8.3.1空间两条直线所成角
空间中直线与直线所成的角
B' D
C'
哪些棱所在的直线与直线A ' B垂直？
解： (1) BB ' CC ' A B A ' BB '即异面直线A ' B和CC ' 所成的角或其补角 A ' BB ' 45异面直线A ' B和CC '的夹角为45. (2)与直线AA ' 垂直的直线有AB, BC, CD, DA,
B' D B
C'
哪些棱所在的直线与直线A ' B垂直？
C
A 想一想：在正方体里棱与棱的夹角是多少？
0或90
再想想：在正方体里面对角线与棱的夹角是多少？
45或90
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中， D'
(3)直线A ' B和B ' C的夹角是多少？
想一想：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相 平行，在空间中这个结论还成立吗 ? 不成立 再想想：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直, 那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？成立（定理）
若ab，a c，则b c.
典型例题
(1)直线A ' B和CC '的夹角是多少？ A' (2)哪些棱所在的直线与直线AA ' 垂直？
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关，一般常把点O取在直线a或b上；
注2：规定两条平行直线的夹角为0°，则异面直线所成角 的取值范围是：0 90 ， 如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条异面 直线互相垂直，记作：a b .
一体化课程培训——空间两条直线及所成的角教学设计
空间两条直线及所成的角教学设计【设计理念】：中职学校立体几何课程以培养学生的逻辑思维和空间想象力为主要目标。
根据我校学生特点，坚持教学课堂的先做后学，先学后教，以教促学的“生本理念”，在处理方式上采用削干强枝，淡化形式的教学原则，通过多媒体应用，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得教学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式。
注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验，猜想等合情推理活动后，再进行演绎推理、逻辑论证。
另外，通过“观察、思考、探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动在进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程，注重探索空间图形性质的过程。
一、教学目标知识目标：（1）理解异面直线的概念，掌握空间两条直线的位置关系（2）理解异面直线夹角的定义，熟练掌握求异面直线夹角的的方法能力目标：（1）采用情景、对话、探讨等教学模式，通过动手画图，分析总结，空间想象等小结出异面直线的概念，得出空间里面两条直线的位置关系。
（2）通过平移的方法，得出夹角的定义，并熟练求异面直线的夹角（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）培养学生善于提出问题、分析问题的思维品质，理解事物之间相互关系、相互转化的辩证唯物主义思想。
（2）努力创造一种和谐、平等、宽松的课堂氛围，让学生乐于学习，敢于表达、交流自己的看法和想法。
二、教学重点和难点：教学重点: （1）异面直线概念的定义，判断异面直线所成的角。
（2）如何求异面直线的夹角。
教学难点：异面直线所成的角【教法分析】在教学内容的处理上，按照“直观感知—操作确认—思辨应用”的认识过程展开。
采用合作讨论法，实践学习法等教学方法，先通过直观感知和操作确认的方法，概括出异面直线的概念。
采用多媒体教学等有效手段，通过对图形的观察、实验和画图，使学生进一步了解空间的直线与直线夹角，学会准确的运用异面直线夹角知识解决一些简单的推理应用问题。
两条直线的所成角
例3.ABC的顶点A(2,8), AB边上中线CD所在直线方程为 4 x 7 y 24 0，ABC平分线BE所在的直线方程为x 2 y 4 0 求B, C坐标
xB 2 y B 8 解法1.设B( xB , yB )则AB的中点D坐标（ , ） 2 2
又B, D分别在直线x 2 y 4 0和直线4x 7 y 24 0上
例2.已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在 直线方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线 的方程为：x-4y+10=0，求BC边所在的直线的方程.
解法2.设B（x1，y1）由题意可得： x1 3 y1 1 6 2 10 2 59 0 x1 10 B(10,5) 得： x1 4 y1 10 0 y1 5 由x-4y+10=0为∠B的平分线知， A(3，-1)关于直线x-4y+10=0的对称点A’（1，7） 在BC边所在的直线上，
例题
两直线的夹角
4、已知 B( 0,2) , C ( 0,6)，A 为 x 轴 负半轴上的一点，问 A 在何处 时，BAC 有最大值？
3 1、 求 直 线l 1 : y 2 x 3 与 l 2 : y x 的 夹 角 2
5、l1 , l 2 的 斜 率 是 方 程 3x 4x 3 0 的 两 个 根 ，
2、已知 A( 2,3) 和 l1 : x y 3 0，求经过 A 且满足下列条件的直线 l 的方程： (1) l 到 l1 的角是60 ( 2) l1 到 l 的角是45
变式1、已知 A( 2,3) , B(1,2) , C ( 3,0)， 求 ABC 的三内角的正切值 变式2、已知 A( 2,3) , B(1,2) , C ( 3,0)， 求 ABC 的三内角的余弦值
,,空间中直线与直线所成的角(夹角)
D
C
Q AA'C '中，EFAC '
A
B
FED '即异面直线AC '和B ' D '所成的角或其补角
设正方体棱长为a，则EF 1 AC ' 3 a, ED ' 2 a,
FD ' 5 a
2
2
2
EF 2 ED '2 FD '2 FED' 90
2
直线AC '和B ' D '的夹角是90
思考：如图，在棱长为4正四面体ABCD中，求异面
b bˊ
a
aˊ
o
四.异面直线所成的角
定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所 成的锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成 的角(或夹角)
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关，一般常把点O取在直线a或b上；
C' B'
Q A' B ' DC,A' B ' DC
D
C
四边形A' B 'CD是平行四边形
A
B
A' DB 'C,A' D B 'C
BA' D即异面直线A' B和B 'C所成的角或其补角
Q A' D DB A' B BA' D 60,即异面直线A' B和B 'C的夹角为60.
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A' B 'C ' D '中，D' (3)直线A' B和B 'C的夹角是多少？ A'
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围一、引言空间中直线与平面所成角的研究是几何学中的重要内容，涉及到许多实际问题的求解。
本文将对空间中直线与平面所成角的范围进行详细探讨，以期提高大家对几何知识的理解和应用能力。
二、空间中直线与平面所成角的定义与性质1.定义空间中直线与平面所成角是指直线与平面内任意一条直线所成的最小角。
这个角度可以用直线与平面内直线之间的夹角来表示。
2.性质（1）直线与平面平行时，所成角为0°。
（2）直线与平面垂直时，所成角为90°。
（3）直线与平面斜交时，所成角的范围为0°～90°。
三、空间中直线与平面所成角的变化范围1.直线与平面平行时，所成角为0°。
2.直线与平面垂直时，所成角为90°。
3.直线与平面斜交时，所成角的范围为0°～90°。
四、应用与实例1.几何问题求解在几何问题中，了解空间中直线与平面所成角的范围有助于快速判断线面关系，进而解决问题。
例如，在解决立体图形的表面积和体积问题时，可以通过计算直线与平面所成角来确定几何体的形状。
2.工程实践中的应用在工程实践中，空间中直线与平面所成角的应用也十分广泛。
例如，建筑设计师在设计建筑物的空间结构时，需要了解直线与平面所成角的大小，以确保建筑物的稳定性。
此外，机械工程师在设计机械零件时，也需要考虑直线与平面所成角的影响，以保证零件的装配精度。
五、总结与拓展本文对空间中直线与平面所成角的范围进行了详细探讨，从定义、性质、变化范围等方面进行了分析。
通过对这一知识点的掌握，大家可以在几何问题求解和工程实践中发挥重要作用。
此外，对于空间几何中的其他知识点，如直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线之间的角度问题，也可以采用类似的方法进行研究和探讨。
两条直线所成的角PPT教学课件
初三语文组
基本目标
• 感受诗词经典，追溯文化渊源; • 提高审美品位，积蓄典雅语言。
要点与方法：
• 节律是特征，朗读以凸显之。 • 意象是风景，想像以再现之。 • 情感是灵魂，体验以沟通之。 • 语言是珍品，玩味以珍藏之。
五个环节
• 一、朗读全诗，力求读准——感知作品 • 二、弄懂字词，理顺语句——疏通作品 • 三、揣摩意象，领略意境——领会作品 • 四、自我感受，独特体验——感悟作品 • 五、赏析技巧，品味语言——鉴赏作品
—骆宾王
触景生情：
昔人已乘黄鹤去， 此地空余黄鹤楼。 黄鹤一去不复返， 白云千载空悠悠。 晴川历历汉阳树， 芳草凄凄鹦鹉洲。 日暮乡关何处是？ 烟波江上使人愁。 —崔颢《黄鹤楼》
绘景言志：
东临碣石，以观沧海。 水何澹澹，山岛竦峙。 树木丛生，百草丰茂。 秋风萧瑟，洪波涌起。 日月之行，若出其中， 星汉灿烂，若出其里。 幸甚至哉，歌以咏志。 —曹操《观沧海》
y
x o
提问：１.解析几何中怎样判断两条直线的平 行和垂直？
直线的斜率 或 以方程的特点观察
２、区分以下两组直线的相交程度用什
么量刻画？
２
１
４３
两条直线所成的角
想一想 ？
观察下列两组相交直线，自己下定义以便区
分两组对顶角
l2
l4
2
3
1
4
甲
l1
2
3 1
4
乙
l3
一、概念的建立
1、l1到 l2角的定义
• 第二、“画意”揣摩。即探寻画面所蕴含 的意义及作者所要表达的思想感情，这是由画 面向画意的转化；越是客观本然，越是符合作 者本意就越好。
• 第三、“画源”追溯。一种情况是意象成 因的分析，如周振甫先生就曾对杜甫<春夜喜 雨>的意象形成，作过具体阐释。另一种情况 是对作者心路历程的追寻，即要知道作者是在 怎样的生活背景和心理情绪下写出这一作品的 。
空间中直线与直线所成的角(夹角)
感谢您的观看
THANKS
详细描述
当两条重合的直线在空间中相交，它 们之间的夹角是0度。这是因为重合的 直线实际上是同一条直线，所以它们 在任何点处的角度都是相同的。
05
直线与直线所成的角的计算 方法
利用三角函数计算角度
总结词
利用三角函数计算直线与直线所成的角度，需要知道直线的 倾斜角，然后通过三角函数关系计算出两直线之间的夹角。
详细描述
首先，我们需要确定两条直线的倾斜角。然后，使用三角函数 中的正切或余切函数，通过两条直线的斜率来计算它们之间的 夹角。具体地，设两直线的斜率为k1和k2，夹角为θ，则有 tan(θ/2) = |k2 - k1| / (1 + k1 * k2)。
利用向量计算角度
总结词
通过向量的点积和模长来计算直线与 直线所成的角度。首先，我们需要将 直线表示为向量，然后利用点积公式 和向量的模长来计算两向量之间的夹 角。
夹角的几何意义在解 析几何、射影几何等 领域有着广泛的应用。
夹角的大小反映了直 线之间的倾斜程度。
03
直线与直线所成的角的实际 应用
空间几何问题
确定物体位置关系
在空间几何问题中，通过 计算两条直线所成的角， 可以确定物体之间的相对 位置关系。
判断形状和性质
通过分析直线之间的夹角， 可以判断几何形状的性质， 如平行、垂直、相交等。
通过作出的几何图形，利 用量角器或三角板测量夹 角的度数。
利用向量计算
通过向量的点积和模长， 利用向量公式计算夹角的 余弦值，从而得出夹角的 度数。
02
直线与直线所成的角的性质
角度的范围
01
02
03
04
直线与直线所成的角， 其角度范围在0°到180° 之间。
9.3.1空间两条直线所成的角
4
n
α m
n’
θ m’ o
5
n
θo
α
m
m’
6
D1
A1 D
A
P
C1 B1
C B
7
m⊥n
n
o m
α m’
8
如图所示正方体中，求下列异面直线所成的角
D1 A1
C1
B1
①DD1与BC
D A
答案：90°
C
B
DD1⊥BC
9
如图所示正方体中，求下列异面直线所成的角
15
练习 9.3.1
16
下一节：9.3.2 直线与平面所成的角
2019年12月27日4时37分
17
D1 A1
C1
B1
②AB1与DC
D A
答案：45°
C
B
10
如图所示正方体中，求下列异面直线所成的角
D1 A1
C1
B1
③DA1与BC
D A
答案：45°
C
B
11
如图所示正方体中，求下列异面直线所成的角
D1 A1
C1
B1
④ D1B1与AC
D A
答案：90°
B
C D1B1⊥AC
12
如图所示正方体中，求下列异面直线所成的角
D1 A1
C1
B1
④ A1C1与D1C
D A
答案：60°
C
B
13
如图所示正方体中，求下列异面直线所成的角
D1 A1
C1
B1
④ A1C1与AB1
D A
答案：60°
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C1பைடு நூலகம்B1
D
C
所以 AB1B 90 30 60，
A
B
即所求的角为 60．
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在如图所示的正方体中，求下列各直线所成的角的度数：
1 DD1与BC 2 AA1与BC1
作 业
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如图所示，m∥ m、 n∥ n ，则 m与 n 的夹角 就是 异面直线m与n所成的角．
n
n’
m’
m
O
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为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点
作为点O．如下图
n O
m
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两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．
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经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线， 这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．
b
b
a
o
a
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如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条直线互相垂直.
两条互相垂直的异面直线 a ，b，记作 a⊥b.
在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条棱所在的直线 是互相垂直的异面直线?
C'
B' C
D' A'
D
B
A
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异面直线所成的角
经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行 的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面 直线所成的角. ．
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书面作业：习题8.3 A组第1题，第2题，
实践调查：请列举空间中异面 直线垂直的的实例．
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例1 如图所示的长方体中，BAB 1 30，求下列异面直线所成的角：
(1) AB1与DC；
(2) AB1与 CC1．
解 （1）因为DC∥AB，所以BAB1 为异面直线 AB1与DC所成的角．
即所求角为 30．
（2）因为CC1 ∥BB1，所以 ABB1 为异面直线AB1与CC1 所成的角． D1
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在如图所示的长方体中，BC1 直线 和直线AD是异面直线，
度量 CBC1和 DAD1 ，发现它们是相等的．
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演示
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如果在直线AB上任选点P，那么过点P分别作直线 BC1 与直线AD 的平行线，它们所成的角是否与 CBC1 相等？