第06练-平面向量与复数(解析版)
浙江省2021届高考数学一轮复习第六章平面向量复数加强练六平面向量复数含解析
加强练(六) 平面向量、复数一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2020·温州适应性考试)已知i 是虚数单位，则2i1＋i ＝( )A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i解析2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝1＋i ，故选B. 答案 B2.(2020·北京东城区一模)设E 为△ABC 的边AC 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ，n 的值分别为( ) A.－1，12B.12，－1 C.－12，1D.1，12解析 ∵BE →＝12(BA →＋BC →)＝BA →＋BA →＋AC →2＝－AB →＋12AC →，∴m ＝－1，n ＝12.答案 A3.(2019·诸暨期末)已知a ，b ，c ∈R ，i 是虚数单位，若1＋a ib ＋i ＝c i ，则( )A.a ＝bB.a ＝1bC.a ＝－bD.a ＝－1b解析 由题意得1＋a i ＝c i(b ＋i)＝－c ＋bc i ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝－c ，a ＝bc ，则a ＝－b ，故选C.答案 C4.(2019·浙江十校联盟适考)若复数z ＝1－b i2＋i (b ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为( ) A.3 B.±3 C.－3D.± 3解析 由复数z ＝1－b i 2＋i ＝（1－b i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝2－b －（2b ＋1）i 5的实部和虚部相等得2－b5＝－2b ＋15，解得b ＝－3，故选C.答案 C5.(2020·北京石景山区期末)已知平面向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，则下列关系正确的是( ) A.(a ＋b )⊥b B.(a ＋b )⊥a C.(a ＋b )⊥(a －b ) D.(a ＋b )∥(a －b )解析 a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－12，3－12，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋32，3＋12，∵(a ＋b )·(a －b )＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b ).答案 C6.(2020·北京西城区二模)设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则|a ＋t b |的取值范围是( ) A.[2，＋∞) B.[3，＋∞) C.[2，6]D.[3，6]解析 |a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋2a ·b t ＋t 2b 2＝4＋2t ＋t 2＝（t ＋1）2＋3≥3，当t ＝－1时取等号. 答案 B7.(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2.∵|a |＝2|b |，∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B.答案 B8.(2020·北京大兴区期末)已知i ，j ，k 为共面的三个单位向量，且i ⊥j ，则(i ＋k )·(j ＋k )的取值范围是( )A.[－3，3]B.[－2，2]C.[2－1，2＋1]D.[1－2，1＋2]解析 由i ⊥j ，则i ·j ＝0，又i ，j 为单位向量，则|i ＋j |＝i 2＋j 2＋2i ·j ＝2， 则(i ＋k )·(j ＋k )＝i ·j ＋(i ＋j )·k ＋k 2＝(i ＋j )·k ＋1＝|i ＋j |cos 〈i ＋j ，k 〉＋1＝2cos 〈i ＋j ，k 〉＋1， 由－1≤cos〈i ＋j ，k 〉≤1，由(i ＋k )·(j ＋k )的取值范围是[1－2，1＋2]. 答案 D9.(2019·郑州二预)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝7，若对于任意实数k ，不等式|k a ＋t b |＞1恒成立，则实数t 的取值范围是( )A.(－∞，－3)∪(3，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ C.(3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 由题意可得|a |2－2a ·b ＋|b |2＝7，又|a |＝1，|b |＝2，所以1－2a ·b ＋4＝7，即a ·b ＝－1.|k a ＋t b |＞1恒成立，即k 2|a |2＋2kt a ·b ＋t 2|b |2＞1恒成立，即k 2－2kt ＋4t 2－1＞0恒成立，则关于k 的方程k 2－2tk ＋4t 2－1＝0的判别式Δ＝4t 2－4(4t 2－1)＜0，所以t 2＞13，解得t ＞33或t ＜－33，故选B. 答案 B10.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，若a ⊥b ，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为( ) A.29 B.29－3 2 C.19－2 3D.5解析 因为a ，b ，c 为平面内三个单位向量，且a ⊥b ，则不妨设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1，则|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |＝（2x ＋1）2＋（2y ）2＋（x －3）2＋（y －2）2＝3（x 2＋y 2）＋x 2＋y 2＋4x ＋1＋（x －3）2＋（y －2）2＝（x ＋2）2＋y 2＋（x －3）2＋（y －2）2，其表示圆心在原点的单位圆上的点到点A (－2，0)，B (3，2)的距离之和，因为直线AB 与单位圆有交点，所以|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |＝（x ＋2）2＋y 2＋（x －3）2＋（y －2）2≥（3＋2）2＋（2－0）2＝29，当且仅当点(x ，y )为圆心在原点的单位圆与直线AB 的交点时，等号成立，所以|a ＋2c |＋|3a ＋2b －c |的最小值为29，故选A. 答案 A二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11.(2019·天津卷)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________.解析 ∵5－i 1＋i ＝（5－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.答案1312.(2020·北京朝阳区一模)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.解析 由向量平行的充要条件可得2×x －1×(－1)＝0，解得x ＝－12；由向量垂直的充要条件得2×1＋(－1)x ＝0，解得x ＝2. 答案 －12213.(2020·嘉、丽、衢模拟)设i 为虚数单位，给定复数z ＝（1－i ）41＋i ，则z 的虚部为________，|z |＝________.解析 复数z ＝（1－i ）41＋i ＝－41＋i ＝－4（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－2＋2i ，则复数z 的虚部为2，|z |＝（－2）2＋22＝2 2. 答案 2 2 214.(2019·北京东城区二模)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点.当点P 在BC 边上时，AB →·OP →的值为________；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB →·OP →的最小值为________.解析 以A 为原点建立平面直角坐标系， 则A (0，0)，O (1，0)，B (2，0)，(1)设P (2，b )，AB →·OP →＝(2，0)·(1，b )＝2； (2)当点P 在BC 上时，AB →·OP →＝2；当点P 在AD 上时，设P (0，b )，AB →·OP →＝(2，0)·(－1，b )＝－2； 当点P 在CD 上时，设点P (a ，1)(0＜a ＜2)， AB →·OP →＝(2，0)·(a －1，1)＝2a －2，因为0＜a ＜2，所以，－2＜2a －2＜2，即AB →·OP →∈(－2，2)，综上可知，AB →·OP →的最小值为－2.答案 (1)2 (2)－215.(2020·成都一诊)已知G 为△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ，若AP →＝λAB →，则△ABC 与△APQ 的面积之比为________.解析 设|AQ →||AC →|＝μ，AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1λAP →＋1μAQ →＝13λAP →＋13μAQ →，由于P ，G ，Q 三点共线，故13λ＋13μ＝1，μ＝λ3λ－1.由于△ABC 与△APQ 有公共角A ，由三角形面积公式得S △ABCS △APQ ＝|AB →|·|AC →|·sin A |AP →|·|AQ →|·sin A ＝1λμ＝3λ－1λ2. 答案3λ－1λ216.(2020·北京朝阳区一模)在平面内，点A 是定点，动点B ，C 满足|AB →|＝|AC →|＝1，AB →·AC →＝0，则集合{P |AP →＝λAB →＋AC →，1≤λ≤2}所表示的区域的面积是________.解析 以A 为原点建立平面直角坐标系，由于|AB →|＝|AC →|＝1，AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，故设B (cos α，sin α)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2，即C (－sin α，cos α)，设P (x ，y )，由AP →＝λAB →＋AC →得(x ，y )＝(λcos α－sin α，λsin α＋cos α)，即x ＝λcos α－sin α，y ＝λsin α＋cos α，则x 2＋y 2＝λ2＋1，故P 表示的是原点在圆心，半径为λ2＋1的圆，由于1≤λ≤2，故P 点所表示的区域是圆心在原点，半径为2，5的两个圆之间的扇环，故面积为π×5－π×2＝3π. 答案 3π17.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|2a ＋b |＋|b |＝4，则|a ＋b |的最大值为________，|a ＋b |的最小值为________.解析 |a |＝1，不妨设a ＝(1，0)，由|2a ＋b |＋|b |＝4，得|a ＋b ＋a |＋|a ＋b －a |＝4，令z＝a ＋b ＝OZ →(O 为坐标原点)，点Z 的轨迹是以(－1，0)，(1，0)为焦点的椭圆，方程为x 24＋y 23＝1，长半轴为2，短半轴为3，∴|a ＋b |＝|z |∈[3，2]. 答案 23。
高考数学一轮复习第六章 平面向量与复数答案
第六章 平面向量与复数 第29讲 平面向量的概念与线性运算链教材·夯基固本 激活思维 1.ABD【解析】对于A ，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故A 不正确；对于B ，由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，并不能判断方向，故B 不正确；对于C ，因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件可得a ＝b ，故C 正确；对于D ，若向量a 与向量b 中有一个是零向量，则其方向不确定，故D 不正确．故选ABD.2. ACD 【解析】 对于A ，AB→＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0，故A 正确；对于B ，OA →＋OC→＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝CA →－CB →＝BA→，故B 错误；对于C ，AB →－AC →＋BD →－CD →＝CB →＋BC →＝0，故C 正确；对于D ，NQ →＋QP→＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0，故D 正确．故选ACD. 3. C 【解析】 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB→.故选C.4.B【解析】由于c 与d 反向共线，则存在实数k ，使得c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.5. 12 【解析】 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝23－16＝12.(第5题)知识聚焦3. b ＝λa4. 12(OA →＋OB →)研题型·融会贯通 分类解析【答案】 BC 【解析】 A 错误，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．B 正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→.又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此AB→＝DC→.C 正确，因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同，所以a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .D 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件．故选BC.【答案】 CD 【解析】因为向量AB→与BA →互为相反向量，所以它们的长度相等，所以A 正确；由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，所以B 正确；由共线向量定义知C 错误；因为零向量不能看作是有向线段，所以D 错误．故选CD.(1) 【答案】 A【解析】 在平行四边形ABCD 中，若CE →＝4ED →，则CE →＝45CD →，则BE→＝BC →＋CE →＝AD →＋45CD →＝－45AB →＋AD →.(2) 【答案】 B【解析】 因为DE →＝AE →－AD →＝23AC →－AB →－BD →＝23AC →－AB →－12BC →＝23AC →－AB →－12(AC →－AB →)＝－12AB →＋16AC →，又DE →＝x AB →＋y AC →，所以x ＝－12，y ＝16，所以x ＋y ＝－12＋16＝－13.(1) 【答案】 C【解析】 在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为CF→＝2FB →，所以CF →＝23CB →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD→，故选C.(2) 【答案】 C【解析】 如图，BP→＝BD →＋DP →＝BD →－PD →，AB→＝AD →＋DB →＝－BD →＋2PD →， AC→＝AD →＋DC →＝BD →＋2PD →， 则BP →＝λAB →＋μAC →＝(μ－λ)BD →＋(2λ＋2μ)PD →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，2λ＋2μ＝－1，则λ＋μ＝－12.(变式(2))(1) 【答案】 AD 【解析】(1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，可得λa ＝b (λ∈R )，即2λ＝k ，－λ＝1，解得k ＝－2，所以A 正确，B 错误．若e 1与e 2共线，则e 1＝m e 2(m∈R )，a ＝2e 1－e 2＝(2m －1)e 2，b ＝k e 1＋e 2＝(km ＋1)e 2，可得a 与b 共线，所以C 错误，D 正确．(2) 【答案】 43【解析】 由题知AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2，因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →与CD →共线，从而存在实数λ，使得AC→＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得k ＝43.【解答】(1)AE→＝AB→＋BE→＝2e 1＋e 2＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2，因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE→＝k EC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)， 得(1＋2k )e 1＋(1＋λ－k )e 2＝0.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，1＋λ－k ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2) 因为A ，B ，C ，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD→＝(2－x,4－y )，因为BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(6,3)＋(1，－1)＝(7,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝7，4－y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝2，所以点A 的坐标为(－5,2)． 课堂评价 1. C 2. ACD 3. BCD【解析】 分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA→是相反向量的共有18个，故A 错误；由|OA→－OB →|＝10，即|BA→|＝10，知格点B 共有3个，故B 正确；因为存在格点B ，C ，使得四边形OBAC 是以OA 为对角线的平行四边形，故存在格点B ，C ，使得OA→＝OB →＋OC →；不妨设O (0,0)，则A (1,2)，设B (x 0，y 0)，由OA→·OB →＝1，即x 0＋2y 0＝1，格点B (x 0，y 0)在一次函数y ＝－12x ＋12上，该直线正好经过图中4个格点，故选项D 正确．4. 13【解析】 设线段BC 的中点为M ，则OB→＋OC →＝2OM →.因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋1t AD →＝14AB →＋14t AD →.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.5.54【解析】 如图，取AB 的中点F ，连接CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以CF∥AD ，且CF ＝AD .因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →，所以λ＝34，μ＝12，所以λ＋μ＝54.(第5题)第30讲 平面向量的基本定理及坐标表示链教材·夯基固本 激活思维1. A 【解析】 由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB→＋13AC →＝13a ＋13b .故选A. 2. B【解析】 －3a －2b ＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－9,3)＋(2，－4)＝(－7，－1)．故选B. 3.D【解析】由a∥b ，知1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，即b ＝(－2，－4)，所以|b |＝(－2)2＋(－4)2＝25，故选D.4.C【解析】以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设AD ＝2，则B (4,0)，D (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，23，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，23，AB →＝(4,0)，AD →＝(0,2)，所以BF →＝－12AB →＋13AD →.(第4题)知识聚焦1. a ＝λ1e 1＋λ2e 22. (1) (x 1－x 2，y 1－y 2) (λx 1，λy 1) (2) ②(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)23. x 1y 2＝x 2y 1 研题型·融会贯通分类解析【解答】 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2) 由题意，设EC→＝x DC →，因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.【题组·高频强化】1. A 【解析】 依题意得AE→＝AB →＋BE →，AE →＝AD →＋DC →＋CE →，所以2AE →＝AB →＋AD →＋DC →＝AB →＋AD →＋12AB →＝32AB →＋AD →，所以AE →＝34AB →＋12AD →.2.A【解析】由OC→＝2OP→，AB→＝2AC →，知C 是AB 的中点，P 是OC 的中点，所以OC →＝12(OA →＋OB →)，则OP →＝14(OA→＋OB →)．又OM →＝38OB →，ON →＝n OA →，所以MN →＝ON →－OM →＝n OA →－38OB →，MP→＝OP →－OM→＝14(OA→＋OB→)－38OB→＝14OA→－18OB →.又M ，P ，N 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λMP →成立，即n OA →－38OB→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14OA →－18OB →.又OA →，OB →不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧n ＝14λ，－38＝－18λ，解得n ＝34.3. B 【解析】 如图，设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →，又DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a ，DH→＝μDE→＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －12b ，所以μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a .由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ，解得λ＝45，μ＝25，故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .(第3题)4. 【解答】 设BC →＝x ，CD →＝y ，则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB→＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋12x ＝e1，①x －12y ＝e2，②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，所以x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，即BC →＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝CD →＝－43e 1＋23e 2.【解答】(1)假设存在常数t 使得OA→＋tOB→＝OC →，则(3t －1,4t ＋2)＝(2,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧3t －1＝2，4t ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t ＝－14，因此，不存在实数t ，使得OA →＋t OB →＝OC →.(2) 设点D (x ，y )，由题意得AB→＝2DC→，即(4,2)＝2(2－x,1－y )，可得⎩⎪⎨⎪⎧2×(2－x )＝4，2×(1－y )＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，因此点D 的坐标为(0,0)．(3) 设点E 的坐标为(a ，b )，BC→＝(－1，－3)，AE →＝(a ＋1，b －2)，由⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪AE →＝1，AE→·BC →＝1，可得⎩⎨⎧(a ＋1)2＋(b －2)2＝1，－(a ＋1)－3(b －2)＝1，整理得⎩⎨⎧(a ＋1)2＋(b －2)2＝1，a ＋3b －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝75，因此，点E 的坐标为(－2,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15，75.【解答】 (1) AB→＝(－4,2)，AC →＝(2，－3)，由AB →＋AC →＝(－2，－1)，得⎪⎪⎪⎪AB →＋AC →＝5， 由AB→－AC →＝(－6,5)，得|AB →－AC →|＝61. 故以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为5，61. (2) 假设存在实数t 满足条件．因为OB →＝(－5,4)，由向量AC →－t OB →与向量OB →垂直，得(AC →－t OB →)·OB →＝0， 又因为AC→－t OB →＝(2，－3)－t (－5,4)＝(2＋5t ，－3－4t )， 所以(2＋5t )×(－5)＋(－3－4t )×4＝0，解得t ＝－2241.所以存在t ＝－2241，使得向量AC→－t OB →与向量OB →垂直．【解答】(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．又因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，所以k ＝－12.(2)由题知AB→＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB→∥BC →，所以8m －3(2m ＋1)＝0，所以m ＝32.(1) 【答案】 C (2) 【答案】 C 【解析】由题意知a －λb ＝(1＋λ，1－3λ)，因为(a －λb )∥c ，所以2(1－3λ)＝1＋λ，解得λ＝17.课堂评价 1.CD【解析】对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝k －2<0，－k ≠2，解得k <2且k ≠－2，A 选项中的命题正确；对于B 选项，|a |＝k2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b|，即与b 共线的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，22，C 选项中的命题错误； 对于D 选项，因为|a |＝2|b |＝22，即k2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项中的命题错误．2. B3. D 【解析】 因为AB→＋AC →＝2AD →，所以D 是BC 的中点．又因为AE →＋DE →＝0，所以E 是AD 的中点，所以BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋12AD →＝－AB →＋12×12(AB→＋AC →)＝－34AB →＋14AC →，因此x ＝－34，y ＝14，即x ＝－3y .故选D.4. A5. A 【解析】 因为DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB→－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A. 第31讲 平面向量数量积的应用链教材·夯基固本 激活思维 1.ABD【解析】对于A 选项，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a|·|b |cosθ＝|a |·|b |，则cos θ＝1，所以θ＝0，则a 与b 同向，所以a ∥b ，A 选项正确；对于B 选项，由于a ，b ，c 是三个非零向量，且a ∥b ，b∥c ，则存在非零实数λ，μ，使得a ＝λb ，b ＝μc ，所以a ＝λb ＝λ(μc )＝(λμ)c ，所以a∥c ，B 选项正确；对于C 选项，若a ·c ＝b ·c ，则a ·c －b ·c ＝(a －b )·c ＝0，即(a －b )⊥c ，所以a 与b 在c 方向上的投影相等，C 选项错误；对于D 选项，在等式|a ＋b|＝|a －b|两边平方得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，整理得a ·b ＝0，则a ⊥b ，D 选项正确．2. D 【解析】 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，则|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a2＋6a ·b ＋b2＝18＋12＋4＝34. 3.D【解析】因为a ＋b ＝(x －3，－3)，(a ＋b )⊥a ，所以－3(x －3)＋1×(－3)＝0，解得x ＝2.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b|＝－22，又θ∈[0，π]，所以θ＝3π4.4. B 【解析】 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，且BD ＝2DC ，所以BD →＝23BC →，所以AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋23AB →·BC →＝1＋23×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝23.故选B.5. A【解析】 如图，AN →·MN →＝(AB →＋BN →)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12DC →＋13CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →－13BC →＝12AB →2－29BC →2＝12×2－29×3＝13.(第5题)知识聚焦1. [0，π] 3. (3) －|a ||b | (5) |a ||b | 5. (1) x 1x 2＋y 1y 2 (2) x 1x 2＋y 1y 2＝0 (3) x21＋y21 (4) x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 24【解析】 (1) 因为a －λb 与b 垂直，所以(a －λb )·b ＝0， 所以a ·b －λb 2＝0，所以1×2×cos π4－4λ＝0，所以λ＝24.(2) 【答案】 A 【解析】因为|a |＝3|b |，cos 〈a ，b 〉＝13，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝9|b |2－|b |2＝8|b |2＝16，所以|b |＝2.【解案】 (1) a ·b ＝|a||b |cos 120°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－6.(2) |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a2＋2a ·b ＋b2＝13. (3) 因为(2a －b )⊥(a ＋k b )，所以(2a －b )·(a ＋k b )＝0， 即2a 2＋2k a ·b －a ·b －k b 2＝0，18－6(2k －1)－16k ＝24－28k ＝0，解得k ＝67.(1) 【答案】 π3【解析】 因为向量a ，b 的夹角是2π3，a 是单位向量，|b |＝2，所以a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3＝1×2×cos 2π3＝－1.因为c ＝2a ＋b ，所以|c |＝(2a ＋b )2＝4a2＋4a ·b ＋b2＝4－4＋4＝2，所以c ·b ＝(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝－2＋4＝2.设向量c 与b 的夹角为θ，其中θ∈[0，π]， 则cos θ＝c ·b|c|·|b|＝22×2＝12，得θ＝π3.(2) 【答案】 23 【解析】因为|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1，则|a ＋2b |＝4＋4＋4＝23.(1) 【答案】 C 【解析】由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，由|a ＋b |＝2|a |，得|b |＝3|a |.设a ＋b 与a 的夹角为θ(θ∈[0，π])，则cos θ＝(a ＋b )·a |a ＋b |·|a |＝12，所以θ＝π3.(2) 【答案】 6 【解析】由题意知，向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，所以(3a －2b )2＝9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9×22－12×2×3cos 60°＋4×32＝36，所以|3a －2b |＝6.【解答】 (1) 因为DB →＝2AD →，所以AD →＝13AB →，所以CD →＝AD →－AC →＝13AB→－AC →，因为AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，所以AB →·AC →＝⎪⎪⎪⎪AB →·⎪⎪⎪⎪AC →cos60°＝2×3×12＝3.所以CD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →－AC →2＝19AB →2－23AB →·AC →＋AC →2＝19×22－23×3＋32＝679，故CD ＝673.(2) 因为CE →＝2EB →，所以BE →＝13BC →，所以DE →＝DB →＋BE →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC→－AB →)＝13AB →＋13AC →，所以AB →·DE →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋13AC →＝13AB →2＋13AB →·AC →＝13×22＋13×3＝73.【题组·高频强化】1. D 【解析】 由已知得AM →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，所以AM →·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝72.2. B 【解析】 由AD →＝2DC →，得BD →＝23BC →＋13BA →，CA →＝BA →－BC →，所以BD →·CA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BC →＋13BA →·(BA →－BC →)＝－6. 3. B 【解析】 根据题意，AB ＝3，BD ＝2AD ，则AD ＝1.在△ADC 中，又AC ＝2，∠BAC ＝60°，则DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠BAC ＝3，即DC ＝3，则CD ⊥AB ，BE →·AB →＝(BD →＋DE →)·AB →＝BD →·AB →＋DE →·AB →＝BD →·AB →＝－23AB →2＝－6.4.A【解析】 以BD 的中点O 为坐标原点，以BD 所在的直线为x 轴，以CA 所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1，0)，C (0，－3)，所以直线BC 的方程为y ＝－3x －3.设点M (x ，－3x －3)(－1≤x ≤0)，则OM →＝(x ，－3x －3)，CM→＝(x ，－3x )，所以OM →·CM →＝x 2＋3x 2＋3x ＝4x 2＋3x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋382－916，当x ＝－38时，OM →·CM →取到最小值－916.(第4题)课堂评价 1. A【解析】根据题意，|a －b |＝3＋2＝5，则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝5－2a·b ＝5，得a·b ＝0，所以(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a·b ＝4＋4＝8，则|2a －b |＝22，故选A.2. B3.D【解析】 因为向量a ＝(1，k )，|b |＝2，a 与b 的夹角为5π6，所以a ·b ＝|a |·|b |cos5π6＝－3·1＋k2.又(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝a 2＋a·b ＝1＋k 2－3·1＋k2＝0，所以1＋k2·(1＋k2－3)＝0，由1＋k2＞0，解得k ＝±2.4.22【解析】 因为AE→＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCD →，所以AE →·BF →＝(AB →＋λBC →)·(BC →＋λCD →)＝AB →·BC →＋λAB →·CD →＋λBC →2＋λ2BC →·CD →＝|AB→||BC→|cos 120°－λAB→2＋λBC→2＋λ2|BC→||CD→|cos60°＝2λ2－2＝－1，解得λ＝±22.因为点E ，F 分别在边BC ，DC 上，所以λ>0，所以λ＝22.5. 13【解析】如图，以B 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (1,0)，C (0，2)，所以AC→＝(－1,2)．因为D 为BC 的中点，所以D (0,1)，因为AE →＝2EC →，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，43，所以DE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13·(－1,2)＝－13＋23＝13.(第5题) 第32讲 复 数链教材·夯基固本 激活思维1. B 【解析】 由z ＝1＋i ，得z －＝1－i ，则z z －－z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.故选B.2. D 【解析】 由已知得(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.故选D.3.D【解析】由题意可得z 2＝(1＋i)2＝2i ，则z 2－2z ＝2i －2(1＋i)＝－2，故|z 2－2z |＝|－2|＝2.4. D5.B【解析】因为z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，所以z 2＝1－i ，所以z 1z 2＝(1＋i)·(1－i)＝2.故选B.知识聚焦1. (1) a b (2) a ＝c 且b ＝d 3. (3) a2＋b2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 C (2) 【答案】 C【解析】 由z (1＋i )i 32－i ＝1－i ，得z ＝(1－i )(2－i )(1＋i )i 3＝1－3i －i (1＋i )＝1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－i ，所以z －＝2＋i ，所以复数z －的虚部为1.(3) 【答案】 C【解析】 由题意得z ＝－3i 1＋3i＝－3i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－3－3i4＝－34－34i ，所以z －＝－34＋34i ，所以|z －|＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－342＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342＝32. (1) 【答案】 3 (2) 【答案】 A 【解析】i(x ＋y i)＝－y ＋x i ，5i 2－i＝5i (2＋i )5＝－1＋2i ，根据两复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，即x ＋y i ＝2＋i ，其共轭复数为x －y i ＝2－i.(1) 【答案】 D【解析】因为z －＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，所以z ＝i.(2) 【答案】 D(1) 【答案】 C 【解析】由题得1＋i (1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ＝a ＋b i ，所以a ＝12，b ＝12，所以a b＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1212＝22.(2) 【答案】 A 【解析】因为z ·i 3＋2i＝1－i ，所以z ·i ＝(1－i)·(3＋2i)＝5－i ，所以z ＝－1－5i ，所以z ＋3＝2－5i ，所以|z ＋3|＝29.(1) 【答案】 B【解析】z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题知3m －2＜0且m －1＜0，解得m ＜23.故选B.(2) 【答案】 4【解析】 若复数z 满足条件|z |＝1，则z 所对应的点的轨迹是单位圆．因为|z ＋22＋i|表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离，所以|z ＋22＋i|的最大值是4.【答案】 C 【解析】由已知条件，可设z ＝x ＋y i(x ，y∈R )．因为|z －i|＝1，所以|x ＋y i －i|＝1，所以x 2＋(y －1)2＝1.故选C.课堂评价1. C 【解析】 由题知z ＝－i (a ＋i )－i·2i ＝1－ai2，所以a ＝－1.2. A 【解析】 由题知z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )1－i 2＝2＋2i ，对应的点为(2,2)，在第一象限．3. B 【解析】 由题得z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以|z |＝12＋(－1)2＝2，故选B.4.BC【解析】复数不能比较大小，故A 错误；若a 2－4＋(a ＋2)i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－4＝0，a ＋2≠0，解得a ＝2，故B 正确；z ＝(1＋i)2(1＋2i)＝－4＋2i ，所以z－＝－4－2i ，为第三象限内的点，故C 正确；z ＝1＋i 2＋i＝(1＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝3＋i 5，其虚部为15，故D 错误．故选BC.5. 5【解析】 由题意可得z ＝1＋3i 1＋i ＝(1＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4＋2i 2＝2＋i ，所以z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝9＋16＝5.。
专题2 平面向量与复数(解析版)-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析
专题2平面向量与复数一、单选题1．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5 BC ．D ．5i【答案】B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D.3．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1C ．－iD ．i【答案】B 【分析】1iz i-+=，然后算出即可. 【详解】由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B4．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +【答案】D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D . 5．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z ==故选：B.6．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③【答案】D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.7．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B 【分析】设AB a AD b ，==，由12BE BC =，13DF DC =，得到1123AE a b AF a b =+=+，，结合平面向量的基本定理，化简得到1132a b a b λμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-， 所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。
高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算练习-人教版高三全册数学试
第1节 平面向量的概念及线性运算[A 级 基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的是()A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由题知结果为零向量的是①④. 答案：AD2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．观察选项，C 项中a ，b 共线且方向相反． 答案：C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是() A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：B4．在△ABC 中，G 为重心，记AB →＝a ，AC →＝b ，则CG →＝() A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 解析：因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .答案：A5．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是() A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上． 答案：B7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.答案：B8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案：D9.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC 中，CM →＝3 MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则xy＝________．解析：由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案：311．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1212．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案：12[B 级 能力提升]13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14 C ．1 D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.答案：A14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值X 围是()A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0) 解析：设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1. 答案：B15．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点， 所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1. 答案：2∶1[C 级 素养升华]16．(多选题)(2020·某某四校联考)如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在边AD 上，且AD ＝3AE ，则()A.CE →＝29AB →＋89AC →B.CE →＝29AB →－89AC →C.CE →＝13AD →＋AC →D.CE →＝13AD →－AC →解析：因为CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，所以CE →＝13AD →－AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →， 所以AE →＝13(AB →＋13BA →＋13AC →)，所以CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →－89AC →. 答案：BD素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)共线定理：已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.推广形式：如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)．当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →.又PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →， 则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立．[典例1] 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值X 围是________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4][典例2] 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是________．解析：由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为C 、O 、D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)．所以OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，所以m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)。
2020届高考数学一轮复习第六篇平面向量与复数专题练习含解析
专题6.1 平面向量的概念及线性运算【考试要求】1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示和基本要素；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.【知识梳理】1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【微点提醒】1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →).【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 【解析】(2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上. 【教材衍化】2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③C.①③D.①②【答案】 A【解析】 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误.3.(必修4P92A12改编)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B.2OM → C.3OM →D.4OM →【答案】 D【解析】 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →. 【真题体验】4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A.c ＝32b －12aB.c ＝2b －aC.c ＝2a －bD.c ＝32a －12b【答案】 A【解析】 因为AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，所以OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋32AB →＝OA →＋32(OB →－OA →)＝32OB→－12OA →＝32b －12a . 5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →且|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形【答案】 A【解析】 因为AD →＝12BC →，所以AD →∥BC →，且|AD →|＝12|BC →|，所以四边形ABCD 为以AD 为上底，BC 为下底的梯形.又|AB →|＝|DC →|，所以梯形ABCD 的两腰相等.因此四边形ABCD 是等腰梯形.6.(2019·菏泽调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________. 【答案】 －12【解析】 依题意知向量a ＋λb 与2a －b 共线，设a ＋λb ＝k (2a －b )，则有(1－2k )a ＋(k＋λ)b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2k ＝0，k ＋λ＝0，解得k ＝12，λ＝－12.【考点聚焦】考点一 平面向量的概念【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b |b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B.a ∥b C.a ＝－13bD.a ⊥b(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③B.①②C.③④D.②④【答案】 (1)C (2)A【解析】 (1)由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立.对照各个选项可知，选项A 中a 与b 的方向相同；选项B 中a 与b 共线，方向相同或相反；选项C 中a与b 的方向相反；选项D 中a 与b 互相垂直.(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件. 综上所述，正确命题的序号是②③.【规律方法】 对于向量的有关概念应注意以下几点：(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →(2)给出下列说法：①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件；②若AB →与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________. 【答案】 (1)D (2)④【解析】 (1)根据相等向量的定义，分析可得AD →与BC →不平行，AC →与BD →不平行，所以AD →＝BC →，AC →＝BD →均错误，PE →与PF →平行，但方向相反也不相等，只有EP →与PF →方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP →＝PF →.(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误. 考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量的线性运算【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 【答案】 A【解析】 ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又知D 是BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →.角度2 利用向量线性运算求参数【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A.1B.34C.23D.12(2)在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y＝________.【答案】 (1)B (2)3【解析】 (1)∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12×12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)由题设可得AM →＝CM →－CA →＝34CB →＋AC →＝34(AB →－A C →)＋AC →＝34AB →＋14AC →， 则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.【规律方法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 【答案】 (1)D (2)12【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →， ∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线. 【答案】见解析【解析】(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【规律方法】1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.2.向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立.【训练3】 (1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A.λ＋μ＝2B.λ－μ＝1C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)(一题多解)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( )A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝m μ，所以λμ＝1.(2)法一 若要x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立，BC →必须与x 2OA →＋xOB →共线，由于OA →－OB →＝BA →与BC →共线，所以OA →和OB →的系数必须互为相反数，则x 2＝－x ，解得x ＝0或x ＝－1，而当x ＝0时，BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1.法二 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0， 即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1. 【反思与感悟】 1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB →＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.注意向量共线与三点共线的区别. 【易错防范】1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2C.3D.4【答案】 B【解析】 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →【答案】 D【解析】 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 3.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a【答案】 B【解析】 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小. 4.已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A.A ，B ，C B.A ，B ，D C.B ，C ，DD.A ，C ，D【答案】 B【解析】 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线.5.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC → B.12AD →C.AD →D.12BC → 【答案】 C【解析】 如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.6.(2019·唐山二模)已知O 是正方形ABCD 的中心.若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( ) A.－2 B.－12C.－ 2D. 2【答案】 A【解析】 DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →，∴λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A.1B.2C.3D.4【答案】 B【解析】 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.8.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 【答案】 D【解析】 设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.【答案】 3【解析】 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个.10.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 【答案】 12【解析】 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 11.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝________. 【答案】 13【解析】 由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →， 所以x ＝12，y ＝－16，因此x ＋y ＝12－16＝13.12.(2019·清华大学自主招生能力测试)设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________. 【答案】 4【解析】 ∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点. 又∵D 为AB 的中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上 【答案】 B【解析】 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.14.(2019·青岛二模)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A.12AD → B.32AD → C.12AC →D.32AC → 【答案】 D【解析】 因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋2EB →＋3FC →＝12(BA →＋CA →)＋2×12(AB →＋CB →)＋3×12×(AC →＋BC →)＝12BA →＋AB →＋CB →＋32BC →＋32AC →＋12CA →＝12AB →＋12BC →＋AC →＝12AC →＋AC →＝32AC →.15.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 【答案】 3【解析】 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.同理E ，F 分别是AC ，AB 的中点，因此点M 是△ABC 的重心， ∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，则m ＝3.16.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________. 【答案】 －94【解析】 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2， 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2， 又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94.【新高考创新预测】17.(多填题)在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心. 若aMA →＋bMB →＋33cMC →＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________. 【答案】π6 934【解析】 由aMA →＋bMB →＋33cMC →＝aMA →＋bMB →＋33c(－MA →－MB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33c MA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －33c MB→＝0，且MA →与MB →不共线，∴a－33c ＝b －33c ＝0，∴a＝b ＝33c.△ABC 中，由余弦定理可求得cos A ＝32，∴A＝π6.若a ＝3，则b ＝3，c ＝33，S △ABC ＝12bcsin A ＝12×3×33×12＝934.专题6.2 平面向量基本定理及坐标表示【考试要求】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【知识梳理】 1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【微点提醒】1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× 【解析】(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义. 【教材衍化】2.(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34【答案】 B【解析】 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.3.(必修4P99例8改编)设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)【答案】 A【解析】 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3).设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， ∴x ＝2，y ＝2，则点P (2，2). 【真题体验】4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)【答案】 A【解析】 根据题意得AB →＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.5.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 【答案】 －3【解析】 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.6.(2019·苏州月考)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________. 【答案】 (1，5)【解析】 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.【考点聚焦】考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( ) A.－12B.1C.32D.－3(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →.延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________. 【答案】 (1)A (2)－15【解析】 (1)AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →) ＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →.因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1， 即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12.(2)设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →，∴AE →＝x 3AB →＋x 2AC →.由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65.根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x2.因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15.【规律方法】 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)(2019·济南质检)在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A.－4B.－1C.1D.4(2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.【答案】 (1)B (2)13【解析】 (1)根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →.又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1.(2)因为OC →＝23OA →＋13OB →，所以OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于( ) A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD →(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD →.(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴，λμ＝－2－12＝4.【规律方法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________.(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85C.2D.83【答案】 (1)(4，7) (2)B【解析】 (1)由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →. 设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2).则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB →的坐标是(4，7).(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)， ∴CA →＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)，∵CA →＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.考点三 平面向量共线的坐标表示多维探究角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例3－1】 (一题多解)已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________. 【答案】 (3，3)【解析】 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3).法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3，3).角度2 利用向量共线求参数【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________. 【答案】 (1)12 (2)－13【解析】 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12.(2)由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0. 那么当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13.【规律方法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】 (1)(2019·北师大附中检测)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB →∥a ，则点B 的坐标为________.(2)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A.－3B.－2C.2D.3【答案】 (1)(－3，－6) (2)A【解析】 (1)由题意设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )， ∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6).(2)由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n－1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n＝1.2m ＋1＋2n ≥22m ＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3.【反思与感悟】1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式. 【易错防范】1.注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.2.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A.(－3，4) B.(3，4) C.(3，－4)D.(－3，－4)【答案】 A【解析】 由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4).2.已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 【答案】 A【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.3.已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，c ＝(1，m )，若实数λ满足a ＋b ＝λc ，则λ＋m 等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】 B【解析】 由平面向量的坐标运算法则可得a ＋b ＝(5，5)，λc ＝(λ，λm )，据此有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，λm ＝5，解得λ＝5，m ＝1，∴λ＋m ＝6.4.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件.5.已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn＝( ) A.－12B.12C.－2D.2【答案】 C【解析】 因为a ∥b ，所以a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，得mn ＝－2.6.已知点A (2，3)，B (4，5)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为( ) A.23 B.－23C.32D.－32【答案】 B【解析】 设P (x ，y )，则由AP →＝AB →＋λAC →，得(x －2，y －3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ). 所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5. 又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.7.(2019·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.233B.33C.3D.2 3【答案】 A【解析】 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m ≠0). AD →＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ， 所以λμ＝233.8.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45bC.－25a ＋45bD.－25a －45b【答案】 B【解析】 设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此，μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a .由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ.解之得λ＝45，μ＝25.故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .二、填空题9.(2019·安徽江南十校联考)已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)，且(a ＋c )∥(a －b )，则m ＝________.【答案】3±172【解析】 a ＝(1，m )，b ＝(2，5)，c ＝(m ，3)， ∴a ＋c ＝(m ＋1，m ＋3)，a －b ＝(－1，m －5)， 又(a ＋c )∥(a －b )，∴(m ＋1)(m －5)＋m ＋3＝0，即m 2－3m －2＝0， 解之得m ＝3±172.10.已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.【答案】 (8，－15)【解析】 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15).11.已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________. 【答案】 a ＋b ＝2【解析】 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p ∥q ，则角C ＝________.【答案】π3【解析】 因为p ∥q ，则(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以a 2＋b 2－c 22ab ＝12，由余弦定理知，cos C ＝12，又因为0<C <π，所以C ＝π3.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89 B.49C.83D.43【答案】 A【解析】 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89.14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.2【答案】 B【解析】 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上， 所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2，故x ＋y 的最大值为 2.15.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为________.【答案】 3【解析】 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →， 以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系， OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ).∵tan 30°＝3nm＝33， ∴m ＝3n ，即mn＝3.16.在△ABC 中，点D 满足BD →＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________. 【答案】 12【解析】 因为BD →＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →.又AE →＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动， 所以AE →∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤λ≤12.所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12. 当λ＝12时，t 的最小值是12.【新高考创新预测】17.(多填题)直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且AD DB＝2，则CD →·CA →＝________；若CD →＝xCA →＋yCB →，则xy ＝________. 【答案】 4 29【解析】 以A 为原点，分别以AB →，AC →的方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，则CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2，CA →＝(0，－2)，CB →＝(2，－2)，则CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝43×0＋(－2)×(－2)＝4.由CD →＝xCA →＋yCB →＝x (0，－2)＋y (2，－2)＝(2y ，－2x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝43，－2x －2y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，则xy ＝29.专题6.3 平面向量的数量积及其应用【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 【知识梳理】1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21. (3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤·.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).【微点提醒】1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b>0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b<0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 【解析】 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等. 【教材衍化】2.(必修4P108A10改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.3.(必修4P108A2改编)在圆O 中，长度为2的弦AB 不经过圆心，则AO →·AB →的值为________. 【答案】 1【解析】 设向量AO →，AB →的夹角为θ，则AO →·AB →＝|AO →||AB →|·cos θ＝|AO →|cos θ·|AB →|＝12|AB →|·|AB →|＝12×(2)2＝1. 【真题体验】4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3 C.2 D.0【答案】 B【解析】 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A.13＋6 2B.2 5C.30D.34【答案】 D【解析】 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 【答案】 7【解析】 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 【考点聚焦】考点一 平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12， 所以m ·n ＝－2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝－172.(2)连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.【规律方法】 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( )A.16B.12C.8D.－4(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________.。
2021新高考数学二轮总复习学案：1.3平面向量与复数组合练含解析
2021新⾼考数学⼆轮总复习学案：1.3平⾯向量与复数组合练含解析1.3平⾯向量与复数组合练必备知识精要梳理1.复数的加、减、乘的运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.2.复数z=a+b i(a,b∈R)与复平⾯内的点Z(a,b)及平⾯向量⼀⼀对应,|z-(a+b i)|=r(r,a,b∈R)表⽰复平⾯内以(a,b)为圆⼼,r为半径的圆.3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)为⾮零向量,夹⾓为θ,则a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0;a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.5.平⾯内三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线??(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.考向训练限时通关考向⼀复数的运算及复数的⼏何意义1.(2020⼭东,2)=()A.1B.-1C.iD.-i2.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.D.23.(多选)若复数z=在复平⾯内对应的点在第⼆象限内,则实数a的值可以是()A.1B.0C.-1D.-24.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z1,z2满⾜|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=.考向⼆平⾯向量的概念及线性运算5.(多选)关于平⾯向量a,b,c,下列说法中不正确的是()A.若a∥b且b∥c,则a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)·c=a·(b·c)6.(2020⼭东泰安⼀模,6)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m=n,则m+n=()A.1B.C.2D.37.(多选)如图所⽰,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A. B.C. D.8.(2020全国Ⅰ,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.考向三平⾯向量基本定理及坐标表⽰9.(2020⼭东,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的⼀点,则的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)10.(2020全国Ⅲ,⽂6)在平⾯内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线11.(2020安徽合肥⼀中模拟,10)如图,已知矩形LMNK,LM=6,sin∠MLN=,圆E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设=λ+µ,则λ+µ的最⼩值是()A.1B.C. D.512.(2020北京,13)已知正⽅形ABCD的边长为2,点P满⾜),则=.考向四平⾯向量的数量积13.(2020全国Ⅲ,理6)已知向量a,b满⾜|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=()A.-B.-C. D.14.(2020⼭东济南⼀模,3)体育锻炼是青少年学习⽣活中⾮常重要的组成部分.某学⽣做引体向上运动,处于如图所⽰的平衡状态时,若两只胳膊的夹⾓为60°,每只胳膊的拉⼒⼤⼩均为400 N,则该学⽣的体重(单位:kg)约为()(参考数据:取重⼒加速度⼤⼩为g=10 m/s2,≈1.732)A.63B.69C.75D.8115.(多选)(2020海南天⼀⼤联考模拟三,10)已知向量a=(,1),b=(cos α,sin α),α∈,则下列结论正确的有()A.|b|=1B.若a∥b,则tan α=C.a·b的最⼤值为2D.|a-b|的最⼤值为316.(2020全国Ⅱ,理13)已知单位向量a,b的夹⾓为45°,k a-b与a垂直,则k=.1.3平⾯向量与复数组合练考向训练·限时通关1.D解析=-i,故选D.2.D解析由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.ABC解析因为复数z=(a-2)+(a+2)i,由复数z在复平⾯内对应的点在第⼆象限内,所以即-24.2解析设z1=a+b i,z2=c+d i,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.⼜z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,∴a+c=,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.∴|z1-z2|==25.ACD解析对于A,若b=0,因为0与任意向量平⾏,所以a不⼀定与c平⾏,故A 不正确;对于B,向量数量积满⾜分配律,故B正确;对于C,若a⊥b,a⊥c,则b与c不⼀定相等,故C不正确;对于D,(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,故D不正确.故选ACD. 6.C解析连接AO,由O为BC的中点可得,)=,因为M,O,N三点共线,所以=1,所以m+n=2.故选C.7.ABD解析,故A正确;)+,故B正确;=-,故C错误;=-,故D正确.故选ABD.8解析∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-,∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=9.A解析如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建⽴平⾯直⾓坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,),C(3,).设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),=2x+0×y=2x.∵-110.A解析以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建⽴平⾯直⾓坐标系.设C(x,y),A(-a,0),则B(a,0),则=(x+a,y),=(x-a,y),由=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.11.B解析由已知建⽴如图所⽰的平⾯直⾓坐标系,由LM=6,sin∠MLN=,解得MN=,则M,N(3,0),L-3,-.设P(cosθ,sinθ).因为=+=cosθ-3,sinθ+,=(-6,0),=0,.所以=cosθ-3,sinθ+=λ(-6,0)+µ0,,即解得所以λ+µ=sinθ-cosθ=sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+µ的最⼩值是故选B.12.-1解析以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建⽴如图所⽰的平⾯直⾓坐标系,则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2))=(2,0)+(2,2)=(2,1 ),则点P(2,1).=(-2,1),=(0,-1),=0×(-2)+1×(-1)=-1.13.D解析∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos=14.B解析由题意知,两只胳膊的拉⼒F1=F2=400,夹⾓θ=60°,所以体重G=-(F1+F2).所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos60°+4002=3×4002.所以|G|=400(N),则该学⽣的体重约为40=40×1.732≈69(kg).故选B.15.AC解析对于A,|b|==1,故A正确;对于B,若a∥b,则sinα-cosα=0,∴tanα=,故B错误;对于C,a·b=cosα+sinα=2sin,最⼤值为2,故C正确;对于D,作图可知,当α=,即b=(0,1)时,|a-b|取得最⼤值,故D错误. 16解析由题意可知,a·b=|a||b|cos45°=∵k a-b与a垂直,∴(k a-b)·a=k|a|2-a·b=k-=0,∴k=。
高考数学一轮复习第六章 平面向量与复数答案 (2)
第六章 平面向量与复数 第29讲 平面向量的概念与线性运算1. B【解析】 由A ，B ，C 三点共线，得OA→＝t OB →＋(1－t )OC →＝(1＋t )a ＋(t －2)b ，因为a ，b 是不共线的向量，所以λ＝t ＋1，μ＝t －2，所以λ＝μ＋3，故选B.2.C【解析】由已知可得点M 是靠近点B 的三等分点，且点N 是AC 的中点，所以MN →＝MC →＋CN →＝23BC →＋12CA →＝23(AC →－AB →)－12AC →＝16AC →－23AB →.故选C.3. B 【解析】 如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC→.故选B.(第3题)4. A【解析】 如图，由题意可得DE →＝23DC →＝23×12AB →＝13a ，由向量加法的三角形法则可得BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋13a ＝－23a ＋b .(第4题)5.C【解析】如图，已知D ，P 分别为BC ，AD 的中点，由向量的加减法运算，得BP→＝BD →＋DP →＝BD →－PD→，AB →＝AD →＋DB →＝－BD →＋2PD →，AC →＝AD →＋DC →＝BD →＋2PD →，又因为BP →＝λAB →＋μAC→＝(μ－λ)BD →＋(2λ＋2μ)PD →，则⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，2λ＋2μ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－34，μ＝14，故λ＋μ＝－12.(第5题)6. AB7. ABD8. ACD 【解析】 根据平面向量共线的知识可知A 选项正确；对于B 选项，若a 与b 共线，可能a ＝0，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b ＝λa ，所以B 选项错误；根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确．9. ABD 【解析】 对于A ，因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB→＋AD→，所以A 正确；对于B ，因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB→＋AD →，代入可得，AF →＝13AB →＋13AD →，所以B 正确；对于C ，因为BF →＝AF →－AB →，而AF →＝13AB →＋13AD →，所以BF →＝－23AB →＋13AD→，所以C 不正确；对于D ，因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得，CF →＝－16AB →－23AD →，所以D 正确．10. －23【解析】 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB→＝k AC→，所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ，即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，t ＝－23.11. 1 【解析】 由平面向量的运算可知BD→＝AD →－AB →，而AD →＝2AE →，AB →＝AH →＋HB→＝2AF →－AE →，所以BD →＝AD →－AB →＝2AE →－(2AF →－AE →)＝3AE →－2AF→.由题图知AE →，AF →不共线，且BD →＝x AE →＋y AF →，所以x ＝3，y ＝－2，所以x ＋y ＝1. 12. 43 【解析】 因为E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，所以AE →＝12(AD →＋AC →)，AF→＝12(AB →＋AC →)，两式相加得2AE →＋2AF →＝AB →＋AD →＋2AC →＝3AC →，所以AC →＝23AE →＋23AF →，即λ＝μ＝23，λ＋μ＝43.13. 【解答】 (1) 因为AB→＝OB →－OA →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，BC →＝OC →－OB →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB→，所以AB →与BC →共线．因为AB →与BC →有公共端点B ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使得8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )＝λk a ＋2λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝8，k ＝2λ，解得λ＝±2，故k ＝2λ＝±4.14. 【解答】 (1) 因为BC →＝3CD →，所以CD →＝13BC →，因为E 为线段AD 的中点，所以AE →＝12AD →＝12(AC →＋CD →)＝12AC →＋16BC →.因为BC →＝AC →－AB →，所以AE →＝12AC →＋16(AC →－AB →)＝23AC →－16AB →.因为AE →＝x AB →＋y AC →，所以y ＝23，x ＝－16，所以x ＋y ＝－16＋23＝12.(2) 由题图可知x ，y 均为正数，设AD→＝m AB →＋n AC →，AE →＝λAB →＋μAC →，因为B ，D ，E ，C 四点共线，所以m ＋n ＝1，λ＋μ＝1. 因为AD→＋AE →＝x AB →＋y AC →＝(m ＋λ)AB →＋(n ＋μ)AC →， 所以x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92， 故1x ＋4y 的最小值为92. 15. 【解答】 (1) 因为AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋14BC →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →，所以x ＝34，y ＝14，因此，x －y ＝34－14＝12.(2) 设AP →＝λAM →＝34λAB →＋14λAC →，再设NP→＝k NC →，则AP →－AN →＝k (AC →－AN →)，即AP →＝(1－k )AN →＋k AC →＝1－k 2AB →＋k AC→，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 34λ＝1－k 2，14λ＝k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47，k ＝17，所以AP →＝37AB →＋17AC →，因此，AP →·BC →＝17(3AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝17(AC →2＋2AB →·AC →－3AB →2)＝17×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＋2×4×3×12－3×42＝－277. 第30讲 平面向量的基本定理及坐标表示1. D2. D3.B【解析】以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意可得e 1＝(1,0)，e 2＝(－1,1)，a ＝(－3,1)．设a ＝x e 1＋y e 2＝x (1,0)＋y (－1,1)＝(x －y ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－3，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.4. A 【解析】 因为向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，a －λb ＝(3－λ，1－3λ)，所以|a －λb|＝(a －λb )2＝(3－λ)2＋(1－3λ)2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ－322＋14≥1.当且仅当λ＝32时，|a －λb |有最小值1.5. C 【解析】 因为AC→＝AB →＋AD →，所以AM →＝2λAB →－3μAC →＝2λAB →－3μ(AB →＋AD→)＝(2λ－3μ)AB →－3μAD →.因为BE →＝4EA →，AF →＝3FD →，所以AM →＝5(2λ－3μ)AE →－4μAF →.因为E ，F ，M 三点共线，所以5(2λ－3μ)－4μ＝1,10λ－19μ＝1，所以5λ－192μ＝12. 6. D 【解析】 由题可得A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，－332.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－32μ＝－32，μ2＝－332，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝－33，所以μλ＝3.7.ABC【解析】 设A (5,7)，B (－3,5)，C (3,4)，第四个顶点坐标为D (x ，y )，分以下三种情况讨论：①若四边形ABDC 为平行四边形，则AC→＝BD→，即(－2，－3)＝(x ＋3，y －5)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝－2，y －5＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝2，此时点D 的坐标为(－5,2)．②若四边形ABCD 是平行四边形，则AD→＝BC→，则(x －5，y －7)＝(6，－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝6，y －7＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝6，此时点D 的坐标为(11,6)．③若四边形ACBD 为平行四边形，则AD→＝CB→，即(x －5，y －7)＝(－6,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－6，y －7＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，此时点D 的坐标为(－1,8)．综上所述，第四个顶点的坐标为(11,6)或(－5,2)或(－1,8)．8. ACD 【解析】 A 中，AM →＝12AB →＋12AC →⇒12AM →－12AB →＝12AC →－12AM →，即BM →＝MC →，则M 是BC 的中点，A 正确． B 中，AM→＝2AB →－AC →⇒AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB→，则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误． C 中，如图，设BC 中点为D ，则AM →＝－BM →－CM →＝MB →＋MC →＝2MD→，由重心性质可知C 正确． D 中，AM →＝x AB →＋y AC →且x ＋y ＝12⇒2AM→＝2x AB →＋2y AC →，2x ＋2y ＝1.设AD →＝2AM→，所以AD →＝2x AB →＋2y AC →，2x ＋2y ＝1，可知B ，C ，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 面积的12，D 正确．(第8题)9.AB【解析】 设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，则存在实数t∈(0,1)，使得(1)ON→＝t OA →＋(1－t )OB →，且存在实数r >1，使得OM →＝r ON →，从而OM →＝rt OA →＋r (1－t )OB →，且rt ＋r (1－t )＝r ＞1.又由于0<t <1，故r (1－t )>0.对于A ，rt ＝1，r (1－t )＝2，解得r ＝3，t ＝13，满足r >1，也满足r (1－t )>0，故A 满足条件；对于B ，rt ＝34，r (1－t )＝13，解得r ＝1312，t ＝913，满足r >1，也满足r (1－t )>0，故B满足条件；对于C ，rt ＝12，r (1－t )＝13，解得r ＝56，t ＝35，不满足r >1，故C 不满足条件；对于D ，rt ＝34，r (1－t )＝15，解得r ＝1920，t ＝1519，不满足r >1，故D 不满足条件．10. 35 11.23(2d －c )23(2c －d )【解析】设AB→＝a ，AD→＝b .因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a .又⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b ，所以⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．12.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，322 (1,3]【解析】过点D 作x ，y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，过点C 作x ，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，如图所示，则∠OBA ＝∠DAE ＝∠BCN ＝θ，设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＝CN ＝cos θ，y 1＝OB ＋BN ＝2cos θ＋sin θ，x 2＝OA ＋AE ＝2sin θ＋cos θ，y 2＝DE ＝sin θ.当θ＝π4时，x 1＝cos π4＝22，y 1＝2cos π4＋sin π4＝322，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，322. 当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2时，C (cos θ，2cos θ＋sin θ)，D (2sin θ＋cos θ，sin θ)， 则OC →·OD →＝cos θ(2sin θ＋cos θ)＋(2cos θ＋sin θ)sin θ＝1＋4sin θcos θ＝1＋2sin 2θ∈(1,3]，因此，OC →·OD→的取值范围是(1,3]．(第12题)13. 【解答】 (1) 因为3a ＋b －c ＝(9,6)＋(－1,2)－(4,1)＝(4,7)， 所以|3a ＋b －c |＝16＋49＝65.(2) 因为m b ＋n c ＝(－m,2m )＋(4n ，n )＝(4n －m,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4n －m ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3) 因为a ＋b ＝(2,4)且(d －c )∥(a ＋b )， 所以d －c ＝λ(a ＋b )＝(2λ，4λ)，λ∈R ， 所以|d －c |＝4λ2＋16λ2＝1，解得λ＝±510.当λ＝510时，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55，255＋(4,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4＋55，255＋1； 当λ＝－510时，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－55，－255＋(4,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－55，1－255. 14. 【解答】 (1) 因为A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，所以AB→＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，2AB →＋AC →＝(－1,7)，因此，|2AB→＋AC →|＝(－1)2＋72＝52.(2) 由(1)知，AB→＝(－1,1)，AC →＝(1,5)，所以cos θ＝AB→·AC →|AB →|·|AC →|＝(－1，1)·(1，5)(－1)2＋12×12＋52＝42×26＝21313.15. 【解答】 (1) 由A ，M ，D 三点共线，可设OM→＝m OA →＋(1－m )OD →＝m a ＋1－m2b .由B ，M ，C 三点共线，可设OM →＝n OC →＋(1－n )OB → ＝n4a ＋(1－n )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14n ，1－m2＝1－n ，解得m ＝17，n ＝47，所以OM →＝17a ＋37b .(2) 因为E ，M ，F 三点共线，所以设OM →＝k OE →＋(1－k )·OF → ＝kλa ＋(1－k )μb ，由(1)知kλ＝17，(1－k )μ＝37，所以1λ＝7k ，3μ＝7－7k ，所以1λ＋3μ＝7，为定值．第31讲 平面向量数量积的应用1.D【解析】由|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，得⎩⎨⎧(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝1＋a ·b ＝0，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2a ·b ＋b 2＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝－1，b2＝2.所以|a －b|＝(a －b )2＝a2－2a ·b ＋b2＝1＋2＋2＝5.2. C 【解析】 因为OA→＋OB →＋OC →＝0，所以O 为△ABC 的重心，所以△OBC 的面积是△ABC 面积的13.因为AB →·AC →＝23，所以|AB →|·|AC→|cos ∠BAC ＝23.因为∠BAC ＝60°，所以|AB →|·|AC →|＝43，所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，所以△OBC 的面积为1.故选C.3. D 【解析】 因为|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，所以a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19.又|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a2＋2a ·b ＋b2＝25－2×6＋36＝7，所以cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935. 4. A【解析】 如图，根据正六边形的特征，可以得到AP→在AB →方向上的投影的取值范围是(－1,3)，结合向量数量积的定义，可知AP →·AB →等于AB →的模与AP→在AB →方向上的投影的乘积，所以AP →·AB→的取值范围是(－2,6)．(第4题)5. C 【解析】 由题得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，BF →＝BC →＋CF →＝AD→＋23CD →＝AD →－23AB →，则AE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →·AD →－23AB →2＋12AD →2. 因为AB ＝2AD ＝23，所以AD ＝3，所以AE →·BF →＝23×23×3×cos ∠DAB －23×(23)2＋12×(3)2＝－172，解得cos ∠DAB ＝－12，所以∠DAB ＝120°.6. B 【解析】 依题意可知AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos 135°＝－2，MC →＝AC →－AM →＝AB →＋AD →－12(AE →＋AF→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12λAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12μAD →，所以|MC →|＝MC→2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12λ2－4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12μ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12μ2.因为4λ＋μ＝1，μ＝1－4λ，所以|MC→|＝412λ2－λ＋1，根据二次函数的性质可知，Δ<0，当λ＝－－12×412＝141时，|MC →|取得最小值，此时μ＝1－4λ＝3741，所以μλ＝37.7.BC【解析】如图，连接AB ，过点C 作CD⊥AB 交AB 于点D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AD →|＝12|AB→|2，故AB →·AC→的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关，故选BC.(第7题)8.ABC【解析】设BC＝DE ＝m ，因为∠A ＝30°，且B ，C ，D 三点共线，则CD ＝AB ＝3m ，AC ＝EC ＝2m ，所以∠ACB ＝∠CED ＝60°，∠ACE ＝90°，所以CD→＝3 BC→，CA →·CE →＝0，AB →∥DE →，故A ，B ，C 成立；而CA →·CB →＝2m ·m ·cos 60°＝m 2，CE →·CD →＝2m ·3m ·cos 30°＝3m 2，即CA →·CB →＝CE →·CD→不成立． 9.AD【解析】 当a ，b 共线时，ab ＝|a －b|＝|b －a|＝ba ，当a ，b 不共线时，ab ＝a·b ＝b·a ＝ba，故A 正确．当λ＝0，b ≠0时，λ(a b )＝0，(λa )b ＝|0－b |≠0，故B 错误．当a ＋b 与c共线时，存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )c ＝|a ＋b －c|，ac ＋bc ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c|≠a·c ＋b·c ，故C 错误．当e 与a 不共线时，|ae|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1；当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|ae|＝|a －e|＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1＝|a |＋1，故D 正确．10. 511. 18 【解析】 由图可知，∠FAD ＝30°，∠FCA ＝60°，所以AF→⊥FC →.又FC →∥GD →∥HI →，AF →⊥IH →，即AF →·IH→＝0， 又AC →＋CF →＝AF →，AF →·AP1→＝AF →·(AI →＋IP1→)＝AF →·AI →＝|AF →|·|AI →|cos 30°＝3×4×32＝6.同理，AF →·AP2→＝AF →·AP3→＝6， 所以(AC →＋CF →)·(AP1→＋AP2→＋AP3→)＝AF →·AP1→＋AF →·AP2→＋AF →·AP3→＝18. 12. 16132【解析】 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，所以∠BAD ＝180°－∠B ＝120°，所以AB →·AD →＝λBC →·AB →＝λ|BC →|·|AB →|cos 120°＝λ×6×3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－9λ＝－32，解得λ＝16.以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C (6,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，332. 因为AD →＝16BC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，332. 设M (x,0)，则N (x ＋1,0)(其中0≤x ≤5)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －52，－332，DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32，－332，所以DM →·DN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －52⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －32＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3322＝x 2－4x ＋212＝(x －2)2＋132，所以当x ＝2时，DM →·DN →取得最小值132.(第12题)13. 【解答】 (1) 因为m ＝3，n ＝－1，所以a ＝(1,3)，b ＝(2，－1)， 所以a ＋λb ＝(1＋2λ，3－λ)．又a ⊥(a ＋λb )，所以1＋2λ＋3(3－λ)＝0，解得λ＝10.(2) 因为a ＝(1，m )，b ＝(2，n )，所以a ＋b ＝(3，m ＋n )． 又|a ＋b |＝5，所以9＋(m ＋n )2＝25，即(m ＋n )2＝16，所以a·b ＝2＋mn ≤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝2＋4＝6，当且仅当m ＝n 时取等号， 即a·b 的最大值为6.14. 【解答】 (1) 由于D 是BC 的中点，所以AD →＝12(AB →＋AC →)，由于AE→＝2EB →，AF →＝12FC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD →·EF →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AC →－23AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23AB →2－13AB →·AC →＋13AC →2＝－13AB →2－16AB →·AC →＋16AC →2＝－13×62－16×6×3×12＋16×32＝－12.(2) 因为DE →＝AE →－AD →＝23AB →－12(AB →＋AC →)＝16AB →－12AC →，DF →＝AF →－AD →＝13AC→－12(AB →＋AC →)＝－12AB →－16AC →， 所以DE →·DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16AB →－12AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12AB →－16AC →＝－112AB →2＋112AC →2＋29AB →·AC →＝－3＋34＋29AB →·AC →＝0，解得AB →·AC →＝818.15. 【解答】 (1) 在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AB ＝ 2CD ，所以AO ＝2OC ， 所以AM →·BD →＝(AO →＋OM →)·BD →＝AO →·BD →＋OM →·BD →＝AO →·BD →＝23AC →·BD →＝23(AD→＋DC →)·(AD →－AB →)＝23(AD →2－DC →·AB →)＝23(4－2×4)＝－83.(2) 令AM →＝λAB →， AM →·BD →＝λAB →·BD →＝λAB →·(AD→－AB →)＝－λAB →2＝－16λ＝－83，则λ＝16，即AM →＝16AB →，所以AN →·MN →＝AN →·(AN →－AM →)＝AN →2－AN →·AM→＝AN →2－|AN →|×|AM →|×cos45°＝AN →2－16×|AN →|×|AB →|×cos 45°＝|AN →|2－23|AN →|.令|AN →|＝t ，则 0≤t ≤22 ，AN →·MN→＝t 2－23t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －262－118，所以当|AN →|＝26时， AN →·MN →取最小值－118.第32讲 复 数1. C2. A3. A4. A【解析】因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1－2i ，所以z 2＝－1－2i ，所以z1z2＝1－2i－1－2i ＝－(1－2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝4i ＋35＝35＋45i.5. A 【解析】 若复数z 满足z (1－i)＝|2＋2i|，则z ＝|2＋2i|1－i ＝22(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋2i ，即复数z 的虚部为2.6. D【解析】 因为1＋i1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，又i 4＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 1－i 2020＝i 2020＝(i 4)505＝1. 7.ABC【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b∈R )，因为z ＋1z＝i ，所以a ＋b i ＋1＝(a ＋b i)i ＝a i ＋b i 2＝－b ＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－b ，b ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－12，所以z ＝－12－12i ，所以|z |＝22.故选ABC.8. AD 【解析】 因为z ＝3＋2i 2－i ＝(3＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝45＋75i ，所以z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，75，在第一象限，故A 正确；z 的虚部是75，故B 不正确；|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫752＝655，故C 不正确；设z 1＝x ＋y i ，x ，y∈R ，由|z 1－z |＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －752＝1，即点(x ，y )在以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，75为圆心，以1为半径的圆上，则(x ，y )到(0,0)的距离的最大值为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫752＝1＋655，即|z 1|的最大值为1＋655，故D 正确．9. ABC10. 3－2i 11. －7 12.y24＋x23＝1【解析】设复数z 对应的点为Z ，则|z －i|表示点Z 到点A (0,1)的距离，|z ＋i|表示点Z 到点B (0，－1)的距离，又AB ＝2，由|z ＋i|＋|z －i|＝4知点Z 到点A ，B 的距离和大于AB ，知z 在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以a ＝2，c ＝1，则b ＝3，椭圆的焦点就是A ，B ，所以z 在复平面内对应的点的轨迹方程是y24＋x23＝1.13. 【解答】 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )5＝1－i.因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.14.【解答】 (1)设向量OB→对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )．因为A (2,1)，所以由对称性可知a ＝2，b ＝－1，所以OB →对应的复数为z 1＝2－i. (2) 设点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则点C 对应的坐标为(c ，d )．由(1)知B (2，－1)，则由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1， 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.15. 【解答】 (1) 设z 1＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则c2＋d2＝1＋i ＋c ＋d i ＝(1＋c )＋(1＋d )i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝0，c2＋d2＝1＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，d ＝－1，所以z 1＝－i.(2) 由(1)得z 2＝a 2－1－(a －1)i(a ∈R )， 由z 2是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a2－1＝0，a －1≠0，所以a ＝－1.。
第06讲-平面向量与复数(解析版)
第06讲-平面向量与复数(解析版)第06讲-平面向量与复数(解析版)平面向量与复数是数学中的两个重要概念，它们在解析几何和复数运算中起着重要的作用。
平面向量用来描述平面上的位移和方向，而复数则是由实部和虚部构成的数，可以表示平面上的点与向量。
平面向量的定义与性质平面向量可以理解为带有方向的位移量，它由两个点确定，可以用向量箭头表示。
一个平面向量可以表示为AB(向量上面带有箭头)，其中A和B为向量的起点和终点，也可以使用向量的分量形式表示为向量的横坐标和纵坐标。
平面向量有一些重要的性质，首先，向量的大小用向量的模表示，表示为|AB|，即向量的长度。
其次，向量可以进行加法和乘法运算，向量的加法是指向量与向量相加的运算，向量的乘法是指向量与标量相乘的运算。
向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
向量的乘法也满足一些性质，标量与向量相乘，可以改变向量的大小和方向，但是不改变其方向。
平面向量可以表示为有向线段，即从起点指向终点的线段。
向量的方向可以用角度来表示，称为向量的方向角。
向量的方向角可以通过三角函数来计算，其中正弦和余弦分别表示向量的纵坐标和横坐标与向量模的比值。
复数的定义与性质复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在解析几何和电路等领域有广泛应用。
复数有一些重要的性质，首先，复数可以进行加法和乘法运算。
复数的加法满足交换律和结合律，即a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i。
复数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。
复数可以表示为平面上的点，其中实部对应点的横坐标，虚部对应点的纵坐标。
复数的大小用模表示，表示为|a + bi|，即复数的距离原点的距离。
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第06练-平面向量与复数一、单选题 1．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．12D ．-1【答案】C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，yx取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦UC ．⎡⎣D ．)(⎡⋃⎣【答案】B 【解析】 【分析】虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得22(2)1,0x y y ++=≠，yx表示圆上点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】虚数()2++x yi ，得0y ≠， 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1，2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠，yx ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0yx ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， yx取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3BOC AOC ∠=∠=， 切线,OA OB 的斜率分别为33,33-， 所以30yx-≤<或30y x <≤. 故选:B.【点睛】本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题.4．设复数11iz i=+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．12-B ．0C ．12 D．2【答案】B 【解析】 【分析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，，再计算OP OQ ⋅u u u r u u u r得到答案. 【详解】121i 1i 1i1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，，，，故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.5．已知向量a r ，b r 满足||3a =r ，||2b =r，|2|+=r r a b a r 与b r的夹角为（ ）A ．6πB ．4π C ．2 3π D ．3π 【答案】D 【解析】 【分析】转化|2|+=r r a b 222(2)4()4()a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，可得3a b ⋅=r r ，由cos ,||||a ba b a b ⋅<>=r rr r r r 即得解.【详解】222|2|(2)4()4()52a b a b a a b b +=+=+⋅+=r r r r r r r r Q又22()||9,a a ==r r 22()||4b b r r ==3a b ∴⋅=r r1cos ,2||||a b a b a b ⋅∴<>==r rr r r r,3a b π∴<>=r r故选：D 【点睛】本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出x,y 满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值【详解】如图可知x ，y 均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题7．如图，在ABC ∆中，12AN AC P =u u u v u u u v ，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+u u u v u u u v u u u v，则实数m 的值是（ ）A ．14B ．1C ．12 D ．32【答案】C 【解析】 【分析】以,AB AC u u u v u u u v 作为基底表示出AP u u u v，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P N ，分别是BN AC ，的中点，∴()111222AP AB BP AB BN AB AN AB AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u v 111224AN AB AC +=+u u u r u u u r u u u r .又14AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴12m =.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．8．已知E 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ma =u u u r r ，AQ nb =u u u r r ，则11m n+=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．13【答案】A 【解析】 【分析】由E 为ABC V 的重心可得，()13AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，结合已知可用,AP AQ u u u r u u u r 表示AE u u u r，然后由,,P E Q 共线可求.解：由E 为ABC V 的重心可得，()13AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r， ∵AP ma =u u u r r ，AQ nb =u u ur r ，()111133AE AB AC AP AQ m n ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∵,,P E Q 共线，11113m n ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 则113m n+=， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用，属于中等试题.二、多选题9．下面四个命题中的真命题为( ) A ．若复数z 满足1R z∈，则z ∈R B ．若复数z 满足z2∈R ，则z ∈RC ．若复数z1，z2满足12z z R ∈，则12z z =D ．若复数z ∈R ，则z R ∈ 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的基本概念，结合举例说明，逐项判定，即可求解. 【详解】 若复数z 满足1R z∈，则z R ∈，故命题A 为真命题； 复数z i =满足21z R =-∈，则z R ∉，故命题B 为假命题；若复数12,2z i z i ==满足12z z R ∈，但12z z ≠，故命题C 为假命题； 若复数z ∈R ，则z z R =∈，故命题D 为真命题. 故选：AD . 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的运算，其中解答中熟记复数的基本概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.10．设向量(),2a k =v，()1,1b =-v ，则下列叙述错误的是( )A ．若2k <-时，则a v 与b v的夹角为钝角B ．a v的最小值为2C ．与b v共线的单位向量只有一个为⎝⎭D ．若2a b =v v，则k =-【答案】CD 【解析】 【分析】根据a r 与b r 的夹角为钝角，得出0a b ⋅<r r 且a r 与b r不共线，求出k 的取值范围，可判断A 选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B 选项的正误；根据与b r共线的单位向量为b b±r r 可判断C 选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若a r 与b r 的夹角为钝角，则0a b ⋅<r r 且a r 与b r不共线，则202a b k k ⎧⋅=-<⎨-≠⎩vv ，解得2k <且2k ≠-，A 选项中的命题正确；对于B选项，2a =≥=r ，当且仅当0k =时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C选项，b =r b r 共线的单位向量为b b ±rr ，即与b r共线的单位向量为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项中的命题错误； 对于D 选项，222a b ==r rQ ，即2422k +=，解得2k =±，D 选项中的命题错误.故选：CD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及向量的夹角、模长以及单位向量等相关知识，考查推理能力，属于中等题.11．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =u u u r u u u r，2AD DC =u u u r u u u r，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=-u u u r u u u r B ．0OE OC +=u u u r u u u r rC ．32OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r D ．ED u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为76【答案】BCD 【解析】 【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),(3E A B C D -，设123(0,),3),(1,),(,)3O y y BO y DO y ∈==-u u u r u u u r ，BO uuu r ∥DO u u u r ，所以133y y -=-，解得：2y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=u u u r u u u r r，所以选项B 正确；22OA OB OC OE OC OE ++=+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=u u u r u u u r，所以选项A 错误；1(,33ED =u u u r ，BC =u u u r ，ED u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==u u u u u u r u u u r r ，所以选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.12．有下列说法其中正确的说法为（ ）A ．若a b v v P ，b c v P v ，则a c v P v：B ．若230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，AOC S ∆，ABC S ∆分别表示AOC ∆，ABC ∆的面积，则:1:6AOC ABC S S ∆∆=；C ．两个非零向量a v ，b v ，若a b a b -=+v vv v ，则a v 与b v 共线且反向；D ．若a b v v P ，则存在唯一实数λ使得a b =λv v【答案】BC 【解析】 【分析】A 选项错误，例如0b =r r，推不出a c r r ∥，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =r r. 【详解】A 选项错误，例如0b =r r ，推不出a c r r∥，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，所以2220OM OD ⨯+=u u u u r u u u r r ,即2OM OD =-u u u u r u u u r ,所以O 是MD 的三等分点，可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得22||||a b a b -⋅=r r r r ，所以cos ,1a b <>=-r r ，即夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =r r. 故选B C.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.三、解答题13．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅u u u u v u u u u v；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u u v u u u u v ，并指出向量1OZ u u u u v 、2OZ u u u u v满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-u u u u v u u u u v；（2）证明详见解析，当ab cd =时. 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅u u u u r u u u u r 的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r所以125OZ OZ ⋅=-u u u u r u u u u r证明（2）1z a bi =+Q ，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =u u u u r Q ，()2,OZ c d =u u u u r12OZ OZ ac bd ∴⋅=+u u u u r u u u u r ，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+u u u u r u u u u r()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++u u u u r u u u u r()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥ 所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅u u u r u u u r ，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ u u u u r u u u u r P .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．14．在平面直角坐标系xOy 中，设向量(1,2sin )a θ=r ，(sin(),1)3b πθ=+r ，R θ∈. （1）若a b ⊥r r，求tan 2θ的值； （2）若a r //b r ，且(0,)2πθ∈，求θ的值.【答案】（1）14-；（2）6πθ=. 【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标关系，建立方程，结合正切的倍角公式进行计算即可；（2）根据向量平行的坐标公式，建立方程进行求解，即可得答案．【详解】 （1）若a b ⊥r r ，则sin()2sin 03πθθ++=，即1sin 2sin 02θθθ+=，即5sin cos 22θθ=-，则tan 5θ=-，则22tan 5tan 2312814125tan θθθ==-=-=-++． （2）若//a b r r ，则2sin sin()103πθθ+-=，即1(sin )2sin 1022θθθ+⋅-=，得2sin sin 10θθθ+-=2sin cos 0θθθ-=，即cos cos )0θθθ-=， Q (0,)2πθ∈，cos 0θ∴≠，cos 0θθ-=cos θθ=，即tan θ=， 即6πθ=．【点睛】本题主要考查向量的应用，结合向量垂直，向量平行的坐标公式，建立方程关系，结合三角函数的倍角公式进行转化是解决本题的关键，难度不大．15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =v ，(2,)n a c b =+v ，且m n ⊥u v v .（1）求角B 的大小；（2）若b =4a c +=，求ABC V 的面积.【答案】(1) 23B π=(2) 【解析】【分析】（1）由m n ⊥u r r ，得0m n ⋅=u r r，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角．（2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】 （1）∵m n ⊥u r r ，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=u r r ，即2cos cos cos 0a B c B b C ++=由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+=∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+ ∵13b =，4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac =则ABC V 的面积133sin 24S ac B == 【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题．16．在中，满足，是中点. （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值. 【答案】(1)；(2).【解析】试题分析： （1）由向量的夹角公式可求；（2），则，，由此可用表示出，从而可得最小值．试题解析：（1）设向量与向量的夹角为,,令，.（2）∵，∴，设，则.而，所以.当且仅当时，的最小值是.。