等差数列求和性质..

按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前
n项和Sn取到最值时序号n的规律.
序 号 等差数列 基本量 前 n 项和 Sn Sn 的最值 (Sn)min＝1， 此时 n＝1 __
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1 1,3,5,7,9，…，
1， a1＝__
d＝__ 2
Sn＝__ n
2
2
－5，－3, －1,1,3，…，
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2.2.2（二）
[问题情境] 1．如果已知数列 {an}的前 n项和 Sn的公式，那么这个数列确定了吗？ 如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？ 2．如果一个数列的前 n项和的公式是 Sn＝ an2＋ bn＋ c(a， b， c为常 数 )，那么这个数列一定是等差数列吗？ 3．如果 {an}是一个等差数列，那么{|an|}还是等差数列吗？如果不再 是等差数列，如何求 {|an|}的前 n项和？ 这一节课我们就来解答上面的问题．
2.2.2（二）
2.2.2 等差数列的前n项和(二)
学习要求 1．熟练掌握等差数列前 n项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前 n项和的最值问题． 3．理解 an与 Sn的关系，能根据Sn求 an.
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2.2.2（二）
学法指导 1．任何一个数列 {an}与它的前n项和Sn之间都有一个等量关系式， 此公式为： an＝
d 2 d x ＋(a1－ )x 上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N*)． 2 2 因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当 d＞0 时，Sn 有最 小 值；当 d＜0 时，Sn 有最 大 值；且 n 取最接近对称轴的 正整数时，Sn 取到最值．
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2.2.2（二）
探究
S1 Sn－ Sn－1
n＝ 1， n≥ 2
，题中已知一个数列的
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前 n项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注 意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分 类讨论． 2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是 利用函数解决数列问题的一个重要应用． 3．等差数列的前 n项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之 间的关系，从更高境界处理等差数列的前n项和问题 .
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探究点一 数列{an}的前n项和Sn与an的关系 问题
2.2.2（二）
我们已经知道，如果通项公式an已知，就能求出Sn；反
过来，如果已知数列{an}的前n项和Sn，能否求出它的通项 公式an?
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答 对所有数列都有：Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋ a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝ 1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为 an＝
2或3 此时 n＝ ______
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4
－ 1,－ 2,－ 3， a1＝ ___ -1 ， － 4,－ 5，…， d＝ ____ -1
1 1 -1 － n2－ n (Sn)max＝ _____, 2 2 Sn＝ _________
此时 n＝ ____ 1
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探究点二 问题 ＝
2.2.2（二）
等差数列前 n 项和的最值 nn－1 d 2 d 由于 Sn＝na1＋ d＝ n ＋(a1－ )n，当 d＝0 时，Sn 2 2 2
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d 2 ，一次项 na1；当 d≠0 时，此解析式可以看作二次项系数为___
d a1－ 2 ，常数项为 0 的二次函数，其图象为抛物线 y＝ 系数为______
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2（二）
1．前 n项和Sn与 an之间的关系 对任意数列{an}，Sn是前 n项和， Sn与 an的关系可以表示为 n＝ 1， S1 an＝ S －Sn－1 n≥ 2.n a ＋a n n n－1 1 n na1＋ d 2 2．等差数列前n项和公式 Sn＝__________ ＝ ____________. 2 3．若等差数列{an}的前n项和公式为 Sn＝ An2＋Bn＋C，则 A
2.2.2（二）
通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号 分界点处取到，据此完善下列结论： (1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为____ 正 项(或0)，所以将
本 大 值． 课 这些项相加即得 {Sn}的最 ____ 时 负 项(或0)，所以将 栏 (2)若 a1＜ 0， d＞ 0，则数列的前面若干项为 ____ 目 小 值； 开 这些项相加即得 {Sn}的最 ____ 关
-5 ， a1＝__ 2 d＝__
n －6n Sn＝ ______
2
-9 (Sn)min＝____,
此时 n＝____ 3
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2.2.2（二）
3
4,2,0，－ 2， － 4，…，
a1＝ ___ 4 ， d＝ ___ -2
n ＋5n Sn＝－ _____0，d＜ 特别地，若a1＞ 0， d＞ 0，则S1是{Sn}的最____ 大 值． 0，则S1是{Sn}的最____
S ，n＝1， 1 Sn－Sn－1，n≥2.
注意这一关系适用于所有数列，并且如
果能统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N＋)来表示,应当统一表示．
2.2.2（二）
若数列 {a n }有2n项，则S偶 - S奇 ？S偶：S奇 ? 若有2n 1项结果又是如何？
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d d a1－ 2 ， B＝ ________ 0 2 ， C＝ ____. ＝ ____
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2.2.2（二）
4．已知数列{an}的通项公式是 an＝2n－ 48，则Sn取得最小值 时， n为 23或24 ．
解析 ∵a24＝0，∴a1，a2，…，a23<0， 故S23＝S24最小.