离散数学 关系4---文本资料
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离散数学第四章-一阶逻辑基本概念
谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质 n（n1）元谓词——含n个命题变项的谓词，
记作F(x1,x2… … xn) 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 例如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，…
0元谓词——不含个体变项的谓词.实际上就是一般的命题
第四章 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 第五章 一阶逻辑等值演算与推理 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式
自然推理系统NL及其推理规则
2021/4/6
3
第四章 一阶逻辑基本概念
主要内容
一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化
x : 个体域中有一个个体x xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F
2021/4/6
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量词
全称量词: 表示所有的.
存在量词: 表示存在, 有一个.
xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F xyG(x,y) 表示个体域中所有的个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示个体域中存在个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
2021/4/6
一阶逻辑公式及其解释
一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式
记作F(x1,x2… … xn) 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 例如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，…
0元谓词——不含个体变项的谓词.实际上就是一般的命题
第四章 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式及其解释 第五章 一阶逻辑等值演算与推理 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式
自然推理系统NL及其推理规则
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第四章 一阶逻辑基本概念
主要内容
一阶逻辑命题符号化
个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化
x : 个体域中有一个个体x xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F
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量词
全称量词: 表示所有的.
存在量词: 表示存在, 有一个.
xF(x)表示个体域中所有的x具有性质F xF(x)表示个体域中有一个个体x具有性质F xyG(x,y) 表示个体域中所有的个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示个体域中存在个体x和y有关系G xyG(x,y) 表示对个体域中每一个x都存在一个y使得
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
(2) 令F(x)：x是无理数，G(y)：y是有理数，L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
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一阶逻辑公式及其解释
一阶语言 合式公式 合式公式的解释 永真式、矛盾式、可满足式
《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
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5
R2：
1
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4
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R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散数学 第4章 关系
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实例
例3 (1) R={<x,y> | x,yN, x+y<3} ={<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>} (2) C={<x,y> | x,yR, x2+y2=1}，其中R代表实数集合， C是直角坐标平面上点的横、纵坐标之间的关系， C中的所有的点恰好构成坐标平面上的单位圆. (3) R={<x,y,z> | x,y,zR, x+2y+z=3}， R代表了空间直角坐标系中的一个平面.
A×(B×C)=1,2×a,x,a, y,b,x,b, y =1,a,x,1,a, y,1,b,x,1,b, y 2,a,x,2,a, y,2,b,x,2,b, y 显然A×B×C≠A×(B×C)。
8
⑴ A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C) 证明：仅证明⑴ 任取a,b a,bA×(B∪C) aA∧bB∪C aA∧( bB∨bC) (aA∧bB)∨(aA∧bC) a,bA×B∨a,bA×C a,b(A×B)∪(A×C) 故 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) 可类似地证明⑵、⑶、⑷。
12
5元关系的实例—数据库实体模型
员工号 301 302 303 304 … 姓名 张 林 王晓云 李鹏宇 赵 辉 … 年龄 50 43 47 21 … 性别 男 女 男 男 … 工资 1600 1250 1500 900 …
5元组： <301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>
关系的表示
表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图
定义4.8 关系矩阵 若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}， R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 定义4.9 关系图 若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系， R的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集.如果 <xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边. 注意：设A, B为有穷集 关系矩阵适合于表示从A到B 的关系或者A上的关系 关系图适合于表示A上的关系
实例
例3 (1) R={<x,y> | x,yN, x+y<3} ={<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>} (2) C={<x,y> | x,yR, x2+y2=1}，其中R代表实数集合， C是直角坐标平面上点的横、纵坐标之间的关系， C中的所有的点恰好构成坐标平面上的单位圆. (3) R={<x,y,z> | x,y,zR, x+2y+z=3}， R代表了空间直角坐标系中的一个平面.
A×(B×C)=1,2×a,x,a, y,b,x,b, y =1,a,x,1,a, y,1,b,x,1,b, y 2,a,x,2,a, y,2,b,x,2,b, y 显然A×B×C≠A×(B×C)。
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⑴ A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C) 证明：仅证明⑴ 任取a,b a,bA×(B∪C) aA∧bB∪C aA∧( bB∨bC) (aA∧bB)∨(aA∧bC) a,bA×B∨a,bA×C a,b(A×B)∪(A×C) 故 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) 可类似地证明⑵、⑶、⑷。
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5元关系的实例—数据库实体模型
员工号 301 302 303 304 … 姓名 张 林 王晓云 李鹏宇 赵 辉 … 年龄 50 43 47 21 … 性别 男 女 男 男 … 工资 1600 1250 1500 900 …
5元组： <301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>
关系的表示
表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图
定义4.8 关系矩阵 若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}， R是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 定义4.9 关系图 若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系， R的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集.如果 <xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边. 注意：设A, B为有穷集 关系矩阵适合于表示从A到B 的关系或者A上的关系 关系图适合于表示A上的关系
离散数学第四章(关系)
例： （1）自然数集N上的小于或等于关系≤ 是自反关系；一族集合B 中的包含关系 是B 中的自反关系。 （2）自然数集N上的小于关系＜是反自 反关系；一族集合B 中的真包含关系 是B 中的反自反关系。
问：集合A上的恒等关系IA 是A上的自反关系吗？
集合A上的恒等关系IA是集合A上一 个自反关系。 集合A上的恒等关系IA是集合A上所 有自反关系R的子关系：IA R
主对角线元素 主对角线元素 主对角线元素 例：设A={a,b,c} ， 全为 1 R1={(a,a) R是 ， 全为 0， R是 既有 ，也有1 (b,b) (c,c) ，(a,b) ，0 (c,a)} 自反关系。 反自反关系。 R既非自反 R2={(a,b)， (b,c)，(c,a)} R3={(a,a),(b,c)} 的，也非反自 反的关系。
1 2 1 2 3 4 5 6 7 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 4 √ √ √ √ 5 6 7 √
√
√
√
（3）矩阵表示法
例：设A={a1,a2,a3,a4,a5},B={b1,b2,b3}, R是A到B的二元关系。且 R={<a1,b2>,<a2,b3>,<a3,b1>,<a4,b3>,<a5,b2>} 则R的矩阵表示如下： b1 b2 b3 0 1 0 1 0
如果<a,b>R, 就说 a 与 b 有关系R, 并记为 aRb ; 如果<a,b>R, 就说 a 与 b 没有关系R, 并记为aR′b
例 设A={a,b,c,d}，B={x,y,z},则 A×B={<a,x>,<a,y>,<a,z>,<b,x>,<b,y>,<b,z>, <c,x>,<c,y>,<c,z>,<d,x>,<d,y>,<d,z>} 令R={<a,y>,<b,x>,<b,y>,<d,x>}，由于R是A×B 的子集，所以R是从A到B的一个二元关系。 A={a,b,c,d}是R的前域， B={x,y,z}是R的陪域。 R的定义域为 dom(R)＝{a,b,d}, R的值域为 ran(R)＝{x,y}。
离散数学-第四章 代数系统
(r1 r2 r1r2 ) r3 (r1 r2 r1r2 )r3
r1 r2 r3 r1r2 r1r3 r2 r3 r1r2 r3
r1 (r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2r3 )
(r1 r2 r3 r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2 r3 ) r1 r2 r3 r2 r3 r1r2 r1r3 r1r2 r3
1 3 5 7
7 5 3 1
1 3 5 7
1 3 5 7 3 3 5 7 5 3 5 7 1 7 3 7
6
三、运算的封闭性
定义在集合A上的运算在A上一定是封闭的. 定义在集合A上的运算在A的子集上是否封闭呢？
例５ 定义函数 : N N ，使 (n1 , n2 ) n1 n2
2
令S
(b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b)}
2
f : An A ，于是对于 A n 设有集合 A和函数 中的每一个有序 n元组 (a , a ,, a ) ,在 A 中必有 1 2 n 唯一个元素 a与之对应，即 f (a1 , a 2 , , a n ) a
er er el ， 令 e el er ，则 e 是 的单位元。 设 e 也是 的单位元， 则 e e e e 因此 e 是 的唯一的单位元。
因此， el
18
2． 零元
是集合A上的二元运算，若存在一元 素 z l A ，使得对于任意的 a A ,有 z l a z l ， 则称 z l是A中运算 的左零元；若存在一元素 ， 使得对于任意的 , zr a A a,则称 z是A中 zr A r 运算 z r 的右零元，若存在一元素 ，使得对于任 意 z A, a,则称Z是A中运算 z 的零 A z a a z 元。
离散数学第四章(第1讲)
xy??a??bc?xy??xyx??a??y??bc?xy??xyx??a??y??b??y??c?xy??xyx??a??y??b??x??a??y??c?xy??a??ba??c即a??bca??ba??c例
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
离散数学第4章 关系
例4-1.2 集合A={a，b}，B={c，d}，试写出从 A到B的所有不同关系。 解：A×B={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b， d>}。于是A×B上的所有16个不同的关系： 关系中包含0个元素：； 关系中包含1个元素：{<a，c>}，{<a，d>}， {<b，c>}，{<b，d>}； 关系中包含2个元素：{<a，c>，<a，d>}， {<a，c>，<b，c>}，{<a，c>，<b，d>}， {<a，d>，<b，c>}，{<a，d>，<b，d>}， {<b，c>，<b，d>}；
（5）R是传递的
(x)(y)(z)(x，y，zAxRyyRz→xRz) R的关系矩阵(rij)n×n中对任意的i,j,k有, 若 rik＝1且rkj＝1则rij＝1 （当X是有限集 合）。 R的关系图中任意一条长度为2的路径都有从 其起始顶点到终止顶点的边（当X是有限集合）。
(3)关系矩阵:X＝﹛x1,x2,…,xn﹜到
Y=﹛y1,y2,…,ym﹜的关系R的关系矩阵为 MR＝(aij)n×m 1, 若xiRyj 其中 aij ＝ 0, 若xiRyj
(4)关系图:
X＝﹛x1,x2,…,xn﹜到Y ＝ ﹛y1,y2,…,ym﹜的关 系R的关系图为：分别在左右两列用小圆圈列出的X中的n个元 素和Y中的m个元素，若xiRyj，则从xi到yj画一条有向边。如右 图所示 X＝﹛x1,x2,…,xn﹜上的关系图为：在平面上用小 圆圈列出的X中的n个元素（位置不限），若xiRXj,则从xi到xj 画一条有向边。如左图所示 X Yy 1 x 1 x3 x2 x2 y2 x1 xn xn
离散数学 第四章 关系
若ai Rbj 若ai Rbj
矩阵MR 称为R的关系矩阵。
17
第四章 关系
4.1 二元关系
例：设A={1，2，3，4}，A上的关系R={<x,y>|y是x 的整数倍}，故R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2, 4>,<3,3>,<4,4>}.
1 2 3 4
1 1 2 0 MR 3 0 4 0
2
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念
4.1.2 关系的表示
3
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念 1)定义： A×B的子集叫做A到B上的一个二元关系。 A1×A2×A3的子集叫做A1×A2×A3上的一个三元 关系。 A1×A2×…xAn的子集叫做A1×A2×… × An上的 一个n元关系。 A×A×A ×… × A的子集叫做A上的n元关系。
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
18
第四章 关系
4.1 二元关系
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
若A= {x1, x2, …, xm}，R是A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>，其中A为结点集，R为边集。如果<xi,xj> R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边；如果<xi,xi> R，在图中就有一条从 xi 到 xi 的有向边。
12
第四章 关系
4.1 二元关系 4)关系的个数： 2，A×A的子集有 2 n 个。 假设|A|=n，|A×A|=n 2n 所以 A上有 个不同的二元关系。
离散数学讲义(第4章)
16
4-4 基数的概念（续）
Peano公理：
（1）0N，（其中0=） （2）如果0N，则n+N（其中n+=n∪{n}）
（3）如果一个子集S N具有性质：
（a） 0S （b）如果nS，有n+S 则S=N
注：
1）性质（3）称极小性质，指明了自然数系统的最小性。 即自然数系统是满足公理（1）（2）的最小集合。 2）自然数也可不从0开始，只需定义=1即可。
证明：令f：PS，f(x)=tg-1x/p+1/2 (- ∞ <x< ∞)
显然f的值域是S，且f是双射函数。
18
4-4 基数的概念（续）
定理：在集合族上等势关系是一个等价关系。 证明：设集合族为S a）对任意的A S，必有A A b）若A,B S，如果A B，必有B A c）若A,B,C S，如果A B，B C，则有A C 定义：如果有一个从集合{0,1,…,n-1}到A的双射函数，那 么称集合 A 是有限的；如果集合 A 不是 有限的 ，则它是 无 限的。 定理：自然数集合N是无限的。 证明：设 n 是 N 的任意元素，f 是任意的从 {0,1,…,n-1} 到 N 的函数。设k=1+max{f(0),f(1),…,f(n-1)} ，那么k N， 但对每一个x {0,1,…,n-1}，有f(x) k。因此f不能是满 射函数，即f也不是双射函数。因为n和f都是任意的，故N 是无限的。
注：一般有h (g f) = (h g) f，即函数的复合是可结 合的。因此可以将括号去掉。
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4-2 逆函数和复合函数（续）
定义：函数f：X Y称作常函数，如果存在某个y0 Y， 对于每个x X，都有f(x)=y0，即f(X)={y0}。 定义：如果Ix={〈x,x〉|xX}，则称函数Ix：X X为恒 等函数。
4-4 基数的概念（续）
Peano公理：
（1）0N，（其中0=） （2）如果0N，则n+N（其中n+=n∪{n}）
（3）如果一个子集S N具有性质：
（a） 0S （b）如果nS，有n+S 则S=N
注：
1）性质（3）称极小性质，指明了自然数系统的最小性。 即自然数系统是满足公理（1）（2）的最小集合。 2）自然数也可不从0开始，只需定义=1即可。
证明：令f：PS，f(x)=tg-1x/p+1/2 (- ∞ <x< ∞)
显然f的值域是S，且f是双射函数。
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4-4 基数的概念（续）
定理：在集合族上等势关系是一个等价关系。 证明：设集合族为S a）对任意的A S，必有A A b）若A,B S，如果A B，必有B A c）若A,B,C S，如果A B，B C，则有A C 定义：如果有一个从集合{0,1,…,n-1}到A的双射函数，那 么称集合 A 是有限的；如果集合 A 不是 有限的 ，则它是 无 限的。 定理：自然数集合N是无限的。 证明：设 n 是 N 的任意元素，f 是任意的从 {0,1,…,n-1} 到 N 的函数。设k=1+max{f(0),f(1),…,f(n-1)} ，那么k N， 但对每一个x {0,1,…,n-1}，有f(x) k。因此f不能是满 射函数，即f也不是双射函数。因为n和f都是任意的，故N 是无限的。
注：一般有h (g f) = (h g) f，即函数的复合是可结 合的。因此可以将括号去掉。
12
4-2 逆函数和复合函数（续）
定义：函数f：X Y称作常函数，如果存在某个y0 Y， 对于每个x X，都有f(x)=y0，即f(X)={y0}。 定义：如果Ix={〈x,x〉|xX}，则称函数Ix：X X为恒 等函数。
离散数学-第四章 关系-内容提要
{}
传递。
(5)如 果 VJ
:IT{∶ ∶ ∶ ∶ 蚕 ⒈11∶⒈ ∶ Ll ;, 翕 罐 ∶ ∶ ∶ 置 R在 A上
:I∶
:: 1∷
Vj V石
(Π
、 、 y,z)∈ R→ 〈 R∧ 〈 J,z〉 ∈ R),则 称 Π ,y,z∈ A∧ 〈 ,j〉 ∈
1亠
判别法
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利用关系表达式判别 (1)R在 A上 白反 ㈡rA∈ R。
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系:简 称全胛 蜮 线序 曳
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h,如 果 J≤ y∨ y※ J,贝 刂 ∈ 称
J与 j可 比。
称 y覆 盖 J。
偏序集中的特殊元素
得 ⒎ 则
:
y,z〉 ∈ S))。 ∈ R∧ 〈
有关基本运算的定理 ・ 定理 4.1 设 F是 任意的关系 ,则
(1)(Fˉ l)ˉ ^l=F。
・
(2)domFˉ ˉ ∴ =ranF,ranF~l=domF。
定理 4.2 设 F,G,Ⅳ 是任意的关系 ,则 (1)(F° G)° H=Fo(G° H), (2)(FoG)ˉ l=G^loF_ˉ
:
(2)R在 (3)R在 (4)R在 (5)R在 (1)R在 (2)R在 (3)R在 (4)R在
A上 反 自反 ⑶R∩ rA=¤ 。 A上 对称 山R=Rl。 ; A上 反对称 ㈡R∩ R~l∈ A上 传递 ㈡R。 R∈ R。
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划分的加细
Stirling子集数
3/18/2019
ห้องสมุดไป่ตู้
《集合论与图论》第8讲
2
等价(equivalence)关系定义
设 RAA 且 A, 若R是自 反的, 对称的, 传递的,则称R为等价关系 例9: 判断是否等价关系(A是某班学生): R1={<x,y>|x,yAx与y同年生} R2={<x,y>|x,yAx与y同姓} R3={<x,y>|x,yAx的年龄不比y小} R4={<x,y>|x,yAx与y选修同门课程} R5={<x,y>|x,yAx的体重比y重}
(3)
z
x
3/18/2019
y
《集合论与图论》第8讲 10
定理27(证明(4))
(4) U{ [x]R | xA } = A. 证明: (4) A=U{ {x} | xA } U{ [x]R | xA } U{ A | xA }=A. U{ [x]R | xA } = A. #
4 1
3/18/2019
8 2 5
《集合论与图论》第8讲
3
13
商集(quotient set)
设R是A上等价关系, A/R = { [x]R | xA } 称为A关于R的商集, 简称A的商集. 显然 U A/R = A. 例11(续): A/R3 ={ {1,4}, {2,5,8}, {3} }.
x
3/18/2019
y
《集合论与图论》第8讲 11
同余(congruence)关系
设n{2,3,4,…}, x,yZ,则 x与y模n同余(be congruent modulo n) xy(mod n) n|(x-y) x-y=kn (kZ) 同余关系是等价关系 0 1 11 [0] ={ kn|kZ}, 10 2 [1] ={ 1+kn|kZ}, 9 3 [2] ={ 2+kn|kZ},…, 8 4 7 6 5 [n-1]={(n-1)+kn|kZ}.
《集合论与图论》第8讲
例10
设 RAA 且 A, 对R依次求三 种闭包共有6种不同顺序, 其中哪些顺序 一定导致等价关系? rst( R ), rts( R ), str( R ), srt( R ), trs( R ), tsr( R )=t(s(r( R ))) 解: st( R )ts( R ), sr( R )=rs( R ),… tsr( R )=trs( R )=rts( R ) str( R )=srt( R )=rst( R )
等价关系:
3/18/2019 《集合论与图论》第8讲 3
例9(续)
定义 R1 x与y同年生 R2 x与y同姓 自反 对称 传递 等价关系
R3 x的年龄不比 y小 R4 x与y选修同 门课程
R5 x的体重比y 重
3/18/2019
4
x
y
3/18/2019
《集合论与图论》第8讲
9
定理27(证明(3))
xRy [x]R[y]R= ; 证明: (3) (反证) 假设z, z[x]R[y]R, 则 z[x]R[y]R zRxzRy xRzzRy xRy, 这与xRy矛盾! [x]R[y]R=.
同余关系:
3/18/2019 《集合论与图论》第8讲 12
例11
例11:
设 A={1,2,3,4,5,8}, 求 R3 = { <x,y> | x,yA xy(mod 3) } 的等价类, 画出R3的关系图. 解: [1]=[4]={1,4}, [2]=[5]=[8]={2,5,8}, [3]={3}. #
x
3/18/2019 《集合论与图论》第8讲 8
定理27(证明(2))
(2) xRy [x]R=[y]R ; 证明: (2) 只需证明[x]R[y]R和[x]R[y]R. () z, z[x]RxRy zRxxRy zRy z[y]R . [x]R[y]R. () 同理可证. z
第8讲 等价关系与序关系
内容提要 等价关系,等价类,商集 划分, 第二类Stirling数 偏序,线序,拟序,良序 哈斯图 特殊元素: 最?元,极?元,?界,?确界 (反)链
3/18/2019 《集合论与图论》第8讲 1
等价(equivalence)关系
定义 同余关系 等价类 商集 划分
商集:
3/18/2019
《集合论与图论》第8讲
14
例12(1)
设A={a1,a2,…,an}, IA, EA, Rij=IA{<ai,aj>,<aj,ai>} 都是A上等价关系, 求对应的商集, 其中 ai,ajA, ij. 是A上等价关系吗? 解: A/IA={ {a1}, {a2},…, {an } } A/EA={ {a1,a2,…,an } } A/Rij= A/IA{{ai,aj}} - {{ai},{aj}}. 不是A上等价关系(非自反). #
等价类:
3/18/2019 《集合论与图论》第8讲 7
定理27
定理27:设R是A上等价关系,x,yA,
(1) [x]R (2) xRy [x]R=[y]R ; (3) xRy [x]R[y]R= ; (4) U{ [x]R | xA } =A. 证明: (1) R自反xRxx[x]R[x]R.
例10:
3/18/2019 《集合论与图论》第8讲 5
例10(续)
tsr(R)=trs(R) =rts( R )
自反 对称 传递 等价关系 (等价闭包)
str(R)=srt(R) =rst( R )
3/18/2019
《集合论与图论》第8讲
6
等价类(equivalence class)
设R是A上等价关系,xA,令 [x]R={ y | yA xRy }, 称[x]R为x关于R的等价类, 简称x的等价类, 简记为[x]. 等价类性质: [x]R ; xRy [x]R=[y]R ; xRy [x]R[y]R= ; U{ [x]R | xA } =A.