等差数列求和教案
等差数列求和 教案

等差数列求和教案教案标题:等差数列求和教学目标:1. 理解等差数列的概念和性质;2. 能够根据等差数列的首项、公差和项数求和;3. 能够应用等差数列求和的方法解决实际问题。
教学准备:1. 教师准备:黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学PPT等;2. 学生准备:笔、纸。
教学过程:步骤一:导入新知1. 引入:通过提问的方式,复习学生对等差数列的基本概念和性质,例如:什么是等差数列?等差数列的公式是什么?2. 出示一道等差数列求和的例题,并引导学生思考如何解决。
步骤二:探究等差数列求和的方法1. 讲解等差数列求和的公式:Sn = (a1 + an) * n / 2,其中Sn为等差数列的前n 项和,a1为首项,an为末项,n为项数。
2. 通过示例演示公式的应用,解决具体的等差数列求和问题。
3. 强调公式的推导过程,让学生理解公式的本质。
步骤三:练习与巩固1. 提供一系列等差数列求和的练习题,让学生独立完成并相互交流讨论。
2. 针对部分难题,进行讲解和解析,帮助学生理解和掌握等差数列求和的方法。
步骤四:拓展与应用1. 提供一些实际问题,引导学生运用等差数列求和的方法解决,如:小明每天存钱,第一天存1元,以后每天比前一天多存2元,到第n天共存了多少钱?2. 鼓励学生思考如何将实际问题转化为等差数列求和的问题,并给予指导和解答。
步骤五:归纳总结1. 让学生总结等差数列求和的方法和公式,强调重点和难点;2. 鼓励学生提出疑问和问题,进行解答和讨论。
步骤六:作业布置1. 布置一些等差数列求和的作业题,要求学生独立完成并及时交上;2. 提醒学生复习和巩固所学知识。
教学反思:1. 教学中要注重启发式教学,引导学生主动思考和解决问题;2. 在讲解公式推导时,要通过具体例子和图像等方式加深学生对公式的理解;3. 在练习环节,要针对学生的不同水平设置不同难度的题目,以促进学生的巩固与提高。
4. 教学过程中要注重学生的参与和互动,激发学生的学习兴趣。
等差数列求和教案

等差数列求和教案教案标题:等差数列求和教案教案目标:1. 学生能够理解等差数列的概念和性质。
2. 学生能够运用等差数列的求和公式解决相关问题。
3. 学生能够应用等差数列求和的方法解决实际问题。
教学重点:1. 等差数列的概念和性质。
2. 等差数列求和公式的推导和应用。
教学难点:1. 理解等差数列求和公式的推导过程。
2. 运用等差数列求和公式解决实际问题。
教学准备:1. 教师准备:黑板、白板、彩色粉笔、教学投影仪等。
2. 学生准备:教科书、笔记本、铅笔、计算器等。
教学过程:Step 1: 引入(5分钟)教师通过提问或展示一些等差数列的例子,引导学生回顾等差数列的概念和性质。
Step 2: 等差数列求和公式的推导(15分钟)教师通过推导的方式,向学生介绍等差数列求和公式的推导过程。
教师可以利用黑板或白板进行演示,并鼓励学生积极参与推导过程。
Step 3: 理解等差数列求和公式(10分钟)教师通过解释等差数列求和公式的含义和使用方法,帮助学生理解公式的意义。
教师可以给出一些简单的例子,引导学生运用公式进行求和计算。
Step 4: 运用等差数列求和公式解决问题(15分钟)教师提供一些实际问题,要求学生运用等差数列求和公式进行计算和解答。
教师可以将问题分为不同难度级别,以满足不同学生的需求。
Step 5: 总结归纳(5分钟)教师与学生一起总结等差数列求和的方法和应用,强调公式的重要性和实用性。
Step 6: 作业布置(5分钟)教师布置相关的练习作业,要求学生运用等差数列求和公式解决问题,并在下节课进行检查和讨论。
教学扩展:1. 引导学生进一步探索等差数列的性质和应用,如等差数列的通项公式推导等。
2. 提供更复杂的等差数列求和问题,培养学生的分析和解决问题的能力。
教学评估:1. 课堂参与:观察学生在课堂上的回答问题和积极参与讨论的程度。
2. 作业完成情况:检查学生在作业中运用等差数列求和公式解决问题的准确性和独立性。
等差数列求和公式教案

等差数列求和公式教案一、教学目标1.理解等差数列的概念和性质;2.掌握等差数列的通项公式和求和公式;3.能够应用等差数列的公式解决实际问题。
二、教学重点1.等差数列的通项公式和求和公式;2.应用等差数列的公式解决实际问题。
三、教学难点1.等差数列求和公式的推导;2.应用等差数列的公式解决复杂问题。
四、教学内容1. 等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中,从第二项开始,每一项与它的前一项之差相等的数列。
例如:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 就是一个等差数列,公差为2。
等差数列的性质有:1.公差相等;2.任意两项的和等于它们的中间项之和;3.等差数列的前n项和可以表示为n的某个函数。
2. 等差数列的通项公式和求和公式等差数列的通项公式是指根据数列中的位置n,求出该位置上的数的公式。
设等差数列的首项为a1,公差为d,则等差数列的通项公式为:an = a1 + (n - 1) * d等差数列的前n项和公式是指求出等差数列前n项的和的公式。
设等差数列的首项为a1,公差为d,则等差数列的前n项和公式为:Sn = n * (a1 + an) / 2其中,an为等差数列的第n项。
3. 应用等差数列的公式解决实际问题等差数列的公式可以应用于很多实际问题中,例如:1.求和问题:某人每天存钱,第一天存1元,第二天存2元,第三天存3元,以此类推,到第30天时,他一共存了多少钱?解法:这是一个等差数列,首项为1,公差为1,共有30项。
根据等差数列的前n项和公式,可得:Sn = 30 * (1 + 30) / 2 = 465所以,他一共存了465元。
2.求项数问题:一个等差数列的首项为3,公差为4,如果它的第n项为35,求n是多少?解法:根据等差数列的通项公式,可得:an = a1 + (n - 1) * d35 = 3 + (n - 1) * 4n = 9所以,该等差数列的第9项为35。
五、教学方法1.讲解法:通过讲解等差数列的概念、性质、通项公式和求和公式,让学生掌握等差数列的基本知识;2.案例法:通过实际问题的案例,让学生应用等差数列的公式解决问题,提高学生的实际应用能力;3.练习法:通过大量的练习题,让学生巩固等差数列的公式和应用能力。
等差数列求和公式教案

提示学生可以类比梯形面积公式记忆此公式。
启发学生,公式中出现了 ,如果利用通项公式,是否能得出变形公式呢?
即:
例题讲解
例1、一个屋顶的某一斜面成等腰梯形,最上面一层铺了瓦片21块,往下每一层多铺一块,斜面上铺了瓦片19层,共铺了多少块?
解:设屋顶的瓦片数从上到下分别是 , , ,……, ,则它们构成等差数列,其中n=19,
教学难点
等差数列的前n项和的公式的推导
教学方法
讲授法、启发法、分组教学法
教学手段
多媒体辅助教学
教学过程
教学内容与教师活动
学生活动
教学意图
时间分配
复习提问:
梯子的最高一级宽30cm,从上往下每一级比上一级宽10cm,问:第5级(自上向下数)有多宽?
引例:
在高斯10岁的时候,一天上数学课,老师问了这样一个问题:1+2+3+…+100=?其
提示学生:除了直接相加,还能不能找到什么巧妙的算法?
多媒体演示后,计算:
S= =49
将上两题的算式用粉笔圈出来,让学生寻找求和的过程与首项、第n项及项数的关系,并由此猜想等差数列的前n项和的公式。
与学生一起验证猜想是否正确
设等差数列 , , ,…, ,…
整理思路,通过这个引例了解倒序相加的方法。
观看并思考大屏幕上演示的堆放的钢管的总数,通过多媒体演示观察出倒序相加的方法。
思考如何解此题,借此回忆等差数列的通项公式
开动脑筋,思考怎样能快速的计算出结果来。
提出问题,为后面等差数列的变形公式的推导打下基础。
此题可以引发学生积极思考,增强对本节课知识的兴趣。
1’
5’
教
《等差数列求和公式》教案

《等差数列求和公式》教案教案:等差数列求和公式一、教学目标:1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式和部分和公式;2.能够根据所给的等差数列求出其前n项的和。
二、教学重点:1.等差数列的通项公式和部分和公式的掌握;2.能够根据实际问题应用等差数列的求和公式。
三、教学难点:1.等差数列部分和公式的推导;2.将实际问题转化为等差数列的求和问题。
四、教学过程:1.情境导入(5分钟)教师展示一段视频:小明每天放学回家都会经过一家自动贩卖机,他每天都会从自动贩卖机里买一瓶饮料。
他发现,每天他付的饮料价格比前一天多2元。
请大家思考一下,小明连续买了n天的饮料,他总共花费了多少钱呢?2.理解等差数列的概念(10分钟)教师引导学生思考,并给予提示,帮助学生定义等差数列:等差数列:指一个数列中,从第二项起,每一项与前一项的差都相等。
这个相等的差叫做公差。
学生根据提示得出答案并讨论。
3.推导等差数列的通项公式(15分钟)教师通过提问引导学生思考,帮助学生推导出等差数列的通项公式:设等差数列的首项为a1,公差为d,第n项为an;由等差数列的定义可知:a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d……an = a1 + (n-1)d4.理解等差数列的部分和公式(15分钟)教师通过引导学生思考推导出等差数列的部分和公式:等差数列的前n项和Sn = a1 + a2 + a3 + … + an又a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = … = an-1 + a2 = an +a1由此可以得出:2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an + a1)Sn = (a1 + an) × n/25.运用等差数列求和公式解题(30分钟)教师给学生提供一些实际问题,引导学生运用等差数列求和公式解决问题。
例如:小明连续买了n天的饮料,第一天他支付了2元,第二天支付了4元,第三天支付了6元,以此类推,请计算小明总共支付的饮料费用。
等差数列的求和公式的教案

等差数列的求和公式的教案
目标
本教案旨在向学生介绍等差数列的概念,并教授他们求和公式的方法。
教学步骤
步骤一:引入
1. 向学生简要介绍等差数列的概念。
解释等差数列是指每个数与其前一个数的差值都相等的数列。
2. 提示学生思考常见的等差数列,并列举几个例子。
步骤二:推导求和公式
1. 解释等差数列求和的概念,并告诉学生我们可以找到一种方法来简化求和过程。
2. 以一个具体的等差数列为例,展示如何推导等差数列求和公式。
3. 解释每个步骤的原理,并确保学生理解。
步骤三:练
1. 提供一些练题,要求学生应用所学的求和公式来计算等差数列的和。
2. 指导学生如何有效地解答这些问题,并给予他们必要的示范和讲解。
步骤四:巩固
1. 给学生一些拓展题,考验他们对等差数列求和公式的理解和应用能力。
2. 让学生解答这些问题,并互相检查答案。
教学资源
- 等差数列的定义和性质的讲解材料
- 练题集
- 答案解析
教学评估
- 监测学生在练中的表现,评估他们是否掌握了等差数列的求和公式。
- 给学生一份测验,以确定他们对该概念的掌握程度。
结束语
通过本课程,学生应该能够理解等差数列的概念,并能够应用求和公式解决相关问题。
同学们应该练习并加深对该概念的理解,并积极参与课堂活动和互动。
等差数列求和详细教案

课 题等差数列求和学习内容与过程引入数列{}n a 中,n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和,记为n S .n S 与n a 之间的关系:由n S 的定义可知,当n=1时,1S =1a ;当n ≥2时,n a =n S -1-n S ,即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n知识点1.等差数列的前n 项和公式 (1)2)(1n n a a n S +=证明: n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②:)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得:2)(1n n a a n S += (2)2)1(1dn n na S n -+= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件:n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得: 2)1(1dn n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件:d a n ,,1 (有时比较有用) 总之:两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个(3)两个公式的选择:若已知首项1a 及末项n a 用公式2)(1n n a a n S +=较简便;若已知首项1a 及公差d 用公式2)1(1dn n na S n -+=较好; (4)在运用2)(1n n a a n S +=时,注意性质“ m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) ”的运用;例1 一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式.分析:将已知条件转化为数学语言,然后再解.解:根据题意,得4S =24, 5S -2S =27,则设等差数列首项为1a ,公差为d ,则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--+=-+27)2)12(22()2)15(55(242)14(44111d a d a d a 解之得:⎩⎨⎧==231d a ∴n a =3+2(n -1)=2n +1.变式1:已知等差数列{}n a 的前5项之和为25,第8项等于15,求第21项;等差数列-16,-12,-8,...,前几项的和为72?变式2:在等差数列{}n a 中,(1)已知856,5,10a S a 求==;(2)已知542548S a a ,求=+变式3:已知数列{}n a 的前n 项和nn S n 2205232+-=,求数列{}n a 的通项公式2. 等差数列前n 项和n S 的性质(1)在等差数列{}n a 中,连续m 项的和仍组成等差数列,即m a a a +++...21,m m m a a a 221...+++++, m m m a a a 32212...+++++,...仍为等差数列(2)根据2)1(1d n n na S n -+=,知n )2da (n 2d S 12n -+=,当d ≠0,是一个常数项为零的二次式因此可设Bn An S n +=2(3)在等差数列{}n a 中:n n n n n S S S S S 232,,--,...,也成等差数列,公差为d n 2若0)(=≠=+p m p m S p m S S ,则若)()(,p m S p m m S p S p m p m +-=≠==+,则若项数为2n ,则)()(1212++=+=n n n n a a n a a n S (1,+n n a a 为中间两项),1,+==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶 若项数为2n-1,则n n a n S )12(12-=-,1,-==-n n S S a S S n 偶奇偶奇若数列{}n a 与{}n b 均为等差数列,且前n 项和分别是n S ,n T ,则1212--=m m m m T S b a (证明:1212121121121121)12(2)12(222------=-⋅+-⋅+=++==m m m m m m m m mm T S m b b m a a b b a a b a b a ) 例2 在等差数列{}n a 中,1101001010,100S S S ,求==变式1:已知非常数等差数列{n a }的前n 项和n S 满足5)1(222310mnn m n S m n +-⋅⋅=(n ∈N, m ∈R), 求数列{35+n a }的前n 项和.解:由题设知,n S =lg(5)1(2223mnn m nm +-⋅⋅)=lgm 2+nlg3+5)1(2mnn m +-lg2,即 n S =[2lg 5)1(-m ]n 2+(lg3+2lg 5m )n +lgm 2,∵ {n a }是非常数等差数列,当d ≠0,是一个常数项为零的二次式∴2lg 5)1(-m ≠0且lgm 2=0, ∴ m =-1, ∴ n S =(-52lg2)n 2+(lg3-51lg2)n,则 当n=1时,1a =2lg 533lg -当n ≥2时,n a =n S -1-n S =(-52lg2)(2n -1)+(lg3-51lg2)=2lg 513lg 2lg 54++-n∴n a =2lg 513lg 2lg 54++-n ,d=n n a a -+1=2lg 54-35+n a =2lg 513lg 2lg )35(54+++-n =2lg 5113lg 2lg 4-+-n数列{35+n a }是以8a =2lg 5313lg -为首项,5d=2lg 4-为公差的等差数列, ∴数列{35+n a }的前n 项和为n ·(2lg 5313lg -)+21n(n -1)·(2lg 4-)=n n )2lg 5213(lg 2lg 22-+-例3 涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比问题,一般宜用性质来求解一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27,求公差d.解:设这个数列的首项为1a , 公差为d ,则偶数项与奇数项分别都是公差为2d 的等差数列,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+27323063063546612121d a d a d a , 解得d =5.解法2:设偶数项和与奇数项和分别为S 偶,S 奇,则由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==+2732354奇偶奇偶S S S S ,求得S 偶=192,S 奇=162,S 偶-S 奇=6d, ∴ d =5.变式1:项数为2n+1的等差数列{}n a 的奇数项的和与偶数项的和之比为例4 涉及两个等差数列前n 项和之比问题,一般是利用公式将它转化为两项和之比的问题,再利用函数思想来解决问题两个等差数列,它们的前n 项和之比为1235-+n n , 求这两个数列的第九项的比 解:38)(217)(217'171717117117117199==++=++=S S b b a a b b a a b a . 变式:已知等差数列{n a }、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,若132+=n n T S n n ,求88b a3. 等差数列前n 项和n S 公式与二次函数区别联系 n S定义域为*N 图像是一系列孤立的点 解析式都是二次式)(x f定义域为R图像是一条光滑的抛物线(1)设Bn An S n +=2,利用二次函数的相关性质及图像可求其最值,但并不一定是AB n 2-=时,n S 有最大值(或最小值),而是当*∈-N A B 2时,AB n 2-=;而当*∉-N A B2时,n 取与A B 2-最接近的正整数即可(2)Bn An S n +=2,即n )2da (n 2d S 12n -+=,由二次函数性质可知,0〉d 时,n S 有最小值;0〈d 时,n S 有最大值(3)10a >,0d <时,n S 有最大值;10a <,0d >时,n S 有最小值;n S 最值的求法:①若已知n S ,可用二次函数最值的求法(n N +∈);②若已知n a ,则n S 最值时n 的值(n N +∈)可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩例5 在等差数列{}n a 中,9171,25S S a ==,求n S 的最大值变式1 在等差数列{}n a 中,941,0S S a =〉,则n S 取最大时,n=变式2 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0〈d ,若存在正整数m (3≥m ),使得m m a S =,则当m n 〉时,有n S n a巩固练习1.{a n }是首项a 1=1,公差为d =3的等差数列,如果a n =2 005,则序号n 等于 . 2.等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n = . 变式:等差数列{a n }中如果a 6=6,a 9=9,那么a 3= . 3.数列的通项52n a n =-+,则其前n 项和n S = .4.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n =n 2,则{a n }是( )A.等比数列B.等差数列C.等差数列且等比数列D.既非等比数列又非等差数列 5.等差数列{a n } 中,S 15=90,则a 8= ( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)12 变式:等差数列{a n }中,a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450,求a 2+a 8= ( )(A)45 (B)75 (C)180 (D)300 6.数列{a n }的前n 项和为S n ,若2462,10,S S S ==则等于( )(A )12 (B )18 (C )24 (D )42变式:等差数列{a n } 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)1607.在项数为2n+1的等差数列中,若所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n 等于 (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 变式:等差数列{a n }的公差为21,且S 100=145,则奇数项的和a 1+a 3+a 5+……+ a 99=( ) (A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值8. 已知一个等差数列的前5项的和是120,最后5项的和是180,所有项的和为360,此数列的项数为 A .12项 B .13项 C .14项 D .15项 9.若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是10.若两个等差数列)(27417,}{},{+∈++=N n n n B A B A n b a n n n n n n 且满足和项和分别为的前则 的值是1111b aA .47 B .23 C .34 D .7178 11.数列通项公式为a n =n 2-5n +4,问(1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值.12.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,已知3a =12,12S >0,13S <0,(1) 求公差d 的取值范围;(2) 指出1S , 2S , 3S , ……, 12S 中哪一个最大,说明理由解:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+=0212131302111212113112d a S d a S ⇒⎩⎨⎧<+>+06011211d a d a , ∵ 3a =1a +2d =12, 代入得 ⎩⎨⎧<+>+030724d d , ∴ -724<d<-3,(2) 13S =137a <0, ∴ 7a <0, 由12S =6(6a +7a )>0, ∴ 6a +7a >0, ∴6a >0, 6S 最大. 课后作业1.在等差数列{}n a 中,已知9015=S ,那么8a 等于( ) A.3 B.4 C.6 D.122.在等差数列{}n a 中,若d a S S 1412,8则=等于( )A.109 B.910 C.2 D.32 3.已知等差数列{}n a 的公差为1,且99...999821=++++a a a a ,则=++++999663...a a a a ( ) A.99 B.66 C.33 D.04.在项数为2n+1的等差数列{}n a 中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.125.若一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( ) A.13项 B.12项 C.11项 D.10项6.等差数列{}n a 中,,0,0,076761〈⋅〉+〉a a a a a 则使其前n 项和0〉n S 成立的最大自然数n 是( ) A.11 B.12 C.13 D.147.等差数列{}n a 中,n S 是其前n 项的和,若4325,20a a a S ++=则=( ) A.15 B.18 C.9 D.128.等差数列{}n a 和{}n b 中,100,75,2510010011=+==b a b a ,则数列{}n n b a +的前100项的和为( )A.0B.100C.1000D.100009.若两个等差数列37,}{},{+=n nT S T S n b a n n n n n n 且满足和项和分别为的前则的值是55b a A .7 B .32 C .827 D .421 10.等差数列{}n a 中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ,则=20S11.等差数列{}n a 中,14=S ,48=S ,则=+++20191817a a a a12.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且242234,9S S S S ==,求数列{}n a 的通项公式13.数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且2152910,1a a a ==;(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{}na 的 的前n 项和n S。
等差数列求和公式教案

等差数列求和公式教学目的1.学问目的(1)驾驭等差数列前n 项和公式,理解公式的推导方法;(2)能较娴熟应用等差数列前n 项和公式求和。
2.实力目的经验公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特别到一般的探讨方法,学会视察、归纳、反思和逻辑推理的实力。
3.情感目的通过生动详细的现实问题,激发学生探究的爱好和欲望,树立学生求真的志气和自信念,增加学生学好数学的心理体验,产生酷爱数学的情感,体验在学习中获得胜利。
学生已学等差数列的通项公式,对等差数列已有肯定的认知。
教学重点、难点1.等差数列前n 项和公式是重点。
2.获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。
教学过程复习回忆:1.等差数列的定义;2.等差数列的通项公式。
新课引入:问题一:介绍德国闻名数学家高斯,相传高斯在10岁那年他的算术教师给他出了一道算术题:1+2+3+…+100=?。
结果高斯很快就算出了答案,你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗?请同学起来答复,如何进展首尾配对求和:123...100n S =++++=(1100)(299)...(5051)+++++=10011002+⋅()=5050. 师:特别好!这位同学和数学家高斯一样聪慧!这里高斯的配对法就是采纳的“首尾配对法”。
师:这里1,2,3,…,100这是一个什么数列?生:等差数列。
师:这里123...100++++就是在求一个等差数列的和的问题。
引出课题:7.2.2等差数列求和。
一、数列的前n 项和意义一般地,设有数列123,,,,,n a a a a …,我们把123n a a a a ++++叫做数列{}n a 的前n 项和,记作n S .即123n n S a a a a =++++. 问题二:(课件出示印度泰姬陵的图片),介绍传闻中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案,以一样大小的圆宝石镶饰而成,共21层。
你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗?学生答复:即求2112321S =++++。
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等差数列求和
教学目标
1.掌握等差数列前总项和的公式,并能运用公式解决简单的问题
(1)了解等差数列前肚项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前用项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想认识等差数列前冷项和的公式,利用公式求広农“&圧;等差数列通项
公式与前左项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前总项和的公式研究心的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法
3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问
题,并数学地解决问题.
教学建议
(1 )知识结构
本节内容是等差数列前兀项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给岀了求等差数列
前抡项和的思路,而后导岀了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
(2)重点、难点分析
教学重点是等差数列前兀项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重
要•等差数列前肚项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、
变用公式、前总项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说
过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3 )教法建议
①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前兀项和公式综合运用.
②前卫项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活
③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法
④补充等差数列前加项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前芒项和公式.
等差数列的前怎项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前兀项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前兀项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提岀问题:一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多
放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?
问题就是(板书)“_三_ 4 _…+[:[ = [”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回
答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第
一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050 了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前''项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列■■-的首项为一;1,公差为,
_'■-' ;一由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义. 思路一:运用基本量思想,将各项用一匚和*表示,得
■ a Y十⑷+rf)+ (&i + 2J) + (码十才)十…
十[叭十o-加]十a + s- i购,有以下等式叭十[巧十山- -a九〉+[眄盟]■(衍+加)+[由]十仗-加]二…,问题是一共有多少个
1 1 " ',似乎与时的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了
思路二:
上面的等式其实就是场十①二幻+圧41弓眄十g 了…,为回避个数问题,做一个改写
$ "刍十九十旳+…十气4十十陽滋自比十4・1十%厂…十眄十旳+叭
?
式左右分别相加,得
…+ 4-2十佑尸(件7十勺)十(务十砒)企 %(码十皿)
?
于是得到了两个公式(投影片):
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前兀项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前用项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一
例 1 求和:(1)+ 十9勺+ + 十…+ 64 ;
(2)- ' - - -'':(结果用巧表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法,两
于是有:
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得
八.L :; - <■■■ - 一M 于是
例2.等差数列-‘中前多少项的和是9900 ?
本题实质是反用公式,解一个关于塔的一元二次函数,注意得到的项数噌必须是正整数
三.小结
1.推导等差数列前项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计。