第八节函数的连续性与间断点 (2)
第八节 函数的连续性与间断点
(1) 在 x = x0 没有定义；
(2) 虽在 x = x0 有定义，但 lim f ( x ) 不存在； x x0
(3) 虽在 x = x0 有定义，且 lim f ( x ) 存在，但 x x0 lim f (x) f (x0 ) , x x0
注意 增量 u 可正可负还可以为零.
第八节 函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，
如果 l i m y l i m [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,
x 0
x 0
那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续. y
例如
第八节 函数的连续性与间断点
y
(1) x π 为其无穷间断点 .
2
(2)
O - π x
2
y
x 0 为其振荡间断点 .
x
(3)
y
x 1 为可去间断点 .
O1 x
第八节 函数的连续性与间断点
x , x 1,
y
(4)
y1.
显然 lim f ( x ) 1 f (1) , 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 变量的增量 定义 设变量 u 从初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值
的差 u2 – u1 称为变量 u 的增量，记作 u = u2 – u1 .
设 y = f (x)，则 x 称为自变量的增量， y 称为函 数的增量.
x1
1
x 1 为其可去间断点 .
第八节 函数的连续性与间断点
f (x)
f ( x0 )
则称函数y = f ( x)在 x0点连续. x0称为f (x)的连续点.
若 f (x) 在点 x0 不连续，则称点 x0为f (x) 的间断点
【注】若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ), 则称函数 y = f (x)在x0
点左连续。
若
lim
x x0
f (x)
小结
1. 函数在一点连续
函数在一点左右连续
2. 区间上的连续函数;
3. 间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点: 可去型,跳跃型. 第二类间断点: 无穷型,振荡型.
作业 P64 习题1-8
2(1) 3(1)
第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性
内容提要
1 连续函数的和、差、积、商的连续性 2.反函数、复合函数的连续性 3.初等函数的连续性
二、函数的间断点
如果函数 f (x) 在点x0 处不连续，就称f (x) 在点 x0 处间断，x x0 点称为函数 f (x)的间断点或者 不连续点。 由函数连续性定义可知 , f(x) 在点 x0 连续必须
同时满足以下三个条件:
(1) 函数 f (x)在点 x0 有定义; (2) lim f ( x) 存在；
( g( x0 ) 0)
也在点 x0 处连续。
例如, sin x,cosx在(- ,+)内连续,
故 tanx,cot x,secx,cscx 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数的区间上单调增加（或单调减少） 且连续，那么他的反函数也在对应的区间上单调 增加（或单调减少）且连续。
教学要求
高数间断点
而lim x 2 4 存在，且为4，如果令
x2 x 2
x2 4
F(x)
x2
,
x
2,
4, x2
容易证明x=2是F(x)的连续点而不是间
断点．
y
x2 4 y
4
x2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 O
2
x
x2
（称F(x)为函数 y x2 4 的(连续)延拓),
x2
这一类间断点称为函数的可去间断点；
可去间 断点
（2） 函 数y f (x) x1,
y
y
y f(x)
y f(x)
f (x0)
f (x0)
O
x0
x
O
x0
x
根据定义1及极限与单侧极限的关系，显然有
f ( x ) 在点x0连续
f ( x ) 在点x0 既右连续也左连续．
x li m x0 f(x)f(x0)
f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ).
例1 函数
x3, f(x)
即通过补充定义或者改变定义能使函数在该点变为连续 的都叫可去间断点
（3）函数
x1, ysinx,
x0 x0
在x=0点有定义,注意到当 x0 时，左、右极限都存在,
但 lim y1lim y0 , 因此 l i m y 不存在，
x 0
x 0
x 0
故x=0是其间断点；
函数在这一点有一个“跳 跃”，称这一类间断点为函 数的跳跃间断点；
第一章 函数与极限
第八节 函数的连续性及间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
一、函数的连续性
１．引入 一条大河川流不息奔向大海， 一条大道连绵不断的通向远方， 光阴在连续不断的流失， 从北京开往天津的动车从北京南站驶出连续行驶30分钟到 达天津站， 最近气温在连续不断的下降.......
函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
二、函数的间断点
00x x x x =-称为自变量在处的增量；000()()()()y f x f x f x x f x =-=+-为函数的增量。
x+xy∆定义1：00()()y f x U x x x =∆设在内有定义，是处的任意增量，00()()y f x x f x ∆=+∆-是对应函数的增量，若[]000lim 0li )) m ((0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=或则称函数在点0x 连续。
称为的连续点。
0x 定义2:在的某邻域内有定义, 设函数且则称函数.)(0连续在x x f(3)可见, 函数在点0x 连续必须具备下列条件:(2) 极限存在;(1) 在点即有定义,存在;εδ--语言00()0,0f x x x x εδδ⇔∀>∃>-<在连续当时，0()()f x f x ε-<连续的三要素2.单侧连续定义3.若00()(),f x f x -=则称函数在点左连续。
0x 若00()(),f x f x +=则称函数在点右连续。
0x 定理1函数在点连续的充要条件是0x 函数在点既左连续又右连续。
0x 注意：单侧连续的概念多用来研究分段函数在分段点处的连续性。
3.函数在区间上的连续性若在某区间上每一点都连续, 则称它在该区间上连续, 或称它为该区间上的连续函数..],[b a C 在闭区间上的连续函数的集合记作例如,在上连续.( 有理整函数)又如, 有理分式函数在其定义域内连续.()(,)P x C ∈-∞+∞二、函数的间断点)()(lim 00x f x f x x ≠→不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形之一函数f (x ) 在点()f x 0x 0x (1) 函数在无定义;()f x 0x 在(2) 函数不存在;虽有定义, 但()f x 0x 0lim ()x x f x →在(3) 函数存在,但虽有定义, 且()f x 0x 0lim ()x xf x →这样的点称为间断点.0x间断点分类:第一类间断点:第二类间断点:称0x 为可去间断点.称0x 为跳跃间断点.称0x 若其中有一个为,∞为无穷间断点.若其中有一个为振荡,称0x 为振荡间断点.及均存在,0()f x +0()f x -若00()()f x f x +-=若00()()f x f x +-≠及中至少一个不存在,0()f x +0()f x -(2) 第二类间断点定义凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.即左右极限至少有一个不存在的点.这算定义吗？()f x x在x π∴=是函数的间断点。
函数的连续性与间断点
3 单侧连续及闭区间的连 续性
若 lim f ( x) ＝f ( x 0 ) ，则称f ( x )在 x 0 点左连续； －
x x0
若 lim f ( x) ＝f ( x 0 ) ，则称f ( x )在 x 0 点右连续。 ＋
x x0
若f ( x )在 (a , b )内点点连续，且在 x＝a 点右连续 ; 记作 f ( x ) Ca ， b
由夹挤准则可知： 当 x 0 时, lim y 0 x 0
再由 x 0 点的任意性推知 y sin x 在( , )连续。
内有定义， 定义 2 设 y＝f ( x ) 在 U x 0，δ
若 lim f ( x )＝ f ( x 0 )
x x0
②
则称 f ( x ) 在 x 0 点处连续。
例 讨论 f ( x)＝sin x 在 （－，＋） 的连续性。
解： 任取 x 0 ( ,)
x x y sin( x 0 x ) sin x 0 2 sin cos( x 0 ) 2 2
x x x 2 sin cos( x 0 ) 2 sin x 2 2 2
x 0 为其跳跃间断点 .
1
x
返回
三、内容小结
在点 连续的等价形式
左连续
在点 间断的类型 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 无穷间断点 第二类间断点 振荡间断点
右连续
左右极限都存在
左右极限至少有一个不存在
返回
思考与练习
1. 设 连续函数. 提示:
, x 0 , a ____ 时 x sin 1 为 x f ( x ) f ( x) 2 a x ,可去间断点 .
高数第一章第八节 函数的连续性与间断点
如图:
f ( x0 )
O
y f ( x)
y
y f ( x)
y
f ( x0 )y
x
x 0 x x
O
x
x0
x 0 x x
x0
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 U ( x0 , ) 内有定义, 若
x 0
lim y 0
则称函数f(x)在x0处 连续,并称x0为函数f(x)的 把极限与连续性联系起来了,且提 连续点. 供了连续函数求极限的简便方法—— 只需求出该点函数特定值. f ( x0 ), 设 x x0 x, y f ( x )
左端点 x a 右连续 ( lim f ( x ) f (a ))
右端点 x b 左连续 ( lim f ( x ) f (b ))
x b
x aBiblioteka 连续函数的图形f ( x ) C [a , b ]
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
函数的连续性与间断点
例如, 多项式函数
P ( x ) a0 a1 x an x n
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) 在x 1处 连续. x 1, 1 x ,
1
x
函数的连续性与间断点
例如:
y
y tan x
2
为其无穷间断点 . x 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
2
即函数 y sinx对任意x (,) 都是连续的.
( 类似可证, 函数 y cos x在区间 ,)内
高等数学（8）函数的连续性与间断点
⾼等数学（8）函数的连续性与间断点⼀、函数的连续性增量变量u:初值u1 -> 终值u2增量Δu: Δu = u2-u1正的增量Δu:u1变到u2时是增⼤的负的增量Δu:u1变到u2时是减⼩的函数的增量即:当因变量增量随⾃变量增量趋于0，称为连续。
单侧连续·左连续:如果limx->x0- f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0-) = f(x0)·右连续:如果limx->x0+f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0+) = f(x0)·定理函数f(x)在x0处连续=函数f(x)在x0处既左连续⼜右连续连续函数定义:在区间上每⼀点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续注1 如果区间包括端点,那么函数在右端点处左连续，在左端点处右连续注2 连续函数的图形是⼀条连续⽽不间断的曲线例题例证明函数y = sinx 在区间(-∞,+∞)内连续⼆、函数的间断点第⼀类间断点(左右极限都存在)跳跃间断点·如果f(x)在x0处左右极限都存在·但f(x0-0)≠f(x0+0)则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点讨论f(x) = { -x,x<=0 1+x,x>0} 在x=0处的连续性可去间断点·如果f(x)在x0处极限存在·但limx->x0 f(x) = A ≠f(x0) 或在点x0处⽆定义则称点x0为函数f(x)的可去间断点注意·注1:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点·注2:跳跃间断点与可去间断点统称为第⼀类间断点第⼆类间断点·如果f(x)在x0处左右极限⾄少有⼀个不存在·则称x0为函数f(x)的第⼆类间断点例题1讨论f(x) = { 1/x (x>0 x(x<=0 ) 在x=0处的连续性四、章⼩结·函数在⼀点连续必须满⾜的三个条件；1.在这⼀点有定义2.在这⼀点极限是存在的3.极限存在的情况下还要等于在这⼀点的函数值·区间上的连续函数;函数在区间上的任意⼀点都连续,我们就说函数在区间上是连续的·间断点的分类与判别;间断点{第⼀类间断点:可去型，跳跃型 (左右极限都存在第⼆类间断点:⽆穷型, 振荡型 (⾄少有⼀个极限不存在}。
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若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
函数y
f
x在x0连续
lim
xx0
f
x
f
x0
f x0 f x0 f x0
x
Px Q x ,
sin x
x a
(Q x
x0 x0
0)
x
sin
1
b
x0
x
问：1）a, b为何值时，lim f x 存在？ x0
2）a, b为何值时，第一f章 第x八节在x 0处连续？ 8
二 函数的间断点
设函数f x在点x0的某去心邻域内有定义，如果
x
第一章 第八节
11
解 f (1) 1,
f (1 0) 2, f (1 0) 2,
说f x在闭区间上连续，记为f C a,b.
而在定义域上连续的函数，称为连续函数。
注：连续函数的图形时一条连绵而不间断的曲线。
第一章 第八节
7
例题选讲
1 探讨几个函数的连续性
1）有理整函数，即f x为多项式。
2
2）有理分式函数
3) sin x,cos x
已知函数：f x
F
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
从下面左边的图形可以看出：当x 0时，y 0
或者 lim
xy0
f
x0
x
f
x0
y
0, 由此又下列定义：
y f (x)
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
f ( x)的跳跃间断点.
例4
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
o
x
第一章 第八节
10
2.可去间断点 如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
函数有下列三种情形之一：
1）在x x0没有定义；
2）在x 3）在x
x0有定义，但
x0有定义，xlimx0 f x
lim f x不存在； x存x0在，但 lim f x
xx0
f
x.
则函数f x在点x0为不连续，而点x0称为函数f x的
不连续点，（或间断点）。
注1 由定义知要求函数f x在x0含心邻域内有定义，
即2要设求fxx0
有意义。
x0 x,
y
f (x)
f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
第一章 第八节
4
定义 2
设函数
f
(
x
)
在U
(
x 0
)
内有定义,如果
如果x0为不连续点，即破坏了f x0 f x0 f x0
故间断点可以分为两大类：
第一章 第八节
9
1 f x0 和f x0 都存在的间断点x0称为第一间断点：
1）.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数
第一章 第八节
6
4 函数在区间上的连续
在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的 连续函数或说函数在该区间上连续。
如果f x在区间a,b内每一点处都连续，则说f x 在开区间a,b内连续，记作f C a,b.
如果f C a,b，且有f a f a, f b f b,则
U 0 U是增加
U
U2
U1
U
0
U是减少
我们将这样的定义形式应用到函数的情形， 就有如下的定义：
第一章 第八节
2
函数的增量的定义
含心邻域
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ),
x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
但 lim x x0
f (x)
A
f ( x0 ),
或
f ( x)在点 x0处无定
义则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
例5 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
第一章 第八节
3
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x) 在U ( x0 )内有定义,如
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
数的增量y 也趋向于零,即 lim y 0 或 x 0
lim [
x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )] 0,那末就称函数
f ( x)在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x) 的连续点.
" "定义 :
0, 0, 使当 x x0 时,
恒有 f ( x) f ( x0 ) .
第一章 第八节
5
3.单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处左连续;
第八节 函数的连续性与间断点பைடு நூலகம்
教学内容
1 函数的连续性 2 函数的间断点
教学重点
连续的概念与间断点的判断
本节要求
理解函数连续的概念，会判别函数间断点的类型
第一章 第八节
1
一 函数的连续性 1 变量的增量
设变量U从他的一个初值U1变到U
，终值与初值的
2
差U2 U1叫变量U的增量，记作U，即U U2 U1
函数 f ( x)当 x x0 时的极限存在,且等于它在
点 x 0 处的函数值 f ( x0 ),即
lim
x x0
f (x)
f(x ) 0
那末就称函数 f ( x)在点 x 0 连续.
3） 由定义2知道：1) 函数在点x0的极限存在；
2）函数在该点x0的极限等于其函数值。
3) 连续 有极限，但是其逆命题不真。