范围为[0°，180°]，得a →与a →+b →的夹角为30°，故D 项正确．故错误的选项为AC ．故选：AC ．10、已知O 是△ABC 内一点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，点M 在△OBC 内（不含边界），若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+2μ的值可能为（ ）A ．97B ．117C ．137D ．157答案：ABC分析：根据OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可知O 为△ABC 的重心；根据点M 在△OBC 内，判断出当M 与O 重合时，λ+2μ最小；当M 与C 重合时，λ+2μ的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为O 是△ABC 内一点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以O 为△ABC 的重心M 在△OBC 内（不含边界），且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×[12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在△OBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈(1,2)，结合选项可知ABC 符合，D 不符合故选：ABC11、如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：ABD解析：根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 正确； MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 正确； MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 错误； BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 正确. 故选：ABD .小提示：本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.12、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．b ＝45，c ＝48，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝7，b ＝5，A ＝80°答案：BCAB CD ∥分析：结合选项逐个求解，可进行判断.对于A ，因为A =45°,C =70°，所以B =65°，只有一解；对于B ，因为sinC =csinB b =8√315<1，且sinC >sinB ，所以有两解； 对于C ，因为sinB =bsinA a =4√27<1，且sinB >sinA ，所以有两解； 对于D ，因为sinB =bsinA a =5sin80°7<1，但sinB <sinA ，所以有一解； 故选：BC.13、对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ）A ．AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 B ．OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1λ+1μ=3 D ．AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 共线 答案：ACD分析：根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即OA ⊥BC ，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，从而说明D 正确.如图，设AB 中点为M,则OM ⊥AB ,∴|AO |cos∠OAM =|AM |∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠OAB =|A →B|(|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠OAB)=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故A 正确；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等价于OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0等价于OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即OA ⊥BC ， 对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(1λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +1μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵E,F,G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3,故C 正确；(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−B )|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC=−|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=0, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,又∵AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 与AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故D 正确. 故选：ACD.小提示：本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.填空题14、已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2acosB =c ，D 是BC 的中点，若AD =2，则b +√2c 的最大值为______．答案：4√2分析：利用正弦定理将边化角，即可得到A =B ，再结合cos∠ADB +cos∠ADC =0得到b 2+2c 2=16，最后借助基本不等式即可求解．解：因为2acosB =c ，由正弦定理可得2sinAcosB =sinC所以2cosBsinA =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，化简得sinBcosA −sinAcosB =0，即sin(A −B)=0，因为A,B ∈(0,π)，所以A −B ∈(−π,π)所以A =B ，又∠ADB +∠ADC =π，cos∠ADB +cos∠ADC =0，由余弦定理知AD 2+DB 2−AB 22AD⋅DB +AD 2+DC 2−AC 22AD⋅DC =0， 即22+(a 2)2−c 22×2⋅a 2+22+(a 2)2−b 22×2⋅a 2=0，又a =b ，化简得b 2+2c 2=16，b 2+2c 2=(b +√2c)2−2b ⋅√2c =16，又2b ⋅√2c ≤2⋅(b+√2c 2)2=(b+√2c)22，当且仅当b =√2c 时取等号， 故(b +√2c)2−(b+√2c)22⩽16，即b +√2c ⩽4√2．所以答案是：4√2．15、已知向量a =（－4，3），b ⃗ =（6，m ），且a ⊥b⃗ ，则m =__________. 答案：8.分析：利用a ⊥b ⃗ 转化得到a •b⃗ =0加以计算，得到m . 向量a =（−4,3），b ⃗ =（6,m ），a ⊥b⃗ ， 则a •b⃗ =0，−4×6+3m =0，m =8. 小提示：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.16、已知向量a →,b →，其中|a →|=1,|b →|=2，且(a →−2b →)⊥(3a →+b →)，则向量a →与b →的夹角等于____； 答案：2π3##120°分析：利用夹角公式求出向量a →与b →的夹角.因为(a →−2b →)⊥(3a →+b →)，所以(a →−2b →)(3a →+b →)=0，即3a →2−5a →·b →−2b →2=0，所以5a →·b ⃗⃗⃗⃗ =3−8=−5，所以a ·⃗⃗⃗⃗ b →=−1.而a →b →=|a →||b →|cos 〈a →,b →〉=−1，所以cos 〈a →,b →〉=−12，因为〈a →,b →〉∈[0,π]，所以〈a →,b →〉=2π3. 所以答案是：2π3解答题17、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，sinB −cosC =c 2−a 22ab . （1）求A ；（2）若b =√34c ，且BC 边上的高为2√3，求△ABC 的面积. 答案：（1）π6；（2）7√3．分析：（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积．（1）由sinB −cosC =c 2−a 22ab 得2absinB −2abcosC =c 2−a 2，由余弦定理得2absinB +c 2−a 2−b 2=c 2−a 2，所以2asinB =b ，由正弦定理得2sinAsinB =sinB ，B 是三角形内角，，所以sinA =12，又A 为锐角，所以．（2）由（1）a 2=b 2+c 2−2bccosA =316c 2+c 2−2×√34c ⋅c ⋅cos π6=716c 2，a =√74c ， 所以S △ABC =12bcsinA =12a ×2√3，即12×√34c 2×12=12×√74c ×2√3，c =4√7， b =√34c =√21，S △ABC =12bcsinA =12×√21×4√7×12=7√3．小提示：思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技sin 0B ≠6A π=巧．18、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求△ABC 的周长 答案：（1）B =π3；（2）6√3.分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以，则2cosB =1所以B =π3（2）由余弦定理得 ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =accosB =12ac =6， 所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，sin 0B ≠2222cos b a c ac B =+-要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。
2022版高考数学一轮复习第6章平面向量复数经典微课3探秘平面向量与复数的命题热点动向课件
【点评】解答本题的关键是将已知向量和所求向量的数量积用B→D和 D→F表示，列方程组求解．
【变式探究】 2．在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB＝60°，若O→A·O→B＝6， 则|O→G|的最小值是________．
【答案】2
【解析】如图，在△ AOB 中，O→G＝23O→E＝32×21
【答案】－12
【变式探究】 1．在△ABC 中，点 M，N 满足A→M＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B＋ yA→C，则 x＝________；y＝________.
【答案】12 －16 【解析】如图，M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B＝13A→C＋12(A→B－A→C)＝12A→B －16A→C，所以 x＝12，y＝－16.
二、平面向量的数量积 【例 2】 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两 个三等分点，B→A·C→A＝4，B→F·C→F＝－1，则B→E·C→E的值是________．
【解析】因为 D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，所以 B→F＝B→D＋D→F，C→F＝－B→D＋D→F.B→A＝B→D＋3D→F，C→A＝－B→D＋3D→F，所以 B→F·C→F＝D→F2－B→D2＝－1，B→A·C→A＝9D→F2－B→D2＝4，所以D→F2＝58，B→D 2＝183， 又因为B→E＝B→D＋2D→F，C→E＝－B→D＋2D→F，所以B→E·C→E＝4D→F2－B→D2＝87.
一、平面向量的线性运算
【例 1】 如图，在△ABC 中，AF＝13AB，D 为 BC 的中点，AD 与 CF 交于点 E.若A→B＝a，A→C＝b，且 C→E＝xa＋yb，则 x＋y＝________.
高中数学第六章平面向量及其应用知识汇总笔记(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用知识汇总笔记单选题1、已知平面向量a →，b →，c →满足：|a →|=2，|b →|=3，a →⊥(a →−b →)且2a →−b →+c →=0→，则|c →|为（ ） A ．1B ．3C ．√3D ．9 答案：B分析：根据向量垂直可得a ⃗⋅b ⃗⃗=4，进而根据向量模长的计算即可求解. 由a →⊥(a →−b →)得a →⋅(a →−b →)=0⇒a ⃗⋅b⃗⃗=4， 由2a →−b →+c →=0→得c →=−2a →+b →⇒c →2=(−2a →+b →)2=4a ⃗2−4a ⃗⋅b ⃗⃗+b ⃗⃗2=16−4×4+9=9， 故|c →|=3， 故选:B2、若z (1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断. 因为z(1−i)=i ， 所以z =i 1−i=i(1+i)2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限． 故选：B ．3、如图，在△ABC 中，点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，N 是AC 上的点且满足AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CM 与BN 交于P 点，设AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a →,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b →，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ）A ．12a →+14b →B ．35a →+15b →C ．14a →+12b →D ．310a →+35b →答案：B分析：根据三点共线有λ,μ∈R ，使AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3(1−λ)4AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⇒AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⇒AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 由C ，P ，M 共线，存在λ∈R ，使AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⇒AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3(1−λ)4AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗①， 由N ，P ，B 共线，存在μ∈R ，使得AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⇒AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗②， 由①② {λ=15,μ=25，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=35a ⃗+15b ⃗⃗. 故选：B.4、已知向量|a ⃗|=2,|b ⃗⃗|=4，且a ⃗,b ⃗⃗不是方向相反的向量，则|a ⃗−b ⃗⃗|的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗−b ⃗⃗|<|a ⃗|+|b⃗⃗|求解即可. 由已知必有||a ⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗−b ⃗⃗|<|a ⃗|+|b ⃗⃗|，则所求的取值范围是[2,6)． 故选：B.5、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.34故选：B6、在△ABC中，已知a=2,b=3,B=30°，则此三角形（）A．有一解B．有两解C．无解D．无法判断有几解答案：A分析：根据给定条件，结合正弦定理计算判断作答.在△ABC中，a=2,b=3,B=30°，由正弦定理得sinA=asinBb =2sin30∘3=13，而a<b，有A<B=30∘，即A为锐角，所以此三角形有一解．故选：A7、已知在△ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x>2B．0<x<2C．2<x<3D．2<x<4答案：D分析：根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解. 如图所示：因为AC=b=2，若三角形有两个解，则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，当∠A=90∘时，圆与BA相切，不合题意；当∠A=30∘时，圆与BA交于B点，不合题意；所以30∘<∠A<150∘，且∠A≠90∘，所以12<sinA<1由正弦定理得：sinA=asinBb =14x，则12<14x<1，解得2<x <4， 故选：D8、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a =3，b =4，，则cosB =（ ）A ．23B ．√53C ．−√53D ．±√53答案：D分析：根据正弦定理及同角三角函数基本关系求解. 由正弦定理知，sinB =bsinA a=4×123=23，所以cosB =±√53， 故选：D 多选题9、（多选）已知4AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则下列结论正确的是（ ） A ．A ，B ，C ，D 四点共线B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|D ．|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 答案：BD分析：由4AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗可得3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而可对ABD 进行判断，再对4AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗变形化简可对C 进行判断因为4AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以3AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以3DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 因为DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以BD 正确，A 错误， 由4AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≠|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以C 错误， 故选：BD10、关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A ．若a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →6A π=B ．a →=(1,1),b →=(2,x )，若a →+b →与b →−a →平行，则x =2C ．非零向量a →和b →满足|a →|=|b →|=|a →−b →|，则a →与a →+b →的夹角为30° D ．点A =(1,3),B =(4,−1)，与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗同方向的单位向量为(35,−45) 答案：BCD分析：根据向量的数量积、平行、几何意义、单位向量这些知识对每一个选项进行判断即可. 对于A ，若a ⃗⊥b ⃗⃗,c ⃗⊥b ⃗⃗且a ⃗|≠|c ⃗|，可满足条件，但a ⃗≠c ⃗，故A 不正确；对于B ，由条件a ⃗+b ⃗⃗=(3,x +1),b ⃗⃗−a ⃗=(1,x −1)，若这两向量平行，有3(x −1)=x +1，解得x =2，故B 正确；对于C ，由条件可知，以向量a ⃗和b ⃗⃗为边对应的四边形为一个角是60°的菱形，则a ⃗与a ⃗+b ⃗⃗的夹角为30°，故C 正确；对于D ，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,−4)，因此与AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗同方向的单位向量为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(3)2+(−4)2=(35,−45)，故D 正确.故选：BCD.11、已知平面向量a ⃗=(1,0)，b ⃗⃗=(1,2√3)，则下列说法正确的是（ ） A ．|a ⃗+b ⃗⃗|=16B ．(a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=2C ．向量a ⃗+b ⃗⃗与a ⃗的夹角为30°D ．向量a ⃗+b ⃗⃗在a ⃗上的投影向量为2a ⃗ 答案：BD分析：根据向量坐标得线性运算和模的坐标表示即可判断A ； 根据向量数量积的坐标表示即可判断B ； 根据cos 〈a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗〉=(a ⃗⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗⃗|a ⃗⃗+b ⃗⃗||a ⃗⃗|即可判断C ；根据投影向量的定义即可判断D.解：a ⃗+b ⃗⃗=(2,2√3)，则|a ⃗+b ⃗⃗|=√4+12=4，故A 错误； (a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=2，故B 正确；cos 〈a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗〉=(a ⃗⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗⃗|a ⃗⃗+b ⃗⃗||a ⃗⃗|=12，又0°≤〈a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗〉≤180°，所以向量a ⃗+b ⃗⃗与a ⃗的夹角为60°，故C 错误；向量a ⃗+b ⃗⃗在a ⃗上的投影向量为(a ⃗⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗⃗|a⃗⃗|a ⃗=2a ⃗，故D 正确.故选：BD.12、在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（ ） A ．bsinB =a+b+csinA+sinB+sinC B ．若A >B ，则sin2A >sin2B C ．a =bcosC +ccosBD ．若(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=12，则△ABC 为等边三角形 答案：ACD分析：A 由正弦定理及等比的性质可说明；B 令A =π3,B =π6可得反例；C 由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理即可证；D 若AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ABC 的形状. A ：由asinA=b sinB=c sinC，根据等比的性质有bsinB=a+b+c sinA+sinB+sinC，正确；B ：当A =π3,B =π6时，有sin2A =sin2B ，错误；C ：sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)，而B +C =π−A ，即sinBcosC +sinCcosB =sinA ，由正弦定理易得a =bcosC +ccosB ，正确；D ：如下图，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|是单位向量，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0、AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗且AG 平分∠BAC ，AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为π3， 易知△ABC 为等边三角形，正确.故选：ACD小提示：关键点点睛：D 选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状. 13、已知向量m ⃗⃗⃗=(1,0)，n ⃗⃗=(12,12)，则（ ）A ．|m ⃗⃗⃗|=√2|n ⃗⃗|B ．(m ⃗⃗⃗−n ⃗⃗)//n ⃗⃗C ．(m ⃗⃗⃗−n ⃗⃗)⊥n ⃗⃗D ．m ⃗⃗⃗与n ⃗⃗的夹角为π4 答案：ACD解析：由m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗的坐标，根据向量模、夹角的坐标表示及向量垂直、平行的判定即可判断各选项的正误. ∵m ⃗⃗⃗=(1,0)，n ⃗⃗=(12,12)， ∴|m ⃗⃗⃗|=1，|n ⃗⃗|=√(12)2+(12)2=√22， ∴|m ⃗⃗⃗|=√2|n ⃗⃗|，故A 正确； ∵m →−n →=(12,−12)，∴m ⃗⃗⃗−n ⃗⃗与n ⃗⃗不平行，故B 错误； 又(m ⃗⃗⃗−n ⃗⃗)⋅n ⃗⃗=0，C 正确； ∵cos〈m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗〉=m⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|=√22，又〈m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗〉∈[0,π]，∴m ⃗⃗⃗与n ⃗⃗的夹角为π4， D 正确. 故选：ACD 填空题14、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________. 答案：分析：由余弦定理计算．因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，b 2=2a 2，所以cos B ＝a 2+c 2−b 22ac＝a 2+4a 2−2a 22a⋅2a＝.所以答案是：．34343415、已知向量a ⃗=(3k,3)，b ⃗⃗=(−6,k −7)，a ⃗⊥b ⃗⃗，k =______． 答案：−75分析：由两个向量垂直的坐标运算进行计算即可.因为a ⃗⊥b ⃗⃗，所以a ⃗⋅b ⃗⃗=0，所以−18k +3(k −7)=0，解得k =−75． 所以答案是：−7516、已知A (2,3)，B (4,−3)，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点P 的坐标为___________. 答案：(103,−1)分析：设P(x,y)，根据向量的坐标表示求出AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗,BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，再由向量的数量关系列方程组求出P 的坐标即可. 设P(x,y)，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −2,y −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −4,y +3)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，有{，可得{， 所以P 的坐标为(103,−1).所以答案是：(103,−1) 解答题17、在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a =4,b =5,c =√21. （1）求角C 的大小； （2）求sinA 的值； （3）求sin (2A −π4)的值. 答案：（1）π3；（2）2√77；（3）4√6+√214. 分析：（1）由余弦定理求出cosC ，即可得出角C 的大小； （2）由正弦定理即可求出答案；（3）求出cosA ，由二倍角公式求出sin2A,cos2A ，再由两角差的正弦公式即可求出. （1）在△ABC 中，由余弦定理及a =4,b =5,c =√21，有 cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，又因为C ∈(0,π)，所以C =π3.（2）在△ABC 中，由正弦定理及C =π3,a =4;c =√21.可得sinA =asinC c=2√77. （3）由a <b 及sinA =2√77，可得cosA =√1−sin 2A =√217， sin2A =2sinAcosA =2×2√77×√217=4√37， cos2A =1−2sin 2A =1−2×2√77×2√77=−17，所以sin (2A −π4)=sin2Acos π4−cos2Asin π4=4√37×√22−(−17)×√22=4√6+√214.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，关键点是熟练掌握有关公式的运用，考查学生的数学运算能力.18、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，B =π3，a =3.(1)若，求b .(2)若______，求c 的值及△ABC 的面积.请从①b =√13，②sinC =2sinA ，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 答案：(1)3√62； (2)选①c =4，S △ABC =3√3；选②c =6，S △ABC =9√32分析：(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c 的值，再结合三角形的面积公式计算即可. (1)B =π3，a =3，A =π4，由正弦定理，得，所以b =a sinA ×sinB =√22√32=3√62； (2)选①：由余弦定理，得，即13=c 2+9−2×3c ×12，整理，得c 2−3c −4=0，由c >0，得c =4， 所以S △ABC =12acsinB =12×3×4×√32=3√3；4A π=sin sin b aB A =2222cos b a c ac B =+-选②：因为sinC=2sinA，由正弦定理，得c=2a，所以c=6，所以S△ABC=12acsinB=12×6×3×√32=9√32.。
2021年高考数学考点第六章平面向量与复数平面向量的概念及线性运算理.docx
考点6.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算|λa |＝|λ||a |，当3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？ 提示 不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .2．如何理解数乘向量λa .提示 λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量．1．（2020•海南）在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ） A ．2CD CA + B ．2CD CA - C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C【解析】在ABC ∆中，D 是AB 边上的中点， 则CB CD DB CD AD =+=+ ()CD AC CD =++ 2CD CA =-．故选C ．2．（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， 12EB AB AE AB AD =-=-11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-， 故选A ．1．（2020•绥化模拟）已知点D 在ABC ∆的边AC 上，2CD DA =，点E 是BD 中点，则EC =（ ） A ．1233AB AC +B ．1223AB AC + C ．1536AB AC -+D ．1526AB AC -+【答案】D【解析】如图，根据题意，1121215()()()2232326EC CD CB CA AB AC AC AC AB AB AC =-+=-+-=---+=-+．故选D ．2．（2020•东莞市二模）已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230OA OB OC --=，则（ ）A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AC =-+ C ．123OA AB AC =-D ．123OA AB AC =-- 【答案】A【解析】因为点O 满足161230OA OB OC --=， 故1212330OA OA OB OA OC +-+-=；即：1230OA BA CA ++=⇒123OA AB AC =+； 故选A ．3．（2020•湖北模拟）在平行四边形ABCD 中，点为BC 的中点，设，，则（ ） A ．1344a b +B ．1344a b -C ．3144a b +D ．3144a b -【答案】D 【解析】 如图，1122AB DC a b ==-，1122BC b a =+，∴111244BM BC b a ==+， ∴111131224444AM AB BM a b b a a b =+=-++=-． 故选D ．4．（2020•毕节市模拟）如图，在中，，是BN 上一点，若，则实数的值为（ ）A ．16B ．23C ．12D ．34【答案】C 【解析】2AN NC =，∴32AC AN =， ∴1132AP t AB AC t AB AN =+=+，且B ，P ，N 三点共线， ∴112t +=，解得12t =． 故选C ．5．（2020•江西一模）在中，，为AD 的中点，则等于（ ） A ．1263AB AC - B ．2136AB AC - C ．1536AB AC -D ．5163AB AC -【答案】A【解析】BC AC AB =-， 22()33BD BC AC AB ==-， 212()333AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+，111263AE AD AB AC ==+，11126363CE AE AC AB AC AC AB AC =-=+-=-． 故选A ．6．（2020•沙坪坝区校级模拟）如图，AB 是圆的一条直径，，是半圆弧的两个三等分点，则（ ）A ．AC AD -B ．22AC AD - C ．AD AC - D ．22AD AC -【答案】D【解析】C ，D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，∴22()22AB CD AD AC AD AC ==-=-．故选D ．7．（2020•湖北模拟）在所在平面上有三点、、，满足，，，则的面积与的面积之比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:5【答案】B【解析】由PA PB PC AB ++=，得PA PC AB PB +=-， 即PA PC AB BP +=+， 即PA PC AP +=，∴2PC AP =，P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，PQR ∆的面积为ABC ∆的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1:3；故选B ．8．（2019•西湖区校级模拟）化简：（ ） A ．AD B ．ACC ．DAD ．DB【答案】A【解析】AB DC CB AB BC CD AD --=++=． 故选A ．9．（2019•西湖区校级模拟）如图，在四边形ABCD 中，设，，，则（ ）A ．a b c -+B ．()b a c -+C ．a b c ++D ．b a c -+【答案】A【解析】DC AC AD =- AB BC AD =+-a cb =+-，故选A ．10．（2019•榆林一模）已知向量、满足，，，则（ ）A ．2BC D【答案】A【解析】根据题意得，222()2a b a b a b -=+- 又222()21426a b a a b b a b +=++=++= 21a b ∴=，2()1414a b ∴-=+-=，∴2a b-=．故选A ．11．（2019•西湖区校级模拟）在空间四边形OABC 中，，，，点在线段OA 上，且，为BC 的中点，则等于（ ） A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．112223a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【解析】因为空间四边形OABC 如图，OA a =，OB b =，OC c =， 点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点， 所以1122ON c b =+．所以211322MN ON MO a b c =+=-++．故选B ．12．（2020•内三模）如图，在中，点为线段AC 上靠近点的三等分点，点为线段BQ 上靠近点的三等分点，则（ ）A ．1233BA BC +B ．5799BA BC +C ．11099BA BC +D ．2799BA BC +【答案】B 【解析】根据题意，2212112572()()333333999PA PC BA BP BC BP BA BC BP BA BC BQ BA BC BA AQ BA BC AC BA BC BC BA BA BC+=-+-=+-=+-=+-+=+-=+--=+． 故选B ．13．（2020•湖北模拟）中，点为BC 的中点，，为AD 与CE 的交点，若，则实数（ ） A ．14B ．13C ．25D ．12【答案】D【解析】如图，D 为BC 的中点，∴1122AD AB AC =+， 又AM AD λ=，且3AB AE =，∴32222AM AB AC AE AC λλλλ=+=+，且E ，M ，C 三点共线， ∴3122λλ+=，解得12λ=． 故选D ．14．（2020•厦门一模）在直角中，，，，是的内心，则（ ） A ．2134AB AC -+B ．2134AB AC - C ．2133AB AC -+D ．2133AB AC -【答案】A【解析】如图所示，建立直角坐标系．10BC ==．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF 为正方形，∴内切圆的半径681022r +-==． (2,2)D ∴，(6,0)B ，(0,8)C ．设BD mAB nAC =+，则(4-，2)(6m =，0)(0n +，8)．46m ∴-=，28n =，解得23m =-，14n =．∴2134BD AB AC =-+， 故选A ．15．（2020•达州模拟）在中，，分别为边AB ，AC 的中点，BE 与CD 交于点，设，，则（ ）A ．1133a b +B ．2233a b +C ．3344a b +D ．1166a b +【答案】A 【解析】由图，ABC ∆中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，∴12AD AB =，12AE AC =． B ，P ，E 三点共线，设1(1)(1)2AP mAB m AE mAB m AC =+-=+-，C ，P ，D 三点共线，设1(1)(1)2AP nAD n AC nAB n AC =+-=+-，∴121(1)12m n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1133AP AB AC =+， AB a =，AC b =，∴1133AP a b =+．故选A ．16．（2020•桥西区校级模拟）如图，圆是等边三角形ABC 的外接圆，点为劣弧AC 的中点，则（ ）A ．2133BA AC +B ．2133BA AC -C ．1233BA AC +D ．4233BA AC +【答案】A【解析】由题，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴BO AC ⊥， 点D 为劣弧AC 的中点，∴OD AC ⊥，∴//BO OD ，又因为BO OD O 和有公共点，所以B ，O ，D 三点共线．圆O 中，21121()()32333OD BO BA BC BA BA AC BA AC ==+=++=+ 故选A ．17．（2020•婺城区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，是BC 的中点，是线段AE 上靠近点的三等分点，则（ ）A ．1233AB AD -+B ．1233AB AD -C ．1536AB AD -D ．1334AB AD -【答案】C 【解析】由可知，111115()333636DF DA AF AD AE AD AB BE AD AB AD AB AB =+=-+=-++=-++=-，故选C ．18．（2020•七星区校级模拟）在中，是BC 边的中点，，CE 与AD 交于点，则（ ） A ．2233AB AC + B ．1334AB AC +C ．2255AB AC + D ．2299AB AC + 【答案】C【解析】设22AF AD AB AC λλλ==+，又设EF FC μ=，则1211331AF AE AC AB AC μμμμμμ=+=+++++，∴223321λλλμμ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，解之得45λ=， ∴2255AF AB AC =+， 故选C ．19．（2020•重庆模拟）已知向量，则当取最小值时，实数（ ） A ．15B ．13C ．12D ．1【答案】A 【解析】MP tMN =，且(1,0),(0,2)OM ON ==，∴()OP OM t ON OM -=-， ∴(1)(1,2)OP t OM tON t t =-+=-，∴||(1OP = ∴15t =时，||OP 取得最小值． 故选A ．20．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知向量，，，是线段BC 上两点，且，，则向量与的关系是（ ） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥ D ．AD 与AE 成60︒夹角【答案】A 【解析】114145168168()(,)(,)(6,8)5555577577AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+=+=，111215168268()(,)(,)(3,4)3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+=+=，所以2AD AE =， 故选A ．21．（2020•焦作一模）已知是的重心，且，则实数（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【答案】C【解析】22()(2)0OA OB BC OA OB OC OB OA OB OC λλλλ++=++-=+-+=， O 是ABC ∆的重心，∴0OA OB OC ++=，∴(2)OB OC OB OC λλ-+=+，1λ∴=．故选C ．22．（2020•2月份模拟）如图所示，中，点是线段BC 的中点，是线段AD 的靠近的三等分点，则（ ）A ．43AD BE + B ．53AD BE +C ．4132AD BE + D ．5132AD BE +【答案】B【解析】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+． 故选B ．23．（2020•山东模拟）在中，为AC 的中点，若，则（ ） A ．1 B ．12C ．23D ．43【答案】A 【解析】如图， O 为AC 的中点；∴1111()2222AO AC BC BA AB BC ==-=+； 又AO AB BC λμ=+；根据平面向量基本定理得，12λμ==； 1λμ∴+=．故选A ．24．（2020•湖南一模）在中，，且，则（ ） A ．1 B ．12C ．12-D ．14【答案】C【解析】根据条件画出图形如下：由BD DC =知，D 是边BC 的中点； 由AP PD =知，P 是线段AD 的中点；∴11111131()22242444BP BA BD AB BC AB AC AB AB AC =+=-+=-+-=-+； 又BP AB AC λμ=+；∴根据平面向量基本定理得，31,44λμ=-=； ∴12λμ+=-． 故选C ．25．（2020•重庆模拟）设点在的内部，且有，则的面积与的面积之比为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】A【解析】以OB 、OC 为邻边作平行四边形OBDC ，连接OD 交BC 于点M ， 如图所示；由3()2AB OB OC =+，则223OB OC AB OM +==，∴3AB OM =，ABC ∴∆的面积与BOC ∆的面积之比为1||||sin ||231||||||sin 2BC AB ABCAB OM BC OM OMC ∠==∠．故选A ．26．（2020•青羊区校级模拟）设是所在平面内一点，且，则（ ） A ．1322AB AC + B ．3122AB AC + C ．1233AB AC +D ．2133AB AC +【答案】C【解析】由向量的运算法则可得：BP AP AB =-，PC AC AP =-， 2BP PC =，∴2()AP AB AC AP -=-，整理可得32AP AB AC =+ 即1233AP AB AC =+ 故选C ．27．（2020•梧州模拟）如图，正方形ABCD 中，、分别是BC 、CD 的中点，若，则（ ）A ．2B ．83C ．65 D ．85【答案】D【解析】以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图： 设正方形边长为1，则1(1,)2AM =，1(2BN =-，1)，(1,1)AC =．AC AM BN λμ=+，∴112112λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 85λμ∴+=． 故选D ．28．（2019•湖北模拟）已知向量a 与b 的方向相反，||1a =，||2b =，则|2|a b -=__________． 【答案】5【解析】向量a 与b 的方向相反，||1a =，||2b =，∴||||cos 2a b a b π==-，22|2|44ab a a b b ∴-=-+5=．故答案为：5．29．（2019•新乡二模）在矩形ABCD 中，||2AB =，||4BC=，则||CB CA DC +-=__________． 【答案】【解析】如图，CA CB CD =+；∴2()2CB CADC CB CB CD CD CB CD CA +-=+++=+=；||2,||4AB BC ==；∴||20CA =∴||2||45CB CA DC CA +-==故答案为：30．（2020•江都区校级模拟）在ABC ∆中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AD DB =，2BE EC =，记AB a =，AC b =，若DE xa yb =+，则x y +的值为__________． 【答案】12【解析】如图，AD DB =，2BE EC =；∴12DB AB =，22()33BE BC AC AB ==-，且,AB a AC b ==； ∴1212()2363DE DB BE a b a a b =+=+-=-+； 又DE xa yb =+；∴根据平面向量基本定理得，12,63x y =-=； ∴12x y +=． 故答案为：12． 31．（2020•云南模拟）平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，120BAD ∠=︒，P 是平行四边形ABCD内一点，且1AP =，若AP xAB y AD =+，则32x y +的最大值为__________． 【答案】2 【解析】AP xAB y AD =+，∴22221()94232()2AP xAB yAD x y xy =+=++⨯⨯⨯-2223(32)332(32)(32)4x y x y x y x y =+-+-⨯+21(32)4x y =⨯+； 又2||1AP =，即21(32)14x y ⨯+，所以322x y +，当且仅当32x y =， 即13x =，12y =时，32x y +取得最大值2．故答案为：2．。
高中数学必修二 6 平面向量的共线定理、量积(精练)(含答案)
6.2.2 平面向量的共线定理、数量积(精练)【题组一 共线定理】1．(2021·江西宜春·高一期末)如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为( )A ．19B ．13C ．1D ．3【答案】A【解析】由题意可知，13AN NC =，所以4AC AN =，又29AP mAB AC =+，即89AP mAB AN =+.因为B 、P 、N 三点共线，所以819m +=，解得19m =. 故选：A ．2．(2021·黑龙江·哈师大附中高一期末)ABC 中，点M 满足CM MA λ=，若BM xBA yBC =+，则x y +的值为( ) A ．1 B ．23C ．12D ．13【答案】A【解析】因为CM MA λ=，所以()11111BM BC CA BC BA BC BC BA λλλλλλλ=+=+-=+++++， 又因为BM xBA yBC =+， 所以111y x λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此1x y +=，故选：A.3．(2021·上海·高一课时练习)如图所示，在ABC ∆中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，23AE AD =，AB a =，AC b =(1)用a 、b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线. 【答案】(1)1()2AD a b =+，1()3AE a b =+，12AF b =，1(2)3BE b a =-，1(2)2BF b a =-;(2)证明见解析. 【解析】(1)如图，延长AD 到G ，使12AD AG =连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，所以AG a b =+， 11()22AD AG a b ==+，21()33==+AE AD a b ，1122==AF AC b ，则 11()(2)33=-=+-=-BE AE AB a b a b a ，11(2)22=-=-=-BF AF AB b a b a .(2)证明：由(1)可知23BE BF =，因为BE 与BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线. 【题组二 共线定理的应用】1．(2021·福建·泉州五中高一期中)ABC 中，AM MB =，AN NC λ=，CM 与BN 相交于点O ，若AOM 与AON 的面积之比为3:4，则正实数λ的值为( ) A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由AOM 与AON 的面积之比为3:4，令AOM 的面积为3，则AON 的面积为4， 因为AM MB =，所以3AOMBOMS S==，因为AN NC λ=，所以14ONCAONS Sλλ==，因为2ABCAMCABNCBNSSSS==+，因为:AN NC λ=， 所以:ABNCBNSSλ=,所以3344(334)2(34)λλ+++++=⨯++，解得12λ=，故选：C2．(2021·上海市行知中学高一期中)设O 为△ABC 内部的一点，且230OA OB OC ++=，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为________． 【答案】2:1【解析】若2OD OB =，3OE OC =，∴230OA OB OC OA OD OE ++=++=，即O 为△ADE 的重心， 令AOCSx =，BOCSy =，则3AOES x =，6EODSy =，∴36x y =，由::2:1AOCBOCS Sx y ==，故答案为：2:13．(2021·浙江浙江·高一期末)已知O 为ABC 内的一点，满足340OA OB OC ++=，则AOC △与ABC 的面积之比为________． 【答案】38【解析】分别取,AC BC 的中点,D E ，连接,AE DE ，340OA OB OC ++=，()3OA OC OB OC ∴+=-+，即26OD OE =-， 3OD OE ∴=-，34DO DE ∴=，34AOC AECS S ∴=； 又E 为BC 中点，12AEC ABC S S ∴=，38AOC ABC S S ∴=. 故答案为：38.【题组三 向量的数量积】1．(2021·陕西·绥德中学高一月考(文))已知a ，b 均为单位向量，若a ，b 的夹角为23π，则a b ⋅=( ) ABC ．12D ．12-【答案】 D【解析】因为a ，b 均为单位向量，a ，b 的夹角为23π， 所以21cos 32a b a b π⋅=⋅⋅=-， 故选：D2．(2021·四川巴中·高一期末(理))在菱形ABCD 中，2AB BD ==，若点E 为BC 中点，则AD AE ⋅=( ) A ．2 B ．4 C ．2+D ．6【答案】B【解析】由E 为BC 中点知12AE AB BC =+，由菱形的性质知AD BC =，故12AE AB AD =+；由2AB BD AD ===知60DAB ∠=︒，所以22111122242222AD AE AD AB AD AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭． 故选：B.3．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=1，则AB BC 的值是_____.【答案】-1【解析】由题意可得，()2||||cos 180cos 1AB AB BC AB BC B AB BC B AB BC AB BC︒⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅∠=-⋅⋅=-=-.故答案为-1.4．(2021·全国·高一课时练习)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，2AF FD =，则BE CF ⋅=___________. 【答案】23【解析】由题可得12BE BC CE BA BC =+=+，13CF CD DF BA BC =+=-， 1123BE CF BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222151112202263233BA BA BC BC =+⋅-=⨯+-⨯=. 故答案为：23.5．(2021·全国·高一课时练习)(多选)在ABC 中，||2,||45AB AC BAC ==∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅的可能值有( ) A ．2- B ．1- C ．2 D ．3【答案】CD【解析】设(01)PC t AC t =≤≤，则(1)AP t AC =-， 因为(1)PB A AB AB t AC P =-=--,所以2=[(1)](1)AB t AC t AC t AB AC t t A PB PC C ⋅--⋅=⋅--22cos 45(1)t t =⨯⋅︒--⨯ 284t t =-2118()42t =--因为01t ≤≤，所以1·42PB PC -≤≤， 所以PB PC ⋅的取值范围为1[,4]2-，故选：CD【题组四 向量的夹角】1．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为( ) A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】由已知，1212121||||cos ,2e e e e e e ⋅=⋅⋅<>=， 所以22121211227(2)(32)622e e e e e e e e +⋅-+=-+⋅+=-，22212121122|2|(2)447e e e e e e e e +=+=+⋅+= 22212121122|32|(32)91247e e e e e e e e -+=-+=-⋅+=设向量122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为α， 则[]71cos ,0,1802αα-=-∈︒︒120α∴=︒故选：C2．(2021·天津红桥·高一学业考试)已知3a →=，2b →=，若3a b →→⋅=-，则a →与b →夹角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°【答案】C【解析】因为3a →=，2b →=， 3a b →→⋅=-,所以31cos ,322a ba b a b→→→→→→⋅-===-⨯,因为,0,180a b →→⎡⎤∈⎣⎦，所以,120a b →→=.故选：C3．(2021·江西·九江一中高一月考)已知非零向量,a b 满足43a b =，a 与b 夹角的余弦值为13，若()xa b b +⊥，则实数x =( )A ．4-B ．94-C ．4D ．94【答案】A【解析】由4||3||a b =可设||4(0)b t t =>，则||3a t =.因为()xa b b +⊥，所以()()221||344441603x xa b b x t t t b t t a x b =⋅+=⨯⨯+⋅⨯+⨯=+=，又0t >，所以4x =-.故选：A.4．(2021·福建泉州·高一期末)如图，在ABC 中，AB AC =，M ，N 分别是AB ，AC 的中点.(1)设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示BN ，CM ； (2)若BN CM ⊥，求cos BAC ∠.【答案】(1)12BN b a =-，12CM a b =-；(2)45.【解析】(1)因为M ，N 分别是AB ，AC 的中点，所以12AM a =，12AN b = 所以1122BN AN AB AC AB b a =-=-=-，1122CM AM AC AB AC a b =-=-=- (2)因为BN CM ⊥，所以0BN CM ⋅=，所以11022b a a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得221150224a b a b +-⋅=，又因为AB AC =，所以a b =即22a b =所以254a b a ⋅=即245a b a⋅=，所以2445cos 5aAB AC a b BAC AB AC a b a⋅⋅∠====⋅⋅5(2021·四川雅安·高一期末)设两个向量a ，b ，满足||2a =，1b ||=.(1)若(2)()22a b a b -⋅+=+a ，b 的夹角；(2)若a ，b 夹角为60°，向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)34π；(2)17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】(1)22(2)()24222a b a b a a b ba b ，2a b ⋅=-，即2cos 2a b a bθ⋅==-[0,]θπ∈，所以34πθ= (2)222(27)()2(27)70ta b a tb tat a b tb，且27ta b +与a tb +不共线，221570t t ∴++<，272t ≠172t ∴-<<-，且t ≠1417,,22t ⎛⎛⎫∴∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(2021·辽宁锦州·高一期末)已知1e ，2e 为单位向量，满足1235e e -≤，122a e e =+，12b e e =+，向量a ，b 的夹角为θ.(1)求12e e ⋅的取值范围； (2)求2cos θ的最小值. 【答案】(1)5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)99100. 【解析】1)因为1235e e -≤，所以21235e e -≤ 所以129615e e -⋅+≤，所以1256e e ⋅≥. 又12121212cos ,cos ,1e e e e e e e e ⋅==≤ 所以12e e ⋅的取值范围是5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)()()()2212122222212122cos 2e e e e a b a b e e e e θ⎡⎤+⋅+⋅⎣⎦==++ ()()()()2121212121233911085422e e e e e e e e e e +⋅+⋅==+⋅+⋅+⋅设12e e t ⋅=，则516t ≤≤所以()29191cos 1108854t t t θ+⎛⎫==- ⎪++⎝⎭9199158100546⎛⎫ ⎪≥-= ⎪ ⎪+⨯⎝⎭ 所以2cos θ的最小值是99100. 【题组五 向量的模长】1．(2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末)已知3,2,a b a ==与b 的夹角为6π，则a b+=___________.【解析】22223232413a b a a b b +⋅+=+⨯+==， 13a b ∴+=.2．(2021·上海·高一课时练习)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2BC ＝16，AB AC AB AC+=-，则|AM |等于________． 【答案】2【解析】由216BC =，得||4BC =，||||||4AB AC AB AC CB +=-==，而||2||AB AC AM +=∴||2AM =故答案为：2．3．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ，b 的夹角为120°，|a ﹣2b |＝2|a |＝2，则|b |＝___． 【解析】向量,a b 的夹角为120︒，222a b a -==， ∴2(2)4a b -=，||1a =，22444a a b b ∴-⋅+=，即2141||cos1204||4b b -⋅⋅⋅+=，求得113||4b -+=.4．(2021·全国·高一课时练习)已知,a b 为共线的两个向量，且1,2a b ==，则2a b -=___. 【答案】0或4【解析】依题意,a b 共线，且为非零向量， 当,a b 同向时，1212a b ⋅=⨯⨯=，()2222244480a b a ba ab b -=-=-⋅+=-，当,a b 反向时，()1212a b ⋅=⨯⨯-=-，()2222244484a b a b a a b b -=-=-⋅+=+=.故答案为：0或45．(2021·山东任城·高一期中)已知平面向量a ，b ，c 满足2a =，1b =，1a b ⋅=-，且a c -与b c -的夹角为4π，则c 的最大值为 ______________．【【解析】∵2a ||=，1b ||=，1a b ⋅=-，∴cos ＜a ，b ，即a 与b 的夹角为34π，如图，作OA a =，OB b =，OC c =，连接AC ，BC ，则a c -＝CA ，b c -＝CB ， ∴∠ACB ＝4π， 又∠AOB ＝34π，∴O ，A ，C ，B 四点共圆， 故当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时A ＝B ＝2π，OA OB ＝1，∠BOC ＝34π﹣∠AOC ，在Rt AOC △中，OC ＝cos OAAOC∠，在Rt BOC 中，OC ＝cos OBBOC∠，∴cos OA AOC ∠＝cos OB BOC ∠＝13cos()4AOC π-∠，∴cos ∠AOC (∠AOC ∠AOC )， 整理得，2cos ∠AOC ＝sin ∠AOC ， ∴tan ∠AOC ＝2，cos ∠AOC∴OC ＝1|c |．6．(2021·河南·高一期末)向量a ，b 满足1a =，()0a b a +⋅=，()2a b b +⊥，则b =___________.【解析】由题意，()0a b a +⋅=，()2a b b +⊥20a a b ∴+⋅=，220a b b ⋅+= 222b a ∴= ||2||2b a ∴==7．(2021·上海·高一课时练习)设1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+，,x y R ∈．若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________． 【答案】2 【解析】1e ，2e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于6π，∴1211cos 6e e π⋅=⨯⨯=当0x =时，则||0||x b =；非零向量12b xe ye =+，22212||2b b x xye e y ∴==+⋅+=∴当0x ≠时，2||||x b x ==+ 故当y x =时，||||x b 取得最大值为2， 综上，||||xb 取得最大值为2．故答案为：2．8．(2021·全国·高一课时练习)在平行四边形ABCD 中，已知||1,||2,1AB AD AB AD ==⋅=，则||AC =( ) A B C ．D ．【答案】B【解析】在平行四边形ABCD 中，AC AB AD =+，因||1,||2,1AB AD AB AD ==⋅=， 于是得2222||()21AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=所以||7=AC .故选：B9．(2021·全国·高一课时练习)若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a b ⊥，则||a b c --的最小值为( ) A 1 B ．1 C 1 D 【答案】A【解析】因为0a b ⋅=，所以2222b a b a a b -=+-⋅= ∴()()22222232a b c a b c a b b a c b a c --=++⋅+-⋅=+--⋅则当c 与b a -反向时()b a c -⋅最小，a b c --最小，此时()b ac -⋅=所以32a b c --≥-1，所以a b c --的最小值为1， 故选：A.10．(2021·上海·高一课时练习)在△ABC 中，1,2||||AC AB BC BAAB BA ⋅⋅==，则AB 边的长度为( ) A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】B 【解析】由1||AC AB AB ⋅=得||||cos 1||AC AB AAB ⋅=，即||cos 1AC A =，所以222||||||||12||||AB AC BC AC AB AC +-⋅=⋅，所以222||||||2||AB AC BC AB +-=， 同理由2||BC BABA ⋅=可得222||||||4||BC BA AC AB +-=， 两个等式相加可得22||6||AB AB =，解得||3AB =， 所以AB 边的长度为3. 故选：B【题组六 向量的投影】1．(2021·重庆·西南大学附中)已知向量a ，b 满足3=a ，2b =，且a ⊥(a -b )，则a 在b 方向上的投影为( )A B ．3 C ．D ．32【答案】D【解析】由题设，2()0a a b a a b ⋅-=-⋅=，即2||||cos ,a b a b a ⋅<>=， ∴3cos ,2a b <>=. ∴a 在b 方向上的投影为3||cos ,2a ab <>=.故选：D2．(2022·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足：||||2==a b ，2a b ⋅=-，且||1+-=a b c ，则向量c 在向量a 方向上的投影的取值范围为___________. 【答案】[0,2]【解析】平面向量a ，b ，c 满足：||||2==a b ，2a b ⋅=-，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos 4cos 2a b a b θθ⋅=⋅==-，所以1cos 2θ=-，因为[]0,θπ∈，所以23θπ=如图，将a ，b ，c 的起点重合，可知a b +与a 的夹角为60︒，又因为||2a b +=，||1+-=a b c ，所以向量c 在向量a 方向上的投影的最小值为0，最大值为2，所以向量c 在向量a 方向上的投影的取值范围为[0,2]故答案为：[0,2]3．(2021·河北·高三月考)已知向量a 、b 满足24a b ==，26a b -=，则b 在a 上的投影为______． 【答案】12-【解析】根据题意，()22226242242a b a b a b a b a b -=⇔-=⇔+-⋅=⇒⋅=-，所以b 在a 上的投影为1cos ,2a b b b aa ⋅<>==-，故答案为：12-.4．(2021·江西·临川一中高三月考(文))已知4b =，a 与b 的夹角150θ︒=，则向量b 在向量a 方向上的投影为___________.【答案】-【解析】4b =，a 与b 的夹角150θ︒=b ∴在a 方向上的投影为cos 4cos1504b θ︒⎛=⨯=⨯=- ⎝⎭故答案为：-5．(2021·云南·昭通市昭阳区第一中学高二月考(文))已知向量a 与b 的夹角为30，且3a =，1b =，设m a b =+，n a b =-，则向量m 在n 方向上的投影为___________． 【答案】2【解析】a 与b 的夹角为30，且3a =，1b =∴ 3·31cos302a b ︒=⨯⨯=,()222=2321n a b a a b b ∴=--+=-又m a b =+，n a b=-()()222m n a ba b ab ∴=+-=-=，设,=m n θ,m 在n 方向上的投影为cos ,=m n m n m m n m m nn⋅=m ∴在n 方向上的投影为=2m n n故答案为：26．(2021·云南省大姚县第一中学高一月考)已知||2,a e =为单位向量，当它们的夹角为56π时，则a 在e 方向上的投影为________．【答案】【解析】因为a 在e 方向上的投影为cos a a e ，，且2a =，所以5cos 2cos 6a a e π==，，故答案为：7．(2021·河北·石家庄市华西高级中学高一月考)已知3a =，5b =且,45a b =，则a 在b 上的投影向量为__________．【解析】因为3a =，5b =且,45a b =， 则a 在b 上的投影向量为232cos 4532510b b a b b =⨯⨯=，. 8．(2021·重庆市江津中学校高一月考)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+，OA AB =，则向量BA 在向量BC 上的投影向量为________． 【答案】14BC【解析】由2AO AB AC =+，可得O 为BC 的中点，设△ABC 的外接圆的半径为r ，可得|AB |＝|OA |＝|OB |＝|OC |＝r ，2BC r =, 则60ABC ∠=所以向量BA 在向量BC 上的投影为cos602r BA =， 则向量BA 在向量BC 上的投影向量为124r BC BC BC ⋅=. 故答案为：14BC .【题组七 向量的综合运用】1．(2021·全国·高一课时练习)已知在ABC 中，4,8AB AC AB AC ==⋅=，则ABC 的形状是( )三角形 A ．直角 B ．等腰直角 C ．等边 D ．钝角【答案】C【解析】由题得||||cos AB AC AB AC BAC →→→→⋅=∠，所以8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12， 因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°. 又AB ＝AC ，故ABC 是等边三角形. 故选：C.2．(2021·云南·昆明市外国语学校高一月考)若O 为ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OA OB OA OB OC -⋅+-=，则ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】在ABC 中，取AB 的中点D ，连接CD ，如图所示：因为()(2)0OA OB OA OB OC -⋅+-=， 所以()()0OA OB OA OC OB OC -⋅-+-=，所以()020BA CA CB BA CD ⋅+=⇒⋅=，即BA CD ⊥，即AC BC =. 又因为ABC 中是否有直角不确定，AC 和AB 是否相等也无法确定， 所以ABC 为等腰三角形. 故选：A3．(2021·云南省下关第一中学高一期中)在ABC 中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC 的( ) A ．垂心 B ．外心 C ．重心 D ．内心【答案】D【解析】因为3,2AB AB AC AC ====,∴133242AB AC ==， 设0013,24AB AB AC AC ==,则00AB AC =， 又001324AD AB AC AB AC =+=+， ∴AD 在BAC ∠的角平分线上， 由于三角形中AB AC ≠,故三角形的BC 边上的中线，高线，中垂线都不与BAC ∠的角平分线重合， 故AD 经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心， 故选D.4．(2021·上海·高一专题练习)O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ⎛⎫⎪=++⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【答案】B【解析】因为,AB AC ABAC分别表示向量,AB AC 方向上的单位向量，所以AB AC ABAC+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又因为AB AC OP OA AB AC μ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭， 所以AB AC OP OA AP AB AC μ⎛⎫⎪-==+ ⎪⎝⎭， 所以向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致 所以P 点的轨迹一定经过ABC 的内心． 故选：B ．5．(2021·吉林·延边二中高一月考)点,,O N P 满足||||||,0,OA OB OC NA NB NC PA PB PB PC PC PA ==++=⋅=⋅=⋅则点,,O N P 依次是ABC 的( )A ．重心，外心，垂心B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，重心，内心【答案】C【解析】依题意，由||||||OA OB OC ==得，O 到ABC 的三个顶点的距离相等， 所以O 为外心；设AB 的中点为D ，则由0NA NB NC →++=得2ND NC =-，所以N 为重心； 由PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅得0PB CA ⋅=， 所以PB AC ⊥，同理可得PA BC ⊥，所以P 为垂心. 故选：C6．(2021·河北·张家口市第一中学高一月考)(多选)下列命题中假命题的是( ) A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使()a b R λλ=∈ B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若||1a b ->，则ππ3θ<≤ C ．若0a b ⋅=，则a b ⊥D ．已知1e 与2e 是互相垂直的单位向量，若向量12e ke +与12ke e +的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是0k >.【答案】ACD【解析】A.根据共线向量定理可知，此时0b ≠，故错误；B.因为||1a b ->，所以2221a a b b -⋅+>，所以2cos 1a b θ<，所以1cos 2θ<， 又因为[]0,θπ∈，所以π3θπ<≤，故正确； C.当,a b 中有零向量时，此时0a b ⋅=，因为零向量方向是任意的，所以a b ⊥不一定满足，故错误； D.因为向量12e ke +与12ke e +的夹角为锐角，所以()()12120k k e e e e +⋅+>， 所以20k >，即0k >，且12e ke +与12ke e +不同向，当向量12e ke +与12ke e +共线时，设()1212e ke ke e λ+=+，所以1k k λλ=⎧⎨=⎩，所以1k =±，显然1k =时，12e ke +与12ke e +同向， 综上可知，k 的取值范围是()()0,11,+∞，故错误；故选：ACD.7．(2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末)(多选)G 是ABC 的重心，2AB =，4AC =，120CAB ∠=︒，P 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )A ．0GA GB GC ++=B ．AC 在AB 方向上的投影向量等于AB C ．43GB AG ⋅=-D ．()AP BP CP ⋅+的最小值为-1 【答案】AC【解析】A ：当点G 为ABC 的重心时，如图所示：四边形BDCG 为平行四边形，根据重心性质可得2AG GO =.则20GA GB GC GA GD GA GO ++=+=+=，∴A 正确，B ：∵AC 在AB 方向上的投影为1cos120422AC ⎛⎫︒=⨯-=- ⎪⎝⎭，∴AC 在AB 方向上的投影向量为AB -，∴B 错误， C ：∵G 是ABC 的重心， ∴()()()1112333GB BA BC BA BA AC AB AC =-+=-++=-，()13AG AB AC =+， ∴()()()22112299GB AG AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=-⋅+=+⋅- 11482416923⎡⎤⎛⎫=+⨯⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴C 正确， D ：当P 与G 重合时，∵()()AP BP CP AG BG CG ⋅+=⋅+ ()22214293AG AB AC AB AC =-=-++⋅=-，与()AP BP CP ⋅+的最小值为1-矛盾 ∴D 错误， 故选：AC ．8．(2021·江苏·常熟市海虞中学高一月考)(多选)设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，则下列结论中正确的有( ) A ．a b a b -<-B ．()()0a b c c a b ⋅⋅-⋅⋅=C ．()()b ac c a b ⋅-⋅与a 垂直 D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-【答案】CD 【解析】对于A ：由向量的减法运算以及其几何意义可知：a b a b -≤-，当a ，b 同向时等号成立，故选项A 不正确；对于B ：()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()c a b ⋅⋅表示与b 共线的向量，所以()()0a b c c a b ⋅⋅-⋅⋅=不一定成立，故选项B 不正确；对于C ：()()()()0b a c c a b a b a c a c a b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦，所以()()b ac c a b ⋅-⋅与a 垂直，故选项C 正确；对于D ：()()222222323296649494a b a b a a b a b b a b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-=-，故选项D 正确； 故选：CD.9．(2021·福建·三明一中高一月考)(多选)下列说法正确的是( )A ．两个向量的夹角的范围是[]0,π．B ．向量AB 与向量CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．C ．两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．D ．若()0a b a c a ⋅=⋅≠，则b c =【答案】AC【解析】A 选项，两个向量的夹角的范围是[]0,π，A 正确.B 选项，向量AB 与向量CD 是共线向量，则,,,A BCD 不一定四点共线，B 错误.C 选项，两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量，C 正确.D 选项，()0cos ,cos ,a b a c a a b b a a c a c ⋅=⋅≠⇔=cos ,cos ,b a b a c c ⇔=，无法得出b c =，D 错误. 故选：AC10．(2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一月考)(多选)设O 为ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则正确的( )A ．O 为ABC 的外心||||||sin a OA OB OC A⇔=== B ．O 为ABC 的重心0OA OB OC ⇔++=C ．O 为ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅D ．O 为ABC 的内心0aOA bOB cOC ⇔++=【答案】BCD【解析】A.当O 为三角形的外心，由正弦定理可得：2sin a OA OB OC A===，故A 错误； B.当O 为三角形的重心，O 为中线的交点，延长AO 交BC 于点M ，可得2AO OM =，所以2,0AO OM OB OC OA OB OC ==+∴++=.反之，取BC 中点M ，若0OA OB OC ++=，则20OA OM +=，则可得A ,O ,M 三点共线且2OA OM =，即A 为三角形的重心.故B 正确；C.当O 为三角形的垂心，0()0OA BC OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⊥⇒=⇒-=⇒=，同理可证OB OC OA OB =，即OA OB OB OC OC OA ==，反之也成立，故C 正确；D. 当O 为三角形的内心，O 为三角形的角平分线，则,AF AE bc a BF a CE==，如图过A 作CF 的平行线交BE 的延长线于点N ，过A 作BE 的平行线交CF 于点M ，则四边形AMON 为平行四边形OM ON AEAFc b OA OM ON CO BO CO BO CO BO CE BF a aCO BO =+=+=+=+ 所以00aOA cCO bBO aOA cOC bOB --=⇒++=，反之也成立，故D 正确； 故选：BCD.。
2022-2023学年高一下数学：复数(附答案解析)
2022-2023学年高一下数学：复数
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•湖南期中）已知复平面内向量（O为坐标原点）的坐标为（﹣2，1），则向量对应的复数为（）
A．﹣2+i B．2+i C．1﹣2i D．1+2i
2．（2021
秋•丰台区期末）在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2021秋•嘉兴期末）复数z满足z（1﹣i）+1＝0，则|z|＝（）
A．1B ．C ．D ．
4．（2021秋•巍山县校级期末）已知复数z
满足＝1﹣i ，则＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．5．（2022•宝鸡模拟）复数的虚部（）
A．i B．﹣i C．1D．﹣1 6．（2021秋•市中区校级期中）已知复数，则Z﹣|Z|在复平面内对应的点所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2021秋•莲湖区校级期中）i
是虚数单位，计算等于（）
A．﹣2i B．0C．2i D．2 8．（2021秋•浙江期中）复数z＝a+（2﹣a）i（a∈R，i为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线y＝x上，则|z|＝（）
A ．B．2C ．D．10 9．（2021秋•无锡期中）设复数z满足2z +＝3+6i，则z等于（）
A．1+2i B．1+6i C．3+2i D．3+6i 10．（2021春•枣庄期中）瑞士著名数学家欧拉发现公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数
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