2020年10月全国自考线性代数试题及答案解析
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全国2018年10月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明:AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A是4阶矩阵，则|-A|=（ ）
A．-4|A| B．-|A|
C．|A| D．4|A|
2．设A为n阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ）
A．（2A）T=2AT B．（3A）-1=3A-1
C．[（AT）T]-1=[（A-1）-1]T D．（AT）-1=A
3．设2阶方阵A可逆，且A-1=2173，则A=（ ）
A．3172 B．3172
C．3172 D．2173
4．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）
A．α1，α2，α1+α2 B．α1，α2，α1-α2
C．α1-α2，α2-α3，α3-α1 D．α1+α2，α2+α3，α3+α1
5．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（ ）
A．（2，0，0） B．（-3，2，4）
C．（1，1，0） D．（0，-1，0）
6．设A，B均为3阶矩阵，若A可逆，秩（B）=2，那么秩（AB）=（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
7．设A为n阶矩阵，若A与n阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b（ ）
A．无解 B．有唯一解 …………………………………………………………精品自学考试资料推荐………………………………………………
2 C．有无穷多解 D．解的情况不能确定
8．在R3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（ ）
A．（-1，0，1） B．21（-1，0，1）
C．（1，0，-1） D．21（1，0，1）
9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（ ）
A．003021311 B．111121111
C．100021011 D．100021011
10．二次型f(x1,x2,x3)=323121232221xx8xx2xx4x3x4x的秩等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．行列式0004003002001000=__________.
12．设矩阵A=ba，则AAT=__________.
13．设矩阵A=4321，则行列式|A2|=__________.
14．设向量组α1=（1，-3，α），α2=（1，0，0），α3=（1，3，-2）线性相关，则a=__________.
15.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于__________.
16．矩阵100110111的秩等于__________.
17．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解，又已知k1α1+k2α2也是Ax=b的解，则k1+k2=__________.
18.已知P-1AP=121,其中P=210101111，则矩阵A的属于特征值=-1的特征向量是__________.
19．设A为n阶方阵，已知矩阵E-A不可逆，那么矩阵A必有一个特征值为__________. …………………………………………………………精品自学考试资料推荐………………………………………………
3 20．实对称矩阵A=530302021所对应的二次型xTAx=__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
21．计算行列式D=4003043002102001的值.
22．设矩阵A=730210005，B=12201010，求矩阵方程XA=B的解X.
23.设t1,t2,t3为互不相等的常数，讨论向量组α1=（1，t1,21t）, α2=（1，t2,22t）, α3=（1，t3,23t）的线性相关性.
24.求线性方程组4xx2x2x5xxx4x21x2xx2x432143214321的通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
25．设矩阵A=4141.
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）问A能否对角化？若能，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使 P-1AP=D.
26．设,xx4xx2xax2x4x4xf323121232221
（1）确定α的取值范围，使f为正定二次型；
（2）当a=0时，求f的正惯性指数p和负惯性指数q.
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
27．设A，B为同阶对称矩阵，证明AB+BA也为对称矩阵.
28．若向量组α1，α2，α3可用向量组β1，β2线性表出，证明向量组α1，α2，α3线性相关.
自考《线性代数》重难点解析与全真练习
第⼀章 ⾏列式 ⼀、重点
1、理解：⾏列式的定义，余⼦式，代数余⼦式。
2、掌握：⾏列式的基本性质及推论。
3、运⽤：运⽤⾏列式的性质及计算⽅法计算⾏列式，⽤克莱姆法则求解⽅程组。
⼆、难点
⾏列式在解线性⽅程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等⽅⾯的应⽤。
三、重要公式
1、若A为n阶⽅阵，则│kA│= kn│A│
2、若A、B均为n阶⽅阵，则│AB│=│A│。│B│
3、若A为n阶⽅阵，则│A*│=│A│n-1
若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1
4、若A为n阶⽅阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi
四、题型及解题思路
1、有关⾏列式概念与性质的命题
2、⾏列式的计算（⽅法）
1）利⽤定义
2）按某⾏（列）展开使⾏列式降阶
3）利⽤⾏列式的性质
①各⾏（列）加到同⼀⾏（列）上去，适⽤于各列（⾏）诸元素之和相等的情况。
②各⾏（列）加或减同⼀⾏（列）的倍数，化简⾏列式或化为上（下）三⾓⾏列式。
③逐次⾏（列）相加减，化简⾏列式。
④把⾏列式拆成⼏个⾏列式的和差。
4）递推法，适⽤于规律性强且零元素较多的⾏列式
5）数学归纳法，多⽤于证明
3、运⽤克莱姆法则求解线性⽅程组
若D =│A│≠0，则Ax=b有解，即
x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D
其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适⽤于⽅程个数与未知数个数相等的⽅程组。
4、运⽤系数⾏列式│A│判别⽅程组解的问题
1）当│A│＝0时，齐次⽅程组Ax＝0有⾮零解；⾮齐次⽅程组Ax＝b不是解（可能⽆解，也可能有⽆穷多解）
2）当│A│≠0时，齐次⽅程组Ax＝0仅有零解；⾮齐次⽅程组Ax＝b有解，此解可由克莱姆法则求出。
⼀、重点 1、理解：矩阵的定义、性质，⼏种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三⾓矩阵，对称矩阵，对⾓矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵） 2、掌握：
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷22(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷22 (题后含答案及解析)
题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题
单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1． ≠0的充要条件为 ( )
A．k≠0
B．k≠±1
C．k≠0且k≠±1
D．k≠0或k≠±1
正确答案：C
解析：≠0→k(k2一1)≠0→k≠0且k≠±1．答案为C。
2． 若n阶方阵A满足A2一2A一3I=0，且矩阵A可逆则A-1= ( )
A．A一2I
B．2I一A
C．一(A—2I)
D．(A一2I)
正确答案：D
解析：由于A(A一2I)=3I，因此A[(A一2I]=I，所以A-1=(A一2I)．答案为D。
3． 设A，B是n(≥2)阶可逆方阵，k是一实常数且不为零，下列等式不成立的是 ( )
A．(AB)-1=B-1A-1
B．(kA)-1=k-1A-1
C．(A’)-1=(A-1)’，A’表示A的转置阵
D．(AB)-1=A-1B-1
正确答案：D
解析：本题考查矩阵求逆阵运算法则．选项A、B、C均正确，选项D中(AB)-1=B-1A-1．答案为D。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷43(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷43 (题后含答案及解析)
题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题
单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1． 设α1=，则α3=_________时，有α1，α2，α3为R3的基． ( )
A．(2，1，2)T
B．(1，0，1)T
C．(0，1，0)T
D．(0，0，1)T
正确答案：D
解析：首先已知α1，α2线性无关(其坐标不成比例)，又令A=(α1，α2，α3)，则α1，α2，α3线性无关→｜A｜≠0由于A的左上角2阶主子式(记为｜A11｜)不等于0，故选α3=即可。(此时｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案为D。
2． 设A是n阶方阵，已知A2一2A一2I=0，则(A+I)-1=( )
A．3I—A
B．3I+A
C．A一3I
D．
正确答案：A
解析：把已知关系式A2-2A-2I=0写成(A+I)M=I的形式，则M是(A+I)的逆方阵．由题设关系式A2一2A一21=0，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I一A)=I，故(A+I)-1=3I.A答案为A.
3． 设A是3阶反对称矩阵，即AT=一A，则｜A｜= ( )
A．0
B．1
自考本科_线性代数_历年真题[1]
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全国2010年1月自考线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设行列式1111034222,1111304zyxzyx则行列式( )
A.32 B.1
C.2 D.38
2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=( )
A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1
C. C-1A-1B-1 D. A-1C-1B-1
3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=( )
A.-32 B.-4
C.4 D.32
4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则( )
A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出
C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关
5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是( )
A.m≥n B.Ax=b(其中b是m维实向量)必有唯一解
C.r(A)=m D.Ax=0存在基础解系
第 2 页 8.设矩阵A=496375254，则以下向量中是A的特征向量的是( )
(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案
浙02198# 线性代数试卷 第1页（共25页） 全国2010年7月高等教育自学考试
试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。
1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi(i=1,2,3)为A的列向量，
若|B|=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A|=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12
2．计算行列式32320200051020203（ ）A.-180 B.-120C.120 D.180
3．设A=4321，则|2A*|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有
A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关
C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示
5．若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=（ ）A．2 B 3C．4 D．5
6．设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，则（ ）A．A与B相似 B．|A|=|B|C．A与B等价 D．A与B合同
7．设A为3阶方阵，其特征值分别为2，l，0则|A+2E|=（ ）A．0 B．2C．3 D．24
8．若A、B相似，则下列说法错误．．的是（ ）A．A与B等价 B．A与 B合同C．|A|=|B| D．A与B有相同特征
9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t)正交，则t=（ ）A．-2 B．0C．2 D．4
10．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，l，0，则（ ）A．A正定 B．A半正定C．A负定 D．A半负定
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
全国2020年8月自考04184线性代数(经管类)试题及答案
D020·04184(附参考答案）
绝密★考试结束前
2020年08月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数（经管类）
（课程代码:04184）
注意事项：
1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2. 应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效。
3. 涂写部分、画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字笔。
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A•表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，丨A丨表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩。
第一部分 选择题
一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设2,121,,是3维列向量，且行列式nm221121,,,,,，则行列式2121,,
A.nm B.mn
C.nm D.mn
2.设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B，再将B的第1列的（-2）倍加到第3列得到单位矩阵E，则1A
A.010100021 B.010100021 C.010100201 D.010100201
3.设向量组321,,线性无关，而向量组432,,线性相关，则
A.1必可由432,,线性表出 B.2必可由431,,线性表出
C.3必可由421,,线性表出 D.4必可由321,,线性表出
4.若3阶可逆矩阵A的特征值分别是1，-1，2，则1A=
A.-2 B.21
C.21 D.2
5.二次型31223212,,xxxxxxf的规范形是
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷7(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷7 (题后含答案及解析)
题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题
单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1． 设A为3阶方阵且，则｜一2A｜= ( )
A．一4
B．4C
C．一1
D．1
正确答案：A
解析：答案为A
2． 若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C为同阶方阵，则A应满足条件( )
A．A≠0
B．A=0
C．｜A｜=0
D．｜A｜≠0
正确答案：D
解析：若AB=AC,则A(B-C)=0，故当A可逆，即｜A｜≠0时B=C答案为D。
3． 设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是 ( )
A．A的任意m个列向量必线性无关
B．A的任意一个m阶子式不等于零
C．若矩阵B满足BA=0，则B=0
D．A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式
正确答案：D
解析：矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行满秩，列不满秩，A的m个列向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为(ImO)形式，故选D答案为D。
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷36(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷36 (题后含答案及解析)
题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题
单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1． 设矩阵，则
A．a＝－1，b＝3，c＝0，d＝3
B．a＝－1，b＝3，c=1，d＝33
C．a＝3，b＝－1，c＝1，d＝3
D．a＝3，b＝－l，c＝0，d＝3
正确答案：D
解析：矩阵相等，要求对应位置的每一个元素都要相等，则从而得a＝3，b＝－1，c＝0，d＝3，故选D项．
2． 设A为二阶可逆矩阵，且(3A)－1＝，则A＝
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
3． 下列命题中错误的是
A．一个非零向量线性无关
B．任意一个含零向量的向量组线性相关
C．由4个三维向量组成的向量组线性相关
D．由3个四维向量组成的向量组线性无关
正确答案：D
解析：很显然A、B、C正确，举例法．设α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，显然α1，α2，α3线性相关，故D项错误．
4． 已知是三元齐次线性方程组Ax＝0的解，则系数矩阵A可为
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
全国自考公共课线性代数(经管类)模拟试卷24(题后含答案及解析)
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷24 (题后含答案及解析)
题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题
单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1． 设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT．BT是矩阵． ( )
A．上三角
B．下三角
C．对角形
D．即非三角也非下三角
正确答案：B
解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT．BT也是下三角阵．答案为B。
2． 没A是n阶方阵，且｜A｜=5，则｜(5AT)-1｜= ( )
A．5n+1
B．5n—1
C．5-n—1
D．5-n
正确答案：C
解析：
3． 设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1= ( )
A．A-1+B-1
B．A+B
C．A(A+B)-1．B
D．(A+B)-1
正确答案：C
解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1．B=B-1．B=I，所以(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1
B．答案为C。
4． 齐次线性方程组的解的个数为 ( )
A．有惟一的零解
B．有无穷多个解
C．无解
D．不确定
正确答案：B
2022年10月自考线性代数真题与答案
全国2022年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184
一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题2分，共20分）
a11．设行列式
a2b1a1
1，b2a2 c1a1
1，则行列式 c2a2
D. 2
2
b1 c1
=（ ）
b2 c2
A. -1 B. 0 C. 1
2.设A是n阶矩阵，O是n阶零矩阵，且A E O，则必有（ ）
A. A E B. A E C. A A
D. A 1
0a0
3.A= 101 为反对称矩阵，则必有（ ）
bc0
A. a b 1,c 0 B. a c 1,b 0 C. a c 0,b 1 D. b c 1,a 0 4.设向量组 1=(2,0,0)T， 2=(0,0, 1)T，则下列向量中可以由 1， 2线性表示的是（ ） A.( 1, 1, 1)T B. (0, 1, 1)T C. ( 1, 1,0)T
D. ( 1,0, 1)T 5.已知4×3矩阵A的列向量组线性无关，则r(AT)= （ ） A.1 B.2 C.3
D.4
6.设 1， 2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是（ ） A.
1－ 2 B. 1+ 2 C. 1+ 2 D.
211 1+ 2 22
7.齐次线性方程组
x1 x3 x4 0 的基础解系所含解向量的个数为（ ）
x2 x3 2x4 0
D.4
A.1 B.2 C.3
1 2
1A8.若矩阵A与对角矩阵D= 相似，则=（ ） 1
A.E B.A C.-E
2
D.2E
9.设3阶矩阵A的一个特征值为－3，则－A必有一个特征值为（ ） A.－9 B.－3
C.3
2
2
2
D.9
10.二次型f(x1,x2,x3)=x1 x2 x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3的规范形为（ ）
22222
A.z1 B.z1 C.z1 -z2 z2
222
D.z1 z2 z3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）