函数与方程思想在数列中应用
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1 / 45 典例4 [2015·高考]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d>1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)由题意有， 10a1＋45d＝100，a1d＝2，
即 2a1＋9d＝20，a1d＝2，
解得{ a1＝1，d＝2或 a1＝9，d＝29.
故 an＝2n－1，bn＝2n－1或 an＝192n＋79，bn＝9·29n－1.
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，于是
Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①
12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－12n.②
①－②可得
12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，
故Tn＝6－2n＋32n－1.
数列问题函数(方程)化法
数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似，但要注意
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2 / 45 数列问题中n的取值围为正整数，涉与的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：
第一步：分析数列式子的结构特征．
第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．
第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉与函数单调性与最值、值域问题的研究．
第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．
[针对训练4] [2016·东城模拟]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．
(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，数k的最小值．
解 (1)因为a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故公差d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)因为Sn＝n(n＋1)，
bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n
＝1n＋1n＋2＋1n＋2n＋3＋…＋12n2n＋1
＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1
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3 / 45 ＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1
＝12n＋1n＋3，
令f(x)＝2x＋1x(x≥1)，
则f′(x)＝2－1x2，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝16，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝16，
所以实数k的最小值为16.
数列
1．等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
2．等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.
3．等比数列通项公式：an＝a1·qn－1.
4．等比数列前n项和公式：
Sn＝ na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.
5．等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．
6．等比中项公式：a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．
.
4 / 45 7．数列{an}的前n项和与通项an之间的关系：an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.
[重要结论]
1．通项公式的推广：等差数列中，an＝am＋(n－m)d；等比数列中，an＝am·qn－m.
2．增减性：(1)等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．
(2)等比数列中，若a1>0且q>1或a1<0且00且01，则数列为递减数列．
3．等差数列{an}中，Sn为前n项和．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列；等比数列{bn} 中，Tn为前n项和．Tn，T2n－Tn，T3n－T2n，…一般仍成等比数列．
[失分警示]
1．忽视等比数列的条件：
判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件．
2．漏掉等比中项：
正数a，b的等比中项是±ab，容易漏掉－ab.
3．忽略对等比数列的公比的讨论：
应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1.
4．an－an－1＝d或anan－1＝q中注意n的围限制．
5．易忽略公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2.
6．证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式，易出错，必须用定义证明．
7．等差数列的单调性只取决于公差d的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q，又要考虑首项a1的正负.
考点 数列的概念、表示方法与递推公式
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5 / 45 典例示法
题型1 利用递推关系求通项公式
典例1
(1)已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，则它的通项公式为( )
A．an＝1n＋1B．an＝2n＋1
C．an＝n＋12D．an＝n
[解析] 由(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0，
得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0，
又an>0，所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，
即an＋1an＝n＋1n＋2，an＋1＝n＋1n＋2an，
所以an＝nn＋1·n－1n·…·23a1＝2n＋1a1(n≥2)，
所以an＝2n＋1(n＝1适合)，
于是所求通项公式为an＝2n＋1.
[答案] B
(2)[2015·高考]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列1an前10项的和为______．
[解析] 由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12，
则1an＝2nn＋1＝21n－1n＋1，故数列1an前10项的和S10＝2 1－12＋12－ 13＋…＋110－111＝21－111＝2011.
.
6 / 45 [答案]2011
题型2 利用an与Sn的关系求an
典例2 [2015·全国卷Ⅰ]Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．
[解] (1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
可得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即
2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由于an>0，可得an＋1－an＝2.
又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝1anan＋1＝12n＋12n＋3＝1212n＋1－12n＋3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝12 13－15＋15－17＋… ＋ 12n＋1－ 12n＋3
＝n32n＋3.
求数列通项公式的常见类型与方法
(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法． .
7 / 45 (2)已知Sn与an的关系，利用an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，求an.
(3)累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．
(4)累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．
(5)构造法：①递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an＋1＋qp－1＝pan＋qp－1(p≠1)的形式，利用an＋qp－1是以p为公比的等比数列求解；
②递推关系形如an＋1＝panan＋p(p为非零常数)可化为1an＋1－1an＝1p的形式．
考点 等差、等比数列的运算
典例示法
题型1 等差、等比数列的基本运算
典例3 [2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C.12D.18
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，由题可知q≠1，则a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，
∴116×q6＝414×q3－1，
∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，
∴a2＝12，故选C.
函数与方程思想
1 函数与方程思想
一、函数与方程思想的含义
【知识梳理】
函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的练习。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，是历来高考的重点和热点．
（1）函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．
（2）方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题．
（3）方程的思想与函数的思想密切相关：方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标（零点）；函数也可以看作二元方程；通过方程进行研究，方程有解，当且仅当属于函数的值域；与的图像的交点问题，就是研究方程的实数解的问题，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
【例题精讲】
题型一：方程、不等式的有解与恒成立问题
1、方程的恒成立问题：
通常由式子的特点来决定，首先我们需要把具有任意性的变量尽量提到一起，然后让变量定下来即可．
比如，()fxya，()0fx式子的值即定下来了；()logfxay，()1fx式子的值即定下来了，对于整多项式，12123()()()...()0nnnnafxafxafxafx，只能让12...0naaa使式子的值定下来．
例1.（嘉定）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
数列极限在高等数学中的应用
数列极限在高等数学中的应用
数列的概念在高等数学中是非常重要的一部分，因为它涵盖了数学分析的很多基本概念和原理。而数列极限作为数列的基本性质之一，也在高等数学的各个领域中得到了广泛应用。在本文中，我们将探讨数列极限在高等数学中的几个典型应用。
一、函数极限的定义
当我们在学习高等数学时，第一个接触到数列极限的概念就是在学习函数极限时。在定义函数极限时，我们会引用与数列极限相似的语句：“当x趋于a时，函数f（x）趋于L（或无穷大、无穷小等）”。通过对数列极限的理解和应用，我们可以更好地理解函数极限的定义，以及函数连续、可导、积分等概念的进一步推广。
二、级数收敛的判别法
在高等数学中，级数的概念也非常常见。而级数的收敛或发散是我们常常需要分析的问题。在分析级数的收敛时，我们通常需要借助到数列极限的思想。例如，当我们使用比值判别法（或根值判别法）来判断级数是否收敛时，我们需要去考虑级数的通项公式中一些数列的极限性质。这一过程中，数列极限的概念和方法被广泛应用。
三、函数的Taylor展开
当我们学习函数的Taylor展开时，数列极限的应用也起到了非常重要的作用。Taylor展开也是一种将函数展开为无限级数的方法。它在微积分、微分方程、偏微分方程、理论物理等领域中得到了广泛应用。而关于函数的各阶导数的求解，我们也需要借助到数列极限的思想。例如，在求解函数f（x）在x=a处的n阶导数时，我们需要构造一个数列，以此来反应出函数f（x）各阶导数的变化规律。同时，我们也需要借助数列极限来解决一些高阶导数的求解问题。
四、复变函数的解析性
在学习复变函数时，我们经常会提到“解析函数”的概念。解析函数是一类能够分解为Taylor级数的复函数。而对于解析函数的研究，数列极限的应用也不可忽视。通过对复变函数的分析、数列极限的求解和级数的收敛性判断，我们可以来刻画解析函数的性质及其在物理、工程、计算机等领域中的应用。
§7.1数列的概念
1 第7章 数列
无棣一中 高天祥 杨雪峰
◆ 本章知识结构
数列定义及有关概念等差数列等比数列递推数列数列的通项=anSn=1, 当1时SSnnn-, 当≥2时-1a=andn1+(-1) aa=dnnn-(≥2) -1a=adnn+1+ a=anmdnm+(-)等差中项：=Aab+2S=nnaa(+)1n2S=nna1+nnd(-1)2a=aqn1· n-1(,≠0)aq1a=ann +1q,(,)aqn≠0ana n-1qn(≥2)=等比中项：± G=abS=nnaq=1 (1)aa 1-n q1-q1-qaq1(1- ) (≠1)q=na=aqnm· nm-应用
◆ 本章的重点难点聚焦
理解等差等比数列的概念，掌握等差等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题，掌握等差等比数列的性质，会求简单数列的通项。
◆ 本章学习中应当着重注意的问题
1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
2.运用方程思想、整体思想、函数思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.
5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.切实抓好两个“特殊数列”的通项公式和前n项和公式的推导过程及方法。
6.解题要善于总结基本数学方法.如迭代法、逐差（积）求和（商）法、裂项相消法、观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
2023年新高考数学一轮复习7-2 等差数列及其前n项和(知识点讲解)解析版
专题7.2 等差数列及其前n项和（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．
2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
【知识点展示】
（一）等差数列
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
2.等差数列的通项公式：；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . 2d1(2)nnaadn1(1)nnaadn1(1)naandAPd00d0daAbAab2abA，，成等差数列.
4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
（二）等差数列的前和的求和公式：
.
（三）等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．
(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数．
（四）等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
（五）等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习第六章 第3讲 等比数列及其前n项和
第3讲 等比数列及其前n项和
一、知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)．
②符号语言：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G2＝ab．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
1．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
2．等比数列与指数函数的关系
当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)
二、习题改编
1．(必修5P53练习T3改编)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D.设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，
高中数学专题复习讲座之二--数列
高考数学专题复习讲座之二——数列
山西省平遥中学 常毓喜
数列是高中代数的重点内容之一，也是高考考察的重点，分值约占总分的8%—10%，考察的重点是等差、等比数列的基础知识，基本技能，基本思想方法，通过数列知识测试学生的逻辑推理能力，运算能力，分析和解决问题的能力，一般有一大一小两个题目，小题测重于数列自身知识的考察，诸如概念，性质，基本量的计算等，要求学生掌握基本概念和基本技能．大题多以综合考察为主，如与函数，不等式，方程，几何，向量等数学分支知识组合，中等难度，常体现函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想．在复习过程中要注意突出基本知识的深化，基本技能的活用，常用方法的总结，重点知识的再现，注重探索、综合、应用型，加强思维、推理和运算．
一、等差，等比数列的概念和性质
等差数列 等比数列
定义 an+1-an=d或an+1-an=an-an-1 an+1/an=q或an+1/an=an/an-1
通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1
中项 A=2ba G =ab（ab≠0）
前n项和
公式 Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 Sn=)1(1)1()1(11qqqaqnan
主要性质 1.若m+n=p+q,
则am+an=ap+aq.
2.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m
仍组成等差数列
3. am=an+(n-m)d．
4.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(an+an+1).
5. 若a1<0，d>0，则{an}是递增数列，Sn有最小值；
若a1>0，d<0，则{an}是递减数列，Sn有最大值； 1.若m+n=p+q,
则aman=apaq.
2.Sm,S2m-Sm,S3m-S2m
仍组成等比数列
3. am=an qn - m
基本量 a1，an，n，d，Sn a1，an，n，q，Sn
【例1】{an}是等差数列，公差为d，若=72，a1 - a2n = 33，则d=
高中数学数列教案：等差数列精选4篇
第 1 页 共 15 页 高中数学数列教案：等差数列精选4篇
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数列求和的几种方法、数列的实际应用问题
数列求和的⼏种⽅法、数列的实际应⽤问题
数列求和的⼏种⽅法、数列的实际应⽤问题
⼀. 教学难点：
数列的实际应⽤问题
⼆. 课标要求：1. 探索并掌握⼀些基本的数列求前n 项和的⽅法；
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的通项和递推关系，并能⽤有关等差、等⽐数列知识解决相应的实际问题．
三. 命题⾛向：
数列求和和数列综合及实际问题在⾼考中占有重要的地位，⼀般情况下都是出⼀道解答题，解答题⼤多以数列为⼯具，综合运⽤函数、⽅程、不等式等知识，通过运⽤逆推思想、函数与⽅程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想⽅法，这些题⽬都考查考⽣灵活运⽤数学知识分析问题和解决问题的能⼒，它们都属于中、⾼档题⽬． 有关命题趋势：1. 数列是⼀种特殊的函数，⽽不等式则是深刻认识函数和数列的有效⼯具，三者的综合题是对基础和能⼒的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是⾼考的重点；2. 数列推理题将继续成为数列命题的⼀个亮点，这是由于此类题⽬能突出考查学⽣的逻辑思维能⼒，能区分学⽣思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3. 数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析⼏何的结合等；
4. 有关数列的应⽤问题也⼀直备受关注．
【教学过程】 ⼀、基本知识回顾 1. 数列求通项与和
（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n ＝--11s s s n n 12=≥n n ．
（2）求通项常⽤⽅法①作新数列法．作等差数列与等⽐数列．
②累差叠加法．最基本的形式是：a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1＋a n －2）＋…＋（a 2－a 1）＋a 1．
③归纳、猜想法． （3）数列前n 项和
①重要公式：等差和等⽐数列的求和公式1＋2＋…＋n ＝21
n （n ＋1）；
12＋22＋…＋n 2＝61
n （n ＋1）（2n ＋1）；
13＋23＋…＋n 3＝（1＋2＋…＋n ）2＝41
n 2（n ＋1）2；
②裂项相消法
浅谈函数思想在高中数学解题中的应用
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浅谈函数思想在高中数学解题中的应用
作者：陈燕虹
来源：《读书文摘（下半月）》2018年第04期
摘 要：高中阶段数学作为学生学习重要阶段，对于提高学生数学解题能力、高考成绩都有着显著价值，而本文则是从函数思想概念出发，对其在高中数学解题中的有效应用进行了具体的阐述。
关键词：函数思想；高中数学；解题应用
在高中数学教学过程中，有效的数学思想不仅能够促进教学质量，还能提高学生数学能力与思维，因为数学思想本身就是学生数学能力重要表现，也是学生提高自身数学逻辑思维能力的关键。函数思想作为一种较为常见的数学思想，其本身在培养学生数学思维能力等多方面就有着较为显著的价值，再加上函数也是高中学习阶段较为重要的知识点，应用函数思想进行高中数学解题教学能够进一步提高学生解题思维与能力，促进学生全面发展。
1函数思想相关概述
函数思想主要表现出来的内容就是量和量之间的关系，而且两者之间的关系是运动变化的，并非一成不变的。如果从本质上来分析函数就是对应，像是于函数y=f（x），其中对应法则f以及自变量的变化范围可以说是函数构建的基本，而在这其中占据主导地位的则是自变量的变化；而从函数值域这一角度来分析的话，其则是由对应法则以及定义域这两者来决定的。在数学解题过程中应用函数思想，从本质上来说就是构建出辅助函数，将数学问题转变成这一函数的性质，以此来获得相应的结果。在应用函数思想的时候，可以使用以下三种方式来进行应用：其一，整体法。这一方式主要是在解题教学过程中，将题目进行整体处理，也就是对其整体结构以及形式进行分析，以此来让解题变得更加清晰。其二，假设归纳法。这一方式就是在解题过程中先对其结果进行猜想和归纳，之后再通过具体的观察和试验进行验证。其三，递推法。这一方式主要是在解题过程中，对于具体问题中所存在的递推关系进行探究，以此来解决数学问题，这一方式经常会使用到数列解题之中。
四大数学思想在高中数学解题中的应用
解题技巧与方法JIETIJIQIAOYUFANGFA138
数学学习与研究2019.11四大数学思想在高中数学解题中的应用
◎江浩丰（浙江省衢州第二中学，浙江衢州324000）
【摘要】数学学科可以划分为数学知识、数学方法与数学思想三大依次拔高的学科模块，它们遵循着由外而内，从具象到抽象，从现象到哲学的学科梯级认知模式．所以，数学思想最接近学科精髓与本质，它对低层的知识与方法的接受与总结都具有不可量化的指导意义，而对它的掌握与内化也便成为学生数学能力界定的标杆与数学学习的朝向目标．【关键词】高中数学；四大数学思想；解题研究
高中阶段的学生经过了完整系统的九年义务数学教育，所以，他们在此学段的知识理解与方法思想提炼感悟能力是具有一定层次与水平的．而且高中数学涉及函数、立体几何、算法、数列等比较全面的数学领域，这对学生数学思想的形成来说无疑是一个广阔的孕育平台．这个平台外化表现为形态各异的数学问题，学生通过问题的解决将数学逻辑升华为数学思想，又通过数学思想的指导与应用举一反三地解决着各类问题，所以这是一个相互作用的过程．下面，笔者就高中常用的四种数学思想在解题中的应用作详细阐述．一、函数方程思想函数方程思想是对函数思想和方程思想的有效契合．中国清朝数学家李善兰在其《代数学》著作中对函数定义为：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即与今天的通过定义域、值域与对应法则描述数量之间关系的函数之意相同．它谈及“变”便符合事物辩证哲学，也就意味着依托变化着的事物提出的各类问题必与函数相关联，所以函数有着广泛的应用领域．而依托数量关系组织形成的方程求得的解必然是函数变量中的一种，依此，二者结合的函数方程思想便成为解决数学问题的一大利器．例如，在“函数模型及其应用”一节的学习中，笔者向学生们展示了这样一道题：
已知a∈Ｒ，若关于x的方程x2+x+a－14+|a|=0有实根，则a的取值范围是？这首先是一个方程，要求其中a的取值范围，必须先将a进行分离，转化为关于x的函数，即为a－14+|a|=