专题05 平面向量与复数(原卷版)
平面向量、复数(原卷版)
平面向量、复数【命题趋势】复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量.【知识点分析以及满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算.平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可.平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可.平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解.【考查题型】选择题，填空【限时检测】（建议用时：45分钟）1．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知i是虚数单位，则复数37izi+=的实部和虚部分别为A．7，3i-B．7-，3C．7-，3i D．7，3-2．（2019·河北衡水中学高考模拟（理））已知i为虚数单位，若复数11tizi-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3．（2019·河南高三月考（理））若1312i i -+与1()2i a ai -的虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．14．（2018·全国郑州外国语学校高考模拟（理））设复数1z =-（i 是虚数单位），则z z z ⋅+的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·河北高考模拟（理））已知平面向量a 与b 的夹角为23π，且1,22b a b =+=，则a =（）A ．2B ．1CD ．6．（2019·山西高考模拟（理））在边长为1的正三角形ABC 中,,,0,0BD xBA CE yCA x y ==>> ,且1x y += ,则CD BE ∙的最大值为( )A ．58- B ．38- C ．32- D ．34- 7．（2019·福建厦门一中高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1BC ．2D ．28．（2019·安徽高考模拟（理））已知复数z 满足(1i)2i z -=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2019·河北辛集中学高三期中（理））已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“a ＝1”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2019·广东高考模拟（理））在ABC △中，1CA =，2CB =，23ACB π∠=，点M 满足2CM CB CA =+，则MA MB ⋅=A ．0B ．2C ．D ．411．（2019·山东高考模拟（理））已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．13- 12．（2019·河南高考模拟（理））已知复数1221i z iz i+=++，则z =（ ）A B C D 13．（2019·河南省实验中学高考模拟（理））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 3414．（2019·广东高考模拟（理））复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（ ）A B ．13 C D ．515．（2019·山东高考模拟（理））已知i 为虚数单位，且复数z 满足1z 2i 1i-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）A ．132BCD ．5216．（2019·黑龙江铁人中学高三期中（理））在ABC ∆中，0,2,23AB BC AB BC ∙===D 为AC 的中点，则BD DA ∙=( )A ．2B ．-2C ．D ．-17．（2019·天津一中高考模拟（理））如图，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+∈、，则x y +的取值范围是（ ）A ．1,4⎡+⎣B ．4⎡-+⎣C ．1,2⎡+⎣D ．2⎡⎣18．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知向量(3,1)OA =，(1,3)OB =-，(0,0)OC mOA nOB m n =->>，若[1,2]m n +∈，则||OC 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题19．（2019·天津市武清区杨村第一中学高考模拟（理））在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=︒，若点N 在线段CD 上，则NA NB ⋅的取值范围是______.20．（2019·福建三明一中高三期中（理））已知平面内三个不共线向量,,a b c 两两夹角相等，且13a b c ＝＝，＝，则a b c ++ ＝_______. 21．（2019·甘肃兰州一中高三期中（理））已知向量,,a b c 满足4,22,,,4a b a b π==〈〉=()()·1c a c b --=-，则c a -的最大值为_______. 22．（2019·上海复旦附中高三）已知点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==，则·AO BC = ．23．（2019·北京清华附中高三月考）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ． 24．（2019·江苏高考真题）如图，在V ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC的值是_____.24．（2019·浙江高考真题）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ= 取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.。
高考数学复习单元检测(文)：平面向量与复数【含答案】
高考数学复习单元检测（文）：平面向量与复数考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足i z ＝3＋4i ，则|z |等于( ) A ．1B ．2C.5D ．5 答案 D解析 因为z ＝3＋4ii ＝－(3＋4i)i ＝4－3i ，所以|z |＝42＋(－3)2＝5.2．若z 1＝(1＋i)2，z 2＝1－i ，则z 1z 2等于( ) A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i 答案 B解析 ∵z 1＝(1＋i)2＝2i ，z 2＝1－i ， ∴z 1z 2＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋2i2＝－1＋i.3．设平面向量m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，若m ∥n ，则|m ＋n |等于( ) A.5B.10C.2D ．3 5 答案 A解析 由m ∥n ，m ＝(－1，2)，n ＝(2，b )，得b ＝－4，故n ＝(2，－4)，所以m ＋n ＝(1，－2)，故|m ＋n |＝5，故选A.4.如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－4CB →，则( )A ．c ＝12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝－13a ＋43b答案 D解析 c ＝OB →＋BC →＝OB →＋13AB →＝OB →＋13(OB →－OA →)＝43OB →－13OA →＝43b －13a .故选D.5．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－3)，且a ⊥b ，则向量a －3b 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 因为a ⊥b ，所以x －3＝0，解得x ＝3，所以a ＝(3，1)，a －3b ＝(0，4)，则cos 〈a －3b ，b 〉＝(a －3b )·b|a －3b |·|b |＝－434×2＝－32，所以向量a －3b 与b 的夹角为5π6，故选D.6.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →＝λAC →＋μAE →，则λ－μ等于( )A ．1B ．3C ．－1D ．－3答案 D解析 E 为DC 的中点，故AE →＝12(AC →＋AD →)，所以AD →＝－AC →＋2AE →，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.7．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(x ，4)则“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ∥b ，则x 2＝4，解得x ＝±2，当且仅当x ＝－2时，向量a 与b 反向，所以“x ＝－2”是“向量a 与b 反向”的充要条件，故选C.8．在△ABC 中，边BC 的垂直平分线交BC 于点Q ，交AC 于点P ，若|A B →|＝1，|AC →|＝2，则AP →·BC →的值为( )A ．3B.32C.3D.32答案 B解析 由题知QP ⊥BC ，所以QP →·BC →＝0，则AP →·BC →＝(AQ →＋QP →)·BC →＝AQ →·BC →＋QP →·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(A C →2－AB →2)＝32，故选B.9．已知a ＝(2，cos x )，b ＝(sin x ，－1)，当x ＝θ时，函数f (x )＝a ·b 取得最大值，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C ．－210D ．－7210 答案 D解析 f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝15，cos φ＝25，θ－φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z ，所以sin θ＝cos φ＝25，cos θ＝－sin φ＝－15，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－45，cos2θ＝1－2sin 2θ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin2θ＋cos2θ)＝－7210，故选D.10.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BE →·CE →＝2，BF →·CF →＝－1，则BA →·CA →等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 BE →·CE →＝ED →2－BD →2＝4FD →2－BD →2＝2，BF →·CF →＝FD →2－BD →2＝－1，所以FD →2＝1，BD →2＝2，因此BA →·CA →＝AD →2－BD →2＝9FD →2－BD →2＝7，故选C.11．(2018·西宁检测)定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．6B ．－8或8C ．－8D ．8答案 D 解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－610＝－35，且θ∈[0，π]，则sin θ＝45，则|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝10×45＝8，故选D.12．在△ABC 中，CM →＝2MB →，过点M 的直线分别交射线AB ，AC 于不同的两点P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，则mn ＋m 的最小值为( )A ．63B ．23C ．6D ．2 答案 D解析 由已知易得，AM →＝23AB →＋13AC →，∴AM →＝23m AP →＋13n AQ →.又M ，P ，Q 三点共线， ∴23m ＋13n＝1， ∴m ＝2n3n －1，易知3n －1>0.mn ＋m ＝m (n ＋1)＝2n3n －1·(n ＋1) ＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3n －1)＋43n －1＋5≥2， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号． ∴mn ＋m 的最小值为2.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是________． 答案 －1解析 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1，2a )． 又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.14．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7.若O 为△ABC 的外接圆的圆心，则AO →·BC →＝________. 答案 12解析 取BC 的中点D ，由O 为△ABC 的外接圆的圆心得OD ⊥BC ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12.15．欧拉在1748年给出了著名公式e i θ＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z ＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2i 3e π，z 2＝i 2e π，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在第________象限． 答案 四解析 因为z 1＝2i 3e π＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝1＋3i ，z 2＝i2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i ＝(1＋3i )(－i )i (－i )＝3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限．16．已知点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0.设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝______.答案 16解析 设E 为AB 的中点，连接OE ，延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，因为点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，所以OA →＋OB →＋OD →＝0，则点O 是△ABD 的重心，则E ，O ，C ，D 共线，OD ∶OE ＝2∶1，所以OC ∶OE ＝1∶2，则CE ∶OE ＝3∶2，则S 1＝13S △BCE ＝16S △ABC ，所以S 1S 2＝16.三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，c ＝(1，1)． (1)求向量a 与b 的夹角的大小； (2)若c ∥(a ＋k b )，求实数k 的值． 解 (1)设向量a 与b 的夹角为α， 则cos α＝a ·b |a |·|b |＝－3－210·5＝－22，又α∈[0，π]，所以α＝3π4，即向量a 与b 的夹角的大小为3π4.(2)a ＋k b ＝(－3＋k ，1－2k )，因为c ∥(a ＋k b )，所以1－2k ＋3－k ＝0， 解得k ＝43，即实数k 的值为43.18．(12分)已知a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，O 为坐标原点． (1)若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； (2)设OA →＝a ，OB →＝b ，求△OAB 的面积． 解 (1)∵a ＝(3，－2)，b ＝(2，1)，∴m a ＋b ＝(3m ＋2，－2m ＋1)，a －2b ＝(－1，－4)， 令(m a ＋b )·(a －2b )<0， 即－3m －2＋8m －4<0，解得m <65，∵当m ＝－12时，m a ＋b ＝－12a ＋b ，a －2b 与m a ＋b 方向相反，夹角为平角，不合题意．∴m ≠－12，∴若m a ＋b 与a －2b 的夹角为钝角，m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，65. (2)设∠AOB ＝θ，△OAB 面积为S ， 则S ＝12|a |·|b |sin θ，∵sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2， ∴4S 2＝|a |2|b |2·sin 2θ ＝|a |2|b |2－(a ·b )2＝65－16＝49. ∴S ＝72.19．(13分)如图，在△OAB 中，点P 为线段AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足AP →＝λPB →.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA →|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →取值范围． 解 (1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)，∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →. (2)∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝6，AP →＝λPB →(λ>0)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →， ∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB →＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＝错误!·(错误!－错误!)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ－λ1＋λOA →·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ>0，∴3－131＋λ∈(－10，3)．∴OP →·AB →的取值范围是(－10，3)．20．(13分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值； (2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12.又0<B <π2，所以B ＝π3，则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C .又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1.又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.。
复习验收卷(五)平面向量与复数
复习验收卷(五) 平面向量与复数(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知复数z 满足z (1＋3i)＝1－i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( ) A.－25B.25C.－25ID.25i答案 A 解析 z ＝1－i 1＋3i＝－15－25i ，虚部为－25，故选A.2.(2020·武汉调研)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，3)，c ＝(2，1)，且(a －λb )∥c ，则λ＝( ) A.3 B.－3C.17D.－17答案 C解析 由题意知a －λb ＝(1＋λ，1－3λ)，c ＝(2，1).若(a －λb )∥c ，则(1＋λ)×1－2(1－3λ)＝0，解得λ＝17，故选C.3.如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z 表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i答案 D解析 由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.4.(2021·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是( )A.(－2，1)B.(－1，2)C.(－3，1)D.(－1，3)答案 D解析 由P (3，1)，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3).故选D.5.设复数z 满足(1＋i)z ＝2i(其中i 为虚数单位)，则下列结论正确的是( ) A.|z |＝2 B.z 的虚部为i C.z 2＝2D.z 的共轭复数为1－i答案 D解析 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ， ∴|z |＝2，z 的虚部为1，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为1－i ，故选D. 6.已知单位向量e 1，e 2分别与平面直角坐标系x ，y 轴的正方向同向，且向量AC →＝3e 1－e 2，BD →＝2e 1＋6e 2，则平面四边形ABCD 的面积为( )A.10B.210C.10D.20答案 C解析 由向量正交分解的定义可知，AC →＝(3，－1)，BD →＝(2，6)，则|AC →|＝32＋（－1）2＝10，|BD→|＝22＋62＝210.因为AC→·BD →＝3×2＋(－1)×6＝0，所以AC ⊥BD ，即平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积S ＝|AC→|·|BD →|2＝10×2102＝10.故选C.7.已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝2，OA →·OB →＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，且λ＋μ＝1，则|OC→|的最小值为( )A.1B.52C.2D.3答案 D解析 |OC→|2＝(λOA →＋μOB →)2＝[λOA →＋(1－λ)OB →]2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)OA→·OB →，因为OA →·OB →＝2，所以|OC→|2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋3，当λ＝12时，|OC→|取得最小值 3.8.(2021·海南新高考诊断)如图，在等腰直角△ABC 中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点(D 靠近点B )，过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF →＝( ) A.35AB →＋15AC →B.25AB →＋15AC →C.415AB →＋815AC →D.815AB →＋415AC →答案 D解析 设BC ＝6，因为D ，E 分别为斜边BC 的三等分点且D 靠近点B ，则BD ＝DE ＝2.在△ABD 中，AB ＝32，BD ＝2，∠ABD ＝45°， 由余弦定理可知AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝10， 则AD ＝AE ＝10.在△DAE 中，cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE ＝45.因为AF ⊥EF ，所以AF AD ＝AF AE ＝45，所以AF→＝45AD →.因为AD→＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，所以AF →＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →＝815AB →＋415AC →，故选D.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，D 为线段OA 的中点，则BD →＝( )A.23BA →＋16BC →B.43BA →－16BC →C.BA→＋13AE →D.23BA →＋13AE →答案 AC解析 如图所示，设BC 中点为E ，连接AE ，D 在AE 上，则BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋13AE →＝BA →＋13(AB →＋BE →)＝BA →－13BA →＋13·12BC →＝ 23BA →＋16BC →.故选AC.10.已知a ＝(－2，1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1，2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55D.⎝⎛⎭⎪⎫－255，55 答案 AD解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ，7)， ∵(a －2b )⊥c ，∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ，7)·(1，2)＝0，－2－2k ＋14＝0，解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)，∴e ＝±b 62＋（－3）2＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫255，－55，故选AD. 11.设z 1，z 2是复数，则下列说法中正确的是( )A.若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2B.若z 1＝z －2，则z －1＝z 2C.若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2D.若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22答案 ABC解析 对于A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z －1＝z －2正确；对于B ，若z 1＝z －2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z －1＝z 2正确；对于C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则a 21＋b 21＝a 22＋b 22，即a 21＋b 21＝a 22＋b 22，所以z 1·z －1＝a 21＋b 21＝a 22＋b 22＝z 2·z －2，所以z 1·z －1＝z 2·z －2正确；对于D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 21＝1，z 22＝－1， 所以z 21＝z 22，错误.故选ABC.12.(2020·济南调研)下列命题正确的是( )A.若A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，且AB ＝CD ，则AB→＝CD → B.在△ABC 中，若O 点满足OA→＋OB →＋OC →＝0，则O 点是△ABC 的重心C.若a ＝(1，1)，把a 向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3，1)D.在△ABC 中，若CP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|＋CB →|CB →|，则P 点的轨迹经过△ABC 的内心 答案 BD解析 如图，A ，B ，C ，D 四点满足条件，但AB →≠CD →，故A 错误；对于B ，设BC 的中点为D ，当OA→＋OB →＋OC →＝0时，能得到OA →＝－(OB →＋OC →)，所以OA→＝－2OD →，所以O 是△ABC 的重心，故B 正确. 对于C ，向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故C 错误. 对于D ，根据向量加法的几何意义知，以CA→|CA →|，CB →|CB →|为邻边所得到的平行四边形是菱形，点P 在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得P 点在∠ACB 的平分线所在直线上，故D 正确.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2＋3i(i 是虚数单位)，若z 1·z 2是纯虚数，则实数a ＝________. 答案 3解析 因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2＋3i ，所以z 1·z 2＝(a ＋2i)·(2＋3i)＝2a －6＋(3a ＋4)i ，又z 1·z 2是纯虚数，所以2a －6＝0，且3a ＋4≠0，解得a ＝3.14.在直角梯形ABCD 中，AB →＝λDC →(λ＞0)，∠B ＝60°，AD ＝3，E 为CD 中点，AC →·BE →＝－1，则|DC →|＝________. 答案 2解析 设|DC→|＝x ，AC →·BE →＝(AD →＋DC →)·(BC →＋CE →)＝AD →·BC →＋AD →·CE →＋DC →·BC →＋DC →·CE →＝3×2×32＋3×x 2×0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋(－1)×x 2·x ＝3－x －12x 2＝－1，求得x ＝2，即|DC →|＝2.15.(2021·重庆联考)若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________. 答案 －7 解析 ∵a ＋b i i ＝（a ＋b i ）（－i ）－i 2＝b －a i ，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，a ＋b i i (a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，∴b ＝3，a ＝－4，则a －b ＝－7，故答案为－7. 16.已知平面向量a ，b 满足|2a ＋b |＝1，且a ·(a －b )＝1，则|a －b |的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－12，13＋12 解析 设向量2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则a ·(a －b )＝13(2a ＋b ＋a －b )·(a －b )＝13(|2a ＋b ||a －b |cos θ＋|a －b |2)＝1，化简得|a －b |cos θ＋|a －b |2＝3，即cos θ＝3|a －b |－|a －b |∈[－1，1]，解得13－12≤|a －b |≤13＋12.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－2). (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，求a 与b 的夹角θ的余弦值. 解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎨⎧1·y ＋2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4.∴c ＝(－2，4)或c ＝(2，－4).(2)∵a ＋b 与a －2b 垂直，∴(a ＋b )·(a －2b )＝0， 即a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝12＋（－2）2＝5，|b |＝1， ∴a ·b ＝3，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝355.18.(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，AE ＝1，且AD →·AE →＝12. (1)求|AD→|； (2)若P 是线段DE 上的一个动点，求BP→·CP →的最小值.解 (1)因为AD →·AE →＝|AD →||AE →|cos 60°＝12，|AE →|＝1，所以|AD →|＝1.(2)因为|AE→|＝|AD →|，∠DAE ＝60°，所以△DAE 为等边三角形，所以∠BDP ＝∠CEP ＝120°，BD ＝2，CE ＝1. 设DP ＝x (0≤x ≤1)，则EP ＝1－x ， 所以BP→·CP →＝(DP →－DB →)·(EP →－EC →) ＝DP→·EP →－DP →·EC →－DB →·EP →＋DB →·EC → ＝x (1－x )cos 180°－x cos 60°－2(1－x )·cos 60°＋2×1×cos 60° ＝x 2－12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－116≥－116，当x ＝14时，等号成立， 所以BP→·CP →的最小值为－116. 19.(本小题满分12分)设两个向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1. (1)若(a ＋2b )·(a －b )＝1，求a ，b 的夹角；(2)若a ，b 的夹角为60°，向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解 (1)由(a ＋2b )·(a －b )＝1得a 2＋a ·b －2b 2＝1. 又a 2＝4，b 2＝1，所以a ·b ＝－1. 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12， 又0≤〈a ，b 〉≤180°， 所以a ，b 的夹角为120°.(2)由已知得a ·b ＝2×1×cos 60°＝1，所以(2t a ＋7b )·(a ＋t b )＝2t a 2＋(2t 2＋7)a ·b ＋7t b 2＝2t 2＋15t ＋7， 因为向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为钝角， 所以2t 2＋15t ＋7＜0，解得－7＜t ＜－12. 设2t a ＋7b ＝λ(a ＋t b )(λ＜0)， 所以⎩⎨⎧2t ＝λ，7＝tλ，解得2t 2＝7，当t ＝－142时，λ＝－14，此时向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为180°，不符合题意.所以向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为钝角时，t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎪⎫－142，－12. 20.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA→·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA→－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA→－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2). 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，因此△ABC 的面积的最大值为32＋32.21.(本小题满分12分)(2021·宜昌模拟)如图，在同一个平面内，向量OA→，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值.解 ∵tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝210，sin α＝7210.∵OA→与OC →的夹角为α，OC →＝mOA →＋nOB →，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2，∴210＝OA→·OC →|OA →|·|OC →|＝OA →·（mOA →＋nOB →）|OA →|·|OC →|＝m ＋nOA →·OB →2.①又∵OB→与OC →的夹角为45°， ∴22＝OB→·OC →|OB →|·|OC →|＝OB →·（mOA →＋nOB →）|OB →|·|OC →|＝mOA →·OB →＋n 2.②又cos ∠AOB ＝cos(45°＋α)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝210×22－7210×22＝－35，∴OA→·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝－35，将其代入①②得m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，两式相加得25m ＋25n ＝65，∴m ＋n ＝3. 22.(本小题满分12分)(2020·镇江模拟)已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x ).(1)当x ＝π3时，求m ·n 的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值.解 (1)当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，所以m ·n ＝34－14＝12. (2)m ·n ＝3cos x sin x －cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12.若m ·n ＝33－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝33－12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4， 所以－π6≤2x －π6≤π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63，则cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×12＝63×32－33×12 ＝32-36.。
高考数学复习第五章平面向量与复数.docx
⾼考数学复习第五章平⾯向量与复数.docx第五章平⾯向量与复数考纲原件考厕1?平⽽向量⑴平⾯向量的实际背景及基⽊概念①了解向量的实际背景.②理解平⾯向量的概念和两个向量相等的含义.③理解向虽的⼉何表⽰.(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其⼏何意义.②掌握向量数乘的运算及其⼉何意义，理解两个向最共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其⼉何意义.(3)平⾯向量的基⽊定理及坐标表⽰①了解平⽽向量的基本定理及其意义.②掌握平⾯向最的正交分解及其坐标表⽰.③会⽤处标表⽰平⾯向量的加法、减法与数乘运算.④理解⽤坐标表⽰的平⽽向量共线的条件.(4)平⾯向量的数量积①理解平⾎向量数量积的含义及其物理意义.链| 接I权贞展现②了解平⾯向量的数量积与向量投彫的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进⾏平⾯向量数量积的运算.④能运⽤数量积表⽰两个向量的夹⾓，会⽤数量积判断两个平⽽向量的乖直关系.(5)向量的应⽤①会⽤向量⽅法解决某些简单的平⾎⼉何问题”②会⽤向量⽅法解决简单的⼒学问题与其他⼀些实际问题.2.数系的扩充和复数的引⼊(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.(2)了解复数的代数表⽰法及其⼉何意义;能将代数形式的复数在复平曲上⽤点或向最表⽰，并能将复平⾎上的点或向量所対应的复数⽤代数形式表⽰.(3)能进⾏复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的⼏何意义.§5.1平⾯向量的概念及线性运算考点梳理I多脛劫笔夯实基越1.向最的有关概念(1)向量:既有____________⼜有____________的量叫做向量，向量的⼤⼩,也就是向量的___________ (或称模).祐的模记作_____________ .(2)零向量：___________ 的向量叫做零向量, 其⽅向是 _______ 的.(3)单位向罐：长度等于___________________ 的向最叫做单位向量?亩是⼀个与$同向的. _⽿是_个与a______ 的单位向I创(4)平⾏向量：⽅向__________ 或________ 的 ______ 向量叫做平⾏向最?平⾏向最⼜叫 ,任⼀组平⾏向量都可以移到同⼀直线上.规定：0与任⼀向聚____________ .(5)相等向量：长度_______________ 且⽅向___________ 的向最叫做相舍向最.⑹相反向量：长度_______________ 且⽅向____________ 的向虽叫做相反向：8.(7)向量的表⽰⽅法：⽤__________ 表⽰；⽤____________ 表⽰；⽤ _______ 表⽰.2.向量的加法和减法⑴向量的加法三⾓形法则：以笫⼀个向量⽈的终点〃为起点作笫⼆个向量⽅，则以笫⼀个向量a的起点。
高考数学一轮复习专题5平面向量复数第35练平面向量的应用练习含解析0520155.docx
第35练 平面向量的应用[基础保分练]1．已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝5，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[5,52]C ．[52，7]D ．[5,10]2．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形3．一艘船以4km/h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3h ，则船实际航程为( )A ．215kmB ．6kmC ．221kmD ．8km4．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形5．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m ，已知|F 1|＝2N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24JB ．242JC ．243JD ．246J6．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝|a －b |，则|t a ＋(1－t )b |(t ∈R )的最小值为( )A.45B.255C.15D.557．设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC→＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心8．(2019·四川省棠湖中学月考)△ABC 所在平面上一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为( )A ．2∶3B．1∶4C．1∶3D．1∶69．已知P 为锐角△ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA →＋3PC →|的最小值为________．10.如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC ，若BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________.[能力提升练]1．已知AB →，AC →是非零向量且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形3．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2 4．设|AB →|＝10，若平面上点P 满足对任意的λ∈R ，恒有|2AP →－λAB →|≥8，则一定正确的是( )A ．|PA →|≥5B ．|PA →＋PB →|≥10 C.PA →·PB →≥－9 D ．∠APB ≤90°5．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________．6．(2019·盐城模拟)在△ABC 中，tan A ＝－3，△ABC 的面积S △ABC ＝1，P 0为线段BC 上一定点，且满足CP 0＝13BC ，若P 为线段BC 上任意一点，且恒有PA →·PC →≥P 0A —→·P 0C —→，则线段BC 的长为________．答案精析基础保分练1．B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7.B8．C [由已知得，PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝AP →＋PB →，解得PC →＝2AP →，所以|PC →|＝2|AP →|，作图如下：设点B 到线段AC 的距离是h ，所以S △PAB S △ABC ＝12×AP ×h 12×AC ×h ＝AP AC ＝AP AP ＋PC ＝AP AP ＋2AP ＝13.] 9．6 3解析 PA →＋3PC →＝PA →＋3(PA →＋AC →)＝4PA →＋3AC →，(4PA →＋3AC →)2＝16|PA →|2＋9|AC →|2＋24|PA →||AC →|·cos120°＝16|PA →|2－48|PA →|＋144，∴|PA →|＝32时，(4PA →＋3AC →)2最小为108. 故|PA →＋3PC →|min ＝6 3.10．－1解析 如图，过D 作BC 的垂线，交BC 延长线于M ，设∠BAC ＝α，则∠ACD ＝2α，∠ACB ＝90°－α，∴∠DCM ＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α，∴Rt△ABC ∽Rt△DMC ，∴DM AB ＝CM BC＝k (k 为相似比)． 又B D →＝xBA →＋yBC →＝MD →＋BM →，∴x ＝DM AB ＝k ，y ＝BM BC ＝BC ＋CM BC＝k ＋1，∴x －y ＝－1.能力提升练1．A [因为(AB →－2AC →)⊥AB →，所以(AB →－2AC →)·AB →＝0，所以AB →2－2AC →·AB →＝0，所以AB →2＝2AC →·AB →，因为(AC →－2AB →)⊥AC →，所以(AC →－2AB →)·AC →＝0，所以AC →2－2AB →·AC →＝0，所以AC →2＝2AB →·AC →，所以AB →2＝AC →2，所以|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形．]2．D [易知AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠BAC 的角平分线上， 已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，可知在△ABC 中∠BAC 的角平分线与BC 垂直，易判断AB ＝AC ， 又由AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，得∠BAC ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形，故选D.]3．D [∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →)＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0，∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA →2，∵AP →＝AB 1→＋AB 2→，∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →，∴OP →－OB 1→＝OB 2→－OA →，∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →，∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→)＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2，∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14， ∴0≤2－OA →2<14， ∴74<OA →2≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2. 故选D.]4．C [以A 为原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)A (0,0)，B (10,0)，设P (x ，y )，C (5λ，0)AB →＝(10,0)，AP →＝(x ，y )，λAB →＝(10λ，0)＝2AC →， PA →＝(－x ，－y )，PB →＝(10－x ，－y )，|2AP →－λAB →|＝|2AP →－2AC →|＝2|CP →|≥8，∴|CP →|≥4，C ∈l ，l 为直线y ＝0，∵∀P ∈D (x ，y )，(x ，y ∈R )，P 到x 轴距离大于等于4，∴P ∈D (x ，y )，(x ∈R ，|y |≥4)，对于A 来说，|PA →|＝x 2＋y 2≥|y |≥4，错误；对于B 来说， |PA →＋PB →|＝－x 2＋4y 2≥2|y |≥8，错误； 对于C 来说，PA →·PB →＝x 2＋y 2－10x ＝y 2＋(x －5)2－25≥y 2－25≥－9，正确；对于D 来说，当P (5,4)时，cos∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|<0， ∴∠APB >π2，错误．故选C.] 5.2＋1解析 由a ·b ＝0，得a ⊥b .建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)．设c ＝OC →＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1，可得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以点C 在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上．故圆心到点O 的距离为2，所以|c |max ＝2＋1. 6. 6解析 取AC 的中点M ，则PA →·PC →＝(PM →＋MA →)·(PM →＋MC →)＝PM →2－MC →2，所以当MP ⊥BC 时，PA →·PC→取最小值，因为恒有PA →·PC →≥P 0A —→·P 0C —→，所以MP 0⊥BC ，过A 作AN ⊥BC 于N .设AN ＝h ，CP 0＝m ，则NP 0＝m ，BN ＝m ，因为S △ABC ＝1，所以12h ·3m ＝1； 因为tan A ＝－3，所以tan(∠BAN ＋∠CAN )＝m h ＋2m h 1－m h ·2m h＝－3， 所以m h＝1(舍负)，因此m ＝63，BC ＝3m ＝ 6.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高考数学 考点 第六章 平面向量与复数 复数(理)-人教版高三全册数学试题
复数1．复数的有关概念(1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2—→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示 不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．1．（2020•某某）(12)(2)(i i ++=（ ） A ．45i +B ．5i C ．5i -D ．23i + 【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=， 故选B ．2．（2020•）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z =（ ） A ．12i +B ．2i -+C ．12i -D ．2i -- 【答案】B【解析】复数z 对应的点的坐标是(1,2)， 12z i ∴=+，则(12)2i z i i i =+=-+， 故选B ． 3．（2020•某某）212ii-=+（ ） A ．1B ．1-C ．i D ．i - 【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)14i i i ii i i i ----===-++-+， 故选D ．4．（2020•新课标Ⅰ）若312z i i =++，则||z =（ ）A ．0B ．1C ．2 【答案】C【解析】312121z i i i i i =++=+-=+，||z ∴=．5．（2020•新课标Ⅲ）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】1131313(13)(13)1010i i i i i +==+--+， ∴复数113i -的虚部是310． 故选D ．6．（2020•新课标Ⅰ）若1z i =+，则2|2|z z -=（ ）A ．0B ．1C ．2 【答案】D【解析】若1z i =+，则222(1)2(1)2222z z i i i i -=+-+=--=-， 则2|2||2|2z z -=-=， 故选D ．7．（2020•新课标Ⅲ）若(1)1z i i +=-，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i 【答案】D【解析】由(1)1z i i +=-，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，z i ∴=．故选D ．8．（2020•某某）已知a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】C【解析】a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数， 可得20a -=，解得2a =．9．（2020•新课标Ⅱ）4(1)i -=（ ） A ．4-B ．4C ．4i -D ．4i 【答案】A【解析】4222(1)[(1)](2)4i i i -=-=-=-． 故选A ．10．（2019•全国）复数12iz i-=在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【解析】21(1)()112222i i i z i i i ---===---， z ∴在复平面内对应的点的坐标为1(2-，1)2-，在第三象限．故选C ．11．（2019•新课标Ⅱ）设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【解析】32z i =-+，∴32z i =--，∴在复平面内z 对应的点为(3,2)--，在第三象限．故选C ．12．（2019•新课标Ⅲ）若(1)2z i i +=，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 【答案】D【解析】由(1)2z i i +=，得 22(1)12i i i z i -==+ 1i =+．13．（2019•新课标Ⅱ）设(2)z i i =+，则z =（ ） A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i -- 【答案】D 【解析】(2)12z i i i =+=-+，∴12z i =--，故选D ．14．（2019•）已知复数2z i =+，则z z =（ ）A C ．3D ．5 【答案】D【解析】2z i =+，22||5z z z ∴===．故选D ．15．（2019•新课标Ⅰ）设312iz i-=+，则||z =（ ）A ．2B D ．1 【答案】C【解析】由312iz i -=+，得3|3|||||12|12|i i z i i --====++． 故选C ．16．（2018•全国）设12z =-，则2z z +=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】A【解析】由12z =-，得222111(1)()())()1222z z z z +=+=-+=-=-．故选A ．17．（2018•新课标Ⅰ）设121iz i i-=++，则||z =（ ）A ．0B ．12C ．1D 【答案】C 【解析】1(1)(1)2221(1)(1)i i i z i i i i i i i i ---=+=+=-+=+-+， 则||1z =． 故选C ．18．（2018•）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】复数11111(1)(1)22i i i i i +==+--+， 共轭复数对应点的坐标1(2，1)2-在第四象限．故选D ．19．（2018•新课标Ⅲ）(1)(2)i i +-=（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】(1)(2)3i i i +-=+． 故选D ．20．（2018•新课标Ⅱ）(23)i i +=（ ） A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 【答案】D【解析】2(23)2332i i i i i +=+=-+． 故选D ．21．（2018•新课标Ⅱ）1212ii+=-（ ） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+【解析】12(12)(12)3412(12)(12)55i i i i i i i +++==-+--+． 故选D ．22．（2018•某某）复数2(1i i-为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】B【解析】化简可得21z i=- 2(1)1(1)(1)i i i i +==+-+，z ∴的共轭复数1z i =-故选B ．23．（2017•全国）2=（ ）A ．12-B ．12-+C ．12D ．12【答案】D【解析】212==．故选D ．24．（2017•某某）已知a R ∈，i 是虚数单位，若z a =+，4z z =，则a =（ ）A ．1或1-B ．【答案】A【解析】由z a =，则z 的共轭复数z a =，由2()(34z z a a a =+=+=，则21a =，解得：1a =±， a ∴的值为1或1-，故选A ．25．（2017•某某）已知i 是虚数单位，若复数z 满足1zi i =+，则2z =（ ） A ．2i -B ．2i C ．2-D ．2【解析】复数z 满足1zi i =+， 11iz i i+∴==-， 22z i ∴=-，故选A ．26．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2(1)i i +B ．2(1)i i -C ．2(1)i +D ．(1)i i + 【答案】C【解析】A ．2(1)22i i i i +==-，是实数．B ．2(1)1i i i -=-+，不是纯虚数．C ．2(1)2i i +=为纯虚数．D ．(1)1i i i +=-不是纯虚数．故选C ．27．（2017•新课标Ⅲ）设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z =（ ）A ．12B C ．2【答案】C【解析】(1)2i z i +=，(1)(1)2(1)i i z i i ∴-+=-，1z i =+．则||z = 故选C ．28．（2017•）若复数(1)()i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值X 围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞ 【答案】B【解析】复数(1)()1(1)i a i a a i -+=++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-．则实数a 的取值X 围是(,1)-∞-． 故选B ．29．（2017•新课标Ⅱ）(1)(2)i i ++=（ ） A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i + 【答案】B【解析】原式21313i i =-+=+． 故选B ．30．（2017•新课标Ⅲ）复平面内表示复数(2)z i i =-+的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】(2)21z i i i =-+=--对应的点(1,2)--位于第三象限． 故选C ．31．（2017•新课标Ⅱ）31ii+=+（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i - 【答案】D 【解析】3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 故选D ．32．（2020•某某）i 是虚数单位，复数82ii-=+__________． 【答案】32i -【解析】i 是虚数单位，复数8(8)(2)1510322(2)(2)5i i i ii i i i ----===-++-， 故答案为：32i -．33．（2020•某某）已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z =__________．【解析】由12z i =-，得||z ．．34．（2020•某某）已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是__________． 【答案】3【解析】复数(1)(2)3z i i i =+-=+， 所以复数(1)(2)z i i =+-的实部是：3． 故答案为：3．35．（2020•新课标Ⅱ）设复数1z ，2z 满足12||||2z z ==，12z z i +=，则12||z z -=__________．【答案】【解析】复数1z ，2z 满足12||||2z z ==，12z z i +=，所以12||2z z +=，∴2121212||()4z z z z z z +=++=，121284z z z z ∴++=．得12124z z z z +=-． 2121212||8()12z z z z z z ∴-=-+=．又12||0z z ->，故12||z z -=．故答案为：．36．（2020•某某）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为__________． 【答案】2【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈． 复数z 满足26z z i +=+， 36a bi i ∴-=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =． 则z 的实部为2． 故答案为：2．37．（2019•某某）已知z C ∈，且满足15i z =-，求z =__________． 【答案】5i - 【解析】由15i z =-，得15z i -=，即155z i i=+=-． 故答案为：5i -．38．（2019•某某）i 是虚数单位，则5||1i i-+的值为__________．【解析】由题意，可知： 225(5)(1)56231(1)(1)1i i i i i i i i i i ----+===-++--，5|||23|1i i i-∴=-=+39．（2019•某某）已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是__________．【答案】2【解析】(2)(1)(2)(2)a i i a a i ++=-++的实部为0，20a ∴-=，即2a =．故答案为：2．40．（2019•某某）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为__________．【答案】【解析】由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴==故答案为：41．（2019•某某）复数1(1z i i=+为虚数单位），则||z =__________．【解析】11111(1)(1)22i z i i i i -===-++-．||2z ∴=．． 42．（2018•某某）i 是虚数单位，复数6712i i +=+__________． 【答案】4i -【解析】67(67)(12)614712205412(12)(12)55i i i i i i i i i i ++-++--====-++-， 故答案为：4i -．43．（2018•某某）若复数z 满足12i z i =+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为__________．【答案】2【解析】由12i z i =+， 得212(12)()2i i i z i i i ++-===--， z ∴的实部为2．故答案为：2．44．（2018•某某）已知复数z 满足(1)17(i z i i +=-是虚数单位），则||z =__________．【答案】5【解析】由(1)17i z i +=-， 得17(17)(1)68341(1)(1)2i i i i z i i i i -----====--++-，则||5z ==．故答案为：5．45．（2018•某某）若复数1(z i i =+是虚数单位），则2z z +=__________． 【答案】2【解析】1z i =+， ∴222(1)2(1)1111121(1)(1)2i i z i i i i i z i i i --+=++=++=++=++-=++-． 故答案为：2．46．（2017•某某）已知复数z 满足30z z+=，则||z =__________．【解析】由30z z +=， 得23z =-，设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-，得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得：0a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴z =．则||z =47．（2017•某某）已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a i i-+为实数，则a 的值为__________． 【答案】2-【解析】a R ∈，i 为虚数单位，()(2)21(2)2122(2)(2)4155a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-+ 由2a i i-+为实数， 可得205a +-=， 解得2a =-．故答案为：2-．48．（2017•某某）已知复数(1)(12)z i i =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是__________．【解析】复数(1)(12)12313z i i i i =++=-+=-+，||z ∴==49．（2017•某某）已知a 、b R ∈，2()34(a bi i i +=+是虚数单位），则22a b +=__________，ab =__________．【答案】5，2【解析】a 、b R ∈，2()34(a bi i i +=+是虚数单位），22342i a b abi ∴+=-+，223a b ∴=-，24ab =，解得2ab =，21a b =⎧⎨=⎩，21a b =-⎧⎨=-⎩． 则225a b +=，故答案为：5，2．50．（2017•某某）若复数z 满足2136(z i i -=+是虚数单位），则z =__________．【答案】23i - 【解析】2136z i -=+， ∴246z i =+，则23z i =+，23z i ∴=-．故答案为：23i -．1．（2020•道里区校级一模）已知i 是虚数单位，202013z i i =+-，且z 的共轭复数为z ，则z z =（ ）A C ．5D ．3【答案】C【解析】2020450513132z i i i i i ⨯=+-=+-=-+，||z ∴则22||5z z z ===．故选C ．2．（2020•某某模拟）若(2)x i i y i +=+，其中x ，y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ）A ．1B ．iC ．2-D ．2i -【答案】C【解析】(2)x i i y i +=+，2xi y i ∴-+=+，则1x =，2y =-．∴复数z x yi =+的虚部为2-．故选C ．3．（2020•东湖区校级模拟）已知i 是虚数单位，复数22020(1)z i i=-+在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】220204505(1)212z i i i i i ⨯=-+=-+=-．z ∴在复平面内对应点的坐标为(1,2)-，在第四象限．故选D ．4．（2020•龙凤区校级模拟）已知i 是虚数单位，复数61i z i=-，则z 的虚部为（ ） A ．3-B ．3C ．2-D ．2【答案】A 【解析】66(1)331(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+， ∴33z i =--， 则z 的虚部为3-．故选A ．5．（2020•二模拟）在复平面内，O 为坐标原点，复数z 对应的点为(1,0)Z ，将向量OZ 按逆时针方向旋转30︒得到OZ '，则OZ '对应的复数z '为（ ）A 12i +B ．12C 12i -D ．12 【答案】A【解析】由题意，1z =，又将向量OZ 按逆时针方向旋转30︒得到OZ ''，∴OZ '对应的复数11(cos30sin30)2z i i '=⨯︒+︒=+． 故选A ．6．（2020•滨州三模）已知x R ∈，当复数(3)z x i =+-的模长最小时，z 的虚部为（ ）A B ．2C ．2-D ．2i -【答案】C 【解析】2(3)z x x i =+-，||z ∴∴当1x =时，||z 有最小值，此时2z i ．z ∴的虚部为2-．故选C ．7．（2020•龙潭区校级模拟）复数5(1i i i -+是虚数单位）的虚部是（ ） A ．3i B ．6i C ．3D ．6【答案】C【解析】5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i i i i i ----+===-+++-， ∴复数51i i -+的虚部是3． 故选C ．8．（2020•马某某三模）已知复数z 满足2(34)(1)(z i i i -=+是虚数单位），则||z =（ ）A B C ．25D ．15 【答案】C【解析】由2(34)(1)2z i i i -=+=-，得234i z i -=-，2|2|2||||34|34|5i i z i i --∴====--． 故选C ．9．（2020•某某三模）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,)m ，若iz 为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-【答案】B【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1,)m ，1z mi ∴=+，(1)iz i mi m i =+=-+为实数，0m ∴=．故选B ．10．（2020•镜湖区校级模拟）复数2(1i z i i=+为虚数单位），则||z 等于（ ）A ．3B ．．2D 【答案】D 【解析】22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，||||z z ∴===故选D ．11．（2020•内江三模）复数z 满足(43)32(i z i i +=-为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由(43)32i z i +=-，得32(32)(43)61743(43)(43)2525i i i z i i i i ---===-++-， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为6(25，17)25-，位于第四象限． 故选D ．12．（2020•南岗区校级模拟）复数241i i i z i-++=-，则复数||z =（ ）A ．12BCD ．32【答案】B 【解析】2411(1)11111(1)(1)22i i i i i i i z i i i i i i -++--+--+=====-----+，11||||22z i ∴=-==． 故选B ．13．（2020•香坊区校级一模）已知复数5121i z i i=++-，则||z 值为（ ） A ．1B【答案】D 【解析】55(12)(1)121(12)(12)(1)(1)i i i i z i i i i i i -+=+=++-+--+1113122222i i i =--+=-，||z ∴==故选D ．14．（2020•某某模拟）已知i 是虚数单位，则20201()1ii -=+（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】A 【解析】21(1)1(1)(1)i i i i i i --==-++-，20202020202045051()()11i i i i i ⨯-∴=-===+．故选A ．15．（2020•某某模拟）复数z满足1()12z -=，则z 的共轭复数为（） A．12B．12C．12-D．12--【答案】C【解析】1()12z -=，112z --∴===--，则z的共轭复数为12-+．故选C ．16．（2020•靖远县模拟）已知i 为虚数单位，下列命题中正确的是（ ）A ．若z C ∈，则20zB ．21i -的虚部是2iC ．若a ，b R ∈且a b >，则a i b i +>+D ．实数集在复数集中的补集是虚数集【答案】D【解析】令z i C =∈，则21i =-，故A 不正确；21i -的虚部是2，故B 不正确；a i +与b i +都是虚数，不能比较大小，故C 不正确；由实数集与虚数集可组成复数集知D 正确．故选D ．17．（2020•南岗区校级四模）已知i 是虚数单位，264(1)i z i i =-+，则||z =（ ）A ．10B ．5D【答案】C 【解析】2664434(1)2i i z i i i i i=-=-=-+；||5z ∴=；故选C ．18．（2020•雁峰区校级模拟）若i 为虚数单位，复数22cos sin 33z i ππ=-的共轭复数是z ，则复数2z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】221cos sin 332z i ππ=-=-，∴12z =-+，则221131()2442z =-=-=-．∴复数2z 在复平面内对应的点的坐标为1(2-，，位于第三象限． 故选C ．19．（2020•汉阳区校级模拟）在复平面内，复数2i ，3对应的点分别为A ，B ．若C 为线段AB 上的点，且AC CB =，则点C 对应的复数是（ ）A ．312i +B ．32i +C ．213i +D ．23i +【答案】B【解析】由题意，(0,2)A ，(3,0)B ，又AC CB =，可知C 为AB 的中点，则3(2C ，1)，∴点C 对应的复数是32i +．故选B ．20．（2020•某某四模）若复数22m iz i +=-是纯虚数(i 为虚数单位），则实数m 的值是（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．4【答案】C 【解析】2(2)(2)2242(2)(2)55m i m i i m m z i i i i +++-+===+--+是纯虚数，∴22040m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =．故选C ．21．（2020•九龙坡区模拟）已知复数z 满足(1)(i z i i -=-为虚数单位），则复数z 的虚部为（） A ．12i B ．12C ．12-D ．12i -【答案】C【解析】由(1)i z i -=-，得(1)111(1)(1)22ii i z i i i i --+===---+，z ∴的虚部为12-．故选C ．22．（2020•某某模拟）已知复数z 满足2z z i i -=，则||z =（ ）A ．1B ．2【答案】B【解析】由2z z i i -=，得(1)2i z i -=， 解得22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+-+-，所以||z ． 故选B ．23．（2020•某某三模）若复数z 满足(34)112i z i -=+．其中i 为虚数单位，z 为z 共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】A【解析】由(34)112i z i -=+，得112(112)(34)25501234(34)(34)25i i i iz i i i i ++++====+--+． 12z i ∴=-．z ∴的虚部为2-．故选A ．24．（2020•原州区校级模拟）已知复数z 满足|2|2z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2240x y y +-=B ．2240x y y ++=C ．22440x y y +++=D ．22440x y y +-+= 【答案】A【解析】由题意知z x yi =+，则|2||(2)|2z i x y i -=+-=，22(2)4x y ∴+-=，即2240x y y +-=． 故选A ．25．（2020•新华区校级模拟）满足条件|4|||z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 【答案】A【解析】由|4|||z i z i +=+，得|(4)||()|z i z i --=--，可知复数z 对应点的轨迹是以(0,4)-和(0,1)-为端点的线段的垂直平分线． 故选A ．26．（2020•碑林区校级模拟）若复数2(z i i =-是虚数单位），则2||z z在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】2z i =-，∴22||5z ==， 则2||55(2)22(2)(2)z i i z i i i +===+--+，则2||z z在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，位于第一象限．故选A ．27．（2020•某某模拟）已知i 为虚数单位，若212aibi i+=-，则a b +=（ ） A ．2-B ．1-C ．2D ．3 【答案】D 【解析】由212aibi i+=-，得22(1)22ai i bi b i +=-=+， 由复数相等的充要条件得222ba =⎧⎨=⎩，即2a =，1b =，3a b ∴+=，故选D ．28．（2020•某某区校级三模）复数312iz i+=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．2B ．43C 【答案】C【解析】设复数312iz i+=-， 则3|3|||||||12|12|i i z z i i ++===--===故选C ．29．（2020•某某三模）已知复数z =，则z =（ ）A 12i +B 12i -C ．12D ．12+ 【答案】B【解析】2123z i ===-，∴12z i -． 故选B ．30．（2020•桃城区校级模拟）若a ，b 为实数，且4ia bi i+=-，则b =（ ） A ．2-B ．2C ．4-D ．4 【答案】D 【解析】由4ia bi i+=-得，24i ai bi +=-，即4i b ai +=+， 4b ∴=．故选D ．31．（2020•某某区校级二模）已知i 为虚数单位，复数z 满足3(1)2i z +=，则下列判断正确的是（ ） A ．z 的虚部为i B ．||2z = C ．z 的实部为1-D ．z 在复平面内所对应的点在第一象限 【答案】D【解析】由3(1)2i z +=， 得322111z i i i===++-，其实部为1，虚部为1，故A 错、C 错；||z ==B 错；z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D 正确．故选D ．32．（2020•新华区校级模拟）已知复数2(1iz i i=+虚数单位），则z z =（ ）A B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】由题意知|2||||1|i z i ===+ 利用性质2||z z z =，得2z z =， 故选B ．33．（2020•某某模拟）已知i 为虚数单位，则1111i ii i+--=-+（ ） A ．2i -B ．2i C ．2-D ．2 【答案】B【解析】2211(1)(1)22211(1)(1)(1)(1)22i i i i i ii i i i i i i +-+---=-=-=-+-++-．故选B ．34．（2020•某某模拟）已知复数2(2)1iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，)m R ∈． （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求|1|z -的取值X 围．【解析】22(1)(2)2(21)(1(1)(1)i i i z i m m mi m m i i i --=++=++=++--+--．（1）复数z 是纯虚数，∴21010m m +=⎧⎨-≠⎩，即12m =-；（2）12(1)z m m i -=+-，42|1|5z -==，|1|z ∴-的取值X 围是)+∞． 35．（2019•嘉定区一模）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，复数1z a bi =+，2cos cos z A i B =+（其中i 是虚数单位），且123z z i =． （1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；（2）判断ABC ∆的形状，并求当b =A 的大小．【解析】（1）222222cos cos 22a c b b c a a B b A a b ac bc+-+-+=⨯+⨯222c c c==， 12cos cos (cos cos )z z a A b B a B b A i =-++3i =，cos cos 0a A b B ∴-=，(*)⋯ cos cos 3a B b A +=， 3c ∴=；（2）由(*)式得，cos cos a A b B =，⋯① 由正弦定理得，sin sin a bA B=，⋯② ①②得，sin2sin2A B =， 得，A B =，或2A B π+=ABC ∴∆为等腰三角形或直角三角形，若为等腰三角形，当b =cos A =， 6A π=．若为直角三角形，当b =cos A =，A =．。
高考数学(文科)总复习专题5平面向量、复数练习题(附解析)
高考数学（文科）总复习专题5平面向量、复数练习题（附解析）第1练 平面向量的概念及线性运算[基础保分训练]1.化简：AB →＋BC →－AD →＝________. 2.13(2a －3b )－3(a ＋b )＝________. 3.如果a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－e 2，则3a －2b ＝______________________________.4.已知向量a ，b ，b ≠0，如果存在唯一实数λ，使a ＝λb ，则两向量的关系是________.5.若AP →＝tAB → (t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)6.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，则分别以此棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，与向量AA →1的模相等的向量(AA →1本身除外)共有________个，与向量AA →1相等的向量(AA →1本身除外)共有________个.7.若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地位于B 地的________处.8. 向量AB →，BC →，MN →在正方形网格中的位置如图所示，若MN →＝λAB →＋μBC →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.9.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是________.10.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.[能力提升训练]1.已知点P 在直线AB 上，且|AB →|＝4|AP →|，设AP →＝λPB →，则实数λ＝________.2.如图为平行四边形ABCD ，G 为BC 的中点，M ，N 分别为AB 和CD 的三等分点(M 靠近A ，N 靠近C )，设AB →＝a ，AD →＝b ，则GN →－GM →＝________.(用a ，b 表示)3.如图，在△ABC 中，AD →＝34AC →，BP →＝23BD →，若AP →＝λBA →＋μBC →，则λ＋μ＝________.4.设向量a ，b 是两个不共线的向量，若3a －b 与a ＋λb 共线，则实数λ＝________.5.下列说法中：①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若非零向量a ，b 共线，则|a |＝|b |； ④若向量a ＝b ，则向量a ，b 共线；⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行. 正确的序号为________.6.给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →相等；④若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线.以上命题中，正确命题的序号是__________.答案精析基础保分训练1.DC →2.－73a －4b3.－3e 1＋8e 24.a ∥b5.(1－t )OA →＋tOB →6.5 27.西北方向52km8.29.梯形 10.a －b ＋c能力提升训练 1.13或－15解析 ①当点P 在线段AB 上时，因为|AB →|＝4|AP →|，所以点P 是AB 的四等分点， 因此AP →＝13PB →，此时λ＝13；②当点P 在线段AB 的反向延长线上时， 由|AB →|＝4|AP →|，得AP →＝－15PB →，此时λ＝－15.综上，λ＝13或－15.2.13a ＋b 3.－13解析 AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23BD →＝AB →＋23BC →＋16CA →＝－BA →＋16BA →＋12BC →＝－56BA →＋12BC →＝λBA →＋μBC →，λ＝－56，μ＝12，λ＋μ＝－13.4.－13 5.①④6.①解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可以不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与向量BA →互为相反向量，故③错误；若AB →与CD →是共线向量，那么A ，B ，C ，D 可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，故④错误.第2练 平面向量基本定理及坐标表示[基础保分训练]1.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，若向量a ＋2b 与a 平行，则m ＝________.2.若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则a －b 的坐标是________.3.已知点A (1,1)，B (－1,5)，向量AC →＝2AB →，则点C 的坐标为________.4.已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(2,1)，若a ＝x b ＋y c (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.5.在△BOA 中，点C 满足AC →＝－4CB →，OC →＝xOA →＋yOB →，则y －x ＝________.6.设M 是△ABC 的边BC 上任意一点，且NM →＝4AN →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. 7.在正方形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AF →＝xAB →＋yAE →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.8.如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为________.9.已知G 为△ABC 的重心，点P ，Q 分别在边AB ，AC 上，且存在实数t ，使得PG →＝tPQ →.若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.10.如图，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________.[能力提升训练]1.已知向量a ＝(2sin θ，1)，b ＝(cos θ，－1)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且a ∥b ，则tan θ＝________.2.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连结CE ，DF 交于点G ，若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.3.已知OA →＝(1,0)，OB →＝(1,1)，(x ，y )＝λOA →＋μOB →.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z ＝x m ＋y n(m >0，n >0)的最大值为2，则m ＋n 的最小值为________.4.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y的最小值为________.5.若点C 在以P 为圆心，6为半径的(包括A ，B 两点)上，∠APB ＝120°，且PC →＝xPA →＋yPB →，则2x ＋3y 的取值范围为________.6.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________.答案精析基础保分训练1.－122.(－4,3)3.(－3,9)4.05.536.157.12解析 设正方形的边长为a ，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系， 则AB →＝(a,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2，a ， ∵AF →＝xAB →＋yAE →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y a ，y ×a2，AB⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y a ＝a2，y ×a 2＝a ，解得x ＋y ＝12.8.3 9.3解析 设AB →＝c ，AC →＝b ，连结AG 并延长交BC 于M ，此时M 为BC 的中点， 故AM →＝12(b ＋c )，AG →＝23AM →＝13(b ＋c )， 故PG →＝AG →－AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－λc ＋13b ，又PQ →＝AQ →－AP →＝μAC →－λAB →＝μb －λc ， 存在实数t 使得PG →＝tPQ →，即⎩⎪⎨⎪⎧13－λ＝－t λ，13＝t μ，解得1λ＋1μ＝3.10.12解析 如图，设M 是AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →.又OA →＋OC → ＝－2OB →， ∴OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 能力提升训练 1.－12 2.123.52＋ 6 解析 (x ，y )＝λOA →＋μOB →＝(λ＋μ，μ)⇒λ＝x －y ，μ＝y ，所以0≤x －y ≤1≤y ≤2，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线z ＝x m ＋yn 的斜率小于零知，直线z ＝x m ＋y n过点(3,2)时取得最大值，即3m ＋2n＝2，因此m ＋n ＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋2n 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋3n m ＋2m n ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋23nm·2m n＝52＋6，当且仅当3n m ＝2mn 时取等号. 4.6＋4 25.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2573解析 以点P 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.由题意得A (6,0)，B (－3,33)， 设∠APC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤2π3，则点C 的坐标为(6cos θ，6sin θ). ∵PC →＝xPA →＋yPB →，∴(6cos θ，6sin θ)＝x (6,0)＋y (－3,33)＝(6x －3y,33y )，∴⎩⎨⎧6x －3y ＝6cos θ，33y ＝6sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33sin θ＋cos θ，y ＝233sin θ，∴2x ＋3y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫33sin θ＋cos θ＋3×233sin θ ＝833sin θ＋2cos θ＝2573sin(θ＋φ)， 其中sin φ＝5719，cos φ＝41919， ∵0≤θ≤2π3，∴5719≤sin(θ＋φ)≤1，∴2≤2573sin(θ＋φ)≤2573.∴2x ＋3y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2573.6.35解析 如图，M 是△ABC 所在平面内的一点，连结AM ，BM ，延长AC 至D 使AD ＝3AC ，延长AM 至E 使AE ＝5AM ，如图所示， 因为5AM →＝AB →＋3AC →， 所以AB →＝5AM →－3AC →＝DE →，连结BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB →和向量DE →平行且模相等)， 由于AD →＝3AC →， 所以S △ABC ＝13S △ABD ，S △AMB＝15S △ABE ， 在平行四边形ABED 中，S △ABD ＝S △ABE ＝平行四边形ABED 面积的一半， 故△ABM 与△ABC 的面积比＝15S △ABE 13S △ABD ＝35.第3练 平面向量的数量积[基础保分训练]1.已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为________. 2.已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(4a －b )·(a ＋3b )＝2，则向量a ，b 的夹角θ为________.3.已知正三角形ABC 的边长为23，重心为G ，P 是线段AC 上一点，则GP →·AP →的最小值为________.4.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且向量a ，b 的夹角为π4，若a －λb 与b 垂直，则实数λ的值为________.5.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 的中点，则(AB →＋AC →)·(AB →－DB →)的值为________.6.如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝23，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点(靠近点C )，则AD →·BC →的取值范围为________.7.如图，A ，B 是函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上两点，则(OA →＋OB →)·AB →＝________.8.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________.9.已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |的值为________. 10.设m ，n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－1)，则向量a ，b 的夹角为锐角的概率是__________.[能力提升训练]1.设向量e 1，e 2满足：|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角是90°，若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则t 的取值范围是________.2.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AP →·AB →的最大值为________.3.已知在△OAB 中，OA ＝OB ＝2，AB ＝23，动点P 位于线段AB 上，则PA →·PO →的最小值是________.4.已知a ，b 是不共线的两个向量，a ·b 的最小值为43，若对任意m ，n ∈R ，|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，则|b |的最小值为________.5.已知|OA →|＝2，|OB →|＝4，OA →·OB →＝4，则以向量OA →，OB →为邻边的平行四边形的面积为________. 6.在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则的AE →·BF →最小值为________.答案精析基础保分训练1.－12.2π33.－344.245.326.(5,9)7.68.49.2 10.512能力提升训练 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0 解析 由已知可得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2 ＝2×1×cos90°＝0，∵2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 从而得到15t <0，即t <0，∵两个向量不共线，故2t e 1＋7e 2≠a (e 1＋t e 2)，令⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝a ，7＝at ，解得t ＝±142， ∴t ≠±142， 综上可得t <0且t ≠－142，即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0. 2.1＋255解析 如图以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，D (0,2)，C (1,2)，∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ， ∵BC ＝2，CD ＝1，∴BD ＝22＋12＝5， ∴12BC ·CD ＝12BD ·r ， ∴r ＝25＝255，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝45，设P ⎝⎛⎭⎪⎫255cos θ＋1，255sin θ＋2，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫255cos θ＋1，255sin θ＋2，AB →＝(1,0)，∴AP →·AB →＝255cos θ＋1≤1＋255，∴AP →·AB →的最大值为1＋255.3.－34解析 如图，建立直角坐标系，易知A (－3，0)，B (3，0)，O (0,1)，设P (x,0)，－3≤x ≤3， 则PA →＝(－3－x,0)，PO →＝(－x,1)， 所以PA →·PO →＝x 2＋3x ，所以当x ＝－32时，取最小值－34. 4.4解析 设a ，b 的夹角为θ，则0≤θ<π2，则由|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，可得|a |sin θ＝1，|b |sin θ＝2， 两式相乘可得|a ||b |sin 2θ＝2， 即|a ||b |＝2sin 2θ(*)，而a ·b ＝|a ||b |cos θ≥43， 结合(*)可得2cos θsin 2θ≥43， 所以(2cos θ－3)(3cos θ＋2)≥0， 解得cos θ≥32或cos θ≤－23(舍)， 所以sin θ≤12，则|b |＝2sin θ≥4.5.4 3解析 OA →·OB →＝2×4×cos〈OA →，OB →〉＝4， 所以cos 〈OA →，OB →〉＝12，因为〈OA →，OB →〉∈[0，π]， 故〈OA →，OB →〉＝π3.平行四边形的面积S ＝|OA →||OB →|·sin〈OA →，OB →〉＝2×4×32＝4 3.6.－3解析 根据题意，设E (0，a )，F (0，b )； ∴|EF →|＝|a －b |＝2， ∴a ＝b ＋2或b ＝a ＋2， 且AE →＝(1，a )，BF →＝(－2，b )， ∴AE →·BF →＝－2＋ab ，当a ＝b ＋2时，AE →·BF →＝－2＋(b ＋2)·b ＝b 2＋2b －2，∵b 2＋2b －2＝(b ＋1)2－3， 最小值为－3，∴AE →·BF →的最小值为－3，同理求出b ＝a ＋2时，AE →·BF →的最小值为－3. 所以AE →·BF →的最小值为－3.第4练 平面向量的应用[基础保分训练]1.已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝5，则|a |＋|b |的取值范围是________.2.若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________三角形.3.一条渔船距对岸4km ，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km ，则河水的流速为________ km/h.4.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 的形状为________.5.已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为________N.6.若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝|a －b |，则|t a ＋(1－t )b |(t ∈R )的最小值为________.7.设O 是平面ABC 内一定点，P 为平面ABC 内一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC →＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0，则O 为△ABC 的________.8.△ABC 所在平面上一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为________.9.如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC ，若BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________.10.已知P 为锐角△ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA →＋3PC →|的最小值为________.[能力提升训练]1.平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·CB →＝0，则△ABC 的形状为________三角形.2.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是________.3.已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为________三角形.4.设点G 为△ABC 的重心，BG →·CG →＝0，且|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值是________. 5.在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，∠B ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上(不与端点重合)，且BE EC ＝CF DF，则AE →·AF →的取值范围为________.6.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.答案精析基础保分训练1.[5,52]2.等腰3.2 34.菱形5.5 36.2557.外心解析 若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－PA →)·(OC →＋OA →)＝(PA →－PB →)·(OA →＋OB →)＝0， 可得CB →·(OB →＋OC →)＝AC →·(OC →＋OA →)＝BA →·(OA →＋OB →)＝0，即(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝(OC →－OA →)·(OC →＋OA →)＝(OA →－OB →)·(OA →＋OB →)＝0， 即有|OA →|2＝|OB →|2＝|OC →|2，则|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，故O 为△ABC 的外心. 8.1∶3解析 由已知得，PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝AP →＋PB →，解得PC →＝2AP →，所以|PC →|＝2|AP →|，作图如图所示：设点B 到线段AC 的距离是h ，所以S △PAB S △ABC ＝12×AP ×h12×AC ×h ＝AP AC ＝AP AP ＋PC ＝AP AP ＋2AP ＝13.9.－1解析 如图，过D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于M ，设∠BAC ＝α，则∠ACD ＝2α，∠ACB ＝90°－α， ∴∠DCM ＝180°－2α－(90°－α)＝90°－α， ∴Rt△ABC ∽Rt△DMC ， ∴DM AB ＝CM BC＝k (k 为相似比).又B D →＝xBA →＋yBC →＝MD →＋BM →，∴x ＝DM AB ＝k ，y ＝BM BC ＝BC ＋CMBC＝k ＋1，∴x －y ＝－1. 10.6 3解析 PA →＋3PC →＝PA →＋3(PA →＋AC →)＝4PA →＋3AC →， (4PA →＋3AC →)2＝16|PA →|2＋9|AC →|2＋24|PA →||AC →|cos120° ＝16|PA →|2－48|PA →|＋144，∴当|PA →|＝32时，(4PA →＋3AC →)2最小为108.故|PA →＋3PC →|min ＝6 3. 能力提升训练 1.等腰 2.⎝⎛⎦⎥⎤72，2 解析 ∵AB 1→⊥AB 2→，∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →)＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→ ＝－OA →2， ∵AP →＝AB 1→＋AB 2→，∴OP →－OA →＝OB 1→－OA →＋OB 2→－OA →， ∴OP →－OB 1→＝OB 2→－OA →， ∴OP →＝OB 1→＋OB 2→－OA →， ∵|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，∴OP →2＝1＋1＋OA →2＋2(OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→)＝2＋OA →2＋2(－OA →2)＝2－OA →2， ∵|OP →|<12，∴0≤|OP →|2<14，∴0≤2－OA →2<14，∴74<OA →2≤2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2. 3.等边 解析 易知AB→|AB →|＋AC→|AC →|在∠BAC 的角平分线上，由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，可知在△ABC 中∠BAC 的角平分线与BC 垂直，易判断AB ＝AC ， 又由AB →|AB →|·AC→|AC →|＝12，得∠BAC ＝60°.所以△ABC 为等边三角形. 4.32解析 由BG →·CG →＝0，可得BG ⊥CG ， 取BC 的中点D ，则GD ＝22，GA ＝2， 设GC ＝2x ，GB ＝2y ，所以三角形的面积为S ＝2x ·2y ·12＋2x ·2·sin∠CGA ·12＋2y ·2·sin∠BGA ·12，且∠CGA ＋∠BGA ＝270°，所以S ＝2xy ＋2x ·sin∠CGA －2y ·cos∠CGA ＝2xy ＋x 2＋y 2sin(∠CGA ＋φ).而BG ⊥CG ，故在Rt△BCG 中4x 2＋4y 2＝2，即x 2＋y 2＝12，所以S ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ).又x 2＋y 2＝12≥2xy ，所以S max ＝2xy ＋sin(∠CGA ＋φ)≤12＋1＝32.5.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1解析 以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 垂线为y 轴建立平面直角坐标系，由BE EC ＝CF DF，可设BE ＝tBC ＝3t ，CF ＝tCD ＝2t (0<t <1)， 则A (3，1)，E (3t,0)，F (3＋3t ，t )， ∴AE →＝(3t －3，－1)，AF →＝(3t ，t －1) ∴AE →·AF →＝3t ·(3t －3)－(t －1)＝3t 2－4t ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－13，又0<t <1，∴当t ＝23时，最小值为－13；当t ＝0时，最大值为1.故AE →·AF →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.6.2第5练 平面向量小题综合练[基础保分训练]1.如图，点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②AD →与BC →；③OA →与OC →；④CA →与DC →，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是________.2.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若(a ＋b )∥(4b －2a )，则实数x 的值是________.3.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝________.4.给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a 是单位向量，则|a |＝1；③a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量.其中真命题是________.(填序号)5.若AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，设BA →＝a ，BD →＝b ，则BC →＝________.6.两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为________.7.如图所示，在△ABC 中，AD →＝13AC →，P 是BD 上的一点，若AP →＝mAB →＋213AC →则，实数m 的值为__________.8.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，M 为AB 边上的中点，则CM →·CA →＋CM →·CB →＝________. 9.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________. 10.已知△OAB 是边长为1的正三角形，若点P 满足OP →＝(2－t )OA →＋tOB →(t ∈R )，则|AP →|的最小值为________.[能力提升训练]1.(2018·南通调研)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是________.2.在△ABC 中，E 为AC 上一点，AC →＝3AE →，P 为BE 上任一点，若AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则3m ＋1n的最小值是________.3.已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为________.4.在△ABC 中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若BE →＝λBA →＋μBC →，则s ＝λ·μ的最大值为________.5.在△ABC 中，D 是边BC 上一点，且BD →＝DC →，点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，且满足P n A →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，若a 1＝1，则数列{a n }的通项a n ＝________.6.△ABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①b 为单位向量；②a 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →； ⑤(6a ＋b )⊥BC →.答案精析基础保分训练1.①④2.23.－34.②③5.12a ＋b6.π47.713 8.50 9.内心 10.32解析 以O 为原点，以OB 为x 轴，建立平面直角坐标系， ∵△AOB 为边长为1的正三角形， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (1,0)， OP →＝(2－t )OA →＋tOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ，3－32t ，AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12，32－32t ，|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32t 2 ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34≥32.能力提升训练 1.2 2解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1tb 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2t c ·a ＋2t c ·b ＋2a ·b ＝c 2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t.∵c ·a ＝c ·b ＝1，∴c ·(a －b )＝0，∴|c |＝2， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t . 令t ＋1t＝m ≥2(当且仅当t ＝1时，取等号)，∴⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＝(m ＋1)2－1≥8， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ≥2 2.2.12解析 由题意可知AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋3nAE →，P ，B ，E 三点共线，则m ＋3n ＝1，据此有3m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n (m ＋3n )＝6＋9n m＋mn≥6＋29n m ×mn＝12，当且仅当m ＝12，n ＝16时等号成立.综上可得3m ＋1n的最小值是12.3.923 解析 取AD 的中点E ，连结CE ，BE ，则四边形ABCE 为平行四边形，如图所示，则有AE →＝BC →，又AE →＝ED →，∴BC →＝ED →，∴四边形BCDE 为平行四边形，又BE 为等边△ABD 的中线，∴BE ⊥AD ，∴平行四边形BCDE 是矩形，∴四边形ABCD 是直角梯形.又BE ＝CD ＝3，∴AD ＝23，BC ＝12AD ＝3， ∴四边形ABCD 的面积为S ＝12(BC ＋AD )·CD ＝12×(3＋23)×3＝923. 4.18解析 因为A ，D ，E 共线，故存在0≤t ≤1，使得BE →＝tBA →＋(1－t )BD →＝tBA →＋－t 2BC →，而BE →＝λBA →＋μBC →且BA →，BC →不共线，所以λ＝t ，μ＝12(1－t )，消去t 得到λ＋2μ＝1. s ＝λμ＝(1－2μ)μ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－142＋18，μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12， 当μ＝14时，s 有最大值18. 5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 解析 由BD →＝DC →，可知D 为BC 的中点，∴P n D →＝P n B →＋BD →＝12BC →－BP n →， ∵P n A →＝P n B →＋BA →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，∴BA →－BP n →＝a n ＋1P n B →＋a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BP n →， ∴BA →＝(1－a n ＋1－a n )BP n →＋12a n BC →， 又点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，即A ，P n ，C 三点共线，∴1－a n ＋1－a n ＋12a n ＝1， ∴a n ＋1＝－12a n ， ∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，－12为公比的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 6.②④⑤解析 因为△ABC 是边长为3的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则a ＝13AB →， 所以|a |＝13|AB →|＝1，因此a 为单位向量，故②正确； 又AC →＝AB →＋BC →＝3a ＋b ，所以BC →＝b ，因此|b |＝|BC →|＝3，故①不正确；对于③，由AC →＝3a ＋b 可得AC →2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ，故9＝9＋9＋6a ·b ，可得a ·b ＝－32≠0，所以a ⊥b 不成立，故③不正确； 对于④，由AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，得BC →＝AC →－AB →＝b ，所以b ∥BC →，故④正确；对于⑤，因为(6a ＋b )·BC →＝(6a ＋b )·b ＝6a ·b ＋b 2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋9＝0，所以(6a ＋b )⊥BC →，故⑤正确.综上可得②④⑤正确.第6练 复数[基础保分训练]1.已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是________.2.已知θ为实数，若复数z ＝sin2θ－1＋i(2cos θ－1)是纯虚数，则z 的虚部为________.3.已知i 是虚数单位，则复数1－2i 1＋2i＝________. 4.已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝sin β＋icos β(α，β∈R ，i 为虚数单位)，复数z ＝z 1·z 2在复平面内所对应的点在第二象限，则角α＋β的终边所在的象限为________.5.若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝________.6.设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为________. 7.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于________. 8.已知0<a <2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是________.9.若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则b ＋a i ＝________.10.设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________.[能力提升训练]1.若(a －2)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.2.3＋i 1＋i＝________. 3.设z 是复数，a (z )表示满足z n ＝1时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ＝________. 4.若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________.5.已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 6.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i为实数，则a 的值为________. 答案精析基础保分训练1.22.－23.－35－45i 4.第三象限 5.1 6.－3 7.第四象限 8.(1，5)9.－2＋i 10.1能力提升训练1.12.2－i3.44.(－∞，－1)5.5 26.－2。
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量基本定理及坐标表示
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。
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专题5.平面向量与复数
1.平面向量是高考考查的重点、热点，六年六考.往往以选择题或填空题的形式出现.突出其“几何味”，常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；
2.近几年浙江卷涉及模及角的最值问题，六年五考！同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏难.
3.复数的概念运算，六年四考（近四年）.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的概念.
预测2021年将侧重平面向量的运算及其应用的考查，综合性依然会较强，难度不会降低.复数考查将保持稳定.
1．（2020·浙江省高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）
A．1 B．–1 C．2 D．–2
2．（2020·全国高考真题（理））设,a b为单位向量，且||1
a b
+=，则||
a b
-=______________.
3．（2020·浙江省高考真题）设
1
e，
2
e为单位向量，满足
2
1
|22
|
-≤
e
e，
12
a e e
=+，
12
3
b e e
=+，设a，b的夹角为θ，则2
cosθ的最小值为_______．
4．（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD中，60,3
B AB
︒
∠==，6
BC=，且
3
,
2
AD BC AD AB
λ
=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,
M N是线段BC上的动点，且||1
MN=，则DM DN
⋅的最小值为_________．
5．（2020·全国高考真题（理））设复数1z，2z满足12
||=||=2
z z，
12
3i
z z
+=，则12
||
z z
-=__________.。