9.3.1空间两条直线所成的角
空间中直线与直线所成的角
B' D
C'
哪些棱所在的直线与直线A ' B垂直？
解： (1) BB ' CC ' A B A ' BB '即异面直线A ' B和CC ' 所成的角或其补角 A ' BB ' 45异面直线A ' B和CC '的夹角为45. (2)与直线AA ' 垂直的直线有AB, BC, CD, DA,
B' D B
C'
哪些棱所在的直线与直线A ' B垂直？
C
A 想一想：在正方体里棱与棱的夹角是多少？
0或90
再想想：在正方体里面对角线与棱的夹角是多少？
45或90
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中， D'
(3)直线A ' B和B ' C的夹角是多少？
想一想：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相 平行，在空间中这个结论还成立吗 ? 不成立 再想想：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直, 那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？成立（定理）
若ab，a c，则b c.
典型例题
(1)直线A ' B和CC '的夹角是多少？ A' (2)哪些棱所在的直线与直线AA ' 垂直？
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关，一般常把点O取在直线a或b上；
注2：规定两条平行直线的夹角为0°，则异面直线所成角 的取值范围是：0 90 ， 如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条异面 直线互相垂直，记作：a b .
高二数学两条直线所成的角
两条直线所成的角一、教学目标(一)知识教学点一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式；两直线的夹角公式；能熟练运用公式解题．(二)能力训练点通过课题的引入；训练学生由特殊到一般；定性、定量逐层深入研究问题的思想方法；通过公式的推导；培养学生综合运用知识解决问题的能力．(三)学科渗透点训练学生由特殊到一般；定性、定量逐步深入地研究问题的习惯．二、教材分析1．重点：前面研究了两条直线平行与垂直；本课时是对两直线相交的情况作定量的研究．两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到；教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用．2；难点：公式的记忆与应用．3．疑点：推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据．三、活动设计分析、启发、讲练结合．四、教学过程(一)引入新课我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况；对于两条相交直线；怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题．(二)l1到l2的角正切两条直线l1和l2相交构成四个角；它们是两对对顶角．为了区别这些角；我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角；叫做l1到l2的角．图1-27中；直线l1到l2的角是θ1；l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2的角有三个要点：始边、终边和旋转方向．现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角；设已知直线的方程分别是l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0；那么θ=90°；下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直线的方向是由直线的倾角决定的；所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题．设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32)；甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角；乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x 轴围成的三角形的外角．tgα1=k1； tgα2=k2．∵θ=α2-α1(图1-32)；或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)；∴tgθ=tg(α2-α1)．或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)．可得即eq \x( )上面的关系记忆时；可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆．(三)夹角公式从一条直线到另一条直线的角；可能不大于直角；也可能大于直角；但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角；简称夹角)就可以了；这时可以用下面的公式(四)例题解：k1=-2；k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例题用来熟悉夹角公式．例2 已知直线l1： A1x+B1y+C1=0和l2： A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0)；l1到l2的角是θ；求证：证明：设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2；则这个例题用来熟悉直线l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0；底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0；点(-2；0)在另一腰上；求这腰所在直线l3的方程．解：先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等；并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等；并且与两腰的顺序无关．设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3；l1到l2的角是θ1；l2到l3的角是θ2；则．因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形；所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得 k3=2．因为l3经过点(-2；0)；斜率为2；写出点斜式为y=2[x-(-2)]；即 2x-y+4=0．这就是直线l3的方程．讲此例题时；一定要说明：无须作图；任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等；要为锐角都为锐角；要为钝角都为钝角．(五)课后小结(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念；(2)l1到l2的角的正切公式；(3)l1与l2的夹角的正切公式；(4)等腰三角形中；一腰所在直线到底面所在直线的角；等于底边所在直线到另一腰所在直线的角．五、布置作业1．(教材第32页；1．8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角：∴θ1=45°．l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．2．(教材第32页；1．8练习第2题)求下列直线的夹角：∵k1·k2=-1；∴l1与l2的夹角是90°．(2)k1=1； k2=0．两直线的夹角为45°．∴l1与l2的夹角是90°．3．(习题三第10题)已知直线l经过点P(2；1)；且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o；求直线l的方程．即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．4．等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0；底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0；点(-2；0)在另一腰上；求这腰所在的直线l3的方程．解：这是本课例3将l1与l3互换的变形题；解法与例3相同；所求方程为：x-2y-2=0．六、板书设计。
两条直线的所成角
例3.ABC的顶点A(2,8), AB边上中线CD所在直线方程为 4 x 7 y 24 0，ABC平分线BE所在的直线方程为x 2 y 4 0 求B, C坐标
xB 2 y B 8 解法1.设B( xB , yB )则AB的中点D坐标（ , ） 2 2
又B, D分别在直线x 2 y 4 0和直线4x 7 y 24 0上
例2.已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在 直线方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线 的方程为：x-4y+10=0，求BC边所在的直线的方程.
解法2.设B（x1，y1）由题意可得： x1 3 y1 1 6 2 10 2 59 0 x1 10 B(10,5) 得： x1 4 y1 10 0 y1 5 由x-4y+10=0为∠B的平分线知， A(3，-1)关于直线x-4y+10=0的对称点A’（1，7） 在BC边所在的直线上，
例题
两直线的夹角
4、已知 B( 0,2) , C ( 0,6)，A 为 x 轴 负半轴上的一点，问 A 在何处 时，BAC 有最大值？
3 1、 求 直 线l 1 : y 2 x 3 与 l 2 : y x 的 夹 角 2
5、l1 , l 2 的 斜 率 是 方 程 3x 4x 3 0 的 两 个 根 ，
2、已知 A( 2,3) 和 l1 : x y 3 0，求经过 A 且满足下列条件的直线 l 的方程： (1) l 到 l1 的角是60 ( 2) l1 到 l 的角是45
变式1、已知 A( 2,3) , B(1,2) , C ( 3,0)， 求 ABC 的三内角的正切值 变式2、已知 A( 2,3) , B(1,2) , C ( 3,0)， 求 ABC 的三内角的余弦值
,,空间中直线与直线所成的角(夹角)
D
C
Q AA'C '中，EFAC '
A
B
FED '即异面直线AC '和B ' D '所成的角或其补角
设正方体棱长为a，则EF 1 AC ' 3 a, ED ' 2 a,
FD ' 5 a
2
2
2
EF 2 ED '2 FD '2 FED' 90
2
直线AC '和B ' D '的夹角是90
思考：如图，在棱长为4正四面体ABCD中，求异面
b bˊ
a
aˊ
o
四.异面直线所成的角
定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所 成的锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成 的角(或夹角)
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关，一般常把点O取在直线a或b上；
C' B'
Q A' B ' DC,A' B ' DC
D
C
四边形A' B 'CD是平行四边形
A
B
A' DB 'C,A' D B 'C
BA' D即异面直线A' B和B 'C所成的角或其补角
Q A' D DB A' B BA' D 60,即异面直线A' B和B 'C的夹角为60.
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A' B 'C ' D '中，D' (3)直线A' B和B 'C的夹角是多少？ A'
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围一、引言空间中直线与平面之间的关系是几何学中的基本内容，对于空间的直线与平面所成角的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将探讨空间中直线与平面所成角的范围，并通过实例分析其应用。
二、空间中直线与平面所成角的定义与性质1.定义空间中直线与平面所成角是指直线与平面内一条直线所成的最小角。
这个角度可以用直线与平面内一条直线所成的锐角或直角来表示。
2.性质（1）直线与平面垂直时，所成角为90度。
（2）直线与平面斜交时，所成角大于90度。
（3）直线与平面平行时，所成角为0度。
三、空间中直线与平面所成角范围的推导1.直线与平面垂直的情况当直线与平面垂直时，根据性质1，所成角为90度。
2.直线与平面斜交的情况当直线与平面斜交时，所成角大于90度。
这是因为，根据性质2，直线与平面斜交的角度大于直线与平面垂直的角度。
3.直线与平面平行的情况当直线与平面平行时，根据性质3，所成角为0度。
四、应用与实例1.几何问题求解在几何问题中，了解空间中直线与平面所成角的范围有助于解决复杂的空间几何问题。
例如，在求解空间直线与平面之间的位置关系时，可以通过计算所成角的大小来判断直线与平面是否垂直、斜交或平行。
2.工程实践中的应用在工程实践中，空间中直线与平面所成角的应用十分广泛。
例如，在建筑、机械等领域，掌握空间中直线与平面所成角的范围有助于设计和施工过程中的精确度，保证工程质量。
五、总结与拓展本文对空间中直线与平面所成角的范围进行了探讨，通过对定义和性质的分析，推导出所成角的大小，并介绍了在几何问题和工程实践中的应用。
对于空间中直线与平面所成角的研究还有许多拓展空间，如更深入地探讨空间中直线与平面所成角与几何形状之间的关系，以及在更多实际应用领域中的应用。
两条直线相交角的位置关系
两条直线相交角的位置关系
两条直线相交角的位置关系是指两条直线在平面或空间中相交时，它们所形成的交角的大小和方向。
1．角度大小：两条直线相交形成的角度大小取决于它们的方向。
如果两条直线相互垂直，那么它们所形成的角度是90度或者270度。
如果两条直线相互平行，那么它们所形成的角度是0度或者360度。
2．角度方向：两条直线相交形成的角度方向取决于它们的相对位置。
如果两条直线从同一方向出发，那么它们所形成的角度方向是从大到小的。
如果两条直线从相反方向出发，那么它们所形成的角度方向是从小到大的。
3．角度变化：两条直线相交形成的角度大小和方向会随着它们的位置变化而变化。
例如，如果两条直线相互靠近，那么它们所形成的角度就会减小。
如果两条直线相互远离，那么它们所形成的角度就会增大。
总的来说，两条直线相交角的位置关系是由它们的方向、相对位置和位置变化决定的。
直线与直线所成角公式范围
直线与直线所成角公式范围
直线与直线所成角公式是几何学中的一个重要概念。
在欧几里得几何中，两条直线所成的角被定义为它们的夹角，表示为∠ABC，其中A、B、C分别是两条直线的交点和两条直线上的两个点。
直线与直线所成的角的范围是0°到180°之间。
直线与直线所成角的大小取决于两条直线的相对方向。
当两条直线平行时，它们不会相交，因此它们所成的角为0°。
当两条直线相交时，它们所成的角的大小可以通过直线的斜率来计算。
然而，当两条直线互相垂直时，它们所成的角的大小需要通过直线的斜率来计算。
对于两条直线L1和L2，如果它们的斜率分别为m1和m2，那么它们所成的角的大小可以通过以下公式计算：
tan(∠L1L2) = |(m2 - m1) / (1 + m1 * m2)|
这个公式适用于所有直线的情况，包括水平和垂直的直线。
值得注意的是，在计算过程中需要注意斜率不存在的情况。
除了直线与直线所成角的计算公式，几何学中还有其他与角度相关的概念，比如线段之间的夹角、直线与平面之间的夹角等。
这些概念在实际应用中具有广泛的应用，例如建筑设计、导航系统以及机器人控
制等领域。
因此，熟练掌握直线与直线所成角的计算方法对于解决实际问题非常重要。
空间中直线与平面所成角的范围
空间中直线与平面所成角的范围一、引言空间中直线与平面所成角的研究是几何学中的重要内容，涉及到许多实际问题的求解。
本文将对空间中直线与平面所成角的范围进行详细探讨，以期提高大家对几何知识的理解和应用能力。
二、空间中直线与平面所成角的定义与性质1.定义空间中直线与平面所成角是指直线与平面内任意一条直线所成的最小角。
这个角度可以用直线与平面内直线之间的夹角来表示。
2.性质（1）直线与平面平行时，所成角为0°。
（2）直线与平面垂直时，所成角为90°。
（3）直线与平面斜交时，所成角的范围为0°～90°。
三、空间中直线与平面所成角的变化范围1.直线与平面平行时，所成角为0°。
2.直线与平面垂直时，所成角为90°。
3.直线与平面斜交时，所成角的范围为0°～90°。
四、应用与实例1.几何问题求解在几何问题中，了解空间中直线与平面所成角的范围有助于快速判断线面关系，进而解决问题。
例如，在解决立体图形的表面积和体积问题时，可以通过计算直线与平面所成角来确定几何体的形状。
2.工程实践中的应用在工程实践中，空间中直线与平面所成角的应用也十分广泛。
例如，建筑设计师在设计建筑物的空间结构时，需要了解直线与平面所成角的大小，以确保建筑物的稳定性。
此外，机械工程师在设计机械零件时，也需要考虑直线与平面所成角的影响，以保证零件的装配精度。
五、总结与拓展本文对空间中直线与平面所成角的范围进行了详细探讨，从定义、性质、变化范围等方面进行了分析。
通过对这一知识点的掌握，大家可以在几何问题求解和工程实践中发挥重要作用。
此外，对于空间几何中的其他知识点，如直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线之间的角度问题，也可以采用类似的方法进行研究和探讨。
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n
n′
m
m′O来自m
m′
o
(0, 异面直线所成角的范围是什么？ m与 n所成角的大小与点 O的位置有关吗？ 两条直线垂直，它们一定相交吗？
2
]
二、例题
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAB1=30° 求下列异面直线所成角的度数。 D C （1）AB1与CD B A （2）AB1与CC1
选做题： 有兴趣的 同学完成：
9.3.1空间两条直线所成的角
空间两条直线的位置关系：
位置关系
图形
所成的角
平行
0
0
0
相交
0 90
0
异面
？
2、异面直线的画法：平面衬托法
A
B
空间中两条异面直线所成的角
点o常取在两条异面直线中的一条 bˊ 上
b
o
.
θ
aˊ
o
α
a
一、定义
经过空间任意一点分别作与两条异面直线 平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条 异面直线所成的角。
90° 45° 60°
四、总结
1.空间两条直线所成的角。 本节课老师讲了什么：
你学到了什么 ： 2. 两条异面直线所成的角。 3. 在立体图形中，求异面直线所 你学会了什么： 成角的方法。平移→说明→解答
五、作业
必做题： 《练与考》63页 教材96页 习题9.3 A组题中1题（2）、2题 教材97页B组题
1 1
1
1
D A B 1.平移
C
解(1) ∵DC∥AB, ∴∠BAB1为异面 直线AB1与CD所 成的角， 即所求角为30°。
2.说明
3.解答
例 如图：正方体 ： ABCD A1B1C1D1 求异面直线BA1和CC1所成的角。
D1 A1 C1
B1
所以B A1和 CC1所成的角为450
C
D A
B
例 如图：正方体 ： ABCD A1B1C1D1 求异面直线BA1和CC1所成的角。
D1 A1 C1
B1
所以B A1和 CC1所成的角为450
C
D A
B
三、练习
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求下列各对异面直线所成的角的度数。
D1 A1 D A B B1 C C1
（1）DD1与BC （2）AA1与 BC1 （3）AC与 BC1