函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用
【思想方法诠释】
函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
1．函数的思想
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系
函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函
数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数与方程思想解决的相关问题
（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
【核心要点突破】
要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。
要点考向2：运用函数与方程思想解决方程问题
例2：已知函数2
11
()2cos cos
cos 2,222
x f x x x =+-2()cos (1cos )cos 3.g x x a x =++--或()y f x =与()y g x =的图象在(0,)π内至少有一个公共点，试求a 的取值范围。
要点考向3：运用函数与方程思想解决不等式问题
例3：（1）已知
且
那么（）
（2）设不等式对满足m ∈[-2，2]的一切实数m 都成立，求x 的取值
范围．
要点考向4：运用函数与方程思想解决最优化问题
例4：图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3,设AB=2x,BC=y.
（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.
【跟踪模拟训练】
一、选择题
1.已知正数x,y满足xy=x+9y+7，则xy的最小值为( )
(A)32 (B)43 (C)49 (D)60
2．方程有解，则m的最大值为（）
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)-2
3.一个高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，
满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h时，鱼缸内剩余水的体积
为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是（）
4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )
(A)1<x<3 (B)x<1或x>3 (C)1<x<2 (D)x<1或x>2
6．已知圆上任意一点P(x,y)都使不等式恒成立，则m的取值
范围是（）
A B C D
-+∞ -∞ +∞ -+∞
.[21,).(,0].(2,).[12,)
二、填空题
7．的定义域和值域都是[1，k]，则k=
8．已知数列中，，若数列的前30项中最大项是，最小项是，则m= ,n= 9.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时，f′(x)·g(x)+f(x)g′(x)>0,
且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是______.
三、解答题
10.已知函数f(x)=ln(2x)和g(x)=2ln(2x+m-2)，m∈R的图象在x=2处的切线互相平行.
(1)求m的值；(2)设F(x)=g(x)-f(x).当x∈［1,4］时,F(x)≥2tln4恒成立,求t的取值范围.
习题答案
1．C 2．A 3. A 4．B 6．A 7．3 8．10、9 9．（-∞,-3）∪（0，3）10.（1）6 (2) t≤1。
函数与方程思想在解题中的运用
函数与方程思想在解题中的运用函数与方程思想是中学数学最重要的基本思想,也是高考考查的重点.函数与方程思想既是两种思想本身的体现,也是两种思想综合运用的体现,二者密不可分.函数与方程思想也体现了动与静、常量与变量之间的辩证关系,是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.函数是高中数学的一条主线,函数与方程思想运用几乎在高中各章节知识中都有体现,本文就这种数学思想在解题中的作用作一个较为详细的介绍.一、运用函数与方程思想处理函数、方程与不等式问题函数与方程虽是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系.方程f (x)=0的解就是函数y=f (x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f (x)本身就是一个二元方程f (x)-y=0,于是,函数问题与方程问题可以相互转化来求解.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f (x),当时y>0,就转化为不等式f (x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式.故它们三者之间关系紧密,解决此类问题的关键是深刻理解三者的意义,熟练掌握三者之间的转化关系.例1 已知函数f (x)=x2-x2+2x+1,且x1,x2是f(x)的两个极值点,003(2)x1-x2==,由根与系数的关系可知:x1+x2=a,x1x2=2,∴x1-x2=>1 ,由不等式恒成立问题可知:1≥m2-2bm-2对b∈-1,1恒成立.令g(b)=-2mb+m2-3,则当b∈-1,1时,g(b)≤0恒成立,∴g(-1)=m2+2m-3≤0,g(1)=m2-2m-3≤0-1f (x3)-x3,∴0三、运用函数与方程思想处理数列问题数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数.纵观近几年的高考题,在客观题中,突出“小、巧、活”的特点,解答题以中等以上难度的综合题目为主,涉及函数、方程、不等式的综合内容.在数列问题时,要切实注意运用函数观点来分析、解决有关数列的最值、单调性等问题,运用方程的思想来解决有关的计算问题.例5 设等差数列{an}的前n项和Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,求n的值.解析(法一)由S4=S8,得d=-a10,a7+-=0,所以f(n)是单调递增的数列,故f(n)的最小值为f(2)=.(3)∵b=,∴Sn=1+++…+,∴Sn-1=++…+,又S1+S2+…Sn-1=+++…+=(n+++…+)-(n-1)=(++…++).假设存在整式g(n),使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)成立, 则g(n)==n,满足题目要求,故存在g(n)=n.点评数列其实就是关于正整数n的离散型函数,数列求最值的方法与函数最值的求法类似.此题问(2)先证数列是单调递增的,再利用单调性求数列最值,这是数列不等式证明中常用到的一种方法.问(3)是一个探究性问题,需要将左边和式朝着右边逐步变形,最终消除等式两边的差异,思维难度较大.四、运用函数与方程思想处理立体几何中的最值问题方程思想在立体几何中主要体现在,根据具体图形列方程(组)求角,求距离,求面积,求体积等.而当图形中涉及运动变化、不确定量时,往往要通过函数关系把这种数量关系表示出来,并加以研究,从而使问题获得解决,运用函数与方程思想在处理这类问题时非常有效.例7 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,B1B1=BC=2,AC=2,点P是线段B1C上任意一点,求线段AP+C1P的最小值.解析连接AB1,在Rt△ACB中,AB==2,Rt△ABB1中,AB1==,在△ACB1中,AC=2,B1C=4,∴AC2+B1C2=AB12∠ACB1=90°.设CP=x,∴在Rt △ACP中,AP=,在△CC1P中,∠CC1P=45°,由余弦定理有C1P==,∴AP+C1P=+=+.此式可以看作是点(x,y)到点(2,2)及(0,-2)的距离之和.由数形结合可知:当三点在一条直线上时距离之和最小,即(AP+C1P)min==2为所求.点评本题是较常见的距离和的最值问题,如直接利用几何知识难以求解,需要借助函数建模,而最终又需要数形结合来完成求解.此题可谓构思巧妙、环环相扣,综合运用了几何、三角和函数等知识,能力要求较高.五、运用函数与方程思想处理圆锥曲线问题圆锥曲线问题中,常见的是利用几何性质列方程(组)求圆锥曲线的方程、离心率等.而涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题时,一般需要通过解二元方程组,将其转化为一元二次方程,然后用根的判别式或根与系数的关系解题.此类问题对运算求解能力、推理论证能力要求较高,但同时它有一定的规律可循,因为它与函数方程思想有着紧密的联系,考生可以往这方面思考.例8 已知椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,且OA⊥OB(O坐标原点).(1)求+的值; (2)若椭圆长轴长2a的取值范围是[,],求椭圆离心率e的取值范围.解析(1)联立方程组:x+y-1=0,+=1(a2+b2)x2-2a2x-a2(1-b2)=0……(*)设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1x2=,而y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=.又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴+=0,∴a2+b2=2a2b2+=2……①经检验,方程(*)△=4a4(2b4-2b2+1)>0有解,故+=2.(2) 将b2=a2-c2,e=代入①,得2-e2=2a2(1-e2),∴e2==1-,而2a∈[,],由不等式的性质,得≤e2≤,而00.责任编校徐国坚。
函数与方程思想在解题中的应用
・
‘ 一
３
３
。
‘
－ ・
ｌ
１ ＿ ０ ＿ 。 ０ 函数与方程 的思 维渗透 在各 部分知识 中 ， 在实
际生活中也屡 见 不鲜 ， 教学 中 注意提 炼 和升华 。 在 应 用 函 数 与方 程 的 思 想 时要 注 意 ： 练 掌 握 基 本 初 熟 等函数 的性 质 ， 这是应用函数思 想解题 的基础 ； 理解 函数 ｙ ） Ｙ＝， ｘ 的性 质 （ ＝ 、 （ ） 单调性 、 奇偶性 、 周期性 、 最值和图象变 换 ） 函数 与方程 转化过 程 中 ； 要注意等价性 ， 否则可能出错。 （ 作者单位 ： 南省 实验 中学） 河
，
里 彦 皇 盛 然墼 挛 曩 雾 盆 肇 土墓 塑
蓖 挚鏊 塞 罂 磬
一 …＝ｉ ｄ １得。 １ ２ 薜 ｌ￣ ａ ： ， Ｉ ２ ｄ ａ３ ２ ＝ — 。 ａ ＋ ～ ２ ｔ ａ ０＝ｚ ６：４＇ ＞，， ３ ＋ １ …１６ １ ＋ ０ 。 ２ｌ ＋ ｄ ４ ￣ Ｏ ， ｓ １。
ｊ 一
又 ・ １ ＝
．
．
．
６ ＞ ４ａ ２ ｃ。
￣
点 拨 ： 法 一 通过 简单 转 化 ， 解 敏锐 地 抓 住 了数 与 式 的特 点 ， 用方 程 思 想 使 问 题 迎 刃 而 解 。 解 法 二 运 转化为 的函数 ， 用重要不 等式 ， 运 思路清 晰 ， 水到渠 成。 二 、 造 函 数 或 方 程解 决有 关 问题 构 例 ２ （） 明下面 的命题 ： １证 一次 函数 厂 ＝ （ ）
了。
的等差数列。
．
． ．
数 ｛｝ 项 ２ 差 ｛ 列去是 为， 为 首 公
由 差 列 通 公 得Ｌ ｛ ＋ 若 ｍ＜／ｆ ｍ） ０ ｆ ｎ ＞０ 则 对于任 ） ７ （ ＞ ，（ ） ， ， ， 意 ∈［ ｎ 都有 厂 ＞ 。 ｍ， ］ （ ） ０ （） 用上 面结论 证 明下面命 题 ： 。 ６ ｃ ２试 若 ，， ∈ Ｒ， ｝ ＜１ Ｉ ＜１ ｌ Ｉ ， ０ 且 ｎ Ｉ ，ｂ ｌ ，ｃ ＜１则 ６＋６ ＋ｃ 一１ ｃ ０＞ 。 解 ：１ 当 Ｊ＞ （） ｊ ０时 ，（ ＝ ＋６在 ［ ｎ 上是 ｝ 厂 ） ｍ， ］ 增 函数 ， 则有 ｍ） （ ＜厂ｎ 。 ＜厂 ） （ ） 厂 ｍ） ’．（ ＞ 。 （ ＞０ ．厂 ． ） ０ 当％ ＜０时 ，（ ＝ ＋６在 ∈［ ｎ 上是减 厂 ） ｍ， ］ 函数 ， 则有 ｍ） （ ＞厂ｎ 。 ＞厂 ） （ ）
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文将探讨函数思想在高中数学解题中的重要性和应用。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们理解和解决复杂的方程，提高解题效率。
在几何问题中，通过函数图像的分析，我们可以深入理解几何形状的性质，从而更好地解决几何难题。
函数思想在数列与数论中的应用也不可忽视，通过函数的性质可以发现数列中的规律，解决数论中的难题。
使用函数思想解决数学建模问题和简化解题过程都是本文要探讨的内容。
通过本文的学习，读者将更好地认识到函数思想在高中数学解题中的广泛应用和重要性，为未来高中数学教学提供思路和方法。
【关键词】函数思想、高中数学、解题、代数方程、函数图像、几何问题、数列、数论、数学建模、函数性质、广泛应用、教学、重要性。
1. 引言1.1 介绍函数思想在高中数学解题中的重要性函数思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。
函数是数学中非常基础且重要的概念，它是描述自变量和因变量之间关系的工具。
在高中数学学习中，函数思想可以帮助我们更好地理解和解决各种数学难题。
通过函数思想，我们可以将问题抽象化，找到问题之间的关联，从而更好地解决问题。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们建立数学模型，将复杂的代数方程化简为函数的表示形式，进而更容易解决问题。
在几何问题中，函数图像可以帮助我们直观地理解问题，进而找到解题的方法。
在数列与数论中，函数思想可以帮助我们研究数列的性质及规律，从而更好地掌握数学知识。
1.2 概述本文内容本文将重点探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
通过引入函数的概念和性质，我们可以更加灵活地解决各种数学难题。
本文将从代数方程问题、几何问题、数列与数论、数学建模以及函数性质等方面展开讨论，阐述函数思想在这些领域中的作用和意义。
通过具体的例题和解题方法，读者可以更深入地理解函数思想在高中数学中的实际运用。
本文将总结函数思想在数学解题中的广泛应用，并展望未来在高中数学教学中的重要性。
函数与方程思想在解题中的应用
ｌｌ ｈ ａ＋ｌｌ
Ｉ ｌ— ｂｌ ＋￣＋ｌ ］
Ｉ 思】 这是一道 运用画救的 单调－证 明不等 反 Ｊ 生
式的 典型例题 ． 一般 方 击是 ： 不等式 的 两边看成 将
某一函教 的两个函数值 ．根据该 函敷 的单调性 ． 将
两 画 敏 值 的 太 小 比 较 问 题 转 化 为 两 十 自 变量 值 的
一
＜出 一 ３
（ ＝＋『 【｝ ：２ ｄ １ ｒ｝（ ） （ ｝） Ⅲ ｌ ｆ ＋一 ｎ ＾ ｒ １ 卜
．
商等 ｆ ４ Ｖ了 求 △＾ Ｃ的 Ｂ
ｊ ¨ ｒ硬ｉ个角
ｆ【 ． 天 于 ｎ的 二 次 函 数 ． 象 的 对 称 轴 （】 是 ． 图
一
［ 思路】 Ｌ 知乘 Ｉ ｌ Ｃ． 三 ａ Ｉ 求 ｛ ｔｔ ｎ 殳法 ｆ ￣４＋ Ｊ ｔ
应 ． 此 ｂ是 ｋ的 函 数 ， 题 即 是 求 这 个 函 数 的 定 因 本 义域．
Ｉ－ １ ≤ ｋｌｌ ， ｚｔ ） ￣ｂ － ￣ ｂｌ ＋
（Ｉ） 求 差 ｄ的墩值蓖 罔： （ 指 Ｉ Ｉ ． 『 哪一 十值 最大 ， ｜ Ⅱ） “Ｓ． ． Ｉ ｓ １ 井 兑叫
！ ｎＪ
ｌ ≤ “ ｛ Ｉ＋ｆ１ ｌ ＿０ ≤ ． ６， Ｊ
ｌ ６ ， Ｉ
‘ 。 —
数 ） 阿 值 ｌ Ｉ ｌ ｌ 川 ＝ 击 个 “ １川Ⅱ ， “相 ＋ 厦 川
数 的 单 渊 性 加 以 【． ｌ Ｊ 】
｝ｃ Ｉ 易 ， 、 ＝４丁 ．吾 ｝ 得 ６ ／ ４ 、 ＝ ｌ 此 ＋，
［ 反思 １ 已知 两个敷 的和 与积 ， 根据 韦选 定理
［ｎ ． ａ Ｃ 根据 ｉ 定理 构造古程求衅 ． 主
方 程 为 ５
待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝-解析版
待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现.典型例题1设抛物线y =ax 2+bx +c 过点A 1,2 和B -2,-1 .(1)试用a 表示b 和c ;(2)对于任意非零实数a ,抛物线都不过点P m ,m 2+1 ,试求m 的值.【分析】对本题题意的理解是关键,什么是抛物线都不过某点呢?换一种说法是:将该点的坐标代入所给的抛物线方程,方程无实数解,所以本题体现了一种等价转换的思想以及待定系数法在研究函数与方程问题中的应用.【解析】1 依题意,a +b +c =2,4a -2b +c =-1, 解得b =1+a ,c =1-2a .(2)y =ax 2+1+a x +1-2a ,将m ,m 2+1 代人,得am 2+1+a m +1-2a =m 2+1,整理得m 2+m -2 a =m 2-m .由题意,关于a 的方程无非零实数解,由m 2+m -2=0,m 2-m ≠0, 得m =-2;由m 2+m -2≠0,m 2-m =0, 得m =0.故所求的值为m =-2或m =0.2(1)已知数列a n 中,a 1=10,且a n =15a n -1+2⋅5n ,求这个数列的通项公式;(2)已知数列a n 中,a 1=3,a 2=5,a n =a n -2+4n -3n ≥3 ,求通项公式a n .法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第2 问,一般解法是设待定系数A ,即由a n +An 2=a n -2+An 2+4n -3配方,得a n +An 2=a n -2+A (n -2)2+4A +4 n -4A -3,令4A +4=0,解得A =-1,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养.【解析】(1)先对递推式进行变形,a n 5n =15a n -15n +2.即a n 5n =3⋅a n -15n -1+2.设b n =a n 5n n ∈N * ,则b n =3b n -1+2.(1)引人待定系数α,β,使α,β满足b n -β=αb n -1-β .展开得b n =αb n -1-αβ+β.(2)对照(1)式和(2)式,可得方程组α=3,-αβ+β=2,解得α=3,β=-1. 即数列b n +1 是以b 1+1=a 15+1=3为首项,3为公比的等比数列,所以b n +1=3⋅3n -1=3n ,b n =3n -1.于是,b n =a n 5n =3n -1,a n =15n -5n n ∈N * .(2)由条件可得a n -n 2=a n -2-(n -2)2+1n ≥3 .令b n =a n -n 2,则数列b n 可化为两类等差数列,其中b 2n -1 是以b 1=a 1-1=2为首项,d =1为公差;b 2n 是以b 2=a 2-22=1为首项,d =1为公差.因此,b 2n -1=2+n -1 ,b 2n =1+n -1 .所以a 2n -1=(2n -1)2+n +1,a 2n =(2n )2+n .故a n =122n 2+n +3(n 为奇数)122n 2+n(n 为偶数) 可简化为a n =122n 2+n +341+(-1)n +1 .3设a 为实数,函数f x =a 1-x 2+1+x +1-x 的最大值为g a .(1)设t =1+x +1-x ,求t 的取值范围,并把f x 表示为t 的函数m t ;(2)求g a ;(3)试求满足g a =g 1a的所有实数.【分析】本例是一道苐进式的综合题,主要考查函数、方程等基础知识,考查分类与整合以及函数与方程的思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力,难度上循序渐进,第(1)问考查变量代换的技巧,难点在新变量范围的确定,可以有不同的方法求解;第(2)问是含参函数在区间上最大值的求法.分类与整合并结合函数单调性是解答的关键;第3 问实质是解方程,由于g a 是分段的,对于方程g a =g 1a 解的讨论更要分类全面、环环相扣.正如罗素所言:“数学不仅拥有真理,而且还拥有至高的美一种冷峻而严肃的美,正像雕塑所具有的美一样⋯⋯”本题的解决过程不仅能显示解题者的数学功力,也展现了“一种冷峻而严肃的美”.【解析】(1) 【解法一】 (代数法)令t =1+x +1-x ,要使t 有意义,必须1+x ≥0,1-x ≥0,即-1≤x ≤1.∵t 2=2+21-x 2,x ∈-1,1 ,t ≥0(1)∴t 的取值范围是2,2 ,由(1)式得1-x 2=12t 2-1,故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .【解法二】(三角换元法)令x =sin2θ,θ∈-π4,π4.t =1+x +1-x =1+sin2θ+1-sin2θ=sin θ+cos θ +sin θ-cos θ=sin θ+cos θ-sin θ+cos θ=2cos θ,a 1-x 2=a 1-sin 22θ=a cos2θ由于θ∈-π4,π4 ,所以cos θ∈22,1,即t ∈2,2 ,f x =m t =a cos2θ+t ,又cos2θ=2cos 2θ-1=2×t 24-1=t 22-1故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .(2)由题意知g a 即为函数m t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 的最大值.注意到直线t =-1a 是抛物线m t =12at 2+t -a 的对称轴,故分以下几种情况讨论.①当a >0时,函数y =m t ,t ∈2,2 的图像是开口向上的一段抛物线,∵t =-1a <0,知m t 在2,2上单调递增,∴g a =m2 =a+2.②当a=0时,∵m t =t,t∈2,2,∴g a =2.③当a<0时,函数y=m t ,t∈2,2的图像是开口向下的一段抛物线.若t=-1a∈0,2.即a≤-22,则g a =m2=2;若t=-1a∈2,2,即-22<a≤-12,则g a =m-1a=-a-12a;若t=-1a∈2,+∞,即-12<a<0,则g a =m2 =a+2.综上可得:g a =a+2a>-12-a-12a-22<a≤-122 a≤-22(3)①当a<-2时,1a >-12,此时g a =2,g1a=1a+2.由2+1a=2,解得a=-1-22,与a<-2矛盾.②当-2≤a<-2时,-22<1a≤-12.此时g a =2⋅g1a=-1a-a2.2=-1a-a2,解得a=-2与a<-2矛盾.③当-2≤a≤-22时,-2≤1a≤-22,此时g a =2=g1a,所以-2≤a≤-2 2④当-22<a≤-12时,-2≤1a<-2,此时g a =-a-12a,g1a= 2.由g a =g1a 即得-a-1 2a = 2.解得a=-22与a>-22矛盾.⑤当-12<a<0时,1a<-2,此时g a =a+2,g1a=2.由g a =g1a即得a+2=2,解得a=2-2与a>-12矛盾.(6)当a>0时,1a >0,此时g a =a+2,g1a=1a+2.由g a =g1a即得a+2=1a+2.解得a=±1,由a>0得a=1.综上可得,满足g a =g1a的所有实数a为-2≤a≤-22或a=1.4如图3-3所示,设直线l与椭圆x22+y2=1相切,切点为P,点M是坐标原点O在直线l上的正投影,求MP的最大值和最小值.【分析】本例的解答分3步:第一步,求出切线l 的方程和直线OM 的方程;第二步,求出点M 的坐标用点P x 0,y 0 的坐标表示,运用两点间距离公式求得|MP |2关于y 20的函数关系式;第三步,进入求MP 最值的流程,然而函数解析式太复杂了,可通过换元法变为基本函数求最值问题,当然新元的取值范围一定要紧紧㧓住!【解析】设P x 0,y 0 ,则-1≤y 0≤1,x 20=21-y 20 (点P 在椭圆上),切线l 的方程为x 0x +2y 0y =2(已知切点求䢶圆的切线方程),由OM ⊥l 得直线OM 的方程为2y 0x -x 0y =0.联立两直线方程,求得点M x ,y 的坐标为x =2x 0x 20+4y 20=2x 021-y 20 +4y 20=x 01+y 20x 20=2(1- y 20) ，y =4y 0x 20+4y 20=2y 01+y 20∴|MP |2=x -x 0 2+y -y 0 2=y 201+y 20 2x 20y 20+1-y 20 2 =y 201-y 20 1+y 200≤y 20≤1 设y 20=t 0≤t ≤1 ,则|MP |2=g t =t 1-t 1+t =-t +2-21+t =3-t +1+2t +1≤3-22(由基本不等式求得).当且仅当t +1=2t +1,即t =2-1时等号成立.∵0<2-1<1.∴函数g t 在区间0,1 上有最大值3-22,最小值0.即MP 的最大值和最小值分别为MP |max =3-22=2-1, MP |min =0.。
函数与方程思想在解题中的应用
（ 任编辑 责
陈 景 东）
裤 在
［ ｂ
蓁 ：
蛐 的 ４角 ” 所 薏 顶 在 嚣上 线 点 椭 ’ Ａ 对
壁 星妻 罴
占 方 及 参数的 值范围等 程以 讨论 取 问题
…… … … ～ ” ～… ～ ～ … … “ 一
值 。 一
思
ｃ
数
ａ ２ｂ ＋ 、 ａ＋ ＋ ／ ２（
则 菱形 Ａ
Ｂｃ Ｄ的 面 积 ｓ ：
Ｊ Ａｃ： Ｊ
２
端 都 在 球 面 上运 动 ， 两 弦 中 点 之 间 距离 的最 大值 为 （ 则 ） 解 ： 用 勾股 定 理 求 得 球 心 到 两 弦 的 距 离 分 别 为 ３ ２ 即 球 利 ，（
由 （Ｉ） ＯｌＣ２（ ｒ ：（ｒ ：－ ｎ １６ ￣ Ａ Ｉ ＿ ＋ ｖ－ ） — ％ ＝ ） ｖ ３ ２
（ 因 为Ａ Ｃ 为 菱 形 ， Ａ Ｃ ６ 。 所 以 Ｉ Ｂ＝Ｂ ＩＩ Ⅱ） Ｂ Ｄ 且 Ｂ ＝ ０， Ａ ＩＩＤ＝Ｃ ＡＩ
例 ２连 接 球 面 上 两 点 的 线 段 称 为球 的 一 条 弦 。半 径 为 ４ ・ 的
球 的 两 条 弦 Ａ 、 Ｄ 长 度分 别 等 于２ ／ ， Ｎｒ － ＢＣ 的 、 了 ４ ／ ，每 条 弦 的 两 ￣
思 想 方 法研 究 曲 线性 质 的推 理 论 证 能 力 。 立 方程 、 用 韦达 定 联 运
理 和 函数 与 方 程 思 想 是 解 决 直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 问 题 的 常 用方法 。 （ 者 单 位 ： 宁 市虎 台 中学 ） 作 西
关 键 是 建 立 两 弦 中 点 间 的 距 离 ｄ ／ＭＯ ０ 间 的 函数 关 系 ， 与 － Ｎ： 之
函数与方程思想在高中数学解题中的应用
函数与方程思想在高中数学解题中的应用【摘要】函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。
【关键词】函数与方程思想；高中数学；应用什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题：是否需要把一个代数式看成一个函数，是否需要把字母看作变量，如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质，如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题，是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程，如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？一、把字母看作变量或把代数式看作函数规律技巧提炼：1.函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想.（1）函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：①根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；②根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题.（2）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想.2.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想.综上所述，在高中数学教学过程中重视函数与方程思想方法的渗透，可以深化学生对基础知识的理解，进一步完善学生的知识结构，优化思维品质，提高学生分析问题，解决问题能力，提高学生的数学素养。
浅议函数与方程思想在解题中的运用
线对称轴 ｚ 一一 为 Ｙ轴 ， 再结合 特殊点位 置 ＝０时 ，
厶“
ｌ ｃ 一
＞ｏ ， 可轻松建立方程组求解 ． 即
Ｖ＂ 一 联合求 解
Ｉ 一３ ＞ Ｏ
即可． 该 题在 求解 过程 中首选 根据 抛物线 特征参 数 ， 亦 即对 称轴方程确定关于 的方程式 ， 再结合抛 物线定点 特征 ， 限定 ７ ／ ＇ １ 的取值范 围 ， 通过 二者之 间的制约关 系， 建
出未知数 的值． 两 者结 合 的 思想 关 键 就是 找 出相 等关 系， 建立 变量 之 间的等量 关系 ， 这 是轻 松求解 函数 问题 的基础 ， 可 以使数学 问题变得简洁 、 清晰． 通常情况下 ， 函数与方程思想 的应用 涉及方 程组 的 求解 ， 此类题 目的一般解题步骤 是尽可 能挖掘题 目所含 条件 ， 根据上 文 所 提 到 的函数 和 方 程所 具 备 的基 本 元 素， 限定 特征 方程解 析式 对应 的等式 条件 ， 将互相 制 约 的各个 方程联 立起 来 ， 构 建具有 共解 的方程 组 ， 以下实 例具 体说明．
图（ ａ ） 图（ ｂ ） 图（ ｃ ） 图（ ｄ ）
从 以上基本知识 的梳 理 中可 以看 出 ， 构建数学 模 型 是对简单 函数知识深刻理解 的有 效途径 ， 通过对关 键 系 数的分类思考 ， 可 以全 面掌握 函数 思想在解 题过 程 中所 具 备的基本要素 ， 实 际题 目中涉及 的 函数 知识点 往往 围 绕 以上关键 系数 展开 ． 因此 学会 采用数 学模 型方 法 ， 以 数 形结合的方式巩 固基本 知识 ， 是熟 练掌 握 函数 求解 题 目首先要 挖掘 隐含条 件． 构 建 方程 的首要任务是 寻找题 目中的等量关 系． 设想在题 目 所给条 件 下 ， 存 在一个类 似 方程式 的等式 ， 其 中包括 若 干未 知量 和 已知量． 能否顺 利应用 函数 与方 程思想 ， 取 决于 寻找方 程所 需要 的对 等条件． 任何 方程 的求解 ， 可 以视 为是对 函数 值为 ０时 的 自变 量方程 求解． 比如 ， 一 元一次方程 忌 ＋６ —０可 以看 做是 一志 ＋ｂ的函数 值 为 ０时 ， 自变量 ｚ的表 达式． 方程 思想 的应 用在 一定 程 度上拓宽 了解题思维 ， 使得对 方程式 的求解更 加形象 具 体， 某 种意义 上赋 予 了一定 的数学 含义 ， 对 学生来 说更 加具 有启发性．
函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用【摘要】本论文将所研究的问题借助建立函数关系式，结合初等函数，图像和性质，加以分析、转化、解决有关求值、数列、不等式、三角、解析几何等问题。
同时利用方程的观点将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型或构造出关于主元的方程加以解决。
【关键词】函数思想方程思想高考函数是中学数学的一个重要概念，函数一直是高考的热点、重点内容，它渗透在数学的各部分内容中，是高中数学的一条重要主线。
新课标内容中不仅没有淡化这一传统，而且还有加强的趋势，这从考试说明中很容易看出来。
但许多同学在学习这部分章节知识的时候都很难从本质上去理解、掌握，长期以来这部分知识又在高考试题中占据着可观的分值，而且考核的形式也比较灵活，学生在学习过程中稍有不慎就容易造成失分现象。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
为此，本文就函数与方程思想在教材与高考试题中体现出来的具体案例进行解析。
1.运用函数图像解题函数和方程的关系非常密切，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数y=f（x）看作二元方程y-f（x）.如解方程f（x）=0就是解y=f（x）的零点。
例1：函数f（x）=4x-4，x≤1x2-4x+3，x>1的图像和函数g（x）=log2x 的图像的交点个数是多少个？分析：求两个函数图像的交点个数，即是求两个函数所对应的方程有几个相同的根，可建立方程：x2-4x+3=log2x，x>14x-4=log2x，00解：因为8（x+1）3+10x+1=（2x+1）3+5（2x+1），则原不等式可化为（2x+1）3+5（2x+1）>x3+5x，由此，可令函数f（x）=x3+5x，则f（x）在R上是单调递增函数，而原不等式可化为f（2x+1）>f（x），所以原不等式等价于2x+1>x，解得-10且q≠0）是关于n的指数函数，因此运用函数性质解决数列问题，是对数列概念的本质理解。
例谈函数与方程思想用于数学解题的思路与方法
文献标 识 码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ ９— ０ ０ ７ ３ — ０ １
数学 中的 函数 思 想 是 从 运 动 和 变化 的角 度 去 分 析 和 研究 自 数 研究 函数 的单调 区间 、 极值 及 函数 与方 程 的知识 。① 求 出 函数
＜ Ｕ
ｏ ） ＞ ０ ） ， 则实数 。的取值范围是（
Ａ ． （一∞ ， 一１ ） ｕ（ ２ ， ＋∞ ） Ｃ ． （ 一 ２ ， １ ）
）
手 ） ＿ ， （ 一 ÷） ＝ 一 ÷ 。 ＋ ｌ ÷） ； ， （ ÷） ＇ ． ． ． 一 下 １ ａ ＋ １ ：
在实 际应用 中很 多 问题 常常通 过 建立 函数模 型 来 解决 ， 比如
） 形式， 再 运用 函数 的 有关 性 质 来 解 决 问 题 。在 解数 学 题 中 ， 以 函
Ａ． ０ Ｂ． ７ Ｃ．１ ４ Ｄ． ２１
且． 口 １ ） ＋ ， （ ）＝ １ ４ ． 贝 Ｈ 口 。 ＋ …＋ ＝（
解析： 由， （ ）＝（ 一 ３ ） ＋ 一１ ， 令： ｇ （ ｘ ）＝ ） 一２＝（ 一
从 以下几个方面人手： ①利用 函数与方程的性质解题 ； ②用 函数
为 ２ 的 函 数 ， 在 区 间 ［ 一 ， ］ 上 ） ｛ Ｌ 丝 导， 十 ｌ ０ ≤ ≤ １， 其 中
思想解决数列问题； ③ 函数与方程思想解决几何 问题 ； ④构造 函 ｔ ｌ ， ６ Ｅ Ｒ ， 若 ÷ ） － ， （ ÷） ， 则口 ＋ ２ ｂ 的 值为 — — 。 数 与方 程解 题 等 等。 本文 通 过 举 例 探讨 函数 与 方 程 思 想 用 于 数 解析： 考 查周期 函数 的性 质 ， 确定参 数 的值 。。 ． 。 ） 是 定义 在