组合数学1
《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
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组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
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《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
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组合数学讲义1
概述组合数学在生活中处处可见。
计算单循环、双循环赛制下比赛的场数、构造幻方、一笔画、计算扑克牌游戏中满堂红牌的手数，概率等。
扎根于数学游戏和娱乐中，计算机技术的发展促进了其发展。
解决两类问题：排列的存在性问题（这是根本性问题。
排列集合中的某些元素使其满足某些条件，其排列的存在性并非总是显而易见的，若不存在，那么什么条件下会存在）；排列的计数和分类问题。
（若存在，则会有多种方法实现，需要计数，并将其分类）。
一、棋盘的完美覆盖问题二、切割立方体三、幻方：四、四色问题五、36军官问题来自6个军团的6个军衔的军官，排成方阵，要求每行每列都有各种军衔的军官1名，并且每行每列的军官都是来自不同的军团。
六、最短路径问题组合优化的问题。
（路由选择）七、Nim 取子游戏鸽笼原理（抽屉原则）一、简单形式：把n+1个物体放入n 个盒子中，有一个盒子中至少有2个物体。
证明方法：反证法。
鸽笼原理与反证法的关系，类似于不完全归纳法与数学归纳法的关系。
例1 13个人中至少有两个人的生日在同一个月。
例2 有n 对夫妇，至少选择多少个人，才能保证至少有一对夫妇被选出？变化形式：把n 个物体放入n 个盒子中，每一个盒子中至少有1个物体，那么每一个盒子恰好有1个物体。
把n 个物体放入n 个盒子中，每一个盒子中至多有1个物体，那么每一个盒子恰好有1个物体。
例3 整数列a 1，a 2，〃〃〃〃〃〃，a m 中，一定有若干个连续的数的和能被m 整除。
构造∑==ij j i a b 1，构造所有被m 除所得余数的鸽笼，共有m 个若两个b i 被m 除的余数相同，则其差能被m 整除，现在笼子多一个，不用考虑余数为0的情况（此时已经满足要求）例4 大师11周训练，每天至少下一盘，每周不超过12盘，证明：有连续的若干天，刚好下了21盘棋。
证明：共77天，分别下a 1，a 2，〃〃〃〃〃〃，a 77构造则前i 天共下了∑==ij j i a b 1要证明存在b i ，b j ，使得b i - b j =21构造t i =21+b i ，变成证明存在t i = b j1≤b 1< b 2<〃〃〃〃〃〃<b 77≤13222≤t 1< t 2<〃〃〃〃〃〃<b 77≤153b 与t 混合在一起总共有154个，而结果只能有153个，从而必有两个数相同，但不可能同是t ，或同是b ，因为分别严格增加。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
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隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
组合数学排列组合（1）格路模型，范德蒙德恒等式
组合数学排列组合（1）格路模型，范德蒙德恒等式
1.排列(permutation)：
从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的⽆重排列。
排列的个数⽤P(n,r)表⽰或P r n n>=r //⾼中的时候教材教我们A r n ，跟这⾥的⼀样。
P(n,r) = n!/r!
排列的基本问题是“n个不同球放r个不同盒”问题。
2.组合(conmutation)：
从n个不同的元素中，取出r个不重复的元素组成⼀个⼦集⽽不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的⽆重组合。
组合的个数⽤C(n,r)表⽰或C r n n>=r
C(n,r)=n! / [r!*(n-r)!]
组合的基本问题是“n个不同球放r个相同盒”问题。
两个性质：
|—— C(n,r) = C(n,n-r) //C(8,3)=C(8,5)
|—— C(n,l)*C(l,r) = C(n,r)*C(n-r,l-r) //C(9,5)*C(5,2)=C(9,2)*C(7,3)
3.格路模型与组合恒等式：
组合数学有⼀个研究⽅向就是研究组合恒等式。
格路模型
我们把从（0，0）到（m，n）的路径⽤⼀个形如“xxyxyyxy...xyy”的字符串表⽰。
则字符串长度为m+n，有m个‘x’，n个‘y’。
杨辉三⾓⽤于格路模型
在杨辉三⾓中，第n⾏对应着(a+b)n的系数，第n⾏第r列的数值是C(n,r)
范德蒙德恒等式。
组合数学第一章
1.2排列与组合
[解法1]标号可产生5!个14个元的全排列。 故若设x为所求方案，则 x· 5!=14! ∴x=14!/5!=726485760
1.2排列与组合
[解法2]在14个元的排列中先确定“1” 的位置，有C(14,5)种选择，在确定人 的位置，有9！种选择。 故 C(14,5)· 即所求 9!
k+1
1.3 Stirling近似公式
• 由(1-3-2) (2k)!! < ———— · < ———— ， (2k-1)!! π (2k-2)!! ———— — (2k+1)!! (2k)!! 2 (2k-1)!! 1< —————— < (2k)!! 2 1 —— [——] ·2k+1 (2k-1)!!
P(n,r)=n(n-1)··(n-r+1) ·· ·· 有时也用[n]r记n(n-1)··(n-r+1) ·· ··
1.2排列与组合
若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个 的组合的模型。若放入盒子后再将盒子标 号区别，则又回到排列模型。每一个组合 可有r!个标号方案。 故有 C(n,r)· r!=P(n,r),
前言
• 本学期主要讲组合分析（计数和枚举） 以及组合优化的一部分（线性规划的单 纯形解法）。 • 组合分析是组合算法的基础。
前言
组合数学经常使用的方法并不高深 复杂。最主要的方法是计数时的合理分 类和组合模型的转换。 但是，要学好组合数学并非易事， 既需要一定的数学修养，也要进行相当 的训练。
第一章
前言
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》 一书问世，这是组合数学的第一部专著。 书中首次使用了组合论（Combinatorics） 一词。
组合数学解析
组合数学解析在数学领域中，组合数学是研究离散结构的一门学科，它主要关注于物体的集合以及它们之间的排列、组合和选择方式。
组合数学广泛应用于计算机科学、信息技术、统计学、天文学等多个领域，在许多实际问题的建模和解决中都起到了重要的作用。
一、组合数学的基本概念1. 排列与组合在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指一组对象按照一定顺序进行排列的方式，而组合则是指从一组对象中选取一部分对象进行组合的方式。
排列和组合的计算公式为：排列公式：P(n,m) = n!/(n-m)!组合公式：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]其中，n表示对象的总数，m表示要排列或组合的对象的数量，n!表示n的阶乘。
2. 二项式系数在组合数学中，二项式系数表示的是两个数的二项式展开系数，它也是组合数学中的重要概念。
二项式系数的计算公式为：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]二项式系数在组合数学中起到了非常重要的作用，它们具有许多重要的性质和应用。
二、组合数学的应用领域1. 组合数学在计算机科学中的应用在计算机科学中，组合数学是一门非常重要的学科。
组合数学的许多概念和方法被广泛应用于算法设计、图论、密码学、数据压缩等领域。
例如，在算法设计中，对于排列和组合的问题，组合数学可以提供有效的算法和优化策略。
在密码学中，组合数学的概念被用于设计和分析密码算法的安全性。
2. 组合数学在信息技术中的应用在信息技术领域中，组合数学也扮演着重要的角色。
例如，编码理论中的纠错码和压缩码的设计就依赖于组合数学的概念和方法。
另外，在网络优化、通信网络设计等问题中，组合数学的知识也能够提供宝贵的解决思路。
3. 组合数学在统计学中的应用在统计学中，组合数学可以用于描述和统计样本空间以及事件的可能性。
组合数学中的概率论和统计学概念有紧密的联系，例如样本空间的总数、事件的发生概率等都可以通过组合数学的方法进行计算和分析。
此外，组合数学还在实验设计、随机模型等方面发挥着重要作用。
《组合数学》教案 1章 排列组合
习题 1（1）基本题：1～9，14，16，19，22～23，29，31 （2）加强题：11～12，17，18，21，28 （3）提高题：13，15，20，24～26，30，32 （4）关联题：10，271-1在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（解）问题相当于求在相异元素{}9,7,5,3,1中不重复地取1个、2个、…、4个元素的所有排列数，答案为45352515P P P P +++＝5＋20＋60＋120＝2051-2比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1） 每位的数字全不同； （2） 每位数字不同且不出现数字2与7。
（解）（1）分类统计：①一位正整数有919=P 个；②两位正整数有1919P P ⨯＝81个；③三位正整数有2919P P ⨯＝9×9×8＝648个；④千位数小于5的四位数有3914P P ⨯＝4×9×8×7＝2016个；⑤千位数等于5，百位数小于4的数有28141P P ⨯⨯＝4×8×7＝224个。
由乘法法则，满足条件的数的总个数为9＋81＋648＋2016＋224＝2978（2）仿（1），总个数为17P ＋1717P P ⨯＋2717P P ⨯＋3713PP ⨯＋26131P P ⨯⨯＝7＋49＋294＋630＋150＝11301-3一教室有两排，每排8个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？（1） 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定； （2） 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
（解）（1）5人在前排就座，其坐法数为()58,P ，4人在后排就座，其坐法数为()48,P ，还空7个坐位，让剩下的54514=--个人入坐，就座方式为()57,P 种，由乘法法则，就座方式总数为()58,P ()48,P ()57,P ＝28 449 792 000（2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。
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B牌完美覆盖
对于m*n棋盘被多米诺覆盖的问题，还存在另外一种一般化 的方法。设b是一个1*1的方格并排连接成1*b的方格条来代 替多米诺牌。我们称这些方格条为b-牌。因此，一张b牌可 以盖住一行上或者一列上的b个连续的方格。 那么，何时m*n的棋盘具有一个b牌的完美覆盖？ 结论： 一张m行n列棋盘有一个b牌的完美覆盖，当且仅当b是m 的一个因子或b是n的一个因子。 怎样证明？
实例
1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数 解答: 1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外. 故有9×9×9×9－1＝6560个. 含1的有：9999－6560=3439个 另: 全部4位数有104 个,不含1的四位数有9 4 个, 含1的4位数为两个的差: 104 －9 4 = 3439个
组合数学
长沙市雅礼中学 朱全民
什么是组合数学
生活中常见的组合问题 计算赛制下的总的比赛次数 幻方 笔画网络图 扑克牌游戏 组合数学问题常呈现的形式 能否排列…… 存在一个……..吗 能用多少种方法 计算……的数目 研究一个已知的排列 构造一个最优的排列 组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门科学
棋盘的完美覆盖
考虑一张普通的国际象棋棋盘，他被分成8*8的64个正方形。 设有形状一样的多米诺骨牌，每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的 两个方格。那么，是否能够把32张多米诺牌放到棋盘上，使 得任何两张多米诺牌均不重叠，每张多米诺牌覆盖两个方格， 并且所有的方格都被覆盖住？ 我们把这样一种排列称为棋盘被多米诺牌完美覆盖。 Fischer在1961年发现，它有12988816=24*(901)2种 如果将棋盘换成m*n的呢，还存在完美覆盖吗？ 不难看出，m*n为偶数时，存在完美匹配。 如果用一把剪刀剪去8*8的棋盘一幅对角上的两个方格，剩 下62方格，能否用31个多米诺牌进行完美覆盖吗？ 一块被切割过的棋盘具有完美匹配的必要和充分条件是什么？
切割立方体
考虑一个边长3英尺的立方体木块。我们希望把它切割成27 个边长1英尺的小立方体。完成这项工作所需最小切割次数 是多少？ 一种方法是依序切割6次，每个方向上切割2次并在切割时保 持该立方体不变 如果在每次切割后重新排放所切得的各块，则是否能用更少 的切割次数完成这项工作呢？ 考察一个4*4棋盘，它有一个8张多米诺牌的完美覆盖。 证明总能把棋盘横向或者纵向切成两块且不使这些多米 诺牌被切断。 切割的水平或竖直的直线叫做完美覆盖断层线。
组合
定义 n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组 合的全体组成的集合用C(n,r)表示，对应于可重组合C(n,r) 实例 n个不同的球中,取出r个,放入r个相同的盒子里，每盒1个 若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。每一 个组合可有r!个标号方案。 C(n,r)=P(n,r)/r! 显然有 C(n,0)=1, C(n,n)=1, C(n,1)=n, C(n,r)=0 当 r>n,
y (m,n) . . .
0
. . .
x
在上例的基础上若设m<n，求(0,1)点到(m,n)点不接触对角线x=y的格路 的数目 (“接触”包括“穿过”),从(0,1)点到(m,n)点的格路，有的接触 x=y，有的不接触。对每一条接触x=y的格路，做(0,1)点到第一个接触点 部分关于x=y的对称格路，这样得到一条从(1,0)到(m,n)的格路。 容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的格路与 (1,0)到(m,n)的格路(必穿过 x=y)一一对应 故所求格路数为C(n+m-1,m) - (n+m-1,m-1) 若条件改为可接触但不可穿过，则限制线要向下或向右移一格，得x y=1，(0,0)关于x－y=1的对称点为(1,-1). 故所求格路数为C(n+m,m) - (n+m,m-1)
组合的物理意义
“一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是 满射。如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非是建立了将A中元与[1,n] 元一一对应的关系。在组合计数时往 往借助于一一对应实现模型转换。比 如要对A集合计数，但直接计数有困 难，于是可设法构造一易于计数的B， 使得A与B一一对应。 简单格路问题 : |(0,0)→(m,n)|=Ｃ (n+m,m),从 (0,0)点出发沿x轴或y轴的 正方向每步走一个单位，最终走到 (m,n)点，有多少条路径？
A 人 B C D
钥 匙 １２３４５６ √√√ √√√ √ √√ √ √ √
最短路经问题
考虑一个由道路和路口组成的子系统。一人想从一个路口A 行进到另一路口B。现在问题是要确定一条通路，沿此通路 从A到B的距离最小——一条最短路径。 这是一个关于图的问题，图是组合数学中已经研究而且还将 广泛研究的离散结构的一个例子。 怎样求最短路径？
Nim取子游戏
Nim取子游戏是由两个面对若干堆硬币（或石子,豆粒,…） 进行的游戏。设有k>=1堆硬币，各堆含有n1,n2,…,nk枚硬 币。游戏的目的就是选择最后剩下的硬币。 规则如下： 1. 游戏人交替进行游戏 2. 当轮到每个游戏人取子时，选择这些硬币堆中的一堆， 并从所选堆中取走至少1枚硬币。 3. 所有的堆都变为空时，游戏结束，最后取子的人赢得所 有的硬币。 如何取子？有何依据？
实例
如果每个单词包含３、4或5个元音，那么字母表中的26个字 母可以构造多少个8字母词？可以理解为，在一个词中字母 的使用次数没有限制。 我们按所含的元音个数来对单词进行计数，然后运用加法原 理。 3元音词: C(8,3)53215 4元音词: C(8,4)54214 5元音词: C(8,5)55213 因此词的总数为 C(8,3)53215 ＋ C(8,4)54214＋ C(8,5)55213
2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019
含1但不含0。 在组合的习题中有许多类似的隐含的 规定，要特别留神。 不含0的1位数有9个，2位数有92个， 3位数有93个，4位数有94个 不含0小于10000的正整数有 9+92+93+94 =(95-1)/(9-1)=7380个 含0小于10000的正整数有 9999－7380=2619个
排列
定义 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序 排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集 合用 P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无 重。可重排列的相应记号为 P(n,r)。 实例 n个不同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里，每盒1个 第1个盒子有n种选择，第2个有n-1种选择，··· ··· ，第r个有nr+1种选择。 P(n,r)=n*(n-1)*…*(n-r+1) 有时也用[n]r表示
某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开。现有７人，每人持 若干钥匙。须４人到场，所备钥匙才能开锁。问①至少有多少把不同的 钥匙？②每人至少持几把钥匙？ 解 ①每３人至少缺１把钥匙，且每３人所缺钥匙不同。故至少共有 C(7,3)=35把不同的钥匙。 ② 任一人对于其他６人中的每３人，都至少有１把钥匙与之相配才能 开锁。故每人至少持C(6,3)＝20把不同的钥匙。 举例，４人中３人到场，共有C(4,2)=6把不同的钥匙。每人有C(3,2)=3 把钥匙。
考虑一张平面图或在一个球面上的地图，地图上的国家都是 连通区域，为了能够很快分出国家，需要对这些国家着色， 以使得具有共同边界的国家被涂成不同颜色(角点处不算着 共同的边界)，能够保证如此着色每一张地图所需的最少的 颜色是多少？ 答案：4种颜色即可 证明？
36军官问题
设有分别来自6各军团共有6种不同军衔的36名军官，他们能 否排成6*6(6行6列的编队使得每行每列都有各种军衔的军官 1名)，并且每行每列上的不同军衔的6名军官分别来自不同 的军团？ 问题是，使36个序偶(i,j)，能否排成6*6的阵列，使得每行每 列，这6个整数都能以某种顺序出现在序偶第一个元素的位 置上。 看n=3的情况 123 1 2 3 (1,1) (2,2) (3,3) 312 2 3 1 (3,2) (1,3) (2,1) 231 3 1 2 (2,3) (3,1) (1,2) 是否存在6阶正交拉丁方？如何构造？
幻方
一个n阶幻方是由整数 1,2,…,n2,组成，其每行、每 列和两条对角线的和都等于 同一个数s。 这个整数s叫幻方的幻和。 一个n阶幻方的所有整数和 s=1+2+…+n2= n2(n2+1)/2 怎样构造幻方？ 幻方在3为情况下的情况呢？
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四色问题
可重复的排列
如果Ｓ是一个多重集，那么Ｓ的一个ｒ排列是Ｓ的ｒ个元素 的一个有序排放．如果Ｓ的元素总个数是ｎ（包含计算重 复），那么Ｓ的ｎ排列也将称为Ｓ的全排列．例如，如果Ｓ ＝｛2•a,1•b,3•c｝那么acbc,cbcc都是4排列. 如果S是一个多重集,它有K个不同的类型元素，每一个元素 都有无穷重复个数，那么，Ｓ的ｒ排列个数为kr 如果S是一个多重集,它有K个不同的类型元素，各元素分别 为n1,n2,…,nk个，那么，Ｓ的ｒ排列个数为 n! / (n1!*n2!*…*nr!) 在8*8的棋盘上对于８个非攻击型的车共有多少种可能的放 法？(车的颜色相同，不同，第ｉ种颜色的车有ni个,分别讨 论)yyFra biblioteky=x