高考数学一轮复习第七章不等式及推理与证明层级快练42文
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.1 不等关系与不等式课件 理 新人教A版.pptx
A.若a>b，c≠0，则ac>bc
B.若a>b，则ac2>bc2
√C.若 ac2>bc2，则 a>b
D.若 a>b，则1a<b1
解析 对于选项A，当c<0时，不正确； 对于选项B，当c＝0时，不正确； 对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确； 对于选项D，当a>0，b<0时，不正确.
当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立.故选D.
(2)(2019·潮州模拟)已知－1≤x＋y≤1,1≤x－y≤3，则 8x·12y 的取值范围是
A.[2,28]
B.12，28
√C.[2,27]
D.12，27
解析 8x·12y＝23x·12y＝23x－y，
令3x－y＝s(x＋y)＋t(x－y)＝(s＋t)x＋(s－t)y，
解析 因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－
1)2＋4>0，
所以M>N.
(2)若a>0，且a≠7，则
A.77aa<7aa7
√C.77aa>7aa7
B.77aa＝7aa7 D.77aa与7aa7的大小不确定
解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a， 则当 a>7 时，0<a7<1,7－a<0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7； 当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
2020版高考数学(理)一轮总复习(课件+层级快练)第七章 不等式及推理与证明 (6)
题组层级快练(四十六)1．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30答案 B解析 观察归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第七个三角形数为7×（7＋1）2＝28.2．(2019·深圳一摸)已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 019＝( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6 答案 A解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2 019＝6×336＋3，∴a 2 019＝a 3＝3.选A. 3．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： ①1*1＝1，②(n ＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1 D ．n 2 答案 A解析 由(n ＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1＋(n －1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.4．(2019·邯郸一中月考)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )窗1 2 过3 4 5 窗678910口 11 12 道 13 14 15 口… …… … … A.48，49 C ．75，76 D ．84，85答案 D解析 由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 项符合条件．5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cosx)′＝－sinx ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A ．f(x) B ．－f(x) C ．g(x) D ．－g(x) 答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 答案 C解析 记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.7．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 017a 2 018＝( )A.2 0152 016B.2 0162 017。
高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明7.6直接证明与间接证明教案文含解析新人教A版
高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明7.6直接证明与间接证明教案文含解析新人教A版§7.6直接证明与间接证明最新考纲考情考向分析1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2.了解反证法的思考过程和特点. 常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中档.1．直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件步骤的符号表示P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)B(结论)⇐B1⇐B2…⇐B n⇐A(已知)2.间接证明(1)反证法的定义：一般地，由证明p⇒q转向证明綈q⇒r⇒…⇒tt与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：①分清命题的条件和结论；②做出与命题结论相矛盾的假定；③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．概念方法微思考1．直接证明中的综合法是演绎推理吗？提示是．用综合法证明时常省略大前提．2．综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的．3．反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示不是．反证法是命题中“p与綈p”关系的应用．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ×)(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．( ×)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( ×)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √)(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( √)题组二教材改编2．若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 A解析P2＝2a＋13＋2a2＋13a＋42，Q2＝2a＋13＋2a2＋13a＋40，∴P2>Q2，又∵P>0，Q>0，∴P>Q.3．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，则a x ＋c y等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 B解析 由题意，得x ＝a ＋b2，y ＝b ＋c2，b 2＝ac ，∴xy ＝(a ＋b )(b ＋c )4，a x ＋c y ＝ay ＋cx xy＝a ·b ＋c 2＋c ·a ＋b2xy＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )2xy ＝ab ＋bc ＋2ac 2xy＝ab ＋bc ＋ac ＋b 22xy ＝(a ＋b )(b ＋c )2xy＝(a ＋b )(b ＋c )2×(a ＋b )(b ＋c )4＝2.题组三 易错自纠4．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2<bc 2B ．a 2>ab >b 2C.1a <1bD.b a >a b答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )， ∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0， ∴a 2>ab .①又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2.5．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要作的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故选A. 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．答案 等边三角形解析 由题意得2B ＝A ＋C ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形.题型一 综合法的应用例1已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≤3； (2)13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤(a ＋b ＋c )＋(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝3，∴a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． (2)∵a >0，∴3a ＋1>1， ∴43a ＋1＋(3a ＋1)≥243a ＋1(3a ＋1)＝4， ∴43a ＋1≥3－3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝13时，取等号， 同理得43b ＋1≥3－3b ，43c ＋1≥3－3c ，以上三式相加得 4⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥9－3(a ＋b ＋c )＝6，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≥32(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)． 思维升华 (1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法．跟踪训练1设T n 是数列{a n }的前n 项之积，并满足：T n ＝1－a n .(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)令b n ＝a nn 2＋n ，证明：{b n }的前n 项和S n <34. 证明 (1)∵a n ＋1＝T n ＋1T n ＝1－a n ＋11－a n⇒a n ＋11－a n ＋1＝11－a n ⇒11－a n ＋1－11－a n＝1，∴1T n ＋1－1T n＝1，又∵T 1＝1－a 1＝a 1， ∴a 1＝12，∴1T 1＝11－a 1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是以2为首项，公差为1的等差数列．(2)∵1T n ＝1T 1＋(n －1)×1，∴11－a n ＝n ＋1⇒a n ＝n n ＋1(n ∈N ＋)， ∴b n ＝a nn 2＋n ＝1(n ＋1)2＝1n 2＋2n ＋1<1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n<12×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2<12×32＝34.题型二 分析法的应用例2已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 证明 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos60°， 即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立．思维升华 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法． 跟踪训练2已知a >0，证明：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)． 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)>0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)2，即2(2－2)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a≥2.因为a >0，a ＋1a≥2显然成立⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝1a ＝1时等号成立， 所以要证的不等式成立． 题型三 反证法的应用例3设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由均值不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． (2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立， 则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．思维升华反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不成立，原结论成立，从而间接地证明原命题为真． 跟踪训练3等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)(n ∈N ＋)． (2)证明 由(1)得b n ＝S n n＝n ＋2，假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N ＋， 且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0，因为p ，q ，r ∈N ＋，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，所以p ＝r ，与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．1．在△ABC 中，sin A sin C <cos A cos C ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 C解析 由sin A sin C <cos A cos C 得 cos A cos C －sin A sin C >0，即cos(A ＋C )>0，所以A ＋C 是锐角， 从而B >π2，故△ABC 必是钝角三角形．2．分析法又称执果索因法，已知x >0，用分析法证明1＋x <1＋x2时，索的因是( )A ．x 2>1 B ．x 2>4 C ．x 2>0 D ．x 2>1答案 C解析 因为x >0，所以要证1＋x <1＋x2，只需证(1＋x )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22，即证0<x 24，即证x 2>0，因为x >0，所以x 2>0成立， 故原不等式成立．3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负答案 A解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0. 4．(2018·阜新调研)设x ，y ，z 为正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析 假设a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，而a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z＋z ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y＋⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，与a ＋b ＋c <6矛盾， ∴a ，b ，c 都小于2错误．∴a ，b ，c 三个数至少有一个不小于2. 5．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③B．①②③C．③D．③④⑤ 答案 C解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 下面用反证法证明： 假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________． 答案 x ≠－1且x ≠1解析 “x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”．7．如果a a ＋b b >a b ＋b a 成立，则a ，b 应满足的条件是__________________________． 答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N ＋，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为____________． 答案 c n ＋1<c n解析 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，则c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1<c n .9．(2018·包头质检)已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值为________． 答案 9解析 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0.所以不等式可化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b .因为5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即其最小值为9，所以m ≤9，即m 的最大值等于9.10．在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足________． 答案 a 2>b 2＋c 2解析 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，得b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2.11．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.由于a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc >0成立．上式两边同时取常用对数，得 lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ，∴lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .12．若f (x )的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ](a <b )，则称函数f (x )是[a ，b ]上的“四维光军”函数．(1)设g (x )＝12x 2－x ＋32是[1，b ]上的“四维光军”函数，求常数b 的值； (2)是否存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设得g (x )＝12(x －1)2＋1，其图象的对称轴为x ＝1，区间[1，b ]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b ]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g (1)＝1，g (b )＝b ，即12b 2－b ＋32＝b ，解得b ＝1或b ＝3.因为b >1，所以b ＝3.(2)假设存在常数a ，b (a >－2)，使函数h (x )＝1x ＋2是区间[a ，b ]上的“四维光军”函数， 因为h (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ h (a )＝b ，h (b )＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＋2＝b ，1b ＋2＝a ，解得a ＝b ，这与已知矛盾．故不存在．13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 答案 A解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b， 又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≤B ≤C . 14．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 解析 方法一 (补集法)若二次函数f (x )≤0在区间[－1,1]内恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2p 2＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32， 故满足题干条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32. 方法二 (直接法)依题意有f (－1)>0或f (1)>0，即2p 2－p －1<0或2p 2＋3p －9<0，得－12<p <1或－3<p <32.故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.15．已知关于x 的不等式m cos x ≥2－x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 由题意得，m ≥2－x 2cos x恒成立， 即m ≥2－x 2cos x 的最大值， 因为当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时， ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2cos x ′＝－2x cos x ＋(2－x 2)sin x cos 2x . 令y ＝f (x )＝－2x cos x ＋(2－x 2)sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， 则f ′(x )＝－2cos x ＋2x sin x ＋(2－x 2)cos x －2x sin x ＝－x 2cos x <0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上成立． 所以f (x )<f (0)＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2cos x ′<0， 又因为2－x 2cos x 为偶函数，所以2－x 2cos x 最大值为2－0cos0＝2，m ≥2，故选C. 16．对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明 (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1，2，3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，① 当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3 ＝6a n .②由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′，所以数列{a n }是等差数列．。
(新课标)高考数学大一轮复习-第七章 不等式及推理与证明 7.1 不等式与不等关系课件 理
∴b>a>0.又 x>y>0，∴bx>ay.
∴（x＋ba）x－（ayy＋b）>0，即x＋x a>y＋y b.
方法二(作商法)：略
【答案】
xy x＋a>y＋b
(2)设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． 【解析】 ∵(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2] ＝(x－y)(－2xy)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 【答案】 (x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 答案 D
D．既不充分也不必要条件
解析 若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若
a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的
既不充分也不必要条件．
5．已知一个三边分别为15，19，23个单位长度的三角形，
A．a2>b2
B．a|c|>b|c|
11 C.a<b
ab D.c2＋1>c2＋1
答案 D 解析 方法一：(特殊值法) 令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A， B，C均错，故选D. 方法二：(直接法) ∵a>b，c2＋1>0，∴c2＋a 1>c2＋b 1，故选D.
4．(2015·浙江文)设 a，b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的
(5)可方性：a>b>0，n∈N*⇒an__>__bn；
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明4直接证明与间接证明课件新人教A版文
边形BDEF是矩形,G和H分别是CE和CF的中点.
求证:AF∥平面BDGH.
思考在用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题时还经常用
到什么数学方法?
-14考点1
考点2
考点3
证明:如图,连接AC,设AC∩BD=O,连接OH.
在△ACF中,因为OA=OC,CH=HF.
1 1
-3
-3
8
- 3 ≥ 27.
思考综合法证明的特点是什么?
-16考点1
考点2
考点3
证明:(1)因为 a,b,c 都为正实数,且 a+b+c=3,
所以(√2 + 1 + √2 + 1 + √2 + 1)2
=2(a+b+c)+3+2 (2 + 1)(2 + 1)+2 (2 + 1)(2 + 1)+2
法证明时,一定要严格按照格式书写.
-28考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)已知 m>0,a,b∈R,求证:
(2)已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.
证明 (1)因为m>0,所以1+m>0.
所以要证原不等式成立,
只需证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,
关闭
A
解析
答案
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-1 不等关系与不等式课件 文
[跟踪演练] (2016·保定统测)已知 2≤x≤3,6≤y≤9，则23yx的取值范围是 ________． [解析] ∵2≤x≤3，∴6≤3x≤9， 又∵6≤y≤9，∴12≤2y≤18，∴118≤21y≤112. ∴13≤32xy≤34. [答案] 13，34
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
[答案] (1)C (2)C
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说 明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题 和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性 质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数 函数，指数函数的性质等．
a－b<0⇔a<b.
ab>1⇔a>ba∈R，b>0， (2)作商法ab＝1⇔a＝ba∈R，b>0，
ab<1⇔a<ba∈R，b>0.
2．不等式的基本性质
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b，ab>0⇒1a
<
1 b.
②a<0<b⇒1a
<
1 b.
(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则： ①ba<ab＋＋mm；ba>ba－－mm(b－m>0)．如23<34<45<56… ②ab>ba＋＋mm；ab<ab－－mm(b－m>0)．
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明4直接证明与间接证明课件新人教A版理
直接证明与间接证明
-2知识梳理
双基自测
1
2
1.直接证明
内
综合法
容
分析法
从要证明的结论出发,逐步寻求
利用已知条件和某些数学定
使它成立的 充分 条件,直到
定 义、公理、定理等,经过一系
最后,把要证明的结论归结为判
义 列的推理论证,最后推导出所
定一个明显成立的条件(已知条
要证明的结论 成立
件、定理、定义、公理等)为止
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找已知的必要条件.
( √ )
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条
件.( × )
(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( × )
(4)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.( × )
3.用综合法证明的特点是“由因导果”,即从命题的条件出发,利用
定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要
证明的结论,直到完成命题的证明.
-18考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1+n-2,
n∈N*,a1=2.
①证明:数列{an-1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
2
2
3
+…+
2 +…+
2
1
1
2
2-1
2+…+
3+6
因为 2 >0,所以
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.3 合情推理与演绎推理学案(文,含解析)新人教A
学习资料7.3合情推理与演绎推理必备知识预案自诊知识梳理1。
合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，先经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
2。
演绎推理（1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.(2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.（3)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式：考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”，错误的画“×"。
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确。
( ) （2）归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.( )(3）在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适。
（ ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数,则m 一定是9的倍数",这是三段论推理，但其结论是错误的.( ) (5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n =n （n ∈N ＊）. ( ) （6)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确。
( )2。
下列说法正确的是( ）A.类比推理，归纳推理，演绎推理都是合情推理 B 。
合情推理得到的结论一定是正确的 C 。
合情推理得到的结论不一定正确 D 。
归纳推理得到的结论一定是正确的3。
如图，根据图中的数构成的规律,a表示的数是(）A。
12 B。
48C。
60 D。
1444.（2020山东潍坊二模，3）甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小。
根据以上情况，下列判断正确的是()A.甲是律师,乙是医生，丙是记者B。
甲是医生，乙是记者，丙是律师C。
甲是医生，乙是律师,丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师5.（2020山西大同一中月考,理6）在等差数列｛a n}中，若a n>0,公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{b n｝中，若b n>0，公比q≠0,则关于b5,b7，b4，b8的一个不等关系正确的是（）A。
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1 / 12 层级快练(四十二) 1．(2018·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是( ) A．(0，0) B．(－1，1) C．(－1，3) D．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使x＋y－1>0，点(－1，3)使x＋y－1>0，所以此两点位于x＋y－1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域为( )
答案 B 解析 方法一：可转化为①x＋2y＋1≥0，x－y＋4≤0或②x＋2y＋1≤0，x－y＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A，C，D选项． 方法二：原不等式可转化为③x＋2y＋1≥0，－x＋y－4≥0或④x＋2y＋1≤0，－x＋y－4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B.
3．(2017·天津，理)设变量x，y满足约束条件2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为( ) A.23 B．1
C.32 D．3 答案 D 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出直线y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故zmax＝0＋3＝3，选项D符合． 2 / 12
4．设关于x，y的不等式组2x－y＋1>0，x＋m<0，y－m>0，表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0
＝2，则m的取值范围是( ) A．(－∞，43) B．(－∞，13)
C．(－∞，－23) D．(－∞，－53) 答案 C 解析 作出可行域如图．
图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y＝12x－1的上的点，只需要可行域的边界点(－m，m)在y＝12x－1下方，也就是m<－12m－1，即m<－23.
5．(2016·北京，理)若x，y满足2x－y≤0，x＋y≤3，x≥0，则2x＋y的最大值为( ) A．0 B．3 C．4 D．5 答案 C
解析 不等式组2x－y≤0，x＋y≤3，x≥0表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)， 3 / 12
由2x－y＝0，x＋y＝3，解得x＝1，y＝2，故当目标函数z＝2x＋y经过点A(1，2)时，z取得最大值，zmax
＝2×1＋2＝4.故选C.
6．(2018·西安四校联考)设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为( ) A．－7 B．－4 C．1 D．2 答案 A
解析 画出由x，y满足的约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0， 如图所示，得它们的交点分别为A(2，0)，B(5，3)，C(1，3)．
可知z＝y－2x过点B(5，3)时，z最小值为3－2×5＝－7. 7．(2017·贵阳监测)已知实数x，y满足：x－2y＋1≥0，x<2，x＋y－1≥0，则z＝2x－2y－1的取值范围是( ) A．[53，5] B．[0，5] 4 / 12
C．[53，5) D．[－53，5) 答案 D 解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，作
直线l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×13－2×23－1≤z<2×2
－2×(－1)－1，即z的取值范围是[－53，5)．
8．(2017·南昌调研)设变量x，y满足约束条件y≥x，x＋3y≤4，x≥－2，则z＝|x－3y|的最大值为( ) A．10 B．8 C．6 D．4 答案 B
解析 不等式组y≥x，x＋3y≤4，x≥－2，所表示的平面区域如图中阴影部分所示．
当平移直线x－3y＝0过点A时，m＝x－3y取最大值； 当平移直线x－3y＝0过点C时，m＝x－3y取最小值． 由题意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以mmax＝－2－3×(－2)＝4，mmin＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即zmax＝8.
9．(2014·安徽，理)x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( ) A.12或－1 B．2或12 C．2或1 D．2或－1 答案 D 解析 作出约束条件满足的可行域，根据z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解． 5 / 12
如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
10．(2015·福建)变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0，若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案 C
解析 如图所示，目标函数z＝2x－y取最大值2即y＝2x－2时，画出x＋y≥0，x－2y＋2≥0，表示的区域，由于mx－y≤0过定点(0，0)，要使z＝2x－y取最大值2，则目标函数必过两直线x－2y＋2＝0与y＝2x－2的交点A(2，2)，因此直线mx－y＝0过点A(2，2)，故有2m－2＝0，解得m＝1.
11．(2017·泉州质检)已知O为坐标原点，A(1，2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件x＋|y|≤1，x≥0，则z＝OA→·OP→的最大值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案 D
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，z＝OA→·OP→＝x＋2y，平移直线x＋2y＝0，显然当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，且zmax＝2.故选D. 6 / 12
12．已知实数x，y满足条件（x－3）2＋（y－2）2≤1，x－y－1≥0，则z＝yx－2的最小值为( ) A．3＋2 B．2＋2 C.34 D.43 答案 C 解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数z＝yx－2＝y－0x－2表示在可行域取一点与点(2，0)连线的斜率，可知过点
(2，0)作半圆的切线，切线的斜率为z＝yx－2的最小值，设切线方程为y＝k(x－2)，则A到切线的距离为1，故1＝|k－2|1＋k2.解得k＝34.
13．(2018·苏州市高三一诊)实数x，y满足y≥0，x－y≥0，2x－y－2≤0，则使得z＝2y－3x取得最小值的最优解是( ) A．(1，0) B．(0，－2) C．(0，0) D．(2，2) 答案 A 解析 约束条件所表示的可行域为三角形，其三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，0)，(2，2)，将三个顶点的坐标分别代入到目标函数z＝2y－3x中，易得在(1，0)处取得最小值，故取得最小值的最优解为(1，0)．
14．(2018·湖北宜昌市)设x，y满足约束条件y－x≤1，x＋y≤3，y≥m，若z＝x＋3y的最大值与最小值的差为7，则实数m＝( ) A.32 B．－32
C.14 D．－14 答案 C 解析 作出不等式组表示的平面区域(图略)，由图易得目标函数z＝x＋3y在点(1，2)处取得最大值；zmax＝1＋3×2＝7，在点(m－1，m)处取得最小值，zmin＝m－1＋3m＝4m－1.又由7 / 12
题知7－(4m－1)＝7，解得m＝14，故选C. 15．(2018·兰州模拟)已知M(－4，0)，N(0，－3)，P(x，y)的坐标x，y满足
x≥0，y≥0，3x＋4y≤12，则△PMN面积的取值范围是( ) A．[12，24] B．[12，25]
C．[6，12] D．[6，252] 答案 C
解析 作出不等式组x≥0，y≥0，3x＋4y≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点M(－4，0)，N(0，－3)的直线的方程为3x＋4y＋12＝0，而它与直线3x＋4y＝12平行，其距离d＝|12＋12|32＋42
＝245，所以当P点在原点O处时，△PMN的面积最小，其面积为△OMN的面积，此时S△OMN＝12×3×4＝6；当P 点在线段AB上时，△PMN的面积最大，为12×32＋42×245＝12，故选C.
16．(2017·陕西质检一)点(x，y)满足不等式|x|＋|y|≤1，Z＝(x－2)2＋(y－2)2，则Z的最小值为________．
答案 92 解析 |x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z＝(x－2)2＋(y－2)2的几何意义是点(x，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z的最小值为点P(2，2)到直线x＋y＝1距离的
平方，即为(|2＋2－1|2)2＝92.
17．已知整数x，y满足2x－y≤0，x－3y＋5≥0，则z＝4－x·(12)y的最小值为________．