复数与三角函数的联系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
课 题:研究性学习课题:复数与三角函数的联系 教学目的:了解复数的三角形式及相关概念,并探究其运算
教学重点:化复数为三角形式.
教学难点:复数辐角主值的探求
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )
则P
与原点的距离||r OP ==
=>2.比值r y 叫做α的正弦 记作: r
y =αsin 比值r
x 叫做α的余弦 记作: r x =αcos 3.复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 4. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ uuu
r 二、讲解新课:
1.复数的模:||||||z a bi OZ =+==u u u r 2. 复数z a bi =+的辐角θ及辐角主值:以x 轴的非
负半轴为始边、以OZ 所在射线为终边的角在[0,2)π内的辐角就叫做辐角主值,记为argz
当+∈R a 时,=a arg 0 ,=-)arg(a π,=)arg(ai 2
π ,=-)arg(ai 23π 3. 复数的三角形式:(cos sin )z a bi r i θθ=+=+ 其中22b a r += ,r a =θcos , r
b =θsin ;
复数的三角形式的特征:①模r ≥0;②同一个辐角θ的余弦与正弦;③
θcos 与θsin i 之间用加号连结
4. 复数的三角形式的乘法:
若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+,
则12121212(cos()sin(z z r r i θθθθ=+++
5. 复数的三角形式的乘方(棣美弗定理):
若(cos sin )z a bi r i θθ=+=+,则(cos sin )n n
z r n i n θθ=+ 6. 复数的三角形式的除法:
若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+,
则11212122
(cos()sin(r z z i r θθθθ÷=-+- 7. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算:
①复数z a bi =+开平方,只要令其平方根为x yi +,
由2
()x yi a bi +=+222x y a xy b ⎧-=⇒⎨=⎩,解出,x y 有两组解 ②复数(cos sin )z r i θθ=+的n 方根为:
22
sin ),(0,1,,1)k k i k n n n
πθπθ+++=-L 共有n 个值
三、讲解范例:
例 化下列复数为三角形式:①z=3+i ;②z=1-i ③z=-1
解:①z=3+i 2(cos sin )66
i ππ
=+;
②z=1-i 77sin )44i ππ=+ ③z=-1cos sin i ππ=+ 例2下列复数中那些是三角形式?那些不是?为什么?
(1))4sin 4(cos 21ππi - ;(2))3
sin 3(cos 21ππi +-;
(3)
)43sin 43(cos 21ππi +;(4)5
7sin 57cos ππi +; (5))30sin 90(cos 200i + ;(6)27cos 27(sin 4ππi + 答案(略)
四、课堂练习:
1.复数(sin100+icos100)3的三角形式为
A .sin300+icos300
B .cos2400+isin2400
C .cos300+isin300
D .sin2400+icos2400
2. 设复数2-i 和3-i 的辐角主值分别为βα、,则βα+等于
A.1350
B.3150
C.6750
D.5850
3.复数tan ()2z i π
θθπ=+<<的三角形式是( ) A.1(sin cos )cos i θθθ+; B.133[cos()sin()]cos 22
i ππθθθ--+-; C.1(cos sin )cos i θθθ+;D.133[cos()sin()]cos 22
i ππθθθ-+++ 4.arg(3-i)+arg(2-i)=
. 答案:1. B 2.C 3. B 4. 415π
五、小结 :复数的模、辐角、三角形式及复数的开方运算的意义 六、课后作业:
七、板书设计(略)
八、课后记: