高考数学(理)二轮复习专题一集合逻辑用语不等式向量复数算法推理专题能力训练3平面向量与复数

专题能力训练3 平面向量与复数能力突破训练1.(全国Ⅰ,理3)设有下面四个命题p 1:若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ;p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=z 2; p 4:若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为( )A .p 1,p 3B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 42.设a ,b 是两个非零向量,则下列结论一定成立的为( ) A.若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥b B.若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C.若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得b =λaD.若存在实数λ,使得b =λa ,则|a +b |=|a |-|b |3.若z=1+2i,则zz -1=( )A.1B.-1C.iD.-i4.在复平面内,若复数z 的对应点与5i1+2i 的对应点关于虚轴对称,则z=( ) A.2-i B.-2-i C.2+i D.-2+i5.已知向量a =(1,-1),b =(-1,2),则(2a+b )·a =( ) A.-1 B.0 C.1 D.26.下面是关于复数z=2-1+i的四个命题: p 1:|z|=2,p 2:z 2=2i,p 3:z 的共轭复数为1+i,p 4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 2,p 4 D.p 3,p 47.已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC=60°,则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-3a 2B.-3a 2C.34a 2D.32a 28.已知非零向量m ,n 满足4|m |=3|n |,cos <m ,n >=13.若n ⊥(t m +n ),则实数t 的值为( ) A .4B .-4C .94D .-949.(浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O ,记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.I 1<I 2<I 3B.I 1<I 3<I 2C.I 3<I 1<I 2D.I 2<I 1<I 310.(全国Ⅰ,理13)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |= .11.(天津,理13)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 . 12.设a ∈R ,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .13.(浙江,12)已知a ,b ∈R ,(a+b i)2=3+4i(i 是虚数单位),则a 2+b 2= ,ab= .14.设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,|AD|=12|AB|,|BE|=23|BC|.若DE⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 思维提升训练 15.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ=( ) A .-23 B .-13C .13D .2316.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于( ) A.13 B.15C.19D.2117.已知两点M (-3,0),N (3,0),点P 为坐标平面内一动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则动点P (x ,y )到点M (-3,0)的距离d 的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.618.(浙江,15)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,则|a +b |+|a -b |的最小值是 ,最大值是 .19.在任意四边形ABCD 中,E ,F 分别是AD ,BC 的中点,若EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 20.(天津,理9)已知a ∈R ,i 为虚数单位,若a -i2+i 为实数,则a 的值为 .参考答案专题能力训练3 平面向量与复数能力突破训练1.B 解析p 1:设z=a+b i(a ,b ∈R ),则1z =1a+bi =a -bia 2+b2∈R ,所以b=0,所以z ∈R .故p 1正确;p 2:因为i 2=-1∈R ,而z=i ∉R ,故p 2不正确;p 3:若z 1=1,z 2=2,则z 1z 2=2,满足z 1z 2∈R ,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p 3不正确; p 4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p 4正确.2.C 解析设向量a 与b 的夹角为θ.对于A,可得cos θ=-1,因此a ⊥b 不成立;对于B,满足a ⊥b 时|a +b |=|a |-|b |不成立;对于C,可得cos θ=-1,因此成立,而D 显然不一定成立.3.C 解析由题意知z =1-2i,则zz -1=4i(1+2i )(1-2i )-1=4i5-1=i,故选C .4.D 解析5i 1+2i=5i (1-2i )(1+2i )(1-2i )=5(i+2)5=2+i 所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i .5.C 解析∵2a +b =(1,0),又a =(1,-1),∴(2a +b )·a =1+0=1.6.C 解析z=2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-1-i,故|z|=√2,p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i,p 3错误;p 4正确. 7.D解析如图,设BA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b .则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b )·a =a 2+a ·b =a 2+a·a·cos60°=a 2+12a 2=32a 2. 8.B 解析由4|m |=3|n |,可设|m |=3k ,|n |=4k (k>0),又n ⊥(t m +n ),所以n ·(t m +n )=n ·t m +n ·n =t|m |·|n |cos <m ,n >+|n |2=t×3k×4k ×13+(4k )2=4tk 2+16k 2=0.所以t=-4,故选B .9.C 解析由题图可得OA<12AC<OC ,OB<12BD<OD ,∠AOB=∠COD>90°,∠BOC<90°,所以I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0,I 3=OC⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,且|I 1|<|I 3|, 所以I 3<I 1<0<I 2,故选C .10.2√3 解析因为|a +2b |2=(a +2b )2=|a |2+4·|a |·|b |·cos60°+4|b |2=22+4×2×1×12+4×1=12, 所以|a +2b |=√12=2√3.11.311 解析∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×12=3,(23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=-4,即2λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(λ-2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4, ∴2λ3×4-13×9+(λ3-23)×3=-4,即113λ-5=-4,解得λ=311. 12.-1 解析∵(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i ∈R ,∴a+1=0,即a=-1.13.5 2 解析由题意可得a 2-b 2+2ab i =3+4i,则{a 2-b 2=3,ab =2,解得{a 2=4,b 2=1,则a 2+b 2=5,ab=2. 14.12 解析由题意DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故λ1=-16,λ2=23,即λ1+λ2=12.思维提升训练15.D 解析如图,D 是AB 边上一点,过点D 作DE ∥BC ,交AC 于点E ,过点D 作DF ∥AC ,交BC 于点F ,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 由△ADE ∽△ABC ,得DEBC=AE AC=23,所以ED⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故λ=23. 16.A 解析以点A 为原点,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,如图,则A (0,0),B (1,0),C (0,t ), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(0,1), ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1,0)+4(0,1)=(1,4), ∴点P 的坐标为(1,4),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t -1,-4),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-4),∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =1-1t -4t+16=-(1t +4t)+17≤-4+17=13.当且仅当1=4t ,即t=1时取“=”,∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13. 17.B 解析因为M (-3,0),N (3,0),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0),|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+3,y ),NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-3,y ).由|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得6√(x +3)2+y 2+6(x-3)=0,化简得y 2=-12x ,所以点M 是抛物线y 2=-12x 的焦点,所以点P 到M 的距离的最小值就是原点到M (-3,0)的距离,所以d min =3. 18.4 2√5 解析设向量a ,b 的夹角为θ,由余弦定理得|a -b |=√12+22-2×1×2×cosθ=√5-4cosθ, |a +b |=√12+22-2×1×2×cos (π-θ)=√5+4cosθ, 则|a +b |+|a -b |=√5+4cosθ+√5-4cosθ. 令y=√5+4cosθ+√5-4cosθ,则y 2=10+2√25-16cos 2θ∈[16,20],据此可得(|a +b |+|a -b |)max =√20=2√5,(|a +b |+|a -b |)min =√16=4. 即|a +b |+|a -b |的最小值是4,最大值是2√5. 19.1 解析如图,因为E ,F 分别是AD 与BC 的中点,所以EA⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA⃗⃗⃗⃗⃗ . ①同理EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ .② 由①+②得,2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ).所以λ=12,μ=12. 所以λ+μ=1.20.-2 解析∵a -i2+i =(a -i )(2-i )(2+i )(2-i )=2a -15−a+25i 为实数,∴-a+25=0,即a=-2.。