2021新高考数学二轮总复习课件：专题一 1.3 平面向量与复数组合练
高考数学二轮复习 第1部分 专题1 必考点2 平面向量与
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
利用A→C＝A→B＋A→D，把A→B、A→D用基底A→E、A→F表示，结合向量三角形法则 求解． ∵A→C＝A→B＋A→D，又∵E、F 为 DC、BC 中点
又AA→→EF＝＝AA→→DB＋＋1212AA→→DB，.②①
得AA→→DB＝＝3443AA→→FE－－2323A→A→EF
∴A→C＝34A→F－23A→E＋43A→E－23A→F＝23A→F＋32A→E
∴ 4 λ＝μ＝23 ∴λ＋μ＝43 3
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
以 AC 为对角线，以 AE、AF 所在直线为邻边作平行四边形来表示A→C＝λA→E
＋μA→F.
取 AD、AB 的中点 G、H.
连 CG，CH，CG∩AE＝M，CH∩AF＝N
∴CM∥AN，CN∥AM
∴四边形 ANCM 为平行四边形
∴A→C＝A→M＋A→N，在△ ADC 中，M 为重心．
∴4 A→M＝23A→E，同理A→N＝23A→F 3
∴A→C＝23A→E＋32A→F
∴λ＋μ＝32＋32＝34.
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
[特例法，在正方形 ABCD 中，建立坐标系求解．]
专题复习·数学（文）
专题一 集合、常用逻辑、平面向量、复数、 合情推理、不等式
必考点二 平面向量与复数运算、算法、合情推理
类
类型一 平面向量概念及线性运算
型
类型二 平面向量的数量积的计算与应用
类型三 法与框图的输入或输出值
类型五 补写完善程序框图
类型六 合情推理
高考·预测 运筹帷幄之中
知识 回扣
必记知识
重要结论
2021新高考数学二轮总复习学案：1.3平面向量与复数组合练含解析
2021新⾼考数学⼆轮总复习学案：1.3平⾯向量与复数组合练含解析1.3平⾯向量与复数组合练必备知识精要梳理1.复数的加、减、乘的运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.2.复数z=a+b i(a,b∈R)与复平⾯内的点Z(a,b)及平⾯向量⼀⼀对应,|z-(a+b i)|=r(r,a,b∈R)表⽰复平⾯内以(a,b)为圆⼼,r为半径的圆.3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)为⾮零向量,夹⾓为θ,则a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0;a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.5.平⾯内三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线??(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.考向训练限时通关考向⼀复数的运算及复数的⼏何意义1.(2020⼭东,2)=()A.1B.-1C.iD.-i2.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.D.23.(多选)若复数z=在复平⾯内对应的点在第⼆象限内,则实数a的值可以是()A.1B.0C.-1D.-24.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z1,z2满⾜|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=.考向⼆平⾯向量的概念及线性运算5.(多选)关于平⾯向量a,b,c,下列说法中不正确的是()A.若a∥b且b∥c,则a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)·c=a·(b·c)6.(2020⼭东泰安⼀模,6)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m=n,则m+n=()A.1B.C.2D.37.(多选)如图所⽰,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A. B.C. D.8.(2020全国Ⅰ,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.考向三平⾯向量基本定理及坐标表⽰9.(2020⼭东,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的⼀点,则的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)10.(2020全国Ⅲ,⽂6)在平⾯内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线11.(2020安徽合肥⼀中模拟,10)如图,已知矩形LMNK,LM=6,sin∠MLN=,圆E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设=λ+µ,则λ+µ的最⼩值是()A.1B.C. D.512.(2020北京,13)已知正⽅形ABCD的边长为2,点P满⾜),则=.考向四平⾯向量的数量积13.(2020全国Ⅲ,理6)已知向量a,b满⾜|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=()A.-B.-C. D.14.(2020⼭东济南⼀模,3)体育锻炼是青少年学习⽣活中⾮常重要的组成部分.某学⽣做引体向上运动,处于如图所⽰的平衡状态时,若两只胳膊的夹⾓为60°,每只胳膊的拉⼒⼤⼩均为400 N,则该学⽣的体重(单位:kg)约为()(参考数据:取重⼒加速度⼤⼩为g=10 m/s2,≈1.732)A.63B.69C.75D.8115.(多选)(2020海南天⼀⼤联考模拟三,10)已知向量a=(,1),b=(cos α,sin α),α∈,则下列结论正确的有()A.|b|=1B.若a∥b,则tan α=C.a·b的最⼤值为2D.|a-b|的最⼤值为316.(2020全国Ⅱ,理13)已知单位向量a,b的夹⾓为45°,k a-b与a垂直,则k=.1.3平⾯向量与复数组合练考向训练·限时通关1.D解析=-i,故选D.2.D解析由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.ABC解析因为复数z=(a-2)+(a+2)i,由复数z在复平⾯内对应的点在第⼆象限内,所以即-24.2解析设z1=a+b i,z2=c+d i,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.⼜z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,∴a+c=,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.∴|z1-z2|==25.ACD解析对于A,若b=0,因为0与任意向量平⾏,所以a不⼀定与c平⾏,故A 不正确;对于B,向量数量积满⾜分配律,故B正确;对于C,若a⊥b,a⊥c,则b与c不⼀定相等,故C不正确;对于D,(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,故D不正确.故选ACD. 6.C解析连接AO,由O为BC的中点可得,)=,因为M,O,N三点共线,所以=1,所以m+n=2.故选C.7.ABD解析,故A正确;)+,故B正确;=-,故C错误;=-,故D正确.故选ABD.8解析∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-,∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=9.A解析如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建⽴平⾯直⾓坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,),C(3,).设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),=2x+0×y=2x.∵-110.A解析以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建⽴平⾯直⾓坐标系.设C(x,y),A(-a,0),则B(a,0),则=(x+a,y),=(x-a,y),由=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.11.B解析由已知建⽴如图所⽰的平⾯直⾓坐标系,由LM=6,sin∠MLN=,解得MN=,则M,N(3,0),L-3,-.设P(cosθ,sinθ).因为=+=cosθ-3,sinθ+,=(-6,0),=0,.所以=cosθ-3,sinθ+=λ(-6,0)+µ0,,即解得所以λ+µ=sinθ-cosθ=sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+µ的最⼩值是故选B.12.-1解析以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建⽴如图所⽰的平⾯直⾓坐标系,则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2))=(2,0)+(2,2)=(2,1 ),则点P(2,1).=(-2,1),=(0,-1),=0×(-2)+1×(-1)=-1.13.D解析∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos=14.B解析由题意知,两只胳膊的拉⼒F1=F2=400,夹⾓θ=60°,所以体重G=-(F1+F2).所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos60°+4002=3×4002.所以|G|=400(N),则该学⽣的体重约为40=40×1.732≈69(kg).故选B.15.AC解析对于A,|b|==1,故A正确;对于B,若a∥b,则sinα-cosα=0,∴tanα=,故B错误;对于C,a·b=cosα+sinα=2sin,最⼤值为2,故C正确;对于D,作图可知,当α=,即b=(0,1)时,|a-b|取得最⼤值,故D错误. 16解析由题意可知,a·b=|a||b|cos45°=∵k a-b与a垂直,∴(k a-b)·a=k|a|2-a·b=k-=0,∴k=。
复数-2021届高三数学(新高考)一轮复习ppt完美课件(49页)
7.5复数-2021届高三数学（新高考） 一轮复 习课件( 共49张 PPT)
2．[2020·山东泰安质量检测]若复数(2－i)(a＋i)的实部与虚部互为 相反数，则实数 a＝( )
A．3 B．13 C．－13 D．－3 答案：D 解析：(2－i)·(a＋i)＝(2a＋1)＋(2－a)i，因为该复数的实部与虚部 互为相反数，所以(2a＋1)＋(2－a)＝0，解得 a＝－3，故选 D.
【教材提炼】
一、教材改编 1．[必修二·P94 复习参考题 7 T1(2)改编]复数i－5 2的共轭复数是 () A．i＋2 B．i－2 C．－2－i D．2－i
答案：B 解析：i－5 2＝2－－5i22＋＋ii＝－105－5i ＝－2－i，其共轭复数为－2＋i，故选 B.
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三、走进高考 4．[2019·全国Ⅰ卷]设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点 为(x，y)，则( ) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 答案：C 解析：由已知得，z＝x＋yi， ∵|z－i|＝1， ∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.
7.5复数-2021届高三数学（新高考） 一轮复 习课件则复数 z 的虚部为( ) A．16 B．－11 C．－11i D．－16
答案：B 解析：依题意，z＝(3＋2i)(2－5i)＝6－15i＋4i＋10＝16－11i，故 复数 z 的虚部为－11.故选 B.
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量
第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。
2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用课件
定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|
与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复 数第3节平面向量的数量积及其应用课件
4
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的 夹角．
2021/4/17
2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复 数第3节平面向量的数量积及其应用课件
20
考点 2 平面向量数量积的性质(多维探究) 角度 长度问题
[典例 1] 已知向量O→A，O→B满足|O→A|＝|O→B|＝2， O→A·O→B＝2，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，且 λ＋μ＝1， 则|O→C|的最小值为( )
2021/4/17
2021高考数学一轮复习第六章平面向量与复 数第3节平面向量的数量积及其应用课件
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[典题体验]
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知A→B＝(2，3)，A→C＝(3，t)，
|B→C|＝1，则A→B·B→C＝( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
解析：因为B→C＝A→C－A→B＝(1，t－3)，且|B→C|＝1，
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝ a·a＝ x12＋y12.
(3)夹角：cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
.
(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2
＝0.
2021/4/17
高中数学复习第五章《平面向量、复数》PPT课件(269页)
立．( ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)×
教材改编 2．[必修 4p86 例 4]已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且O→A＝a，O→B＝b，则D→C＝______，
【基础检测】 概念辨析
1 ． 判 断 下 列 结 论 是 否 正 确 ( 请 在 括 号 中 打 “√” 或 “×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表 示向量．( )
(2)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关．( ) (3)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( )
(4)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四 点在一条直线上．( )
④若a＝b，则 a＝b；
⑤若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线． 其中正确结论的个数是( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
[解析] 两个单位向量的模相等，但方向不一定相 同，①错误；若 a＝b，b＝c，则 a＝c，向量相等具有 传递性，②正确；一个向量的模为 0，则该向量一定是
(2) 结 合 律 ： (a ＋ b) ＋c＝__a_＋__(b_＋___c)_.
减法
_平__Байду номын сангаас__四__边__形__法则
求 a 与 b 的相
反向量－b
的和的运算
叫做 a 与 b
的差
__三__角__形__法则
a－b＝a＋(－b)
向
量 定义 运
法则(或几何意义)
运算律
算
数 乘
求实数 λ 与向 量a的 积的运
(通用版)2021高考数学二轮复习第一篇第2练复数与平面向量课件文
P→M＝M→C，则|B→M|2 的最大值是____1_6___.
解析 答案
易错易混专项练
1.(2021·全国Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：假设复数z满1足 ∈R，那么z∈R； z
p2：假设复数z满足z2∈R，那么z∈R； p3：假设复数z1，z2满足z1z2∈R，那z么2 z1＝ ；
p4：假设复数z∈R，z那么 ∈R.
解析 答案
10.如图，在△ABC 中，N 是 AC 边上一点，且A→N＝12N→C，P 是 BN 上的一
点，若A→P＝mA→B＋29A→C，则实数 m 的值为
A.19
√B.13
C.1
D.3
解析 ∵A→N＝12N→C，∴A→N＝13A→C，
∴A→P＝mA→B＋29A→C＝mA→B＋23A→N. 又B，N，P三点共线，
∴m＋23＝1，∴m＝13.
解析 答案
11.如图，在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若A→C＝λA→M ＋μB→N，则 λ＋μ 等于
A.2
8 B.3
6 C.5
√D.85
解析 答案
12.假设|a|＝1，|b|＝3 ，且|a－2b|＝7 ，那么向量a与向量b夹角的大 小π
6
＝0，且|O→A|＝|A→B|，则C→A·C→B等于
3 A.2
B. 3
√C.3
D.2 3
解析 ∵O→A＋A→B＋O→C＝0，∴O→B＝－O→C，
故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形， 又△ABC 的外接圆的半径为 1，|O→A|＝|A→B|，
∴BC＝2，AB＝1，CA＝ 3，∠BCA＝30°，
应选D.
解析 答案
2.a，b∈R，i是虚数单位.假设a－i与2＋bi互为共轭复数，那么(a＋bi)2等
新课程2021高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第3讲平面向量的数量积及应用课件
1.求向量模的常用方法 (1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用公式|a|＝ x2＋y2. (2)若向量 a，b 是以非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式|a|2 ＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量 数量积的运算求解．如举例说明 1.
题型二 平面向量数量积的性质
角度 1 平面向量的模
1.已知平面向量 a，b 的夹角为π6，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，A→B
＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|等于( )
A.2
B．4
C．6 答案 A
D．8
解析 因为A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|A→D|2
角度 2 平面向量的夹角
3.已知 a，b 为单位向量，且 a·b＝0，若 c＝2a－ 5b，则 cos〈a，c〉 2 ＝___3_____. 解析 解法一：本题考查利用向量的数量积求夹角的余弦值，依题知|a|
＝|b|＝1，且 a·b＝0.∵c＝2a－ 5b，∴a·c＝a·(2a－ 5b)＝2a2－ 5a·b＝2，|c|
1
PART ONE
基础知识过关
1．两个向量的夹角
2．平面向量的数量积
设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量 □01 |a||b|cosθ 叫做 a 与 b
的数量积，记作 a·b.
3．平面向量数量积的性质
设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e)的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.
(1)a·b＝ □01 b·a ； (2)(λa)·b＝ □02 λ(a·b) ＝ □03 a·(λb)