两条直线所成的角
两直线的夹角
一 二.夹角的定义： 夹角的求法：
d2
d1
2 1
d d θ 1.余弦形式： 平面上两条直线相交时，构成了四个角。它们 θ 是两对对顶角。规定两条直线相交成的锐角（或直 L1 :a1x b1y c1 0 角）称为两直线的夹角。
如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0 设 L1 ， L2的 夹 角 为 α 。直线L 1 ， L2的 一 个 方 向 向 量 夹角的范围：[00 , 900] y 分别为： d1 ( b1 ,a1 ),d2 ( b 2 ,a 2 )y则 L2： L1 L1 π L2 α ； (1)若d1 ,d2夹角为θ [0 ， ]，则：α＝ α 2 x x π O O (2)若d1 ,d2夹角为θ ( , π)，则：α＝π -. 2 a1a 2 b1b 2 cosα ……夹角公式的余弦形式 2 2 2 2 a 1 b1 a 1 b 1
D A(- 5,3) B(0,6) B1
0
P(x,0)
C(0,2) C C O x O L B O O A(1,-2) B
x L xx
练习： 1.已 知 直 线 1 L ： 3x y 4 0 ,L 2 : mx 4y 7 0, 当m
0 为 何 值 时 ，1 L 与 L2夹 角 为 45 。
若直线L ，L2的斜率分别为k k2 (k1 k2 1) 1 1,
则： α＝θ θ 2 1
或： α＝π (θ θ 1 2)
x
O
k 2 k1 tanα 1 k 2 k1
……夹角公式的正切形式
π 注：当 k1 k 2＝ 1时，α＝ 。 2
例 2.已 直 线 L过 点 P（ 角 2 ， 3） ， 且另 与 直线 L ： x 3y 例5.已知B（0，6 ），C（0，2），在 x轴的负半轴上求 4.已知 知 正 方 形 AB CD的 对 角 线 AC在 直 线 x 2y 1 0 2 0 3.等 腰 RtΔ AB C的 直 顶 点 C和 一 点 B都 在 直 线 0 π 一点P，使 BPC最大，并求出最 大值。 上 ， 且 A（ 5， ， 3） ， 1， B（ m ,0） (m AB， 5), 求 顶 点 y B， C， 2x 3y 6 0上 A（ 2） ， 求 AC所 在 的 夹 角 为 ， 求 直 线 L的 方 程 。 y y y 3。 D的 直 线坐 的标 方 程 P(2, 3 ) L
夹角的计算知识点总结
夹角的计算知识点总结一、夹角的概念夹角是指平面上的两个角共同拥有一个公共的边，形成的角。
在几何学中，夹角通常用来描述两条直线或者曲线之间的角度关系。
夹角可分为内夹角和外夹角。
内夹角是两直线夹角的两个角之一；外夹角是两直线交叉所成的四个角中不与内夹角共边的两个角。
二、夹角的性质1. 同位角同位角指的是两条直线被一条直线所切割形成的一对内夹角和一对外夹角的对应角。
同位角的特性是它们的度数相等。
例如：在一条直线上，有两个相邻的内夹角a和b，以及两个相邻的外夹角c和d；如果a的度数等于c的度数，那么b的度数等于d的度数。
2. 互补角和补角互补角指的是两个角的度数之和等于90度的角。
例如，如果两条直线相交，那么相交处的两个内夹角的度数之和等于90度，这两个内夹角就是互补角。
补角指的是两个角的度数之和等于180度的角。
例如，如果两条直线相交，那么相交处的两个外夹角的度数之和等于180度，这两个外夹角就是补角。
3. 角的平分线角的平分线指的是将一个角分成两个度数相等的角的直线。
平分线将一个角分成两个度数相等的角。
例如，一个60度的角，可以使用角的平分线将其平分为两个30度的角。
4. 夹角的性质若两条直线相交于一点O，并且形成4个角(∠AOD,∠BOD,∠BOC,∠AOC)，则：∠AOD+∠BOD=180°，∠BOC+∠AOC=180°。
这意味着两条相交直线所形成的内夹角之和是180度，两条相交直线所形成的外夹角之和也是180度。
三、夹角的计算夹角的计算主要是根据其性质进行计算。
根据同位角、互补角、补角的性质可以计算出夹角的度数。
夹角的计算也常涉及到角的平分线，通过角的平分线可以将一个角分成两个度数相等的角。
夹角的计算过程中需要注意以下几点：1. 角度单位的统一。
在夹角的计算中，需要统一角度的单位，通常使用度数为单位。
2. 利用夹角的性质进行计算。
根据同位角、互补角、补角的性质进行夹角的计算。
证明两直线垂直的几种常用方法
数学篇解题指南两条直线垂直是两直线间的一种特殊位置关系.证明两条直线垂直，实际上就是证明两条相交直线所成的角为直角.因为直接判定两条直线垂直的定理不多，且较为分散，所以证明两条直线垂直问题是初中几何证明题中难度较大的一类问题.下面结合一些经典例题就这类问题的证明方法进行剖析.一、证明两条直线所成的角等于已知直角在证明两条直线互相垂直时，若题目中存在明显的已知直角，同学们要注意善用已知条件中的直角，灵活运用三角形全等的知识，证明两条直线相交所成的角等于已知直角，从而得出两条直线垂直.例1如图1所示，已知MN =MP ，NR =PQ ，NQ ⊥MP .求证：PR ⊥MN .分析：本题中要证明PR ⊥MN ，需要证明∠MRP =90°.因为NQ ⊥MP ，所以可知∠MQN =90°，故而需要证明∠MRP =∠MQN ，也就是证明△MRP ≌△MQN .证明：因为MN =MP ，NR ＝PQ ，所以MN -NR ＝MP -PQ ，即MR ＝MQ .在△MRP 和△MQN 中，ìíîïïMN =MP ,∠M =∠M ,MR =MQ ,所以△MRP ≌△MQN （SAS ），所以∠MRP =∠MQN .因为NQ ⊥MP ，所以∠MQN =90°，所以∠MRP =90°，所以PR ⊥MN .评注：本题中的已知直角较为明显，直接利用三角形全等即可得证.但有时直角条件不明显，要证明某个角等于已知直角，需要挖掘隐含条件，或添加辅助线构造直角，然后再利用三角形全等证明两角相等.二、证明两条直线相交所成的邻补角相等两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角.一个角与它的邻补角的和等于180°.它们相等就是两个角分别为180°2=90°，由此即可证明这两条直线是互相垂直的.所以，要证明两条直线垂直，可以借助两条直线相交所成的邻补角相等来证明.例2如图2所示，已知△ABD 与△BDC 均为等边三角形，连接AC ，交BD 于点E .求证：AC ⊥BD .分析：要证明AC ⊥BD ，需要证明∠BEC =90°或∠BEA =90°，即证明∠BEA 与其邻补角∠BEC 相等，而要证明∠BEA =∠BEC ，只需要证明△BAE ≌△BCE .证明两直线垂直的几种常用方法江苏省宿迁市泗洪姜堰实验学校刘为芹图1图219数学篇解题指南证明：因为△ABD 与△BDC 均为等边三角形，所以可知AB =BD =BC ，∠ABD =∠CBD =60°.在△BAE 和△BCE 中，ìíîïïBA =BC ,∠ABD =∠CBD ,BE =BE ,所以△BAE ≌△BCE （SAS ），所以∠BEA =∠BEC =12×180°=90°，所以AC ⊥BD .评注：两条直线相交所成的四个角中，有一组邻补角相等时，可根据邻补角互补，得出这两个角都是90°，由垂直的定义即可得出这两条直线互相垂直．三、证明两相交直线的夹角所处的三角形中，另外两个锐角互余相加等于90°的两个角称作互为余角.直角三角形中的两个锐角是互余的.因此，要证明两条直线垂直，可以证明两条相交直线的夹角所在的三角形中，另外两个锐角互余，那么两条相交直线所成的夹角即为90°.例3如图3所示，已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，BE 、AD 相交于点F .求证：BE ⊥AD .分析：本题中要想证明BE ⊥AD ，只需证明∠EFD =90°，也就是需要证明∠1+∠2=90°，又∠3+∠4=90°，∠2=∠3，这样只需要证明∠1=∠4.而要证明∠1=∠4，只需要证明△BCE ≌△ACD .证明：因为∠BCA =∠DCE =90°，所以∠BCA +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，即∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，ìíïïCE =CD ,AC =CB ,所以有∠4=∠1.又因为∠3+∠4=90°，∠2=∠3，所以∠2+∠1=90°，所以∠EFD =90°，所以BE ⊥AD .例4如图4所示，已知在△ABC 中，AB =BC ，高AD 、BE 交于点F ，BG =GF ，DH ⊥AC 于H ，M 在BE 的延长线上，EM =DH .求证：AG ⊥AM .分析：要想证明AM ⊥AG ，需要证明∠GAM =90°，也就是需要证明∠AGM +∠M =90°.因为∠EAM +∠M =90°，所以只需要证明∠EAM =∠AGM .证明：连接DE 、DG .因为AD 、BE 为△ABC 的高，所以∠EBC =90°-∠C =∠DAC .因为AE =DE ，所以∠DEH =2∠DAC .因为BG =GF =GD ，所以∠DGE =2∠EBC ，所以∠DEH =∠DGE .因为DH ∥BE ，所以∠EDH =∠DEG ，所以△DEH ∽△GED ，所以ED DH =GE ED ，AE EM =GE AE .因为∠AEG =∠AEM =90°，所以△GAE ∽△AME ，所以∠AGM =∠EAM .因为∠EAM +∠AEM =90°，所以∠AGM +∠M =90°，所以∠GAM =90°，所以AG ⊥AM .评注：证明三角形中的两个锐角互余，是证明三角形的一个内角为直角的常用方法，我们由此即可证明三角形的直角边所在的两图3图4。
直线与平面所成角范围
直线与平面所成角范围
一条直线和一个平面所形成的角的范围是0°到180°。
0°表示这条直线和平面平行，而180°表示这条直线和平面垂直。
两条直线之间的角可以用很多不同的方法来描述，其中之一就是角范围。
它表示两条直线之间从0°到180°所形成的角，也就是说两条直线之间最大可能形成的角就是180°。
当一条直线和一个平面相交时，它们之间也可能形成角。
两条直线之间的角范围仍然是0°到180°。
当它们交叉时，这个角就被称为交叉角，其角度可以是90°。
如果两条直线平行，则它们之间的角度将为0°。
另一方面，当它们垂直时，它们之间的角度则为180°。
因此，一条直线与平面之间的角范围从0°到180°。
这种形式的角范围在几何学以及物理学中都非常重要，因为它被用来描述不同物体之间的关系。
比如，物理学家研究电磁学时，就需要了解直线与平面的角的范围，以确定电磁波的性质。
几何学家也有类似的用途，比如当他们研究空间结构时，几何形状之间的各种角的范围便可以得出一个准确的结论。
因此，一条直线和一个平面所形成的角的范围是0°到180°。
它们可以交叉，并形成一个90°的交叉角，也可以平行或垂直，分别形成0°和180°的角。
无论它们之间形成何种角度，都将在0°到180°范围内。
两条直线的 夹角
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，
则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1
2
1
1
2
1
求“两条直线的夹角 ”
l2
l1
l1
l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ，
的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角
是θ2 若 若
1+k1 1+k1
k2= k2≠
0时， 0时，
2
1
2
tg1
k2 1
k1 k2k1
l2
:
y
x
1 5 0 l2 : 2x 3y 1 0
(3) l1 : x 5 0
l2 : 2x 4y 3 0
(4) l1 : 2 y 3 0
l2 : x 3y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的 直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0; lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2
(
1 2
)
线和角的认识知识点总结
线和角的认识知识点总结一、线的概念1. 线的定义在数学中，线是由无数个点组成的图形，是一种只有长度而没有宽度的几何图形。
通常表示一条直线的方法是给定两个点，然后用这两个点来确定这条直线。
2. 线的性质线有一些基本性质，如不同的线之间可能相交、平行、垂直等。
线段是线的一部分，有长度，可以度量。
3. 线的分类根据不同的特性，线可以分为直线、射线、线段等。
直线没有起点和终点，射线只有一个端点，线段有两个端点。
二、角的概念1. 角的定义角是由两条射线共同端点组成的图形，通常用∠A来表示。
其中A是角的顶点。
2. 角的性质角的大小是用度来表示的，所以它有度数。
根据角的大小可以划分为锐角、直角、钝角等。
3. 角的度量角的度量是以度、分、秒来表示的，一个圆的周长为360度。
通过角的度量可以进行角的比较、加减、乘除等运算。
三、线和角的关系1. 线和角的交叉关系当一条直线与另一条直线相交时，形成的交叉部分就构成了角。
根据相交的角的不同位置和性质，可以划分为内角、外角、邻补角、对顶角等。
2. 线和角的平行关系当两条直线平行时，它们所成的对应角相等。
这是线和角的一个重要性质，常用于解几何题中。
3. 线和角的垂直关系当两条直线相互垂直时，它们所成的角是90度的，被称为直角。
这种垂直关系也常常出现在几何题中。
四、线和角的运算1. 线的运算线段之间可以进行加减运算，得到的结果是新的线段。
线段的加减运算可以利用数轴的概念进行分析。
2. 角的运算角之间也可以进行加减运算，得到的结果是新的角。
角的加减运算是利用角的度数和角的性质进行计算。
3. 线和角的综合运算在解决几何题的过程中，线和角通常要进行一些综合运算，比如已知线段和角的信息，求解未知的线段和角。
五、线和角的应用1. 几何图形的构造几何图形的构造通常离不开线和角的概念和性质，通过线和角的构造，可以画出各种形状的几何图形。
2. 几何问题的解决在解决几何问题的过程中，线和角的概念和性质常常被运用，可以通过线和角的分析和计算来得到问题的解答。
七年级数学 交点、垂直、垂足
交点、垂直、垂足
两条直线相交，只有一个交点(intersection p oint )．
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直(perpen dicular )，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足(foot of a perpendicular )．
直线AB 、CD 互相垂直，记作“AB ⊥CD ”．两直线互相垂直时，所成的四个角都是直角．
⊥垂直号
建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线，来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，如图1．这条带铅锤的线叫做铅垂线．测量时，这条线在空中自由摆动划出了圆弧，当它静止下来时，铅垂线和地面成直角．当铅垂线与墙壁面平行时，自然墙面和水平面就垂直了．
在平面几何中，把相交成直角的两条直线叫做两条直线互相垂直．“垂直”用“⊥”表示，读作“垂直于”．在图2中，直线AB 和CD 垂直时，记作：AB ⊥CD ．
垂直号简便易写，是几何学里常用的符号之一．空间直线和平面垂直，平面和平面垂直，两条异面直线互相垂直等，都是通过平面里两条直线的垂直来判定的，因而可以看作是平面几何里垂直概念的拓广． C A D
B
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直．
如图3中，直线l垂直于平面α，记作：l⊥α．
可以证明：只要直线l垂直于平面α内两条相交直线，就有l⊥α．
同样，两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，叫做两个平面互相垂直．
图4中，当平面α和平面β垂直时，记作α⊥β．
也可以证明：若平面α通过一条垂直于平面β的直线，则α⊥β．
垂直号“⊥”十分形象地表达了直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，是几何中常用的符号之一．
图3图4。
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角(成正比)，邻补角(优势互补)，同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：同位角f(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角u(在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、横向三要素：横向关系，横向记号，像距6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最长。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的认定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角成正比，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
11、推断：在同一平面内，如果两条直线都旋转轴同一条直线，那么这两条直线平行。
(一)正负数1.正数：大于0的数。
2.负数：小于0的数。
3.0即不是正数也不是负数。
4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。
如：π)2.整数：正整数、0、正数整数，泛称整数。
3.分数：正分数、负分数。
(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。
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解: 两条直线的斜率分别为k1= －2, k2=1 ,设l1与l2的 夹角为θ
l12
得： tg k2 k1 1 (2) 3
1 k2k1 1 1 (2)
因为 (0， ）
2
所以：θ=arc tg3
练习题2： 求下列直线的夹角
（1）y=3x－1, y 1 x 4
2、直线x=－3和x+3y-5=0的夹角为 ( B )
A.arctg 1 3
B. arctg 1
2
3
C. arc tg 1
3
3、直线x= －2和2x－3y+6=0的夹角为( C )
D. arc tg 1
2
3
A. arctg 2 3
B. arctg 3
2
C. arctg 2
课堂练习1: 求l1到l2的角和l2到l1的角
(1)
l1
:
y
1 2
x
2
,
l2 : y 3x 7
l1到l2的角为450
l2到l1的角为1350
(2) l1 : x y 5 ,l2 : x 2y 3 0
l1到l2的角为 arctg3 l2到l1的角为arctg3
注意 注意到角的方向性，做好分子的差 即终边的斜率减去始边的斜率
y
x o
提问：１.解析几何中怎样判断两条直线的平行和垂直？
直线的斜率(数）倾斜角（形）或 以方程的特点观察 ２、区分以下两组直线的相交程度用什么量刻画？
２ １
４ ３
1.8两条直线所成的角
想一想 ？
观察下列两组相交直线，自己下定义以便区
分两组对顶角
l2
l4
2
3
1
4
甲
l1
2
3 1
4
l3
设: l1: y=k1 x + b1 l2 : y= k2 x + b2
且 1+k1k2≠0 ，l1到l2的角记为θ
在图（3）中 θ=α2－α1
α1<α2,
得
在图（4）中 即α1>α2时，得：
θ=π+（α2－α1）
tg tg(2 1) 或
tg tg[ (2 1)]
即：tgθ=tg（α2-α1）
2
3
D. arc tg 3
2
2
4 、 已 知 l1到l2的角为 θ ， 且 tgθ=a<0, 则 l2到l1的角可 表 示 为
(
) arctga或 arctg(a)
例5、已知锐角△ABC的三边所在的直线方 程为：lAB:y=x+6;lBC:y=0;lCA:7x+4y-35=0,求 △ABC 的三个内角。
例4.等腰三角形一腰所在直线l1 的方程是 x -2y –2=0 ，底边所在直线 l2 的方程是 x+y –1=0，点（- 2，0）在另一条腰上， 求这条腰所在直线 l3 的方程.
测评题
1、直线l1:x-3y+1=0到直线l2:x+2y-5=0的角是( C )
A.600
B.300
C.1350
D.450
x m
又
由
方程
组
x x
6 2
y y
13 0 30
P(1，2)
直
线l2的
方
程
为y
2
27 14
(
x
1)
即27x 14 y 1 0
例7、已知入射光线所在直线l1的方程是x 6 y 13 0， 入射光线在定直线m：x 2 y 3 0上反射，
90o
3
（2） x－y=5, y=4
45o
（3）5x－3y=9, 6x+10y+7=0
90o
注 意 ：两条直线垂直时直接判断
求两直线所成角的步骤： 1、判断 A、是否存在斜率 B、是否垂直
2、求斜率 3、利用公式计算 4、写出角（一般用反三角表示）
例3、如果直线l1, l2的斜率分别是二次方程 x2 4x 1 0的两个根，求l1,l2所成的角。
tg2 tg1 k2 k1 1 tg2tg1 1 k2k1
y
l2
l1
1 o
y l1
2 o
2 x
图(3)
l2
1 x
图(4)
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1
2
1
1
2
1
3
2
1
L1到L2角的正切值计算公式
tg k2 k1
1 k2k1
公式结构特征：
①公式中分子是方向角中终边所在直线的斜率减 去始边所在直线斜率，其顺序不能改变。
②分母为1+k2k1不为零:当1+k2k1=0时,两直线垂直，到 角为900
③这个公式只能计算到角θ的正切值，而且正切 值有可能为正，也有可能为负。
两条直线所成的角（简称夹角）的定义 两条直线相交，称不大于900时的角叫做两直线所
成的角，简称夹角. 范围是：00 ≤θ ≤900
（三）两 直 线 夹 角 公 式 推 导 夹角与到角的关系
tg ' k2 k1
1 k2k1
例1：求直线l1：y=－2x+3,
l2:
y
=
x
－
3 2
的夹角。
乙
一、概念的建立
1、l1到 l2角的定义
两直线相交，把l1直线依逆时针方向旋转到与l2重 合时所转的角，叫做 l1 到 l2 的角. 范围是：00 ≤θ<1800
把l1到l2的角记为 θ1，把l2到l1的角记为θ2，
那么θ1与θ2的关系为:
θ1+ θ2= 1800
l2
θ2 ）θ1
l1
1、两条直线的斜率都存在时
例7、已知入射光线所在直线l1的方程是x 6 y 13 0， 入射光线在定直线m：x 2 y 3 0上反射，
求反射光线所在直线l2 的方程。 l2
y
1 2
1 2k2 8 2 k2 11
k2
27 14
或 k2
1（舍去） 6
2
P
1
oHale Waihona Puke l1直 线l1的 斜 率k1
1 6
，直
线m的
斜
率km
1， 2
设直线l2的斜率为k2
tg 1
km k1 1 km k1
(1) 1 26
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2
(
1 2
)
k2
1 1 ( 2) k2
1 2k2 2 k2
例6、已知两条直线的方程是18x+6y-17=0 和14x-7y+15=0，求它们的夹角的平分线所 在的直线方程。
例7、已知入射光线所在直线l1的方程是x 6 y 13 0， 入射光线在定直线m：x 2 y 3 0上反射，
求反射光线所在直线l2 的方程。
解：设直线l1与m的夹角为1，直线l2与m的夹角为 2