复数与平面向量的联系
平面向量的极坐标和复数形式
平面向量的极坐标和复数形式平面向量是数学中重要的概念之一，在解决各种几何和物理问题时都起着重要作用。
为了更方便地描述和计算平面向量，人们引入了极坐标和复数形式的表示方法。
本文将探讨平面向量的极坐标和复数形式，分析它们的特点和应用。
一、极坐标表示法1. 极坐标系简介在平面直角坐标系中，我们通常用x轴和y轴来表示平面上的点。
然而，在描述向量时，使用极坐标表示法更为方便。
极坐标系由极轴和极径组成，其中极轴是一条过原点的直线，极径则是从原点到点P 的有向线段。
2. 极坐标的表示方式对于点P(x, y)的极坐标表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为极轴与OP的夹角。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：x = rcosθy = rsinθ根据这些关系，我们可以将给定的平面向量转换为极坐标形式。
3. 平面向量的极坐标形式对于平面向量AB，它的起点为原点O，终点为点B(x, y)。
我们可以得到以下关系：→→→AB = x i + y j = r(cosθ i + sinθ j) = r∠θ其中r为向量AB的模长，θ为向量AB与x轴的夹角。
这就是平面向量的极坐标形式。
二、复数表示法1. 复数的定义复数是由实数部分和虚数部分组成的数，一般可以表示为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
复数可以看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
2. 平面向量与复数的关系在平面上，向量可以表示为由原点出发的有向线段，而复数也可以看作是由原点出发的有向线段。
因此，我们可以将平面向量与复数进行对应。
3. 平面向量的复数形式对于平面向量AB，通过将其坐标表示为复数形式，我们可以得到：→→AB = x i + y j = x + yi其中x为向量AB的x坐标，y为向量AB的y坐标。
这就是平面向量的复数形式。
三、应用案例1. 极坐标和复数形式的互相转换通过极坐标和复数形式的转换，可以简化向量的运算和描述。
复数与向量：复数运算和向量分析
复数与向量：复数运算和向量分析复数与向量是数学中重要而常用的概念，它们在代数和几何中都有广泛的应用。
本文将介绍复数的基本运算以及向量的分析性质，并深入探讨它们之间的联系和应用。
一、复数运算1.1 复数的定义和表示方法复数是由实数部分和虚数部分构成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以表示为有序对(a, b)，其中a和b均为实数。
1.2 复数的基本运算复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
1.2.1 加法和减法两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，即(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i。
减法同理，即(a+bi) - (c+di) = (a-c)+(b-d)i。
1.2.2 乘法两个复数相乘时，根据乘法分配律展开，并利用虚数单位i的平方性质，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
1.2.3 除法两个复数相除时，将分子和分母都乘以共轭复数的同一个形式。
即(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]。
1.3 欧拉公式欧拉公式是复数运算中的重要公式，表达了自然对数底e的指数函数与三角函数的关系。
欧拉公式为e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e为自然对数底，i为虚数单位，x为实数。
二、向量分析2.1 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，可以用箭头表示，也可以用坐标表示。
在二维空间中，一个向量可以表示为(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2.2 向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法、数乘和点乘。
2.2.1 加法和减法两个向量相加时，将它们的对应分量相加，即(x1, y1) + (x2, y2) =(x1+x2, y1+y2)。
复数和向量的关系
复数和向量的关系复数和向量是有着密切关系的两个概念。
在物理学、工程学以及数学的各个方面都用到了这两个概念。
复数的符号含义为a + bi，其中i为虚数单位，a和b分别为实部和虚部。
而向量是物理学里最基本的概念之一，它是有大小和方向的量。
本文将介绍复数和向量之间的关系。
一、复数可以表示向量复数和向量在某种意义上是等价的。
我们可以用一个复数来表示一个二维向量。
具体来说，如果将一个复数a + bi看作是一个有序数对(a,b)，那么这个复数可以表示平面上的一个向量(以原点为起点)。
其中a为向量的横坐标，b为向量的纵坐标。
而向量则可以用复数表示，它的实部表示向量在横坐标上的投影，虚部表示向量在纵坐标上的投影。
二、复数的求模与向量的长度复数的求模表示对应复平面上，从原点到复数对应的点的距离。
而对于向量来说，长度则表示向量的大小。
因此，复数的模和向量的长度有一一对应的关系。
具体来说，对于一个复数a + bi，其模为|a+bi| = √(a²+b²)。
而对于一个向量v(x,y)，其长度为|v| = √(x²+y²)。
四、复数的四则运算与向量的运算复数和向量都可以进行加、减、乘、除等各种运算。
具体来说，复数a+bi和c+di的加减法规则如下：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i而复数的乘法规则是：而向量的加、减、乘等运算也有对应的规律。
向量v(x,y)和w(u,v)的加减法规则如下：v + w = (x+u, y+v)而向量的乘法规则则有两种：点积和叉积。
其中点积的公式为：v · w = |v| |w| cosθ而叉积的公式为：其中θ为v和w之间的夹角。
综上所述，复数和向量有着密不可分的关系。
无论是求模、幅角，还是进行四则运算和向量的加、减、乘等运算，都存在着一一对应的关系。
这一关系在各种物理学和工程学的计算中都有着非常重要的应用。
因此，深入理解复数和向量的关系，对于学习数学、物理学、工程学等相关学科都有着重要的帮助。
平面向量与复数的关系
平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。
通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。
本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。
比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。
它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。
3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。
5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。
6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。
二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。
复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。
即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。
3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。
如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。
复数与平面向量的应用知识点总结
复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。
一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。
复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。
2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。
共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。
3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。
4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。
欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。
二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。
平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。
减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。
2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。
数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。
3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。
4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。
平面向量与复数的联系与应用
平面向量与复数的联系与应用一、引言平面向量和复数是高中数学中常见的概念，它们在几何学和代数学中有着密切的联系与应用。
本文将探讨平面向量和复数之间的联系，以及它们在数学和物理中的应用。
二、平面向量与复数的定义和表示方法1. 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
通常用字母加上一个箭头来表示向量，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。
平面向量也可以用坐标表示，如A B⃗= (x,y)，其中(x,y)为向量的坐标。
2. 复数的定义和表示方法复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中a 和b为实数，i为虚数单位。
复数可以用平面上的点表示，其中实数部分对应横坐标，虚数部分对应纵坐标。
三、平面向量与复数的联系平面向量和复数之间有着密切的联系，具体体现在以下几个方面。
1. 向量的加法与复数的加法向量的加法满足平行四边形法则，即A B⃗ +B C⃗ =A C⃗。
复数的加法满足实部相加，虚部相加的规则，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 向量的数量积与复数的乘法向量的数量积满足A B⃗·B C⃗=|A B⃗||B C⃗|cosθ，其中θ为两向量夹角。
复数的乘法满足(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 平面向量与复数的相互转换对于平面上的向量A B⃗，可以与点B对应的复数表示形式相互转换。
即向量A B⃗对应的复数表示为z=x+yi，其中x和y分别为向量的分量。
四、平面向量与复数的应用平面向量和复数在数学和物理中有广泛的应用。
1. 平面向量的应用平面向量常用于解决几何学中的问题，如直线的判定、线段的长度和夹角的计算等。
此外，在力学和电磁学中，平面向量也被广泛应用于力的合成、力矩的计算等物理问题的求解。
2. 复数的应用复数在代数学的求解中有重要的应用。
它可以用于解决各类代数方程，如一元二次方程、三角方程等。
复数与向量的关系
重视复平面上复数与向量得联系作用平面向量与复数就是高中数学得重要内容,联系紧密，联系就是在复平面进行得。
随着知识得发展,相互对应相互促进就是联系得主要体现。
复数中得概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量得运算，可以对应有关得复数运算、复数与向量得这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们得联系作用,将就是一件高效快乐得事情、一复数商与内积得联系复数运算,向量运算之间得许多联系,在现有课本里就是可以学习到得，下面我们来瞧复数商与内积得联系、例 1 复数z=a+bｉ，ｚ=a＋bi，它们得三角式分别为z=|z｜(cｏｓθ+isinθ), z=|ｚ|(cosθ+ｉsinθ)，对应得向量分别就是＝(ａ,ｂ)、＝(a，b)、然后复数作商:代数式作商:=;-－-－---－-－--－(１)三角式作商:=[cｏｓ(θ－θ）+ｉｓin(θ-θ)],-－－-－-(2)比较(1)（2）式,可得 [cos（θ－θ)]=, (3)［sｉn(θ-θ）]= (4)则从中可得下列变式：(1)复数对应向量间得夹角余弦公式:ｃos(θ-θ)= ，（我們总可以适当选择θ、θ得主值范围,使得|θ-θ|∈，所以与得夹角就就是|θ－θ|)、(2) 向量内积:·=ａa+ｂb=||·｜｜ｃos(θ-θ)、若对(４）取绝对值得到:|×|=｜ab-ab｜=||·|sin(θ-θ)｜，这就是空间平面上向量叉积得绝对值,就是以线段oz、ｏz为邻边得平行四边形得面积公式、复数商运算式中,隐含着向量间得夹角公式,向量得内积,平行四边形面积得公式、若复数代数式得三角式分别就是,然后，将它们得代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面得三个式子、数学中得这种相互包容联系,真就是体现了数学中得统一与谐之美、二复数向向量表示上得转化联系利用复数与向量得联系,复数可以向向量表示上得转化，使有些复数得问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、例2 已知复数z、z得模为１,z+ｚ，求复数、解：根据题意，设复数对应得向量为,以这两个向量为邻边，边长为1,构作一个平行四边形,并建如图１得直角坐标系、记,对应向量、∵对应得复数就是x∴，∠ｚoz=60,ﻩ本题在解题得思路上借助了复数向向量转化得作用、复数向向量转化就是较常用得思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大得、例３复平面内,已知动点Ａ,B所对应得复数得辐角为定值,分别θ、-θ,,O为原点,ΔAＯB得面积就是定值S,求ΔAOＢ得重心M所对应得复数模得最小值、图2、解:根据题设,设向量对应复数且|,则有,∵ 图2∴＝=≥=∴ ｜z|=|,即重心M 所对应得复数模得最小值(=时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、复数向向量表示上得转化得特点就是:能将复数条件化为特殊得向量图形, 或构造一个向量运算，然后,顺利进行推理运算,求得结果、三 向量向复数表示上得转化联系利用复数与平面向量得联系,由向量向复数表示上得转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数得结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、例4已知三个不共线得向量且证明:可构成一个三角形、证明:不妨设对应复数得三角式分别为：,且、o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ＝0 (2)由(１）,（2)解得不共线,可构成一个三角形、从证明过程知道,其逆也成立得,故此命题可写成充要条件得形式、该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单得,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上得转化得特点就是:转化为复数问题后能构造出复数得某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题得方法,在数学中就是常用得手段，而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通得重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题得处理自然要选择合适得形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、例5已知线段ＡＢ得中点Ｃ,以ＡC 与C Ｂ为对角线作平行四边形A ＥＣＤ与BFCG ，又作平行四边形CF ＨＤ与CGK Ｅ,求证H 、C 、Ｋ三点在一条直线上,且CK ＝C Ｈ,如图３、证明：以C 为原点,A Ｂ为X 轴建立直角直角坐标系、设向量对应复数那么,向量对应复数分别为;又、分别对应复数、∵ ,图3 ∴ ,∴平行,但又有公共点C,故Ｈ、C 、K 三点共线,且CK=CH 、例6已知(k=１，2,……,ｎ）就是单位圆上得n 个等分点,就是该圆上任意一点，求证 为一定值、如图４、证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点，ＯP 为Ｘ轴,建立坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)，∵ 点，对应向量就是，则其长为1,向量与，即、∴ = =()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++=２n-２=2n,为定值、在这两个问题解决得过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间得等价结论、复数与向量并用得特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自得范围内有顺利进行计算推理得可能、在平面图中，证明点共线,直线平行，直线垂直,判断三角形得形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题得,从而实现共同之目得、复数与平面向量之间得联系就是很多得,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系得意义就是很大得、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习得积极性,提高学习得效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量得对应联系，并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、例４已知就是单位圆上得ｎ个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点,OP 为X 轴,建立直角坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)、∵ 点,对应向量就是,则其长为1,向量与,∴ 、这种等分圆周得有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、。
复数与平面向量的联系
课 题：研究性学习课题：复数与平面向量的联系 教学目的：1. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系2. 了解复数加减法运算的几何意义教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加减法运算的几何意义授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 4.复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.5.复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).二、讲解新课： １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义： 设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.三、讲解范例：例1已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例2 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵=，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ， ∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+(x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用四、课堂练习：1.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i ∵z 2－z 1是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a =－1. 2．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.解：设D （x ,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i )－(－2+i )=1－3i ∵= ∴(x －1)+(y －2)i =1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i五、小结 ：复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量 复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：。
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课 题：研究性学习课题：复数与平面向量的联系 教学目的：
1. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系
2. 了解复数加减法运算的几何意义
教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．
教学难点：复数加减法运算的几何意义
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =
2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，
b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 4.复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系
中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中
的点集之间可以建立一一对应的关系.
点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系
来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所
确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
5.复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .
与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).
二、讲解新课： １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应
平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应
平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：
设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量
为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，
b )，2OZ =(
c ，
d )1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是，
∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i
4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就
与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z = ，所以，两个复数的差z
－z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
三、讲解范例：
例1已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？
解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，
∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，
∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.
点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关
例2 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用=，求点D 的对应复数.
解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：
OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;
OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵=，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，
∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .
分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.
解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+
(x +yi )=0，∴x =2，y =－1.
故点D 对应的复数为2－i .
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，
往往能起到启迪解题思路的作用
四、课堂练习：
1.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、
2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则
z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i ∵z 2－z 1是纯虚数
∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-0
60222a a a a 解得a =－1. 2．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.
解：设D （x ,y ),则
OA OD AD -=对应的复数为(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i
OB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i )－(－2+i )=1－3i ∵= ∴(x －1)+(y －2)i =1－3i
∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==1
2y x ∴D 点对应的复数为2－i
五、小结 ：复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量 复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
六、课后作业：
七、板书设计（略） 八、课后记：。