复数与拉氏变换
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拉氏变换的物理意义
拉氏变换的物理意义
拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。
时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。
变量s又称“复频率”。
拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。
s=jw，当中的j是复数单位，所以使用的是复频域。
通俗的解释方法是，因为系统中有电感X=jwL、电容X=1/jwC，物理意义是，系统H(s)对不同的频率分量有不同的衰减，即这种衰减是发生在频域的，所以为了与时域区别，引入复数的运算。
但是在复频域计算的形式仍然满足欧姆定理、KCL、KVL、叠加法
Laplace变换是工程数学里的重要变换，主要是实现微分积分电路的代数运算，建议参看《积分变换》这书.在一阶和高阶电路中，有一些问题在频域中分析比在时域中分析要方便的多，而拉氏变换就是一个很好的分析工具。
它将时域中的信号输入，变换成S域中的信频输入，再由S域的输出，转换成时频的输出，很简洁明了，又可以分析出信号的多种变化.工程数学或者积分变换都可以解决你所提的问题.好吧
在一阶和高阶电路中，有一些问题在频域中分析比在时域中分析要方便的多，而拉氏变换就是一个很好的分析工具。
它将时域中的信号输入，变换成S域中的信频输入，再由S域的输出，转换成时频的输出，很简洁明了，又可以分析出信号的多种变化。
工程数学或者积分变换都可以解决你所提的问题。
第讲拉氏变换及传递函数
例15： 待定系数法
F (s)
1 的逆变换 s(s 1)2
解：
ab
c
F (s)
s
s 1
(s 1)2
则 a ( s 1 ) 2 bs ( s 1 ) cs 1
对应项系数相等得
a 1, b 1, c 1
F
(s)
1 s
1 s 1
(s
1 1)2
f ( t ) 1 e t te t
29.01.2020
留数法
传递函F数 (s)B(s)/ A(s)B(s)/(sp1)(sp2)(spi)
c1 c2 ci
(sp1) (sp1)
(spi)
式中 pi(i 1,2,,n)是D(s)0的根 ,ci是常数
e at
s in t
cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3 1 (sa)
(s2 2)
s (s2 2)
29.01.2020
5 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 L a f 1 ( b tf 2 ( ) t a F ) 1 ( s b F 2 ( )s
（2）微分定理 L ft s F s f0
ci [M D((ss))(spi)]spi
（1）实根切为单根
例16：
F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
29.01.2020
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)( s
1
2 )(
s
3)
(s
第二章 拉氏变换
m
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
补充：拉氏变换
4、位移性质（也称复位移性质） ：L e 证明： L e ） 。 念 ．
− at
− at
f (= t ) F ( s + a) ；
f (= t )
∫
∞
0
= e − at f (t )e − st dt
∫
∞
0
t f (t )e − ( s + a )= dt F ( s + a ) （变量替换的概 ．．．．．．
4.指数函数 e
− at
∞ ∞ 1 − ( s + a )t ∞ 1 − at − at − st − ( s + a )t L − e |0 = ∫0 e e dt = ∫0 e dt = e = s+a s+a 5.正弦函数 sin ω t
ω s +ω2 6.余弦函数 cos ω t
0 0 − st
∞
∞
（分部积分法）
= e f (t ) + s ∫ f (t )e dt = sF ( s ) − f (0) = 一般地： L d f (t ) / dt s F ( s) − s
n n n n −1
f (0) − s n − 2 f (1) (0) − − f ( n −1) (0)
解：将 F ( s ) 展开为部分分式得
−1
1 jω t − jω t (e − e ) ，可得 2j
L [sin ω t ] = =
解法二：
sin ω te − st dt ∫=
0
∞
∫
∞
0
1 ∞ − ( s − jω )t 1 ∞ e jω t − e − jω t − st e dt e dt − ∫ e − ( s + jω )t dt = ∫ 2j 2j 0 2j 0
拉氏变换
∞
F(s) = L[ f (t)] = ∫ eate−stdt
0−
1 −(s−a)t e =− s −a 0−
∞
1 = s −a
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
是两个任意的时间函数， 设f1(t)和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的 和 是两个任意的时间函数 象函数分别为F 象函数分别为 1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意实 常数， 常数， L[A1f1(t)+ A2f2(t)] = A1L [f1(t) ] + A2L[f2(t)] = A1 F1(s) + A 2F2(s)
lim f (t ) = f (+∞) = limsF (s)
t →+∞ s →0
常用函数的拉氏变换(1) 常用函数的拉氏变换 原函数f(t) 原函数 Aδ(t) A ε(t) Ae-at 1-e-at sin(ωt) e-atsin(ωt) 象函数F(s) 象函数
A A/s
ω s2 + ω 2 ω (s +a)2 +ω2
O
ε (t)
t
2. 延迟单位阶跃函数
0 (t ≤ t ) ε (t − t ) = 1 (t ≥ t )
00 0+
ε (t)
O t0 t
延迟单位阶跃函数可以起始任意函数 f(t) f(t)ε(t− t0) ε
O
t0
t
O
t 0 (t ≤ t0- ) f (t )ε (t − t0 ) = f (t ) (t ≥ t0+ )
− st
称为收敛因子。 称为收敛因子。 收敛因子
的函数， 的函数。 积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s的函数。 的函数 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 所以拉氏变换是把一个时间域的函数 变换到 s 域内的 复变函数F(s)。 复变函数 。
F(s) = L[ f (t)] = ∫ eate−stdt
0−
1 −(s−a)t e =− s −a 0−
∞
1 = s −a
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
是两个任意的时间函数， 设f1(t)和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的 和 是两个任意的时间函数 象函数分别为F 象函数分别为 1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意实 常数， 常数， L[A1f1(t)+ A2f2(t)] = A1L [f1(t) ] + A2L[f2(t)] = A1 F1(s) + A 2F2(s)
lim f (t ) = f (+∞) = limsF (s)
t →+∞ s →0
常用函数的拉氏变换(1) 常用函数的拉氏变换 原函数f(t) 原函数 Aδ(t) A ε(t) Ae-at 1-e-at sin(ωt) e-atsin(ωt) 象函数F(s) 象函数
A A/s
ω s2 + ω 2 ω (s +a)2 +ω2
O
ε (t)
t
2. 延迟单位阶跃函数
0 (t ≤ t ) ε (t − t ) = 1 (t ≥ t )
00 0+
ε (t)
O t0 t
延迟单位阶跃函数可以起始任意函数 f(t) f(t)ε(t− t0) ε
O
t0
t
O
t 0 (t ≤ t0- ) f (t )ε (t − t0 ) = f (t ) (t ≥ t0+ )
− st
称为收敛因子。 称为收敛因子。 收敛因子
的函数， 的函数。 积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s的函数。 的函数 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 所以拉氏变换是把一个时间域的函数 变换到 s 域内的 复变函数F(s)。 复变函数 。
拉氏变换
( II. 当 A(s) = (s − p1 )L s − pn ) = 0 有重根时
重根， (设 p1为m重根，其余为单根)
Cm Cm-1 Cm+1 Cn C1 F(s)= + + L+ + + L+ m m-1 (s-p1 ) (s-p1 ) s-p1 s-pm+1 s-pn
Cm = lim (s − p1 )m.F(s) s→p1 Cm C m- 1 C 1 d f(t) = L−1[ + + L+ 1 lim (s − p1 )m.F(s) (s-p1 )m (s-p1 )m- 1 s-p1 Cm- 1 = s→p 1! 1 ds C m +1 Cn L ] + + L+ s-pm +1 s-pn 1 d( j) lim j (s − p1 )m.F(s) Cm m −1 Cm-1 m − 2 Cm-j = s→p =[ t + t + ... + C2t + C1 ].e p1t j! 1 ds (m − 1 )! (m − 2 )! L n ( m−1) 1 d + ∑ C i e pi t C m lim i = m +1 1 = (m-1 )! s→p1 dsm−1 (s − p1 ) .F(s)
模 （3）复数的共轭 （4）解析
F ( s ) = Fx − jF y
若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。 在 点的各阶导数都存在， 在 点解析。
2 拉氏变换的定义 设f(t)为时间t的函数，并且当t<0时，f(t)=0，以下无穷积分存 在
拉氏变换
确定。可对应于平面上的点 (x, y)，这样表示复数的
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
(整理)拉氏变换讲稿
第2+章 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换简称拉氏变换，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。
通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，使系统的分析大为简化，而且在经典控制论范畴，直接在频域中研究系统的动态特性，对系统进行分析、综合和校正，具有很广泛的实际意义。
2-1 复数和复变函数1.复数的概念复数，ωσj s +=其中σ、ω均为实数，分别称为S 的实部和虚部，记做Re()s σ=，)Im(s =ωj =虚部分别相等，一个复数为零，它的实部和虚部均必须为零。
2.复数的表示方法：表达复数的直角坐标系平面称为复平面或S 平面。
（1）点表示法（2）向量表示法复数S 用从原点指向点（ωσ,）的向量来表示。
向量的长度称为复数S 的模或绝对值。
22ωσ+==r s向量与σ轴（横轴）的夹角θ称为复数的幅角，即σωθarctan =。
（3）三角表示法：由上图可看出：cos r σθ=⋅，θωsin ⋅=r 因此复数的三角表示法为：(cos sin )s r j θθ=+（4）指数表示法：利用欧拉公式：cos sin j e j θθθ=+，复数S 也可用指数表示为：j s r e θ=⋅3.复变函数、极点与零点的概念以复数ωσj s +=为自变量，按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成：()G s u jv =+，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数G(s)是S 的一个给定值，G(s)就唯一被确定。
若有复变函数 1212()()()()()()()m n k s z s z s z G s s s p s p s p ---=---当12,m s z z z =时，()0G s =,称12,z z ，·，m Z 为G(s)的零点； 当120,,n s p p p =时，()G s =∞，称120,,p p ，·，m P 为G(s)的极点。
2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义一、拉氏变换设有时间函数()f t ，0t ≥，则()f t 的拉氏变换记做[]()L f t 或()F s ，并定义为：[]0()()()st L f t F s f t e dt ∞-==⋅⎰ 式（2—1） 式中s 为复数，称()f t 为原函数，()F s 为象函数。
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复数及其指数形式
复数z可以表示为
Z = r (cosqjsinq ) = rejq 其中r=|z|是z的模 q =arg z是z的辐角
z=x+jy
欧拉公式
ejx=cos xjsin x （此时z的模r=1）
三角函数与复变量指数函数之间的联系 因为 所以 ejx+ejx=2cos x exejx=2jsin x ejx =cos xj sin x ejx=cos xj sin x
dn f n n 1 n2 n 1 s F s s f 0 s f 0 f 0 n dt
5
dt
4 y = 2,
y (0) = 1
Solution:
First, take L of both sides
Rearrange, Take L-1,
dt
Application: Linear Differential Equations
we can solve differential equations (including initial conditions) using Laplace transforms Example: (D2 + 5D + 6) y(t) = (D + 1) f(t)
复变量指数函数
e z =1 z 1 z 2 1 z n 2! n! 欧拉公式
当x=0时 z=iy 于是
eiy =1 iy 1 (iy)2 1 (iy)n 2! n! =1 iy 1 y 2 i 1 y3 1 y 4 i 1 y5 2! 3! 4! 5! = (1 1 y 2 1 y 4 ) i( y 1 y3 1 y5 ) 2! 4! 3! 5! =cos yjsin y
Given the hard problem!
Convert it into the subsidiary equation (Simple Problem!)
Transform the subsidiary equation’s solution to obtain the solution of the given problem
因此
1 1 jx jx = = cos x (e e ) , sin x (ejx ejx ) 2 2j 复变量指数函数的性质 ez1 z2 = ez1 ez2 特殊地 有
exjy = exej y = ex(cos yjsin y)
复数项级数
欧拉公式
设有复数项级数∑(univn) 其中un vn(n=1 2 3 )为实 常数或实函数 如果实部所成的级数∑un收敛于和u 并且虚部所成的级 数∑vn收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv 绝对收敛 如果级∑(univn)的各项的模所构成的级数∑|univn|收敛 则称级数∑(univn)绝对收敛
把y换成x得 eix=cos xjsin x 这就是欧拉公式
Appendix Lesson - Laplace Transforms
French physicist and mathematician who put the final capstone on mathematical astronomy by summarizing and extending the work of his predecessors in his five volume Mécanique Céleste (Celestial Mechanics) (1799-1825). This work was important because it translated the geometrical study of mechanics used by Newton to one based on calculus, known as physical mechanics. Laplace also systematized and elaborated probability theory in "Essai Philosophique sur les Probabilités" (Philosophical Essay on Probability, 1814). He was the first to publish the value of the Gaussian integral, . He studied the Laplace transform, although Heaviside developed the techniques fully. He proposed that the solar system had formed from a rotating solar nebula with rings breaking off and forming the planets. He discussed this theory in Exposition de système du monde (1796). He pointed out that sound travels adiabatically, accounting for Newton's too small value. Laplace formulated the mathematical theory of interparticulate forces which could be applied to mechanical, thermal, and optical phenomena. This theory was replaced in the 1820s, but its emphasis on a unified physical view was important.
Solve the subsidiary equation (Purely algebraic!)
Application: Linear Differential Equations
Using differentiation in solve differential equations (including initial conditions) using Laplace transforms dy Example:
The Laplace Transform of a function, f(t), is defined as;
L[ f (t )] = F ( s) = f (t )e dt
st 0
What is the Inverse Laplace Transform?
Let F(s) be a Laplace transform of a function f(t). We can get f(t) by inverse Laplace Transform , via: The Inverse Laplace Transform is defined by
From Table :
2 5 sY s 1 4Y s = s 1 5s 2 y t = L s 5 s 4 y(t ) = 0.5 0.5e 0.8t
Using differentiation in time property dn f n n 1 n2 n 1 0 s F s s f 0 s f 0 f n
Laplace, Pierre (1749-1827)
With Lavoisier, whose caloric theory he subscribed to, he determined specific heats for many substances using a calorimeter of his own design. Laplace borrowed the potential concept from Lagrange, but brought it to new heights. He invented gravitational potential and showed it obeyed Laplace's equation in empty space. Laplace believed the universe to be completely deterministic.
An important point :
f (t ) F ( s )
The above is a statement that f(t) and F(s) are transform pairs. What this means is that for each f(t) there is a unique F(s) and for each F(s) there is a unique f(t). If we can remember the Pair relationships between approximately 10 of the Laplace transform pairs we can go a long way.
L [ F ( s )] = f (t ) =
1
1 2
too! j ….and we can transform it back
F ( s )e j
j
ts
ds
Why the transform?
A method to solve differential equations and corresponding initial and boundary value problems, particularly useful when driving forces are discontinuous, impulsive, or a complicated periodic/aperiodic function.
复数z可以表示为
Z = r (cosqjsinq ) = rejq 其中r=|z|是z的模 q =arg z是z的辐角
z=x+jy
欧拉公式
ejx=cos xjsin x （此时z的模r=1）
三角函数与复变量指数函数之间的联系 因为 所以 ejx+ejx=2cos x exejx=2jsin x ejx =cos xj sin x ejx=cos xj sin x
dn f n n 1 n2 n 1 s F s s f 0 s f 0 f 0 n dt
5
dt
4 y = 2,
y (0) = 1
Solution:
First, take L of both sides
Rearrange, Take L-1,
dt
Application: Linear Differential Equations
we can solve differential equations (including initial conditions) using Laplace transforms Example: (D2 + 5D + 6) y(t) = (D + 1) f(t)
复变量指数函数
e z =1 z 1 z 2 1 z n 2! n! 欧拉公式
当x=0时 z=iy 于是
eiy =1 iy 1 (iy)2 1 (iy)n 2! n! =1 iy 1 y 2 i 1 y3 1 y 4 i 1 y5 2! 3! 4! 5! = (1 1 y 2 1 y 4 ) i( y 1 y3 1 y5 ) 2! 4! 3! 5! =cos yjsin y
Given the hard problem!
Convert it into the subsidiary equation (Simple Problem!)
Transform the subsidiary equation’s solution to obtain the solution of the given problem
因此
1 1 jx jx = = cos x (e e ) , sin x (ejx ejx ) 2 2j 复变量指数函数的性质 ez1 z2 = ez1 ez2 特殊地 有
exjy = exej y = ex(cos yjsin y)
复数项级数
欧拉公式
设有复数项级数∑(univn) 其中un vn(n=1 2 3 )为实 常数或实函数 如果实部所成的级数∑un收敛于和u 并且虚部所成的级 数∑vn收敛于和v 就说复数项级数收敛且和为uiv 绝对收敛 如果级∑(univn)的各项的模所构成的级数∑|univn|收敛 则称级数∑(univn)绝对收敛
把y换成x得 eix=cos xjsin x 这就是欧拉公式
Appendix Lesson - Laplace Transforms
French physicist and mathematician who put the final capstone on mathematical astronomy by summarizing and extending the work of his predecessors in his five volume Mécanique Céleste (Celestial Mechanics) (1799-1825). This work was important because it translated the geometrical study of mechanics used by Newton to one based on calculus, known as physical mechanics. Laplace also systematized and elaborated probability theory in "Essai Philosophique sur les Probabilités" (Philosophical Essay on Probability, 1814). He was the first to publish the value of the Gaussian integral, . He studied the Laplace transform, although Heaviside developed the techniques fully. He proposed that the solar system had formed from a rotating solar nebula with rings breaking off and forming the planets. He discussed this theory in Exposition de système du monde (1796). He pointed out that sound travels adiabatically, accounting for Newton's too small value. Laplace formulated the mathematical theory of interparticulate forces which could be applied to mechanical, thermal, and optical phenomena. This theory was replaced in the 1820s, but its emphasis on a unified physical view was important.
Solve the subsidiary equation (Purely algebraic!)
Application: Linear Differential Equations
Using differentiation in solve differential equations (including initial conditions) using Laplace transforms dy Example:
The Laplace Transform of a function, f(t), is defined as;
L[ f (t )] = F ( s) = f (t )e dt
st 0
What is the Inverse Laplace Transform?
Let F(s) be a Laplace transform of a function f(t). We can get f(t) by inverse Laplace Transform , via: The Inverse Laplace Transform is defined by
From Table :
2 5 sY s 1 4Y s = s 1 5s 2 y t = L s 5 s 4 y(t ) = 0.5 0.5e 0.8t
Using differentiation in time property dn f n n 1 n2 n 1 0 s F s s f 0 s f 0 f n
Laplace, Pierre (1749-1827)
With Lavoisier, whose caloric theory he subscribed to, he determined specific heats for many substances using a calorimeter of his own design. Laplace borrowed the potential concept from Lagrange, but brought it to new heights. He invented gravitational potential and showed it obeyed Laplace's equation in empty space. Laplace believed the universe to be completely deterministic.
An important point :
f (t ) F ( s )
The above is a statement that f(t) and F(s) are transform pairs. What this means is that for each f(t) there is a unique F(s) and for each F(s) there is a unique f(t). If we can remember the Pair relationships between approximately 10 of the Laplace transform pairs we can go a long way.
L [ F ( s )] = f (t ) =
1
1 2
too! j ….and we can transform it back
F ( s )e j
j
ts
ds
Why the transform?
A method to solve differential equations and corresponding initial and boundary value problems, particularly useful when driving forces are discontinuous, impulsive, or a complicated periodic/aperiodic function.